ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙...

Post on 03-Dec-2018

241 views 0 download

Transcript of ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙...

���������������� �����������������

����������������

��

�����������������������������������������������������������������������

���������� ��������������

������������������������������������ ���

�����

����������������� �������������� �� ����������� ������������ �������������

��

���� ���

�����

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%��

������������� �� ���������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

&���� ����' �(���)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

�� ��*���+ ,��)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

����� ��%�-�.� ��������������-� ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

����� ����-�.� ���)����� �����)���������������)��� $$$$$ /

�� ��*���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

0��� ������� ������������' �(������&�����1�'&2$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

0��� �����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

����� ��%���.� ��)��������������� ����������� ����� �����

����)������������������3������ �� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

����� ������.� ��)��������������� ����������� ����� �����

����)������������������%4������ ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%5

����� ��5���.� ��)��������������� ������ ���������)�����

���)����������������6������������3������ ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%4

&���� ��������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%3

����� ��%���.� ����-�)�����)��������������� �����������

�����������3������ �������� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%3

&���� ����7��)�� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����������08 ���9-0��:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

&���� ��������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����� ��%�-�.� ��)�������)���������������������� �� $$��

����� �� �;� .� �� ��� ����� �)����� �� )��� ��� �����

���� ��������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�4

&���� ����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�3

����� ��%;�.� ��)�������������� ���������������� �� $$$$$$$�3

����� ���;�.� ���)�������������������-� ����$$$$$$$$$5�

�������������������� ���������������������������������������������������������� ��

�����������<�� ��0���:���$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$5�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$����

�����������<�� ������� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$5�

� ������������� �������������������������������������������������������������������� ��

�� ��*���+ ,��)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$53

7�����.� ���)������� �����)������)�������� �$$$$$$$$53

�� ��*���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� ������� ������������' �(������&�����1�'&2$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� �����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����� �;�7���)� ���������������� ���� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� ���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�/

����� �;� 7��� )� �� �)����� ��� �������� �� )��� �� ������

���� ������ �������������,��� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�/

&���� ����7��)�� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����������08 ���9-0��:�1&���� ��������)� 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ��

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����������08 ���9-0��:�1&���� ����+ �����)2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!3

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ��

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!3

�������������������� �! ��� ���" � �������������������������������������� #$

=��������(����*������>0����1�?������2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$4@

��������� ������������������������������������������������������������������������� %&

'�������(�� ����������������������������������������������������������������������� %�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5��

Introdução

����� ��� 9�� (��� �� �:��� �� A������ � ���)�� �� ��� ����� ������������� ������������ �)�����)�9�)��������B����������������� �������������� ���$�

������)�������C�)���������������� ����������� ������������� �������������� �� )��� )�,��)� 1�� )��� ��� )� ��2� �� ���� �������� �� ����(����� 1�� )��� ��� ����-)� �2$� +� �������� ������� � ����� )�,��)��� �������� ��������� B���� ������ ���������� ��C����� � )���� ����� ������D���������$� ������ ����� ���*��� ����� �� ������ ������ ���� ���)����� �������� ���� ������� �� ��������� ���� ����� ����$� '����� ��)�����(�������������#���� ��������������� ����������������������� ���6�)�� ��� ������ �������� ����� ���� � ���� ���)�� ��� ����������������6������������������������� ��������B������� ���������������$�

���������� ��

������������������ ������������ ������������ ��������������������� 9�����;�

� ����������������)�� &���� ����' �(���)� ;�

• + ���)����E�• ������)����� �� ������� ��� ' �(������

&����;�o + �����)����E�o ����)� �������7 �����"�<�����$�

� &���� ����7��)�� �������������08 ���9-0��:;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$����

o + �����)����E�o ����)� ������

� ��������������������)�� �����������<�� ��0���:����� �����������<�� ��������

�� � ����������������������)�

� &���� ����' �(���)� ;�• + ���)����E�• ������)����� �� ������� ��� ' �(������

&����;�o + �����)����E�o ����)� �������7 �����"�<�����$�

� &���� ����7��)�� �������������08 ���9-0��:;�o + �����)����E�o ����)� ������

�� ������������������������������� �! ��� �����! ���! *�������

���! �����(�����)�� .�������(����*������>���$�

�+�� ���� ��� ��� 9�� ���-��� ������� B��� ����,�� � )������ ���

���� �����)����� ��*��� ,��)������������� ��������������������������������������������������������$��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!��

Colunas Elásticas

Formulação Diferencial �

Soluções Analíticas �

����� ��%�-�.� ��������������-� �����

��

+��B�������(���)� ����B����������������(�����������)� ���;�

��

��

=+��

��

��

���

���B����

��

! =� �

.���� ���� �B����� ��(���)� � �� 9������� � �� ����� ����� ����� ���������(���;�

( ) ( ) �"� �# �$� +++= )���� �

��������������������������������� ��������;�

( ) ( )( ) ( ) �# �$ �

" �# �$ �

)����

��)���� −−=′′

+−=′�

�"�� ) )� �� �� )������� +6� F6� .� �� ' � ����-��� ���� �� )����*���

(������������������ ��B�����������������;�

��

��

=′′�==′�=

=�==�=

��

��

���

���

���

��

�+���������������������������;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4��

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )�

��

=×−×−

=+×+×=+×+×+×

=+×+×+×

��)�����

���)��

�)����

���)�����

�� � # � $

"� # � $

��"� #� $

�" # $

�+�����:�G&H�����)��(�)���������#�����;�

[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) �

���

×−×−−

=

���)�����

�%��)��

%)����

%�%�

�� � �

� �

� � �% �

�+� )������� ��� ����� ����� �)����� B���� ������ � )������� ���G&HI�6�

B���)����������J�������������� ��*��������������������������$������G&H��<������� ����������:����#��������;��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ������

)���������)��)���)����

=++×+−××+×−

� � �

� � � � � � � ��

�+������������������(��������#������������(������������;�

�+�����������:�������B������;�

54@$�= � ��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/��

+�)���)����)����#����������� ������������������;�

( )��

�%5�!@$%

4%�$!

��

��!

π== �

��

��

����� ����-�.� ���)����� �����)���������������)����

�.��������������B��*��������(���)����������(����������6�

���������)����%��������������)�����;�

( )%�

%�

% �!��

���� −= δ ��

( )��

��

� �!��

���� −= δ �

����(�)-��� B��� � �� ����� ����)� �� ������ ���� �B��*��� �;� 8�IK6� ����(����;�

%

�%

��

! = �����

��

��

! = �

���� ��*�������B��*�����(���)�����������������(����

( ) ( ) δ= + +% % % % %)�� ��� $ � # � �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�3��

( ) ( ) δ= + +� � � � �)�� ��� $ � # � ��

+��)����*���(�������������(�����������������������;�

= � =��� ′= � =��

� �

� �

� �

� ��

+�� ���#����� +�� �� F�� ���� ������� ����� � ������ ��� �������� ������� ����B��*��;�

�( ) ( )

( ) ( )δ= × + × +��

�= × − ×��

� � � �

� � � � � �

� )�� � �� �

� �� � )�� �

$ #

$ # � �

0��� �������������������������+����F�;�� =� �$ � �

� δ= −�# � �

�+��B���������(�����������L���������#�����;�

� ( )( )δ= −� �% )��� � � �

����������������������)����*���(����������;�

( ) ( )( )����%�

%

)��% � �����

���

−==�==�=

δδ

�.��������)����*���(���������������) )� ����)�������+%���F%��

�����������������������;�

( ) ( )( ) ( ) ( )( )�

��

−=++=++

���%%�%%

%%%%

)��%��)��

��)��

� � #� $

� #� $

δδδδ

( )( )

( ) ( ) ( )��

��

+=

−=

�%�%%

��%

%%%

��)���

)��

� � �

� #

� � #$

δ �

.���� �� ����� �I �� ��� ����� ������ ���� � ����� ������ ����������� ����������������������(��*�����) )� ��������)���)�,��);�

( ) ( )( )( )�

��

−=++=

� �

� #� $�

��

%%%%%

)��%

��)��

δδ�

( ) ( )( )�

��

=′+−=′

� �

� #� $�

���

%%%%%%%

��

)����

δ�

���

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�@��

���������I ��������������;��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )�%

�%�%%

��%�%%

�%�%%

��%���

�%%%�%%%���

)����)���

)����

��)���

)�����

)������

� � � �

� �

� � �

� � �

� #� $�

++

=

⇔+−=δ

��������������������� �*��;�

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )�

��

���

−=++=+

++

=+=

+=

�%%%�%%%�%%%

%%�%�%%%�%%%

�%%

�%%�%%%

�%

����)��)��)��

)����)������

)��

����

� � � � � �

� � � � � �

��

�� �� �

���

����M�-���������������������;�

( ) ( )

%�

%

%

%

%��%%

��

��

��

��

!�

��

!

� �

=��

����

���

����

==

��������������������-������������� ������)����)�,��)�$�+����� �����

�����)����(��������"����������,�� $�+������������� ������������;�

��

���!�� = �

���� �����������������) )� ��������(��������� �*������N% N���� % �;�

( )�

%

%

%

� ���

��

�� =��

����

�× �

�.�������-��� � �������� ��� � ��� �� ��A������ �� ��� � ����� ���

��(��M)����� % ����N% N�;�

����1/����2 I1/I2

0,1 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 5 10

0,01 0,74016 0,35191 0,18732 0,12758 0,09672 0,06518 0,04915 0,01983 0,00993 0,05 1,23201 0,68104 0,38730 0,27012 0,20722 0,14123 0,10702 0,04328 0,02140

0,1 1,45499 0,87223 0,51722 0,36631 0,28310 0,19412 0,14731 0,05892 0,02831 0,2 1,66340 1,08484 0,67559 0,48708 0,37930 0,26102 0,19757 0,07586 0,03378

0,25 1,72539 1,15574 0,73188 0,53072 0,41409 0,28482 0,21497 0,08043 0,03438 0,5 1,89824 1,37507 0,91653 0,67449 0,52669 0,35698 0,26334 0,08494 0,03037

0,75 1,98458 1,49742 1,02461 0,75586 0,58580 0,38685 0,27705 0,07762 0,02475 0,9 2,01981 1,54979 1,07095 0,78858 0,60697 0,39352 0,27663 0,07214 0,02198

1 2,03917 1,57914 1,09662 0,80568 0,61685 0,39478 0,27416 0,06854 0,18353

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

���� �����������)�(������� �����������)������ ����� ,��)����

��������)��������)����������� �-G5H$�

���������#(�)����������������������(�)��������� ������������������

)��(�)������$���� ��#(�)�� �������� ����������-��� � �,�� �� ��� )���������� ���������

(����� ���)����� ����� ��� ��(�O ��� ��� ������������ ��� (��*�������#��)�6� ��� ������ )��� )���� � �B����� ���� �#���� �,:��� ��� (�������,�� ����������������������������������B����;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%%��

Soluções Numéricas

Resolução pelo Método das Diferenças Finitas (MDF) �

Resolução Algébrica

����� ��%� �� .� ��)����������� ���� ����������� �� ��� ���������)������������������3������ ����

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

.����*���(������;�

�PP�

�PP�

��

�5

��

��

=�==�==�==�==�==�==�=

���

��

���

���

���

���

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

��(��������� =λ �

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

��B��*���

( ) ( ) ( )( )

( )��

��

===+−======

=+−+−+−+

+−

++−−

������

����������

�����

���

�����

�E���

�E5E�EE��

���4�

%%

�%%� λλλ�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

�)����������)� �������������3������������;�

��+� �)���� � �B����� ���,��� ��� ������ �6�6463� �� �� �B��*��� ���

(����������������%656!6/6@��������������������������������B��*��;�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

=====

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

��

���4�

���4�

���4�

���4�

%�@3

�%�

@

/

!

5

%

%�@3/4

3/4!�

4!�5�

�5�%�

���

���

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

�'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���

)��(�)�����;��

��������

−−

−−

=

%%����

����%%

��4%���

�%�4%��

��%�4%�

���%�4%

λλ

λλ

% �

����������������������:����������� �;�

[ ] 3%4%�!4/%�%/5%4��� �5� +−+−= λλλλ% �

�+���,:��������������������������;�

/�/$5

5

�@5$�

5

%

====

λλλλ

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%5��

+�������)����)�,��)�����;�

���5���%

3�3$%�%�%/�$@3

��!

��!

��!

��! ==== �

�+��� �������<��)����������� �������������� ��%����G5H��;�

��!��

π= �

��������������)��������������������%3$@Q$��

����� ���� �� .� ��)����������� ���� ����������� �� ��� ���������)������������������%4������ ����

����� )� �� �� ��� � � �������� �� ��������� ����� �6� ��� ��-���

�������� ��� ����� R����� ��� ����� ��� 1��� %4� ����� ��2$� +�� �B��*��� ������,��� �� ��� (������� ���� �� ������ B��� (���� ��������� �� �������������� �$�

��+� �)��� � �B����� ��� ���,��� ��� �����;�

�656�646/636%�6%%6%�6%�6%!6%4� �� �� �B��*��� ��� (������� ��� ������%6!6@6%56%/����M�-�������������������;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

��������������

��������������

=+−=+−

==

===

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

=+−+−+−+=+−+−+−+

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

��

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

%3%/%4

�%�

%/

%5

@

!

%

%3%/%4%!%�

%/%4%!%�%5

%4%!%�%5%�

%�%5%�%%%�

%5%�%%%�@

%�%%%�@3

%�@3/4

@3/4!

3/4!�

4!�5�

!�5�%

�5�%�

���

���

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

λλλλλλ

λλλλλλλλλλλλλλλλλλ

��

�������������������

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%!��

'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���)��(�)�����;�

��

[ ]

��������������������

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−

=

%%������������

������������%%

%�4�%����������

���4�����������

�%��4%���������

���%�4�%�������

������4��������

����%��4%������

������%�4�%����

���������4�����

�������%��4%���

���������%�4�%�

������������4��

����������%��4%

λλλλλ

λλλλ

λλλλλ

λλλλλ

λλλλ

λλλλλ

%

����������������������:����������� �;��

[ ]

%���%��3@3/@��

��3/35�5545!5�!%!3��454!5!��!!%@@@�5�4�@33�3@4

/%��%%!3�35!55%��@/�/45�%�@55�%%/�@4%��!4���

+−−+−+−+

+−+−+−=

λλλλλλ

λλλλλλ%

�+���,:�������������������������������;�

�5$@�445$/��45$!5535$�%���$3/3@�$4��4

�$5!!�%$!/%3%$%%�/$/55/�$!3!3�

%�%%%�@3/

4!�5�%

============

λλλλλλλλλλλλ

�+�)���)�,��)������)�����������;�

%4

��!

λ= �

��������)����)�,��)�����;�

�%��%%�%��@

�3�/�4�!

���5���%

4�$3�4/!@$@%�5!4$!��/!�$4�/�

�4$�45%��$5%555/$43�35�

�!$%�@5%/$//�5%%$/5@�@$5/�!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

====

====

====

.����������������)���)�,��)�)������ �������<��)��������������������!$�54�Q$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%4��

����� ��5���.� ��)��������������� ������ ���������)��������)����������������6������������3������ ����

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

.����*���(������;�

�PP�

�P�

��

�5

��

��

=�==�==�==�==�==�==�=

���

��

���

���

���

���

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

��(��������� =λ �

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

��B��*���

( ) ( ) ( )( )

( )( )�

��

==+−==+−

=======+−+−+−+

+−

+−

++−−

�����

���

����������

�����

���

��

�����

���

��

�E5E�EE��

���4�

%%

%%

�%%� λλλ

�)��������� � )� �� �������� ��� 3� ������

�����;

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%/��

+� �)��� � �B����� ���,��� ��� ������ �6�6463� �� �� �B��*��� ���(����������������%656!6/6@��������������������������������B��*��;�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

=====

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

���4�

���4�

���4�

���4�

%�@3

��

@

/

!

5

%

%�@3/4

3/4!�

4!�5�

�5�%�

���

��

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

�'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���

)��(�)�����;��

��������

−−

−−

=

%%����

����%%

��4%���

�%�4%��

��%�4%�

���%�4%

λλ

λλ

% �

����������������������:����������� �;�

[ ] %%!�%45��3�35%@��%4��� −+−+−= λλλλ% �

�+���,:��������������������������;�

5$@�5@5$53�/�$4%/5�$�/4% �5�% ==== λλλλ �

�+�������)����)�,��)�����;�

���5���%

%!$4@!!%5$!5�/�%�$�4@53$5��!

��!

��!

��!

��! ==== �

+��� �������<��)����������� �������������� ��%����G5H��;�

���

%�$4��!

@4�$�

��

��!�� == π

+�������������������)���������������������%$3%Q$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%3��

Formulação Matricial

����� ��%���.� ����-�)�����)��������������� ����������������������3������ ���������

��

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

�.����*���(������;�

��

��

��

��

=′�==�==�==′�=

=�=

���

���

���

��

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

����B����

��� =λ �

+���B��*��������(������(����������������� ������;�

( ) ( ) ( )( )

( )��

��

===+−====

=+−+−+−+

+−

++−−

�����

������

�����

��

�����

�E��

�EE��

���4�

%%

�%%� λλλ�

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%@��

��

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

===

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

%�3

��

@

!

%

%�@3/4

@3/4!

3/4!�

4!�5�

!�5�%

�5�%�

��

��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλλλλλλλ

�+�������� ��� ������� ��� (���� � ������ ��� ���������� �B����� )����

��������(���;�[ ] [ ][ ]{ } { }�=+ �#$ λ �

�+������:���G+H���GFH���������������;��

[ ]

���������������

−−

−−−−

−−−−

−−−−

=

%�%��������

��������%�%

�%���������

�����%�����

���������%�

%�4�%������

�%�4�%�����

��%�4�%����

����%�4�%��

�����%�4�%�

������%�4�%

$ �

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

[ ]

���������������

−−

−−

−−

=

�����������

�����������

�����������

�����������

�����������

�%�%�������

��%�%������

���%�%�����

�����%�%���

������%�%��

�������%�%�

# �

�. )� ��-��� ��� � �������<������ ������ �������������� ��� ��� ��������

�������)���������)��������<������1�����)�������-������������S 0������ �2$����B���������������� ��������� ������������������;�

5

44�4$�

%%�/$%

5

%

====

λλλλ

+�)���)����)���������;��

%4

��!��

λ= �

+������������������)�������;��

���5���%

�35%$��5�//$%/

��!

��!

��!

��! ==== �

����)������<�����)���������������������)���)����)��;�

�������

�������

�������

�������

−−−

=

%

%

53@$�

%�!$�

%�!$�

53@$�

%

%

%� �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��%��

�0�������������B���#��)�����(�������)� �$�

��������������������(��M)����� ����#(�)�������)��6���������������

)�������)�������)� ����-�)�����)���)����������� 6�������)���)����)����)������B�������B���������������6���B����������(�)$

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

Formulação Variacional��

Método de Rayleigh-Ritz ����������������)# )� �����������)�����������������J����������

(��������,�� �����)� ����(����$��� �

Formulação Matricial �

����� ��%�-�.� ��)�������)���������������������� ���

�.������������(���������������������� �<�������3L�����)���

/�)����*���(�������1����A������2;��

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��5��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

'��)����*���������������� �;��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� ����������������������B��*��;��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

⋅=∨⋅=�=

���

⋅⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

+=

��

��5�

5����

%%

4��3$������$%�����

��!��!

�@/3//!��

5//5

!@/��/��

/5!/5!

4%!�53�35//

5//5

@3/��4@/4/5!/5!

4%!�53�35//

5//5

@3/��4@/4 T

��%��%

!4%!�!55%5@�

��!��!

5��%�4@�%54��

�.9�����������J�)�) �����B����)���)�,��)����#;��

���

!�� ⋅=�

����$%��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��!��

.��� �������($�G5H6�����(�)����B������ ����� ,��)������)������B���������������;��

���

���*��������� ⋅=�

4��!%$%��

��������������������

Q@@$%�4��!%$%�

4��!%$%�����$%�

��

=⋅

⋅−⋅=

���

���

���ε �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��4��

����� ���;�.� ����� ������)�������)��������������� ���������

�.������������(���������������������� �<�������4L�����)���!�)����*���(�������1����A������2;��

����������

&�����������

&������������

�4%���5�PP

�5�!4P�5�

�5�!

�5�!4

++++=

+++++=

++++++=

( )( )

���

���

���

���

==

−−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→=

=�=→=

���

�@�

!%/

�E�8P� �

�E(���8P���

�E�8�� �

E�

E���

;

5�

&

�����

������

�����

���

��

&����������'��

0��� ������������)����*������������B��6��

( ) ( )

5�5�

55���

�5�!5�

�5���

��5!5�

��554��

�5�!5���554��

34����321PP

3��!��21P

�!321

���%45����21PP

��%�344321P

��54%/21

�!3��54%/

�������

��������

��������

�������&

�������&

��������&

�����������������

−−+=

−−+=

−−+=

−++−=

−++−=

−++−=

−−++−++−=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��/��

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

2

0

222

1221

2

012

2

0

211

2

0

222

1221

2

0

212

2

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� �������������������������6��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

⋅=∨⋅=�=

��

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=

+=

��

��5�

5����/

!$�@!$������

3%5$��34$%33/4$�/%�$%�@

3/4$� %�@$/%� T�@$�/344@$�!/

������-������)���)����)���6��

���

!�� ⋅=�

!$���

�"� �)������������������ ����)�������������� �# �������������������(������(����6���������������������������,���(������6���������#�������� ����)���#�� $�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��3��

Formulação Algébrica

����� ��%;�.� ��)�������������� ���������������� ���

.������������(���������������������� �<�������/L�����)���/�)����*���(�������1%���A�����2;�

&�����������

&������������

� �&������������

�4%���5���PP

�5�!4/P�5�!

�5�!4

�5�!4/

+++++=

++++++=

+++++++=

��

��������

��������

�������

�������

=

−=

=

=

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

��!

%%!�

�!

/3�!

3!��!

%3�/

%�

�EP�8P� �

�E(���P8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

4

5

��

&

���

���

���

���

���

���

&����������'��

��������

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��@��

'��)����*����������������B����

���������������

�����������������

������������������

��55��!

4��55��!4

45��5!�4/

!

�/��

!

%���3

!

/5�3�����PP

�!

%%!�

!

�5!�

!

5�%4

!

%3�/3�/P

�!

%%!�

!

/3�

!

3!�

�!

%3�/%�

+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

����������

�����������

��55��!

4��55��!4

!

�/��

!

%���3

!

/5�3�����

PP�!

%%!�

!

�5!�

!

5�%4

!

%3�/3�/

P

+−+−=∂

−+−+−=∂∂

�. )� �������������*����������������(�������1=2�����������

����)� �������J�)�������(���������������6��

!�����

��!

�������

����

%5�

%%�

3@5/!

%@�!%5%!�PP

%5/!

5%���!%�PPPP

−=∂∂∗−=

∂∂

=∂

∂∗=∂∂

��

�.9������J�)�) �����B��6�

���

!���

��

/�%!$%�� =�=

∂∂+

∂∂

�'���(?�G5H�����������B������ ����� ,��)���������)�����6�

���

���*��������� ⋅=�

�π�

���B������)���:������������6��

Q4$3

/�%!$%�

=⋅

⋅−⋅=

���

���

���

π

π

ε �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

����� ���;�.� ���)�������������������-� �����

� .������������(���������������������� �<�������!L�����)���!�)����*���(�������1%���A�����2;��

��������

����������

&�����������

�4%���PP

�5�!P�5

�5�

�5�!

+++=

++++=

+++++=

���

���

���

���

==

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→=

=�=→=

5@4$�

344$%

!5�$�

�EP�8P �

�E����8P���

�E�8��$/! �

E�5/!$�

E���

;

5

&

���

���

���

���

&��

&����������'��

'�������� ��B��6�

5��5

5��5�

5��5

5��5�

�55��!

/@�$�%@4$%%��5$5���PP

/@�$�!@3$!%5�$%�!P

/@�$�%@4$%%��5$5���PP

/@�$�!@3$!%5�$%�!P

5@4$�344$%!55�$�

�������

��������

�����������

������������

������������

−+−=∂

−+−=∂∂

−+−=

−+−=

−+−=

�����

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5%��

. )� ���������*�����������6�

!�����

��!

�������

����

��

@

/

�%3@$�P

P

5/5!$�PP

PP

−=∂∂∗−=

∂∂

=∂∂∗=

∂∂

��

������� ������������������B�� ,����6������-���B��6��

���

!���

��

/@/$%@� =�=

∂∂+

∂∂

������������)�9��6���������)��6���� �����<��)������������)���)�,��)6���� ���������������#�������������B����)���)�,��)�������)� ���)����- �����)������)������������� ���$�!U $������� ������������;�

���

!�%

�/3$5@=

"� ��B��������������������������(����$� 0�)�����������J�(���� ��������)� �

��)������������(���������������������� �<�������!L���������)����*���(�������1����A������2�

��������

����������

&�����������

�4%���PP

�5�!P�5

�5�

�5�!

+++=

++++=

+++++=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

��

��

��

��

==

+=

−−=

=�=→==→=

=→==�=→=

�3%$�5%4$�

%�!$%@3�$�

�E����8P���

�E�8��$/! �

E�5/!$�

E���

;

�5

&

�����

�����

���

&��

&����������'��

������������������B�����������(����6����(�����������A������������6�

( ) ( )

�����

������

������

�����&

������&

������&

�������������

/!�$4%�!45$�21PP

5/!$5�!45$�21P

%�!$%�3%$�21

455$���@�4$!21PP

455$�!@!5$�21P

5%4$�@3�$�21

%�!$%�3%$�5%4$�@3�$�

��

�5�

5���

55�

5���

�5!5�

5����5!5�

−+=

−+=

−+=

++−=

++−=

++−=

−++++−=

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

0

222

1221

012

0

211

0

222

1221

0

212

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�55��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� ���������������B����6��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

��

��5�

5����!

/4�3$%@!!$��!����

%��$�!�/$��!3$��/5$%�

�!3$� %�$�/5 T!!/$�!%�$��

=∨=�=

��

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=

+=

�.�) ��-��6�����6�B����)���)�,��)���������6��

���

!���

/4�3$%@= �

�0� �������B����)���)����)������ �(���� ���� �����)������6��

���

!�� ������ � �

/@/�$%@= �

�"���-���)�����6�B��������������������#����� �����������<��������������6���B���������(���������)��������������� ���$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

Colunas não-elásticas ���� )��� ��� )� ��� ��-� #���)�6� �������� ����� �������� ��� # ����

������ ���� ��;� �� ������� ��� �<�� �� 0���:���� �� �� ������� ��� �<�� �������$�

�����# ������������������������ �)��B������� �����������*�����

���)V)�����)�������M��)��������������(������$��7������� �:�����# ���������)������)��� ����� ��,���+W4�45-

�4�1���������������� �(�������������������������� 6��� ��B���9�������)��������������(� ������������������������������(������ �������X��,��Y26���������� ��B��;�

Método do Módulo Reduzido

Método do Módulo Tangente

1 1

1 1

i it

i i

Eσ σε ε

+ −

+ −

−=− ( )

2t

tt

Elr

πλσ⋅= =

( )2

4 tr

t

E EE

E E

⋅=+

( )2

rr

r

Elr

πλσ⋅= =

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5!��

����������������������)���������)������������ ����B������;�

�� ��� � �������� �)����-��� ��� � ����� �������� )��� ��� �����

�������;�

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 0 0 - - - -

7,778755321 3,44731E-05 124954,9757 90797,6563 398,1728047 339,4158635 10,76897593 8,61829E-05 81584,703 74867,83684 273,4431435 261,9451202 13,4037171 0,000103419 96648,18332 81052,04244 266,7682217 244,2976154

15,76661966 0,000137893 149218,3401 97744,05071 305,6269725 247,3578763 18,54773287 0,000137893 53378,82714 60418,13004 168,5345594 179,303223 22,20709436 0,000258548 56498,34751 62258,89878 158,4608118 166,3430733 25,36459636 0,000258548 424604,2166 140115,2093 406,4695777 233,4955106 29,52581466 0,000275785 84920,9672 76311,31091 168,4831191 159,7141466 32,68332224 0,000344731 45560,72694 55450,32413 117,2957016 129,4013536 36,5936074 0,000430914 77035,3963 72823,36481 144,1426231 140,1466211

40,65027286 0,000448151 72250,16535 70569,89732 132,4456085 130,8964544 47,80170836 0,000586043 82646,22103 75332,06148 130,6290186 124,7148273 52,04657185 0,000586043 158114,404 100041,454 173,1567899 137,734839 55,97776466 0,000637753 90986,60878 78824,58617 126,6574779 117,8889084 59,8880571 0,000672226 58404,87994 63348,56463 98,10797879 102,1758243

63,02465218 0,000758409 53378,83035 60418,13197 91,42798966 97,26985997 66,32852792 0,000792882 95839,24328 80740,35183 119,4184366 109,6086963 71,2843561 0,000844592 83303,39837 75617,12236 107,3950134 102,3205416 74,9437154 0,000896301 60354,47408 64436,71063 89,15321266 92,11894255

79,60678541 0,000982484 70189,70967 69564,48136 93,28494336 92,86853721 83,41252501 0,001016957 93412,8574 79792,47967 105,1326393 97,1662002

Curva de tracção

0

50

100

150

200

250

0 0,02 0,04 0,06 0,08εεεε

σσ σσ [M

Pa]

Al 6063-T6

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�54��

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 87,65737636 0,001068667 61870,97646 65265,65075 83,46398645 85,72312113 91,94406244 0,00115485 71749,61871 70327,66644 87,76024502 86,8862657 96,31438401 0,001189323 82090,13409 75089,45864 91,71698706 87,71902254 100,4337749 0,001258269 49254,12725 57864,68332 69,57148823 75,40788671 104,8041061 0,001361689 47070,43416 56452,7223 66,57862559 72,91269793 108,5470985 0,001430635 151239,9089 98276,70536 117,266501 94,52921633 112,6246764 0,001413398 88560,25459 77835,7264 88,09525616 82,58907194 116,179478 0,001516818 35834,77583 48399,23183 55,17438591 64,12160679

120,6543646 0,001637474 51491,79331 59267,60693 64,90039842 69,62850175 124,1673485 0,001671947 73800,26925 71312,04506 76,59054191 75,28832147 128,2867442 0,001740893 57776,50896 62992,27539 66,67064083 69,61496822 132,1343015 0,001809839 57884,82062 63053,88629 65,75434137 68,62747428 135,2708893 0,001861549 60484,43271 64508,33687 66,43080359 68,60497695 139,4321052 0,001930495 46639,07969 56168,56193 57,4570688 63,05436159 142,5059724 0,002016678 36063,87628 48578,67455 49,97692624 58,00376312 146,2698918 0,002120097 60137,84592 64317,06786 63,70101269 65,87725904 149,7619583 0,002137334 82009,01612 75053,96201 73,51566978 70,32924077 153,3376749 0,00220628 45426,01556 55359,79743 54,07266301 59,69290052 156,8088507 0,002292463 50086,12643 58391,35718 56,14658024 60,62320206 159,3808565 0,002326936 54187,54314 60902,48549 57,92706502 61,41144311 162,4128939 0,002395882 49392,79066 57952,88333 54,78622824 59,34404489 165,3403881 0,002447592 35316,31818 47990,47368 45,91431472 53,52268779 167,891479 0,002551011 35990,24535 48521,08159 45,99683495 53,40731955

170,9235261 0,002602721 58474,07189 63387,62822 58,10728976 60,49941871 172,93095 0,002637194 27902,60894 41692,30751 39,90579023 48,77996398

175,2520299 0,00275785 21735,73669 35658,76056 34,98690504 44,81273661 177,4267393 0,002844033 30328,81152 43853,8304 41,07409782 49,39057741 179,4341486 0,002895743 29635,60516 43247,02581 40,37422728 48,77254816 181,0024558 0,002964689 16862,86366 30197,6457 30,32307941 40,57833112 182,3407279 0,003068108 15447,50585 28465,22703 28,91593333 39,25232234 184,9963838 0,003223237 13951,30134 26548,55457 27,28196283 37,63472038 188,1120688 0,003481786 11676,61269 23442,18692 24,75141206 35,07039078 189,8267369 0,003636915 6765,693293 15691,87396 18,75544335 28,56331354 191,1441183 0,003929937 5632,499061 13627,03739 17,05375295 26,52589994 192,5451133 0,004119539 5481,65481 13341,93528 16,76252599 26,1512852 193,6952091 0,004395324 4397,70848 11212,27445 14,96937443 23,90216791 194,9707582 0,004671109 3529,180351 9388,147738 13,36601852 21,79992955 195,7026306 0,00496413 3198,33276 8660,850488 12,700282 20,89930345 196,7899913 0,005239915 2603,842595 7301,690535 11,42761849 19,13639296 197,5427641 0,00567083 1846,876649 5455,579782 9,60590428 16,50972218 198,9228563 0,006394765 1914,085253 5625,539001 9,745141917 16,70665866 200,5120663 0,00722212 1723,976183 5141,369866 9,211815845 15,90812667 201,7458219 0,008032239 1017,492784 3235,995874 7,055263962 12,58205495 202,6867878 0,009359454 837,6420111 2718,306947 6,386550904 11,5049941 203,5650186 0,010204046 1130,206266 3552,831992 7,402478479 13,12458662 204,9660501 0,011376132 806,0578785 2625,724753 6,230057004 11,24432801 205,6351752 0,012772294 599,2631109 2005,651832 5,363026491 9,811353924

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5/��

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 206,6807036 0,014237402 821,0949186 2669,868183 6,261762469 11,29132263 207,956243 0,01559909 870,3091611 2813,518505 6,426887071 11,55550099

208,7508602 0,016616047 788,1206145 2572,909301 6,104246734 11,02930062 209,8173181 0,017960499 565,5953764 1902,204659 5,158009435 9,459274477 210,1936996 0,019167057 458,6314505 1568,278943 4,64057656 8,581272262 211,7620044 0,022200693 582,8826483 1955,41567 5,212144131 9,546526858 212,7657054 0,023579619 490,8970435 1669,890525 4,771932228 8,801223691 213,5812011 0,025906555 578,870373 1943,08358 5,17200602 9,475761064 214,7313188 0,026975221 413,7917603 1425,711854 4,361070387 8,095022446 215,4213468 0,030353588 335,9501879 1174,158567 3,923222584 7,334472423 216,6132725 0,032577104 462,0135298 1578,96733 4,588119152 8,481914943 218,662502 0,03736887 353,9318542 1232,752312 3,996893182 7,459343883

219,7916683 0,041557352 215,8367589 774,2805701 3,113199596 5,896488292 220,4817205 0,045797548 182,7264028 661,087591 2,859988128 5,439927112 221,819995 0,0526577 183,117118 662,4318496 2,854394523 5,4290036

222,6564177 0,057673539 104,0957614 385,8179339 2,148071766 4,135456619 223,51377 0,068929016 3860,633882 10098,08552 13,05650802 21,11627226

�� ��#(�)�� �������� �������� ���� ��� ����� ���� )�)���� �� ��� ������������ ����� �������6� ��� ��:� B��� ��� � ����� �� ��� � ��� ��� ������(� �����;�

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500

l/r

σσ σσ [M

Pa]

Módulo Tangente Módulo Reduzido

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�53��

7���(�)-��6� ����6� B��� �� ������� ��� �<�� �� ������ �� �� ����)���������6� �,� B��� ����� ��C� �� ���� ��� �:��� ���� )�(����� ��� �����)��(�)��������������$�

Vigas – Coluna

Soluções Analíticas

7�����.� ���)������� �����)������)�������� ��

��

+��B�������(���)� �����B�� ,������;�

��

=+ ���

���

������� )�����B������������������� ���������������� �����������

�(����6���������;�

( )4

5+��!� −−−= δ �

+�������B�������(���)� ��������������(���;�

δ�5

4

��

+��

��

�� +=+ �

+� �� ����� ����� �B����� �� )������,�� �� � ���� ��� ��� �� �����9������� �� ���� ��� �� ����� ����)� �6� � ������� �� ) )� ��� � �� ���������)� ����������B�������(���)� ;�

%%

%%�

%

%�

%5

%

�4

�5

#�$�

"�#�$�

��"�#�$�

+=′′++=′

+++=

δ�5

�%

�%

��%

5�%%%

4�4

��

+� �� "� #� $#�$ +=+++++ �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5@��

���

���

=⇔=

−=⇔=+

=⇔=

=⇔=

δδ %�

%�

�%%%�

%�

%�

%�

%

�4

��

44

� �

!

+"$"

#�#

!

+$

��

+ $

��

+��� ���������)� ������������ �;�

δ+−= �!

+�

!

+� � �

5

4�

������ ���������)� ��������(�)�6�������������8����B�������(���)� ;��

�!

+� � =′′ �

δδ �5��

5

44 �

��

+ �

!

+�

��

!

!

+�

!

+ +=+−+ �

�+��� �������� ����B�������(���)� ��������������(���;�

( ) ( ) δ+−++= �!

+�

!

+ �# �$�

5

4)���� �

�����B���������������;�

( ) ( )

( ) ( ) �!

+ �# �$ �

!

+�

!

+ �# �$ �

+−−=′′

−+−=′

)����

���)��

��

( ) ( ) �

+ �#! �$!

��

�����

��

)���� −+=−= �

��� )# )� �� ��� )������� +� �� F� �� �� � ��� �� ��(������� �� �� ����

) )� ��������������������)����*���(������;�

��

=�==′�=

=�=

��

���

���

�"��+���F�) )� -��������������������������)����*��;�

( ) ( )

( ) ( )���

���

−+−=

+−++=

5

���)���

4)�����

!

+�

!

+ �# �$

�!

+�

!

+ �# �$ δ

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )���

���

−−−+−=

−+−+−=

!

+ �� � �� �! #

!

+� �� �� �! $

5

����5

5

����5

���5)��44%)��

��45%)���!$���

δ

δ

�=�����)������������������ ��������,�� �) )� ����� �������;�

( ) ( )!#

+ #! $!

×=

⇔×−×+×=

��)������� �

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) �!

�� � � � �� +

)��4

)��4)����4��55

55�� −++−−=δ �

�.������������)�������)� �����B��������������������)����*��;�

��

��

=

=

���!

!

!+�

���)���������)� ���)������� ������)���)�,��)���������;�

��

��!��

π= �

+����������;�

3�

��!

π= �E�5

3�

��+

π= �E��

�π= �

�+���� ��*������+6�F����������)�������)� �����;�

�4�@/5$� �$ ×= ��%�@/%/4$% ��# ×−−= �

��/@4!$� �×=δ ��

+� ���� �(�)���� ������ �B��*��� ����� ���� �� �:�� ()� ����� ������ ����������)������$�"������ �:��������(�������)���"������������� �������� ( �)������ ����� ��� �:�� ��� ���(� � )��� �� ��������������������;�

��)���;�N"��%�����N�I5�3�)���

����� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%��$��+�������)�������;�

"I3�@$//�T�E�BI3�@$//�T�$�

��TI%$%%�/$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��%��

�+�����������������������B�������������������( �)��������

��(�������������)� �;�( ) ����� ×−×= !333$4%%$%��!5!$! �

( ) �/@/$�3%%$�%%$%��4�@/$�%44/$� 5 +−+= ���� �

�'�����:������(�������)����� �������������������B��*��������

�������( �)��������(����;�5�%�5!� �� π−= �

��%%$��!%�$��%��3$� ! +−= ��� �

���� ������ ��������� ������ ������������ ��(�)����� ��� �������

�����������( �)�����������(����������������)���$��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

Soluções Numéricas�

Resolução pelo Método das Diferenças Finitas (MDF)

Resolução Algébrica

����� �;�7���)� ���������������� ������

�+��B�������(���)� �����B�� ,��������#�������;�

��

��

��

�� −=+ �

���)������������B�������(���)� ��� ����(������(���������������

B����IT�9�6������;�

( ) �%% � �

��

���� ���� −=+−+ +− λ �

�' ������-�������������)� �����@������ ���������)����)����������

(������������;��

���

.��������� ���� �� (����� ���������� ) )� -��� �� ������ ��������������������)�������������J����(������(����;�

+����)�*������������)� ������������ ����������������;�

���

���

+=

−=⇔

��

��

×+×−�

���

� +×+×⇔=

+=+

� )+�

,

)+�

,

�)�,��+�

�+�

)+�,,

��

5

%

5�5

�5

%

�� �

/

%

/

��

%

�/%

�������������������� ��)� ����(��������������������������)���

�I���������%;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��5��

( ) ( )( )( )( )

��% %

6 �� � � 5

� + � � +�+� + � �� ) +� � � � � �

+ � � +�

� �− ++ −� �� �= − + − ⋅ − ≤ ≤� �� � � � � �− +� � � �

( ) ( )��

�% % % %6 �

� � � 5 � 5

+ � �+�� ) +� � � � � � � � �

−� � � �= − + − − − ⋅ − ≤ ≤� � � �� �

( )� � �

�% % % ! 5� 6 � 5

� � � 5 � 5 � �

+� +� +�� ) +� � � � � � ) � � � � �

� �� � � � � �= − + − − − − + + ⋅ − ≤ ≤� � � � � � � �� � � �

�"�� ���� �(�)���� ������ ����� �� ��-��� ��(���� ��� ��)���� �� ���

����� ������ �:�-��-#����� ����������)��������)����� �)��;���)����;�N"��%�����N�I5�3�)�

������� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%����.����� �)��;�

"I% 5�")��E� % �+ - � ) .-= = �

�"�������)��6�������:�����(����������������)���)�,��)������

����G5H;�

( )-!

��!�� %34�!/

5%455$% �

=�××

= π�

�+����������������������������������������( �)�����;�

����� ���������������( �)�������)����������)��������������

��(������(��������;�

% � 5

� ! 4

/ 3 @

%�

� -�$�%4 -�$!�4�

-�$3555 -%$%/�3 -%$!�@�

-�$� -%$5555 -�$444/

� � �

� � �

� � �

= = == = == = ==

�G�$�H�1)���������/I-�2�

�������

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

+��)����*���(�������)������������������� �����;�

� �

� �

� �

� �

5 �

5 �

� �

� � �

� �

� � �

� � � �

= � == � =

′′= � =′′= � =′′′= � + =

+���B��*��������(������(����������������� ��������;�

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

�� % % �

% %

� % % �

� 4 � �

� �E �

� �E 5

� � �

�� � � � �

� �

� � � �

�� � � � � �

��

� � � �

� � � � �

� � � �

λ λ λ

λ λ

− − + +

− +

− − + +

� + − + − + − + = −��� = = =��− + = = =�

− + − + − + =��

�+� �)��� �� �B��*��� ��� ��(������ (����� �� ������ B��� ��� ��(����

��#�������������������������������B��*��;��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��!��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

��� % � 5 �

�5% � 5 � !

��� 5 � ! 4

�!5 � ! 4 /

�4� ! 4 / 3

�34 / 3 @ %�

/

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

� �

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

�@3 @ %� %%

�%�3 @ %� %% %�

%

/

� % �

@ %� %%

3 @ %% %�

4 � �

� 4 � �

� �

� �

� � �

�� � � �

��

�� � � � � �

��

� � �

� � �

� � � �

λ λ

λ λ λ

λ λ

������������������ + − + − + = −��� + − + − + − + = −��

=�� =�

− + =�� − + =��− + − + − + =�������

���

���

=×==

=−×

==

==

�5$�25 %1�/�%$�

�/�%$�35�3@�%�

%34�!/

5555$�5

���

����

!

��

λ

�+�<�� ���� �(�)���� ������ ������� ��� �B��*��� �� ���� �����

�����)����� �������� �� ��������� �� ��*��� ��� ��� ��� �)������ ��������������(������(����;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��4��

���������

���������

−=−=−=

−=−=

=======

−=

4-��%!$%8

4-�%!5!$%8

/-�3��%$38

/-�%��@$48

/-�!5�!$58

�8

/-�!443$/8

4-�5@5�$%8

4-�454$%8

4-��%/!$%8

/-3$%!�4�

�8

/-3$%!�4�

%�

%%

%�

@

3

/

4

!

5

%

���� �������� ��#(�)�� ���#� ���������� � (���� B��� � ���-)� �� ��#�

����6��� �����������������������������-���J�(����"����������������������)��������� ���;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��/��

Resolução Matricial

����� �;� 7��� )� �� �)����� ��� �������� �� )��� �� ���������� ������ �������������,����

��

.������� � ) )� �� �� ������ ��� �������� ( �)������ ������� ��(����� ���������� ���� ���� )� �$� "�� ����� ��(���-��� � ����� ����� ����������������������;�

��)����;�N"��%�����N�I5�3�)���

����� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%����.����� �)��;�

"I% 5�")��E�BI" ��+�)���)�,��)����������G5H;�

����535!�4�$%��

=�= !�

��!�� �

�� � "�� ) )� �� �� ��)�*��� ����-��� ���� �� ������� ������� �)������ ��� �� ������� ��� (����6� �����-��� ���� ���� �� ������� ������� �)������ )��� �� ��)����� ��� �� ��(���Z � �� ���������� �� ��)�*�������������(�����1���GT�H2;�

�������������( �)�����������;�

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )������

������

≤≤−−−+−−

+−+−−−+−=≤≤−−

+−+−−−+−=≤≤−+−−−+−=

≤≤−−−+−=

≤≤−=

�565

55!�$��5355%@$%//�!$�5!�$��53

��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

5!$�6!$�5!�$��53

��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

!$��6��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

�%6�

%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

%�65��$%5%/3%$�5

5

��

��

�����

��

�����

������

��

���

���

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��3��

'����������������( �)�����;�

�+��B�������(���)� �����B�� ,��������#�������;�

��

��

��

�� −=+ �

���)������������B�������(���)� ��� ����(������(���������������

B����IT�9�6������;�

( ) �%% � �

��

���� ���� −=+−+ +− λ �

�N�#-��� �������� � )� �� ��� %4� ����� ��� ������ �� � �)�� ��������� ���

��(������(����������������;�

�+��)����*���(����������;�

�PP�

�P�

��

�5

��

�%

��

=�==�==�==�==�==�==�=

��

��

��

��

��

��

��

�+���B��*�����������������;�

( ) ( ) ( )( )

( )( )�

��

���

==+−==+−

======

−=+−+−+−+

+−

+−

++−−

���

��

�E5E�E%E��

��4�

%%

%%

��%%�

����

���

������

���

������

���

��

������ λλλ

�+� �)���������B��*��������(������(�������������B��������(����

��#�������������������������������B��*��;��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��@��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

����������������������

����������������������

=+−=+−

==

===

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

��

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

%3%/%4

��

%/

%5

@

!

%

�%4%3%/%4%!%�

�%!%/%4%!%�%5

�%�%4%!%�%5%�

�%�%�%5%�%%%�

�%%%5%�%%%�@

�%�%�%%%�@3

�3%�@3/4

�/@3/4!

�43/4!�

��4!�5�

�5!�5�%

���5�%�

���

��

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

����������� ��� ������ ��� ��(������ (����� ������ ���� ) )� ���� �����������B��*��������������#����������������( �)�����6�������������������� ����;�

//54�$4-���5�$!-/�/��$%

4%�4�-5�4�4��%�/�

-��455$/%�@�!5$!3/%�5$/

-!�/�/-�%3@%%�@�!

%4%!%�

%�%%%�

3/4

�5�

======

======

���

���

���

���

��G�$�H�

������������ ��������)# )� ���������������;�

�����

�����

=×==

=−×

==

==

−=

=

��%�!$��!$�!�$5

!�$535�3@�%�

��535!�

�!$��

35�3

@�%�

���

����

!

��

���

!���

λ

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!%��

"�� ���� ���� ����� ������� ����-��� ���� �������������)� � ��� >���-[����)���������������B��������:�G+H��;��

����������������

−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−

−−−−

%�%����������������

����������������%�%

�%�����������������

�����%�������������

���������%���������

�������������%�����

�����������������%�

%/3$5!4$!/3$5%��������������

�%/3$5!4$!/3$5%�������������

��%/3$5!4$!/3$5%������������

����%/3$5!4$!/3$5%����������

�����%/3$5!4$!/3$5%���������

������%/3$5!4$!/3$5%��������

��������%/3$5!4$!/3$5%������

���������%/3$5!4$!/3$5%�����

�����������%!4$!/3$5%����

������������%/3$5!4$!/3$5%��

�������������%/3$5!4$!/3$5%�

��������������%/3$5!4$!/3$5%

�������)����F�)�������������������������;�

��������������

��������������

��������������

��������������

=

�6��/�%@@-

�6��54434

�6��4!@43

�6��!!��3-

�6�5%��%

�6��%@�35-

�6��%3/�5

�6��@@5%!-

�6��/@�/�-

�6���@4!3

�6��%@345

�6���@@5%�-

\]#

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

+�<���� �)������� ��������������������������� ����;��

{ }

��������������

��������������

��������������

��������������

=

�6��@%�4�

�6��@%�4�-

�6�%%��-

�6��344%!-

�6���4@�

�6�5!@%3

�6��535

�6�%@54@-

�6��/4��-

�6�%34��-

�6�%�!45

�6�%���!

�6�����!5

�6�����!5

��� ������ �������� ���#� ���������� ��(�)����� � ��(����� ��

������)� ������������������������������(������(����$�

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!5��

Formulação Variacional

Método de Rayleigh-Ritz (Formulação Matricial)

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ���

"� �<�������3L�������/�)����*���(�������1����A������2�

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

����

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

'�������� ��B��;��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

dxxgPb

bb

dxxgxfPb

dxxfPb

dxxgIEa

aa

dxxgxfIEa

dxxfIEa

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!!��

[ ] [ ] ��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%E

��

��#

��

��$ �

�.# )� ������)��(�)��������(�������J�)�����(�����������������,�;�

��

�=

−=

−=

%

%

21

21

�"

��� +�

���&+�

�0��� ������������������)� 6�

[ ] [ ]{ } [ ] { }�=+���

���

×+ "�

�#$ �

������������ ���������A������������6��

2/353%�/4�34@%4%�%4!�5%�5�5!@41@4

2!�34/4%/��55�!�1%�5

2/353%�/5�34@%4%�%4!�5%�5�5!@414�

25�%/%/��%5@�51%�5

�����5

������

�!!������

+!����

�!!������

��!�+�

+⋅−⋅−−=

+⋅−+−

=

"���)� ��:��;��

�3

�%�5�3E�%�E%E

!���$55EE%��; ���!����

��!��!�

!+�!-!��&�� −×======

��������B��6

�5�

!4/3

%@�!��3�/$�!/�43@5��3$�4/3@��53�5$�

���5�//@�$�%�4/@4�5%@$�������53�34$�5���%�/@/�/!$�

���

�����

+−+

+−+−=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!4��

+���(����������������������)��;�

S ��6�)�����������������(������������6����� ����������(��������������� )��6� ��� ���� � )��� �� 6� ������ ������ � ��(������� �#�����)���� �� ������ ����$� �� ()��� ��� � ��(����� )��� )��� �� � ���� ���������6�B�����������#���:���B�����������)�����)�������)����� 6�����-����� ()��������������������������������������������������������������� �<������)����� ���������������)����(�����������;�

�5

5

!4

!

/

4

21

53%��@4@�$���3%5!@5/$5%�43��!4�$3

�!�%!!33�$33�533�@!/$53�3!4%4���$��/%4454%@�$�PP

��

������

��

��

��

⋅−=

+−+

+−+−=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!/��

�+���������������������������� ��������������������������(���;�

�'�� ������� ������ ��� ���� ��� � ����� ��� ������� ( �)���� �� ��

�����)��������������������������������#����;�

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 -3,60E+05 -6585,70 0,39209367 1,16E+05 2119,36 1,12358514 -53.319,3198 -975,35 1,92435651 42.842,2902 783,70 2,83002735 -1,01E+05 -1844,46 3,72993732 2,72E+05 4976,63

/�����������������������������������

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!3��

"�������)��������� ������������������)���������������)��6�������� � )��� �� � ������ �� (����� �������$� ������ B��� 9#� ������M)��6�)������ �� ��� ���� B��� ��� �������6� ������ ��� ��� ������ ��� ����:����� 9��6� ��� �� (���� ���� ���)�� � ���� ����������6� )���� ����� ���������;�

������

Método de Rayleigh-Ritz (Formulação Algébrica)

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ���

=�� �:��������������������(���������� �<�������/L�����)���/�)����*���(�������1%���A�����2;�

&�����������

&������������

� �&������������

�4%���5���PP

�5�!4/P�5�!

�5�!4

�5�!4/

+++++=

++++++=

+++++++=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!@��

��������

��������

�������

�������

==

−=

=

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��/

%/%3

��!

/

!!!/

%�%

�EP�8P� �

�E����8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!

5

��&

���

���

���

���

���

���

&����������'��

'�������� �6��

!��55��!

!��55��!4

�!5��5!�4/

�!5��5!�4/

/

%�33

/

%�5�3��4�

/

%%%��

/

5�5���21PP

/

%�33

/

!%!�3��

/

�//!

/

4�4/21P

/

/��

/

%/%3��!

/

!!!

/

%�%21

/

/��

/

%/%3��!

/

!!!

/

%�%

�����������&

������������&

������������&

�������������

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

���

� −+−+−⋅=

���&!�

���&���

−=

⋅=

�%%

�%%

21P

21PP

���-��������)���#����) )� ����� ������(1�2����������)������� �1�I�$! 2�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

/

�!5��5!�4/

@/5�53$/2!$�1

2!$�1/

/��2!$�1

/

%/%32!$�1��!2!$�1

/

!!!2!$�1

/

%�%2!$�12!$�1

��&

������������&

−=

−+−+−=

��

.# )� �����)��(�)������� �����J��)�������������6��

�� ⋅−⋅⋅−−=�

���&�+�&!���&+��

5

% 212!$�121 �

�0��� �������B������������6������-������ ��������A�������6�

�( )

2%�@�3@4$�%�/@�34!$51

2%��@!35/!$!%�/!3%�5�/@$%%�/��5/!$31�����%�34�$�

�!4�

�@@3

%%%%%

!����

+�!+��

����

×+×−×+×−×

−=

=+×+�

��

"���)� ��:���������;�

�5�!4/

�3

!@4/�4$�5//3/3$%%!�@�!/$%��!%�5�$��3%���$���!4%�$�

E%E!���$5

5E%�5�3E�%�E%��;

�������

���

��!��!�

!+���!���!-!��&��

−+−+−=

====×== −

+���(����6������)�������)� �6��������������(���;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4%��

"���������������:�����)������)������(���������)����� ;�

��+��B�������������������������)�������������������������;��

!3$�!���%�/!@4$%%�@5@!$�%�3@�3$%@!4$!%/��445$!�%321 !�!5!�! +×−×+×−+−= �������

�����������������)��;��

���

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

����� ����������������������������� �������������������������*�������������������������������������#�����;��

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 25400.58 �4�$4�!�

0,49893571 -9701.35 -177.464 1,46891907 7118.76 130.221 2.60704984 -7968.58 -145.767 3.66999331 14450.49 264.338

����B����B������������������)����� ������������������� ����;�

.������������)�����6���������������������M)������� ����������

����������� )���)��� �� � �� ����)��� �� 6� �� �� B��� ���������� ���������)������������ �<�������������������$�

�0�)�����������J�(���� ��������)� 6�

"� �<�������3L�������/�)����*���(�������1����A������2�

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�45��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

dxxgPb

bb

dxxgxfPb

dxxfPb

dxxgIEa

aa

dxxgxfIEa

dxxfIEa

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ] ��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%E

��

��#

��

��$ �

�. )� �����������)��(�)�������� ������J��)�������������6�

���

�=

� ⋅−⋅−�−=

−=

� ⋅−⋅−�−=

−=

%

5212!$�1

�21

//3�%55!$42!$�1

5212!$�1

�21

%

/@/5�53$/2!$�1

�"

���� �+� !

���� +�

��

����&�+�&!

����&+�

��&

���

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4!��

������ ���������������������6��

[ ] [ ]{ } [ ] { }�=+���

���

×+ "�

�#$ �

����M�-������� �����������A������������6��

( )

))10028486317.8

10712756911.510884331576.110099372552.210383743907.4

10101204608.210273026378.610213232369.1(10091695150.9(

10314343596.2108381276.710869161416.2

1

16

152153162214

414321551510

2210427296

PlEI

PEIqlEIqlEIlP

qPllPqPl

IElPEIPlla

⋅×+

⋅×−⋅×−⋅×+×+

×+×−×−×⋅

⋅×+×+⋅×−

=

( )

))10106561993.1

10725200646.510590680861.110806779460.210006663647.2

10416225165.110625834967.510625086591.4(10061130100.6(

10314343596.2108381276.710869161416.2

1

2216

415321751618

1721631710

2210427295

lP

PqllPPqlPlEI

PEIqlEIqlEI

IElPEIPllb

×+

×+×−×−⋅×+

⋅×−⋅×−⋅××⋅

⋅×+×+⋅×−

−=

"���)� ��:���������;�

234

5678

482

75815769.2054497771.8215547286.9

31597395.5637022717.12562643336.010160083670.0

10328;210;1;5402.3

3;;120:

xxx

xxxxy

mIGPaEmll

EIPcrPlP

qIPNPerfil

+−++−+−=

×====== −

+���(����������������������)��;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�44��

S ��6����������:6���������)������)����(��������(����������)����� �����������������(������������ 9��;�

�5

5

!4

!

/

4

21

53%��@4@�$���3%5!@5/$5%�43��!4�$3

�!�%!!33�$33�533�@!/$53�3!4%4���$��/%4454%@�$�PP

��

������

��

��

��

⋅−=

+−+

+−+−=

+���������������������������� ��������������������)� ��������

��������(���;�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4/��

'������������������ �������� ���������������( �)�����������)����

����������������������#����;�

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 -117409,2549 2147,73027�0,3925583391 37794,5844 691,364349 1,125174494 -17382,0189 -317,96376 1,926322726 13857,3901 253,488843 2,830922965 -32571,0119 -595,811193 3,730114939 87949,3941 1608,83038

��

"������6�������6�)��������� ������������������)���������������)��6���������)����� ;�

�����������������

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�43��

.��������������*�������������*�������L�)��;��

��.����������������(�)�6��������������������������� �<�������

���������� �� ��(����6� ������ �� )����*��� (������� )������6� (�����(�)�������� �����)��� ����������� ����6�B��������(����6�B����������*��$�

����������������

Tensões Máximas na Viga-Coluna

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

0 1 2 3 4

x [m]

σσ σσ [

Mpa

]

7ºGrau_7Condições 8ºGrau_7Condições

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4@��

Estabilidade Linear – Formulação MEF �

Usando as deformações de GREEN (2ª Ordem) �

�� (���� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ����� ����� �������� � ����� ������� ������ �������(����������-�����������(���������>����B���)�����������(�����������(����*�����������������$�+��������B��*�������B�� ,��������;�

[ ]{ } [ ]{ } { }%.. �� =+ δδ �

����B���G �H��������:����������:�) #���)6�G >H��������:���������)6�]K\�������)���������� �)�������������]&\�������)�������(���������$�

�=�����������������������G�H�����-�����)������������:��� G H���

��������(���;�

[ ]

��������

−−−

=

(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��

. �

�4�4

4%�4%�

�4�4

4%�4%�

��

�5�5

��

�5�5

��������:���������);�

[ ]

��������

−−−

=

5

�4�

�4

�4

4�5

�4

�4

!

��

��

((((

((

((((

((

(

!.� �

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/���

��

+�������B���������)� �� �� �������������� �)����� ��(�����������������(�����������������������������(���� ���;�

��

��

��

��

×

����

����

����

����

��������

−−−

����

−−−

−−−

=

���

���

���

���

(

(

((((

((

((((

((

(

!

(

��

(

00(

00

5

%

��

��

5

5

%

5

�4�

�4

�4

4�5

�4

�4

!

�4�4

4%�4%�

�4�4

4%�4%�

δδδδ

�.����������)� �����������(������������;�

��

.������������������� ��������������������������������;�

����

����

����

����

������

������

������

������

�������������

−−

−−−

−−−

−−

−−−

��������

−−

−−−−

−−−−

=

�����

�����

�����

�����

(

(

(

(

!

(

��

(

0

0(

0

0(

0

0

4

!

5

%

%!

%�

%

5�

%

%�

%��

%�

%

!

4

%�

%

!

4��

5�

%

%�

%

%!

��

5�

%

%�

%%�

%

!

4�

!

%�

%�

%

!

4

��5�

%

%�

%

%!

%�

%

��%�

%

!

4

%�

%

!

4

�4�4��

4%�4%���

�43��4

4%����4%�

���4�4

��4%�4%�

5

4

!

5

%

δδ

δδδδ

��

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/%��

+� �)�����)����*���(��������������������������������;�

����

����

����

����

����

����

����

����

��������

−−

−−−−

��������

−=

�����

�����

�����

�����

(

(

(

(

!

(

��

(

0

0(

0

0(

0

0

4

!

5

%

%!

%�

%

5�

%

%�

%��

�%����5�

%

%�

%

%!

��

5�

%

%�

%���%��

����%�

�����%

�4�4��

�%����

�43��4

���%��

����%�

�����%

5

4

!

5

%

δδ

δδδδ

����)� �����#����#�� �B����������������������:�G H�(���� �6����������������������;�

[ ] ( )( )( )�

@��

5%�����!������

%3

������

=−+−=(

!(��(!��!(��. �

�+����������� �������������������;�

�3$%4

(

��! = ��

����������� �������)��������������"����T����� $������;�

//$%�

(

��! = �

���B����#�������������@Q6�������������������)��� ����6����)���������������������� �������������������������������#�����������������$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/���

Conclusão �.���� ��� �V��� ����(�)�� �� ���� ��� ��� 9�6� ������ ������ �������6�

������ ���������� 1��)����� �� �� ��*��� ,��)�26� ���-��� � ����� �������:�#����6�B�������)����)�,��)����)������)� ��6�B��������������������(��������)�����������)� ��$�+���������6��������B������� ������������ �������� � # ���� ��� ����� ����� ��� ���������6� ������������� ��6�(�)�B������������)��$�

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/5��

Bibliografia �

G%H ��������������������)�� ���������� ������������� � ��"��($�0�������

�����6�����-���!�

G�H �����9�T�6� �$� "$E� >���6� [���� �$E� X�9���8� �(� � ���)� ���� ��8YE�

�)>�O ���_ � $�

G5H "����T�6�>$��$E�`#T�� ��6�+$�"$E�������6�7$�7$E�X�� ����������M)��

�������� ��YE�������� ��������)R$�

G�H ._+[��6� + �����E� X"��)�� ��� �(� ����)��� � ���� ��8� �9���8YE�

"������)�-_ 6�N)$6��� �O ����. �((�6���O �[����86�=�+$�

G!H ��+�+6� &�T� W$E� X+�� ���� &����� � ����� + 8���� (��� �������YE�

�������.� ����"�� ��9��E�& ����E�=�+$�

G4H a �6� .$� �$E� a �6� .$� `$E� 0���86[$� �$E� b�c+.�� ��W=�N���� &�0�

F=.^WN�>��&���0=.�=0+W����F�0�bE�.0.�"0���E�& ����E�=�+$�