Post on 18-Apr-2015
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Matemática I
Profª Ms. Carlos Alexandre N. Wanderley
Eng. Túlio Malta - Curso T.T.I.
Eng. Túlio Malta - Curso T.T.I.
Eng. Túlio Malta - Curso T.T.I.
O QUE SIGNIFICA FATORAR? A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração
de vários termos em um produto de diversos fatores. A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação
de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação.
Fatoração de polinômios (mais de um termo) é o nome dado a uma operação onde o objetivo é encontrar a “origem” de um ou mais monômios (um termo).
Exemplo: efetuada a fatoração do polinômio 4r + 12, encontraremos o resultado 4(r+3).
²
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios. Exemplos:
24 = 2 x 2 x 2 x 3 10 = 2 x 5 52 = 2 x 2 x 13 112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidência. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1º caso –Fator Comum
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cxAx + bx + cx = x . (a + b + c)O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos:
Vamos fatorar as expressões:
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
Exercícios:
a) 4x + 4y =
b) 7a – 7b =
c) 5x – 5 =
d) ax – ay =
e) y² + 6y =
f) 6x² - 4a =
g) 4x⁵ - 7x² =
2º caso - Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
ax + bx + ay + byx( a + b) + y ( a+ b)(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidência”Nos dois últimos fomos “y em evidência”Finalmente “ (a + b) em evidência”Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
a) 5ax + bx + 5ay + by x.( 5a + b) + y (5a + b) (x + y) (5a + b)
b) x² + 3x + ax + 3a x(x + 3) + a ( x + 3) (x + 3) . ( x + a)
Exercícios:
a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
3º caso -Trinômio quadrado perfeito O 3º caso é o mais simples e rápido de se realizar, consiste em elevar
ao quadrado a soma da raiz do primeiro e do último termo.
Exemplo 1: Raiz quadrada de dois termos elevadas ao quadrado
x²+10x+25 - notamos na equação ao lado que não há nenhuma letra ou número em comum em todos os termos, então não é o primeiro caso. Nem o segundo, pois há somente três termos, impossibilitando o agrupamento.
Então devemos extrair a raiz quadrada do primeiro e do último termo, resultando em x e 5. Agora simplesmente colocamos estes dois termos em parênteses e elevamos tudo ao quadrado. O resultado final será (x+5)². O sinal do segundo termo (+10x) sempre acompanhará o sinal do parêntese (x+5)². Se fosse (-10x) o sinal acompanharia no parêntese (x-5)².
Prova real: (x+5)²=(x+5).(x+5)=x.x+x.5+5.x+5.5=x²+5x+5x+25=x²+10x+25.
a) x² + 4x + 4 =
b) x² - 4x + 4 =
c)a²+ 2a + 1 =
d) a² - 2a + 1 =
e) x²- 8x + 16=
f)a² + 6a + 9 =
g) a² - 6a + 9 =
h)1 – 6a + 9a² =
4º caso -DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² - b² Sendo assim: a² - b²= ( a+ b ) (a –b) Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as
raízes quadradas dos dois termos.
1º exemplo x² - 49 = (x + 7) ( x – 7) 2º exemplo 9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)
Exercícios:
a) a² - 25 = b) x² - 1 = c) a² - 4 = d) 9 - x² = e) x² - a² =