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MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES
01 PERMUTAÇÃO CIRCULAR
09/06/2020
2
(Pucrs 2017) A capital dos gaúchos, oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também capital dos Pampas recebe o nome de PORTO ALEGRE. Adicionando o número de anagramas formados com as letras da palavra ALEGRE ao de anagramas formados com as letras da palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas, obtemos quantos anagramas?
a) 378 b) 396 c) 738 d) 756 e) 840
QUESTÃO 01
3
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=¿
4
ALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!
SOLUÇÃO
5
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3
6
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
7
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.
8
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.
9
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.
𝑃32=3 !2!=
3.2!2! =3
10
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.
𝑃32=3 !2!=
3.2!2! =3
11
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas
___ ___ ___
12
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas
_3_ ___ ___
13
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas
_3_ _2_ ___
14
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas
_3_ _2_ _1_
15
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas
_3_ _2_ _1_ = 3! = 6
16
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.
𝑃32=3 !2!=
3.2!2! =3
17
SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.
𝑃32=3 !2!=
3.2!2! =3
3 .3 !=3 .6=18
18
ALEGRE tem 6 letras com 2 E
𝑃62=6 !2!=
6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360
PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas. Temos 18 anagramas
Total = 360+18 = 378 anagramas
SOLUÇÃO
19
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
20
As permutações circulares são agrupamentos, em círculos, de n elementos distintos em que os grupos formados se diferenciam apenas ordem de seus elementos.
Exemplo: rodas, sentar em torno de mesa, etc.
Permutações Circulares
! 1) - n(PC n
21
Permutações CircularesImagine que temos 5 pessoas: Alex, Bruno, Caio, Daniel e Elias. Existem 5! Maneiras de organiza lós em fila.
A permutação Circular deles e coloca – lós de forma circular e só se importar pela posição relativa entre eles, sem se importar com a posição fixa
22
Permutações Circulares
Em uma fila, ABCDE, EABCD, DEABC, CDEAB,
23
Permutações Circulares
24
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?
Exemplo
25
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?
Exemplo
𝑃𝑃8=(8−1) !
! 1) - n(PC n
26
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?
Exemplo
! 1) - n(PC n
27
De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?
Exemplo
! 1) - n(PC n
28
De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo
29
De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo
𝑃𝑃𝑃=(𝑃−1)!
30
De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo
31
De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo
32
De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo
33
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
34
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
35
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
36
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
𝑃𝑃5=(5−1)!
37
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
38
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
39
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
PAI E MÃE JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
40
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
MÃE E PAI JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
41
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
MÃE E PAI JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
42
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
MÃE E PAI JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
43
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
MÃE E PAI JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
44
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Exemplo
MÃE E PAI JUNTOS
TEMOS 5 PESSOAS
No total temos 24+24= 48 disposições
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59Slide 60