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Elasticidade de Laminados Multidirecionais
O comportamento geral de um laminado multidirecional determinado pelas propriedades e sequncia de empilhamento das camadas individuais. A teoria clssica de laminao prediz o comportamento do laminado no quadro de as seguintes hipteses e restries: 1. Cada lamina do laminado quase - homognea e ortotropica. 2. O laminado fino, com seus dimenses laterais muito maiores que a espessura, e
carregado no seu plano s, i. e., o laminado e suas camadas (exceto para suas bordas) estou em estado de tenso plana (z = xz = yz = 0).
3. Todos os deslocamentos so pequenos comparados com a espessura do laminado (|u|, |v|, |w|
Relaes Deformao-Deslocamento
Fig. 7.1 mostra uma seo do laminado que perpendicular ao eixo y antes e depois de deformao. O plano x-y equidistante das superfcies superior e inferior do laminado e chamado de plano de meio ou plano de referencia. Os deslocamentos do plano de referencia u0 e v0 em direes x e y e o deslocamento fora de plano w so funes de x e y s.
As rotaes dos eixos x e y so
As componentes do deslocamento em plano do ponto B com coordenada zb so
e de modo geral
Para deslocamentos pequenos
As componentes no plano de referencia so
As curvaturas so
Podemos relacionar as deformaes em qualquer ponto do laminado s deformaes do plano de referencia e s curvaturas como segue
Relaes Deformao-Deslocamento de uma Lamina dentro de um Laminado
Consideramos uma lamina k dentro de um laminado multidirecional com plano de meio a uma distancia do plano de referencia do laminado. As relaes tenso-deformao para esta camada com referencia aos eixos do material so
kz
Depois de transformao para coordenadas do laminado
Usando eq. (7.8)
Enquanto as deformaes variam linearmente atravs da espessura, as tenses no.
Em breve
Resultantes de Fora e de Momento
Porque a tenso descontinua de uma camada a outra, mais pratico lidar com o efeito completo dessas tenses sobre o laminado.
coordenada de um ponto na seo transversal
espessura da camada
, foras normais por unidade de comprimento
fora de cisalhamento por unidade de comprimento
, momentos de flexo p
k k
x y
k
s
k k
x y
z
t
N N
N
M M
or unidade de comprimento
momento de toro por unidade de comprimentoksM
Em caso de um laminado com camadas mltiplas
Onde zk e zk-1 so coordenadas z das superfcies superior e inferior da camada k.
Relaes Carga-Deformao Generais: Rigidezes de Laminado
Substituindo eq. (7.11) em eq. (7.14) e (7.15), obtemos
As deformaes do plano de referencia e as curvaturas no dependem de z e so as mesmas para todas as camadas.
onde
Com i,j = x, y, s.
Em forma completa, as relaes carga-deformao so
Podemos combinar numa expresso geral
Em breve
As matrizes acima so simtricas
As relaes acima so expressas em termos de 3 matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D], quais so funes de geometria, propriedades de material, e sequencia de empilhamento das camadas individuais, como definido em eq. (7.20). Elas so os parmetros mdios do laminado multidirecional com a seguinte significncia: Aij so rigidezes em plano, ou mdulos de laminado em plano, relacionando cargas em plano a deformaes em plano Bij so rigidezes de acoplamento, ou mdulos de acoplamento em plano/flexo do laminado, relacionando cargas em plano com curvaturas e momentos com deformaes em plano. Assim, se Bij 0, foras em plano produzem deformaes de flexo e toro alem de deformaes em plano; momentos produzem deformao de extenso e de cisalhamento da superfcie de meio alem de deformao de flexo e de toro. Dij so rigidezes em flexo e toro relacionando momentos as curvaturas.
Inverso de Relaes Carga-Deformao: Flexibilidades de Laminado
Visto que laminados multidirecionais tem descontinuidades de tenso de uma camada a outra, prefervel trabalhar com deformaes. Podemos inverter eq. (7.23)
ou em breve
Aqui, as matrizes [a], [b] e [d] so as flexibilidades de laminado
onde
De eq. (7.24) e (7.26), consequentemente
Laminados Simtricos
Um laminado simtrico quando para cada camada de um lado ao plano de referencia (superfcie de meio) existe uma camada correspondente a uma distancia igual do plano de referencia no outro lado com espessura, orientao e propriedades idnticas. O laminado simtrico em ambos geometria e propriedade de material.
Consideramos um laminado com n camadas, onde as camadas idnticas k e k so localizadas simetricamente com respeito ao plano de referencia.
Assim
De acordo com a definio da eq. (7.20), as rigidezes de acoplamento so
Visto que
e
Para as condies de simetria referidas antes resulta
As relaes carga-deformao tornam-se
Laminados Balanceados
Um laminado balanceado se ele composto de pares de camadas com espessura e propriedades elsticas idnticas mas tendo seus orientaes dos eixos principais de material de + e com respeito aos eixos principais do laminado. Para cada par de balanceado de camadas k e k
Resulta da eq. (4.67)
Um laminado balanceado pode ser simtrico, antissimtrico ou assimtrico.
Em geral, as rigidezes de acoplamento em flexo/toro Dis no so zero a menos que o laminado antissimtrico. As relaes gerais carga-deformao para esta classe de laminados so
Laminados (Balanceados) Antissimtricos
Um laminado antissimtrico um caso especial de um laminado balanceado, com seu pares de + e localizados de maneira simtrica em relao superfcie de meio. Neste caso as rigidezes de acoplamento em flexo/toro so
Visto que
e
Em geral para este tipo de laminado
Consideraes de Projeto
Um sumario de propriedades caractersticas de vrios tipos laminados dado em Tabela 7.2
Consideramos, por exemplo, um laminado consistir de dez camadas de 0, quatro de 45 e quatro de -45 arranjadas em seguintes sequencias de empilhamento: Balanceado/assimtrico: [05/454/-454/05]
Esta sequencia no recomendada pela razo de assimetria e de distribuio grosseira de camadas. As rigidezes de acoplamento em cisalhamento Ais e de acoplamento em toro Dis so zero, mas Bij no so. Balanceado/simtrico: [05/452/-452]s
Neste caso Bij = 0 e Ais = 0, mas Dis 0. Esse um projeto adequado mas no timo. Balanceado/simtrico: [02/452/02/-452/0]s
De novo Bij = 0 e Ais = 0. Dis no zero mas pequeno, por causa de distribuio mais fina das camadas. O projeto recomendado.
Exemplo Numrico
Calcule todos os termos das matrizes [A] e [B] para um laminado [0/90] com as seguintes propriedades de lamina: E1 = 145 GPa E2 = 10,5 GPa G12 = 7,0 GPa 12 = 0,28 t = 0,25 mm (espessura da lamina)
Soluo
21 = 0,02 1 - 12 21 = 0.9943 Q11 = 145,8 GPa Q22 = 10,56 GPa Q12 = 2,96 GPa Q66 = 7,0 GPa
Lamina 0 Qxx = 145,8 GPa Qyy = 10,56 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7 Lamina 90 Qxx = 10,56 GPa Qyy = 145,8 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7
Lamina 0 Axx = 36,46 MN/m Ayy = 2,64 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m Lamina 90 Axx = 2,64 MN/m Ayy = 36,46 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m
Laminado [0/90] Axx = 39,1 MN/m Ayy = 39,1 MN/m Axy = 1,48 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 3,5 MN/m
Lamina 0 Bxx = - 4,56 KN Byy = - 0,33 KN Bxy = - 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = - 0,22 KN Lamina 90 Bxx = 0,33 KN Byy = 4,56 KN Bxy = 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0,22 KN
Laminado [0/90] Bxx = - 4,23 KN Byy = 4,23 KN Bxy = 0 Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0
Propriedades de Engenharia de Laminados
Laminados Simtricos Balanceados
Podemos derivar relaes simples para propriedades de engenharia em funo de rigidezes de laminado em caso especial de um laminado simtrico e balanceado. Consideramos um elemento deste laminado sujeito ao carregamento uniaxial Nx como na fig. 7.9
Por definio, o mdulo Young e o coeficiente de Poisson do laminado so xE xy
Onde so deformaes normais em direes x e y, respectivamente, e h a espessura do laminado. As relaes fora-deformao so
0 0 e x y
Em forma expandida
Das eq. (7.75) e (7.73) obtemos
De modo semelhante, considerando um carregamento uniaxial Ny em direo y, obtemos
Para carregamento em cisalhamento puro Ns obtemos
Os coeficientes de acoplamento em cisalhamento para este laminado balanceado so zero
Resulta
Propriedades de Engenharia de Laminados
Laminados Simtricos
Para laminados simtricos as rigidezes de acoplamento em-plano/flexo Bij e as flexibilidades bij e (com i,j = x,y,s) so zero.
Podemos definir tenses mdias
Por analogia a eq. (4.77)
onde
Equiparando os termos correspondentes das matrizes de flexibilidade em eq. (7.80) e (7.83), obtemos
A simetria da matriz de flexibilidade implica as seguintes relaes
EXEMPLO Mdulo Axial de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o mdulo Young de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10).
xE
Para este laminado simtrico e balanceado podemos aplicar eq. (7.76)
onde
onde tk a espessura da camada, h a espessura do laminado e Qxx, Qyy, Qxy so as rigidezes transformadas da lamina 45. Pelas relaes de transformao de rigidez em eq. (4.67) obtemos
Assim,
Pelas eq. (7.87) e (7.87)
e pelas eq. (7.87) e (7.88)
Para compsitos com fibras de alta rigidez
e eq. (7.92) reduz-se a
Este resultado mostra que o mdulo Young axial de um laminado [45]ns uma propriedade dominada por matriz visto que depende principalmente de mdulo de cisalhamento em plano da lamina G12.
EXEMPLO Mdulo em Cisalhamento de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o mdulo de cisalhamento de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10). Pela eq. (7.78)
xyG
onde
Pelas relaes de transformao de rigidez em eq. (4.67) obtemos
e usando eq. (7.78) e (7.95),
Para compsitos com fibras de alta rigidez
Assim, o mdulo de cisalhamento de um laminado [45]ns uma propriedade dominada por fibra visto que depende principalmente de mdulo longitudinal da lamina E1.
EXEMPLO Coeficiente de Poisson de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o coeficiente de Poisson de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10). Pela eq. (7.76)
xy
Substituindo eq. (7.89) e (7.90) em eq. (7.76) resulta
Para compsitos com fibras de alta rigidez
Procedimento Computacional para Determinao de Propriedades Elsticas de Engenharia
1. Insira as propriedades de engenharia da camada unidirecional, E1, E2, 12, e G12. 2. Calcule as rigidezes da camada Q11, Q22, Q12, e Q66 referenciadas aos eixos
principais do material, usando eq. (4.56). 3. Insira a orientao da fibra, k, de camada k. 4. Calcule as rigidezes transformadas [Q]x,y de camada k referenciadas ao sistema de
coordenadas (x, y), usando eq. (4.67). 5. Insira as coordenadas zk e zk+1 das superfcies de camada k. 6. Calcule as matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D] usando eq. (7.20). 7. Calcule a matriz de flexibilidade de laminado [a], usando eq. (7.27) ou invertendo
a matriz de rigidez de 6x6 da eq. (7.23). 8. Insira a espessura total de laminado, h. 9. Calcule as propriedades de engenharia referenciadas aos eixos x e y usando eq.
(7.84).
Comparao de Parmetros Elsticos de Laminados Unidirecional e Angle-Ply
Placas Sanduche
Construo em sanduche de particular interesse e amplamente utilizado, porque o conceito muito adequado para estruturas leves com rigidez alta em plano e em flexo. Um painel sanduche um tipo especial de laminado composto normalmente de duas faces desses finas (revestimentos ou chapas) e um ncleo leve, mais espesso, e de menor rigidez. Materiais normalmente utilizados para revestimentos so laminados compsitos e metal, enquanto que os ncleos so feitos de materiais metlicos ou no metlicos, colmeia, espumas celulares, madeira de balsa, e trelias. Propriedades tpicas de materiais de ncleo so dadas na Tabela A.9. As faces carregas quase toda carga em plano e em flexo, e no ncleo ajuda a estabilizar os revestimentos contra flambagem e define a rigidez flexo e ao cisalhamento fora do plano e comportamento compressivo.
EXEMPLO: Viga Sanduiche Simplesmente Apoiada
1. A figura a seguir representa uma viga feita de duralumnio que suportada em dois pontos. Ela submetida a uma carga transversal de F =50 daN.
Calcular a deflexo - denotada como - da viga sob a ao da fora F. .
2. Separamos a viga de duralumnio em duas partes, com a mesma espessura ep = 2,5 mm cortando de maneira imaginaria a viga no seu plano mdio. Cada
metade colada a um tubo paralelo feito de espuma de poliuretano, fazendo as faces de uma viga sanduche tendo essencialmente a mesma massa que a viga inicial (negligenciando a massa de espuma e da cola). A viga se apoia sobre o mesmo suporte e submetida mesma carga F. Calcular a deflexo causada pela F, denotada por . Comparar com o valor de encontrado na Parte 1. (Assume o mdulo de cisalhamento da espuma Gc = 20 MPa).
SOLUO
3 3
48 12
Fl bhI
EI
Eal = 75000 MPa = 16,7 mm
Denotando por W a energia elstica, devido flexo, tem
com
Usando o teorema do Castigliano temos W
F
Clculo aproximativo
EI = 7090 + 7,8 N m2 com Ec = 60 MPa
Comparando as deflexes
Observaes: A configurao sanduche nos permitiu dividir a deflexo por 14 sem aumento significativo da massa: com espessura de pelcula adesiva de 0,2 milmetros e uma densidade de 40 kg/m3 para a espuma, obtm-se a massa total do sanduche: m = 700 g (duralumnio) + 50 g de (espuma) + 48 g de (adesivo) Isto corresponde a um aumento de 14% no que diz respeito ao caso da viga inteira na questo 1. A deflexo devido ao termo de energia de cisalhamento de cerca de 6 vezes mais importante do que devido ao momento de flexo s. No caso da viga cheia na questo 1, este termo desprezvel. Em realidade k = 1,2 para uma viga homognea de seo retangular:
Com G = 29000 MPa, a contribuio deflexo da fora de cisalhamento