1ª Aula Advecção - Difusão

Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

Objectivos• Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de

resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional.

• Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre.

• O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.

Programa deste capítulo• Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio de

conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”.

• Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução.

• A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos).

• A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão.

• Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.

Processos• Taxa de acumulação:

• Fluxos:– Advectivo: (porquê o sinal “-”)?

– Difusivo:

volcdt

ulaçãoTaxadeAcum

dAnucA

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo

através das faces

ttx VolcVolc t

xxttxx

ttxx VolcVolc

xxttxx

ttxx VolcVolc

2/ xxxx cQucdA ***

xcc xxx

2/. xxxxAcQucdAdAnuc

xccdAnc xxx

Aplicando o princípio de conservação

xccAQc

tVolcVolc

xxxxxxx

A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e admitindo que não há produção nem destruição, obtém-se:

Hipótese Upwind para a concentração na face

xxxxxx

ACQCQtVolcVolc xxxxx

xxxxxxxxxxxx

ttx 2/2/2/2//

• No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):

Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme

111 2x

cccxccu

ACQCQtVolcVolc xxxxx

xxxxxxxxxxxx

ttx 2/2/2/2//

Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:

Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0

Time stepGrid point number Total

amount

xtuc 12212

Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)

Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09

10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05

Time stepGrid point number Total

amount

xtuc 12212

Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

O que aconteceu?

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125

O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.

O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Explícito, Upwind, Cr=2

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8

xtuc 12212

Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos

• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.

• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o

volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema).

• (ver Patankar, Fluid Flow)

Condição de estabilidade

Condição de estabilidade:

tti xxi

CfCeCdc

iii fde

xtuc 12212

Forma geral da Equação:

Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK

Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

xcc xxxxxxxxxxxxxx

Diferenças Centrais Explícitas

ttttti

xxxxxxxxx

xccACCAuxAcc

11 222

1D explicit central differences Courant=1

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1

10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1

Total amount

Grid point numberTime step

Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

xtuc 12212 2

Porque é instável?

• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.

• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.

• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas

Porque é que adicionando difusão o método fica estável?

Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Interpretação das diferenças centrais

• Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? – Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a

saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível.

• Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais?– Resp: Porque a difusão transporta a informação para

montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

Continuação• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é

dominante?– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a

advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) • Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind?

– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas

• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de

tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta.

• E se o método fosse upwind? – Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração

fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

Outros métodos para a advecção• Upwind: Passa numa face o que está a montante.• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos

dois lados. • E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos?

Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics):

• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras.

• Afinal qual é o melhor método?

Método implícito

ttxxxxx

xccACCAuxAcc

tti CCfCeCd

i TICfCeCdii

Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis?

• UPWIND– No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está

em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”.

– No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa.

– No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind.

– E em diferenças centrais?

Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas?

• No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção).

• Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.

Diferença entre métodos explícitos e implícitos

t1 t1+Δt

Método Explícito

Método implícito

Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois.

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson)

tti iiii

CfCeCdCfCeCd1111 2

tti xxi

CfCeCdc

Método explícito:

Método implícito:

tti CCfCeCd

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson):

Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.

Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.

Formas da equação

)( kkjjj

kjk PFxc

)( kkj

k PFxccu

Escrevendo na forma da divergência dos fluxos:

Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai.

)( kkjjj

kk PFxc

Ou na forma convencional:

Séries de Taylor

• Estão na base do método das diferenças finitas, que são da mesma família dos Volumes Finitos.

• Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira são a segunda principal família de métodos numéricos.

!3!2 3

O que representa a série de Taylor?t

!3!2 3

t1 t1+Δt

Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

Como usar para calcular as derivadas?t

!3!2 3

ttctcc

Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t

O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”.

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo

....!3!2 3

ttctcc

Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele

222/2/

!2/....

!22/2/

Subtraindo uma da outra:

222/2/

!2/....

!22/2/

ttctcc

Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t

O que representa a série de Taylor?t

!3!2 3

t1 t1+Δt

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

Derivadas espaciaist

!3!2 3

xtcxcc

Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.

Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Derivadas espaciais

Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidade positiva e downwind se fosse negativa.

!3!2 3

xtcxcc

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.

Subtraindo uma equação da outra

xtcxcc

Diferenças Centrais

!3!2 3

2ª Derivada**

iiiixi x

!3!2 in

iiiixi x

xtcxccc

iixixi

Adicionando:

Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e

condições de fronteira.

Sumário da aula anterior• Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações

diferenciais, usando séries de Taylor.• Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou

de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura.

• Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados.

• Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente:

– Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula,– A transportividade da advecção,– Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1).

• Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas

aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

2/2/2/2

2/2/2 2

tcc tt

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..

• Adicionando as equações!

222/2/

!2/....

!22/2/

222/2/

!2/....

!22/2/

.....2/2

tctccc

• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

• Esta equação pode ser organizada na forma:

222 2 x

)(1 11 PFcfcecdc tii

xtuc 12212

Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t

Explicito, upwind:

2ºxtDifN

Números de Courant e de Difusão

xtuc 12212

K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:

Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas

nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as

derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo,

maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

22/t)( t

Porque aumenta a precisão com o expoente de ? )( t

Porque os termos ignorados são da forma:

O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.

Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

)/()( tc

Condições Iniciais e de Fronteira

• Iniciais podem ser importantes ou não• Fronteira idem. Como se impõem?

tti CCfCeCd

Condições de fronteira• Difusão:

– Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo.

• Advecção– Quando o escoamento entra no domínio transporta as

propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.

Transporte de calor

• No caso do calor os fluxos através do fundo são normalmente pouco importantes.

• Pelo contrário os fluxos através da superfície livre são essenciais (radiação, calor sensível e calor latente.

Condições de fronteira na interface com a atmosfera.

Condições de fronteira: Fronteiras abertas

• Num canal as fronteiras de entrada e de saída do escoamento (fronteiras abertas) requerem duas condições de fronteira por via da difusão e da advecção no caso de o escoamento estar a entrar.

• A difusão envolve uma segunda derivada e por isso precisa de duas condições de fronteira (uma na entrada e outra na saída).

• A advecção envolve uma primeira derivada e por isso requer uma condição de fronteira: valor da propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à entrada, pois estão relacionados pelo caudal).

Condições de Fronteira: Fronteiras sólidas

• Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos difusivos, que dependem da propriedade que se está a estudar.

• No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e deposição (este último processo envolve a velocidade de queda dos sedimentos).

• No caso do calor o fluxo difusivo através da fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo, então poderemos admitir que os fluxos através das paredes sólidas são desprezáveis.

Condições de fronteira: fluxos através da superfície livre

• Os fluxos através da superfície livre dependem também da propriedade que estamos a considerar.

• No caso de gases e de vapores dependem das pressões parciais na atmosfera e na água. Na grande maioria das propriedades são nulos, mas no caso do calor são determinantes.

• Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa da atmosfera e ainda radiação da água para a atmosfera.

Fluxo de calor latente

• Depende da temperatura da água e da humidade relativa do ar. No modelo MOHID é calculado como:

Fluxo e calor sensível

Fluxo de calor por radiação

• Ver: • Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation

for ecological studies. Ecological Modelling.

1ª Aula Advecção - Difusão

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