Post on 07-Feb-2016
description
Elementos de um sistema mecacircnico
Prof Jorge Formiga
Aula 2
jorgeformigaetepedubr
Objetivos
-Conhecer os elementos de um sistema
mecacircnico bem como entender o
funcionamento e associaccedilatildeo deles em
diferentes modelos
3
Elementos do sistema mecacircnico
molas
Linear
Natildeo-linear
massas amortecedores
viscoso
seco
estrutural
Introduccedilatildeo
k
m
c
x(t)
y(t)
m massa do veiacuteculokg
k rigidez elaacutesticaNm
c constante amortecimento Nms)
x(t) deslocamento vertical do cmm
y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom
Lembre-se
Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade
4
5
Classificaccedilatildeo
Linear
Natildeo linear
Mola linear
Mola natildeo-linear macia
Mola natildeo-linear dura F
0
x
Rigidez
Experimental
Teoacuterica
ou
k = Fx -gt longitudinal
k= Tθ -gt torccedilatildeo
UnidadesNm e Nmrad
Molas
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Objetivos
-Conhecer os elementos de um sistema
mecacircnico bem como entender o
funcionamento e associaccedilatildeo deles em
diferentes modelos
3
Elementos do sistema mecacircnico
molas
Linear
Natildeo-linear
massas amortecedores
viscoso
seco
estrutural
Introduccedilatildeo
k
m
c
x(t)
y(t)
m massa do veiacuteculokg
k rigidez elaacutesticaNm
c constante amortecimento Nms)
x(t) deslocamento vertical do cmm
y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom
Lembre-se
Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade
4
5
Classificaccedilatildeo
Linear
Natildeo linear
Mola linear
Mola natildeo-linear macia
Mola natildeo-linear dura F
0
x
Rigidez
Experimental
Teoacuterica
ou
k = Fx -gt longitudinal
k= Tθ -gt torccedilatildeo
UnidadesNm e Nmrad
Molas
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
3
Elementos do sistema mecacircnico
molas
Linear
Natildeo-linear
massas amortecedores
viscoso
seco
estrutural
Introduccedilatildeo
k
m
c
x(t)
y(t)
m massa do veiacuteculokg
k rigidez elaacutesticaNm
c constante amortecimento Nms)
x(t) deslocamento vertical do cmm
y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom
Lembre-se
Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade
4
5
Classificaccedilatildeo
Linear
Natildeo linear
Mola linear
Mola natildeo-linear macia
Mola natildeo-linear dura F
0
x
Rigidez
Experimental
Teoacuterica
ou
k = Fx -gt longitudinal
k= Tθ -gt torccedilatildeo
UnidadesNm e Nmrad
Molas
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
k
m
c
x(t)
y(t)
m massa do veiacuteculokg
k rigidez elaacutesticaNm
c constante amortecimento Nms)
x(t) deslocamento vertical do cmm
y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom
Lembre-se
Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade
4
5
Classificaccedilatildeo
Linear
Natildeo linear
Mola linear
Mola natildeo-linear macia
Mola natildeo-linear dura F
0
x
Rigidez
Experimental
Teoacuterica
ou
k = Fx -gt longitudinal
k= Tθ -gt torccedilatildeo
UnidadesNm e Nmrad
Molas
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
5
Classificaccedilatildeo
Linear
Natildeo linear
Mola linear
Mola natildeo-linear macia
Mola natildeo-linear dura F
0
x
Rigidez
Experimental
Teoacuterica
ou
k = Fx -gt longitudinal
k= Tθ -gt torccedilatildeo
UnidadesNm e Nmrad
Molas
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
6
Exemplo Barra de traccedilatildeo
Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma
deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento
L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua
rigidez
F
L
E A
Sabemos que
e
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
Caacutelculo da rigidez
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
7
Exemplo Barra de torccedilatildeo
Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do
tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de
ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade
transversal G submetida a um torque T
Sabemos que
Conclusatildeo A rigidez natildeo depende
da forccedila
e
Caacutelculo da rigidez
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
8
associaccedilatildeo
paralelo seacuterie inclinada
k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn
Associaccedilatildeo de molas
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
9
Exemplo
O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo
ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola
em paralelo Determine a constante elaacutestica
equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs
molas helicoidais for fabricada em accedilo com
moacutedulo de elasticidade transversal G=80
109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro
meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do
arame d=2 cm
Sabemos que para uma mola temos
Para o conjunto de molas em paralelo
Associaccedilatildeo de molas
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
10
Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo
mostrado na figura baixo
Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
11
Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3
Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
12
amortecedor
viscoso
Ocorre entre
soacutelido e fluido
viscoso
Unidade do c Nms
Unidade do c
Nmsrad
Seco
(constante ou
Coulomb)
Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo
estrutural
Atrito interno entre
moleacuteculas
Amortecedores Forccedilas de viscosidade
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
13
Associaccedilotildees de Amortecedores
bullassociaccedilatildeo seacuterie
bullassociaccedilatildeo paralela
bullassociaccedilatildeo inclinada
Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou
inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as
molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo
dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
14
Exemplo Amortecedor de ecircmbolo
Coeficiente de amortecimento
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
15
Exemplo Fresadora horizontal
Se o centro de massa
estiver no centro da
fresadora o coeficiente
de amortecimento e a
rigidez equivalente seraacute
dada respectivamente
por
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
16
No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como
um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica
conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que
normalmente surgem satildeo
(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma
massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma
massa
(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e
haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de
apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute
necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro
Elemento de massa ou ineacutercia
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
17
Princiacutepio da Energia Cineacutetica
A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela
expressatildeo
No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
18
Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida
Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma
extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a
massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da
barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa
equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e
m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )
se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecios para o ED
19
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo
Exerciacutecio 0
20
b)
a)
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo
uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500
mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece
estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo
transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a
constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical
Resposta 2643106 Nm
21
Exerciacutecio 1
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
22
2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e
alumiacutenio eacute mostrado abaixo
Dados
Gaccedil=80 109 Nm2
Gal=26 109 Nm2
k=Gπ(D4-d4)(32 L)
(a)Determine a constante torcional do eixo
(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro
interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm
Resposta
Exerciacutecio 2- Rao pag41
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecio 3-
Resposta
Novo ponto da
forccedila aplicada
23
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
24
Exerciacutecio 4-
Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da
massa equivalente
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
25
Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao
paacuteg16)
Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de
momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a
cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar
(a) massa equivalente translacional meq
(b) massa equivalente rotacional Jeq
Respostas
a)
b)
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para
os casos abaixo
Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo
resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie
respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida
(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1
respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica
mostrada na figura abaixo
Sugestatildeo utilize
resposta58 109 Nm
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute
montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como
mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica
equivalente do sistema quando o comprimento de
suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de
oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo
transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e
do cabo eacute E Dica I=(112)ab3
Exerciacutecio 8
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Kplaca=EAt34b3
Kcabo=EAl
resposta
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas
planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma
resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a
velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01
m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do
oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445
Pas(Pascal segundo-SI)
Dica
F=cv
e
C=120641Ah
Resposta0861mm
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes
requesitos
- rigidez da mola kgt=8000Nmm
- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz
-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10
Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por
Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal
D= diacircmetro do enrolamento
D=diacircmetro do arame
W= peso da mola
g= constante gravitacional
119896 =1198661198894
81198633119873 119891 =
1
2 119896 119892
119882
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade
transversal G e coeficiente de Poisson ע
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Anexo 1
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
Anexo 2 Coeficientes de
amortecimento
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias
bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008
bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro
bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de
Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute
Referecircncias