Post on 07-Apr-2016
©2000 Paulo Adeodato
Avaliação de Desempenho de Avaliação de Desempenho de Sistemas Análise de Fila ÚnicaSistemas Análise de Fila Única
Paulo AdeodatoDepartamento de Informática
Universidade Federal de Pernambuco
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ConteúdoConteúdo Processos de Nascimento-Morte Análise do Comportamento no Regime Permanente Exemplo Propriedades de Filas Únicas Limitações da Análise
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Características da Fila ÚnicaCaracterísticas da Fila Única O sistema mais simples Aplicações:
• CPU única• dispositivos isolados
Processo de nascimento-morte: processo de Markov com a transição de estados limitada aos vizinhos• e.g. n(t+1) {n(t)-1, n(t), n(t)+1}
Seqüências temporais de variáveis aleatórias• n(t) número de jobs numa CPU no instante de tempo t• w(t) tempo de espera na fila no instante de tempo t
Utilizados para representar o estado de sistemas com filas
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Tipos de Processos Estocásticos-1Tipos de Processos Estocásticos-1
Cadeias deMarkov
tempo contínuoespaço contínuo
tempo discretoespaço contínuo
tempo contínuoespaço discreto
tempo discretoespaço discreto
Processosde Markov
n(t)n(t)
w(t)w(t)
Cadeiasestocásticas
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Processos Estocásticos-2Processos Estocásticos-2 Classificação:
• Tempo: discreto ou contínuo• Estado: discreto ou contínuo• Memória:
com memória Y(t+1)=f [Y(t),Y(t-1),...,Y(t-r+1)] sem memória Y(t+1)=f [Y(t)]
Processo de Markov:• sem memória distribuição exponencial• válido para filas do tipo M/M/m:
n(t) cadeia de Markov w(t) processo de Markov
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Análise do Processo de Nascimento-Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime PermanenteMorte em Regime Permanente
Objetivos:• Associar a cada estado n(t) a sua probabilidade de
ocorrência pn e deduzir as demais informações a partir do conhecimento desse espaço de probabilidade.
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Roteiro de Análise do Processo de Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Nascimento-Morte em Regime
PermanentePermanente
0
0
1
1
1
2
2
2
3
j-2
j-1
j-1
j-1
j
j
j
j+1
j+1
j+1
j+2
1- Criar o modelo do diagrama de transição de estados de um processo de nascimento-morte para a fila desejada
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Roteiro de Análise do Processo de Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Nascimento-Morte em Regime
PermanentePermanente2- A partir do diagrama de transições de estado, obter as
probabilidades de transição para cada estado no instante (t+t)
3- Rearranjar a equação da probabilidade de transição do estado j para obter a sua taxa de variação ao longo do tempo e tomar o limite t 0
njdt
tdpt
tpttp jjj
t,...2,1,0,
)()()(lim
0
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Roteiro de Análise do Processo de Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Nascimento-Morte em Regime
PermanentePermanente
* apenas as probabilidades estabilizam; os estados variam
5- Explicitar a probabilidade do estado j+1 em função dos estados de menor ordem (filas menores)
4- Achar o ponto de equilíbrio (regime permanente, t )
njdt
tdp j
t,...2,1,0 ,0
)(lim
njppp jj
jj
j
jjj ,...2,1 ,1
1
1
11
01
01 pp
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Roteiro de Análise do Processo de Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Nascimento-Morte em Regime
PermanentePermanente
* apenas as probabilidades estabilizam; os estados variam
7- Obter a probabilidade do estado j=0 a partir do axioma de Kolmogorov
6- Eliminar a recursão
,2,1 ,1
0 100
21
110
npppn
j j
j
n
nn
0
1
0 1
00 1
1 1
n
n
j j
jnn pp
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Análise da Fila Única M/M/1Análise da Fila Única M/M/1em Regime Permanenteem Regime Permanente
1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma
,...3,2,1 ,,...2,1,0 ,
nn
n
n
0
1
2
j-1
j
j+1
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Análise da Fila Única M/M/1Análise da Fila Única M/M/1em Regime Permanenteem Regime Permanente
2- Simplificar a expressão da probabilidades associadas a cada estado no processo de nascimento-morte
,...2,1,0)1(1
...11
,...3,2,1 ,
20
0
np
p
npp nn
nn
onde é definida como a intensidade de tráfego.
O somatório só converge se o sistema for estável < 1.
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 Utilização (U): probabilidade de haver alguém
utilizando o sistema Tamanho médio da fila (E[n])
Variância do tamanho da fila (V[n])
Coeficiente de variação do tamanho da fila (C.V.[n])
01 pU
1)1(][
10
n
nnn nnpnE
22
1
222
)1(][)1(][][][
nEnnEnEnV n
n
][][
].[.nEnV
nVC
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 Probabilidade de haver n ou mais jobs na fila
Tempo médio de resposta (E[r])Lei de Little: E[n]= E[r]
F.D.A. do tempo de resposta (F[r]) (fdp exponencial)
nj
njnjjpnNP
)1()(
)1(11
1][][
nErE
araerf )(
arredxxfrF 1 )()(
0 adxxfxrE 1 )( ][
0
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 F.D.A. do tempo de resposta (F[r]) (por comparação)
)1( 1)1(
1][
aa
rE
rerF )1(1)( logo:
Variância do tempo de resposta (V[r])
22 )1(11][
arV
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 Percentis de ordem q
Tempo médio de espera (E[w])
F.D.A. do tempo de espera (F[w])
Percentis de ordem q
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Análise da Fila Única M/M/mAnálise da Fila Única M/M/mem Regime Permanenteem Regime Permanente
1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma
,...,1, ,1,...3,2,1 ,
,...,2,1,0 ,
mmnmmnn
n
n
n
0
1
2
2
3
m-1
m-1
m
m
m
m+1
m
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Análise da Fila Única M/M/m/BAnálise da Fila Única M/M/m/Bem Regime Permanenteem Regime Permanente
1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma
BmmnmmnnBn
n
n
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2
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Bm
m
m+1
m
m-1
m
m
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Análise da Fila Única M/M/mAnálise da Fila Única M/M/mem Regime Permanenteem Regime Permanente
2- Simplificar a expressão da probabilidades associadas a cada estado no processo de nascimento-morte
,...2,1,0)1(1
...11
,...3,2,1 ,
20
0
np
p
npp nn
nn
onde é definida como a intensidade de tráfego.
O somatório só converge se o sistema for estável < 1.
,...2,1,0)1(1
...11
,...3,2,1 ,
20
0
np
p
npp nn
nn
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 Utilização (U): probabilidade de haver alguém
utilizando o sistema Tamanho médio da fila (E[n])
Variância do tamanho da fila (V[n])
Coeficiente de variação do tamanho da fila (C.V.[n])
01 pU
1)1(][
10
n
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22
1
222
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nEnnEnEnV n
n
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nVC
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 Probabilidade de haver n ou mais jobs na fila
Tempo médio de resposta (E[r])Lei de Little: E[n]= E[r]
F.D.A. do tempo de resposta (F[r]) (fdp exponencial)
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)1(11
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Propriedades da Fila Única M/M/1Propriedades da Fila Única M/M/1 F.D.A. do tempo de resposta (F[r]) (por comparação)
)1( 1)1(
1][
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rE
rerF )1(1)( logo:
Variância do tempo de resposta (V[r])
22 )1(11][
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Limitações da AnáliseLimitações da Análise
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Referências BibliográficasReferências Bibliográficas Raj Jain (1991)
The Art of Computer Systems Performance Analysis: Techniques for Experimental Design, Measurement and ModelingJohn Wiley & SonsCapítulo 31