Determinacao de Correntes em Circuitos Eletricos Usando

Decomposicao de Cholesky e Pseudo-inversao

Jose V. da C. Sousa Ana C. M. R. Boso Clovis A. Niiyama∗

Cristiane Bender ∗ Pedro F. S. Othechar ∗ Vanessa A. B. Pirani

Faculdade de Ciencias e Tecnologia, FCT, UNESP,

19060-900 Presidente Prudente, SP

E-mail: vanterlermatematico@hotmail.com, claudia−

boso@hotmail.com, japaubatuba@hotmail.com,

cris−

bndr@hotmail.com, pedro.galois@gmail.com, botta@fct.unesp.br.

RESUMO

O presente trabalho expoe a resolucao dos sistemas lineares resultantes das leis de Kirchhoff,para determinacao das correntes eletricas em lacos do circuito. Analisamos particularmente oproblema quando a matriz associada ao sistema e simetrica, usando a decomposicao de Choleskycaso essa matriz seja definida positiva e a pseudo-inversao quando o determinante da matriz ezero.

Existe o seguinte problema na analise de circuitos eletricos: “dadas a resistencia e a volta-gem aplicada em cada elemento do circuito, encontrar a corrente eletrica em cada um desseselementos”[2].

Qualquer problema de rede pode ser resolvido de uma forma sistematica por meio de duasregras conhecidas como leis de Kirchhoff, que servem para ditar o comportamento das grandezasem uma rede composta por diferentes lacos e nos. Estas sao as leis de Kirchhoff:

1. A soma algebrica das correntes (ij) que fluem para um no e nula, isto e,∑

ij = 0, (1)

2. A soma algebrica da diferenca de voltagem (Vj) em torno de qualquer malha da rede enula, isto e,

∑

Vj = 0, (2)

Aplicando as leis acima obtemos um sistema linear que pode ser resolvido utilizando aDecomposicao de Cholesky e/ou o Metodo da Pseudo-inversao. A estrategia do Metodo deCholesky baseia-se no seguinte teorema.

Teorema 1: Se A e simetrica, positiva definida, entao A pode ser decomposta unicamente

no produto GGt, onde G e uma matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos.Podemos aplicar a decomposicao GGt para obtermos a solucao de sistemas lineares. Porem,

ha casos onde tal metodo nao pode ser empregado, como quando a matriz associada ao sistemapossui determinante nulo. Nesse caso podemos utilizar o metodo da pseudo-inversao.

De acordo com [4], se A e uma matriz m×n com colunas linearmente independentes, designa-

se por matriz pseudo-inversa de A a matriz n × m: A+ =(

AtA)

−1At.

A matriz pseudo-inversa de qualquer matriz A, mesmo nao sendo AtA invertıvel, pode sercalculada a partir da decomposicao em valores singulares, A+ = V Σ+U t, onde Σ+ e a matriz

Σ+ =

(

D−1 00 0

)

∗

bolsista de Mestrado da CAPES

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ISSN 1984-8218

e D e a matriz dos valores singulares de A.Diante do exposto, considere o seguinte circuito, com resistencias e baterias conforme mostra

a figura abaixo.

Figura 1: Circuito eletrico

Aplicando as leis de Kirchhoff (1) e (2) sobre cada um dos lacos do circuito, obtemos, paraas correntes i1, i2, i3, o seguinte sistema linear:

(R1 + R2 + R4)i1 − R2i2 − R3i3 = V1

−R2i1 + (R5 + R2 + R3)i2 − R5i3 = 0−R4i1 − R5i2 + (R4 + R5 + R6)i3 = V2

,

onde Ri (i = 1, · · · , 6) representa a resistencia do circuito.Tomando Ri = 1, (i = 1, · · · , 5) e R6 = 3, obtemos uma matriz simetrica, definida positiva, onde

podemos aplicar a decomposicao de Cholesky para resolver o sistema. Tomando V1 = 10 e V2 = 4 eutilizando o codigo implementado em MATLAB, obtemos o seguinte vetor solucao:

It =(

4.875 2.375 2.250)

.

Mas se considerarmos R3 = 10 e R5 = 46/17, a matriz do sistema linear possui determinante nulo,nao sendo possıvel aplicar o metodo de Cholesky nem alguns outros metodos tradicionais. Nesse casosera aplicado o metodo da pseudo-inversao. Utilizando o codigo implementado no MATLAB, obtemosa seguinte solucao aproximada:

It =(

0.213 −0.221 −0.642)

.

O uso da pseudo-inversao e importante para obtermos alguma solucao, uma vez que necessitamosresolver um problema pratico.

Esse estudo pode ainda ser estendido para o caso de um sistema eletrico de potencia (SEP), onde sedeseja determinar a corrente, dadas as impedancias e as tensoes nas barras do SEP, que e equivalente aosnos de circuitos como o que estudamos.Palavras-chave: Decomposicao de Cholesky, Pseudo-inversao, Correntes eletricas.

Referencias

[1] N.B. Franco, Calculo Numerico. Pearson Prentice Hall. Sao Paulo, 2006.

[2] J.R. Reitz, J.F. Milford, R.W. Christy, Fundamentos da Teoria Eletromagnetica. Elsevier. Rio deJaneiro, 1982.

[3] F.J.V. Zuben, R.R.F. Attux. Notas de Aula, disponıveis em:ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ia353

−1s07//topico3

−07.pdf. Acesso em 14

de novembro de 2011.

[4] I. Matos, J. Amaral. Notas de Aula, disponıveis em: http://www.deetc.isel.ipl.pt/paginaspessoais/isa-belteixeira/doc/pla34.pdf. Acesso em 14 de novembro de 2011.

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