CF100 - Física Moderna II2º Semestre de 2018

Prof. Ismael André Heisler

Aula 10/08/2018

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Átomos Multieletrônicos

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Partículas Idênticas

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Na física quântica, o princípio da incerteza impede a

observação sem que o comportamento das partículas seja

alterado.

Um filme implica ⇒ fótons ⇒ interação.

Portanto, qualquer tentativa de as distinguir ⇒ alteração do

comportamento.

Werner Heisenberg

Funções de onda (associadas ao elétron) têm extensão finita

⇒ superposição

⇒ indistinguibilidade.

No átomo de He, por exemplo: os elétrons apresentam funções

de onda muito superpostas. Não se pode saber qual é qual.

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Por exemplo ψ𝛼(1) = ψ𝛼(𝑥1) = 𝑒𝑥12

ψ𝛽(2) = ψ𝛽(𝑥2) = cos 𝑥2

quântico

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Partículas não interagentes

⇒movimento independente

⇒ energia potencial total (VT) é a soma das energias potenciais de cada partícula:

VT(r1,r2) = V(r1) + V(r2).

Portanto, usando separação de variáveis, a autofunção total pode ser escrita como:

ψT(r1, Sz1, r2, Sz2) = ψ(r1, Sz1) ψ(r2, Sz2) = ψ(1) ψ(2)

Se o sistema tem 2 estados distintos possíveis, α e β, podemos ter:

partícula 1 no estado α e a 2 no estado β ou vice-versa.

Temos, então, 2 situações possíveis:

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Como as partículas são idênticas e deveriam ser indistinguíveis ⇒

podemos trocar 1 ↔ 2 sem que o resultado seja alterado. Vejamos o

caso A:

Não funciona! O resultado depende da rotulação. Porque?

𝜓𝛼∗(1)𝜓𝛽

∗ (2)𝜓𝛼(1)𝜓2(2) = (𝑒𝑥12cos 𝑥2)

2

𝜓𝛼∗(2)𝜓𝛽

∗ (1)𝜓𝛼(2)𝜓2(1) = (𝑒𝑥22cos 𝑥1)

2

Para conseguirmos algo que funcione, precisamos exigir que:

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Para isso, vamos fazer combinações lineares das autofunções:

são soluções da eq. de Schrödinger independente do tempo para a

energia total ET. Como a eq. é linear em ψT

ψS e ψA também são soluções (degeneradas).

O fator 1

2garante a normalização.

As funções ou

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Qualquer outra quantidade mensurável tem o mesmo comportamento.

Assim, embora os índices 1 e 2 apareçam nas autofunções, isso não viola

os requisitos de indistinguibilidade, pois o valor de qualquer quantidade

mensurável obtida a partir dessas autofunções mostra-se independente

desses índices.

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Exemplo 9 – 1 (Eisberg pg 393)

Duas partículas idênticas se movem independentemente em uma caixa unidimensional de

comprimento a, uma estando no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito que

descreve a caixa e a outra estando no primeiro estado excitado. (não vamos assumir spin)

a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2normaliza corretamente as autofunções

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Poço potencial infinito

autofunções

𝜓𝑛 𝑥 =2

𝐿sin𝑛𝜋𝑥

𝐿para n par

𝜓𝑛 𝑥 =2

𝐿cos𝑛𝜋𝑥

𝐿para n impar

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=0

17

=0

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−𝑎

𝑏

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =𝑥

2+1

4sin 2𝑥

𝑎

𝑏

=1

=1

21 + 1 = 1

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a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2normaliza corretamente as autofunções

1

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b) Escreva expressões para o valor esperado da distância de separação, D, entre as partículas

para o caso em que a autofunção espacial para o sistema de duas partículas é simétrica, e para o

caso em que ela é antissimétrica. Mostre então que em nenhum desses casos este valor esperado

é afetado por uma troca das coordenadas das partículas.

A distância de separação, D, é o valor absoluto da diferença entre as coordenadas x das

partículas, isto é, 𝐷 = 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥2

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Autofunções simétricas

Autofunções antissimétricas

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Principio de Exclusão de Pauli

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Exemplo 9 – 2 (Eisberg pg 396)

Determinar a forma da autofunção total antissimétrica normalizada para um sistema de 3

partículas no qual as interações entre as partículas podem ser ignoradas.

Se notarmos que a autofunção antissimétrica para 2 partículas pode ser escrita também como o

resultado de um determinante de Slater

Podemos aplicar o mesmo raciocínio a um número maior de partículas.

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Fér

mio

ns

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Consideremos um sistema de 2 e-, desprezando a interação entre eles (como se eles não

tivessem carga). A autofunção total deve ser antissimétrica:

Forças de troca

Ela depende das variáveis espaciais e de spin.

Vamos fazer uma separação de variáveis:

Cada uma das autofunções deve ter simetria bem definida em relação à troca de

partículas.

As autofunções espaciais podem ser escritas como:

x

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As autofunções de spin são diferentes, pois a variável de spin é discreta, e não

contínua, como as espaciais. O spin de 1 e-, por exemplo, só pode ter duas

componentes z

Portanto não podem ser representadas por funções contínuas. Como temos 2 e- e cada

um pode ter 2 orientações de spin, existem 4 estados possíveis para o sistema. Vamos

usar símbolos (↑↓) para representar esses estados:

Singleto

Tripleto

Uma interpretação física dos estados singlete e de triplete pode ser obtida calculando-se,

para cada estado, o módulo S’ e a componente z, Sz’ do momento angular total de spin

S’ = S1 + S2

𝑆′ = 𝑠′(𝑠′ + 1)ℏ

𝑆𝑧′ = 𝑚𝑠

′ℏ

𝑚𝑠′ = −𝑠′, … , +𝑠′

𝑠′ = 0, 1

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SingletoTripleto

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Singleto

Tripleto

𝑆1𝑧 = 𝑆2𝑧 = +1/2ℏ

𝑆1𝑧 = 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ

𝑆1𝑧 = +1/2ℏ 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ

𝑆1𝑧 = +1/2ℏ 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ

𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ

𝑆𝑧′ = 1ℏ

𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ

𝑆𝑧′ = 0ℏ

𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ

𝑆𝑧′ = −1ℏ

𝑆′ = 0 (0 + 1)ℏ

𝑆𝑧′ = 0ℏ

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Representação das autofunções espaciais

+a/2-a/2 0

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Exercício 9 - Quadro

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