O Modelo de Membrana

Modelação teórica de vigas de betão armado com secção rectangular cheia à torção com base no SMMT 34

Capítulo 3. O Modelo de Membrana

3.1. Introdução

3.1.1. Teorias de corte para elementos de membrana de betão armado

Desde o conceito do modelo de treliça plana avançado por Ritter [70] e Mörsch [60]

para o corte em betão armado, têm sido desenvolvidos uma série de modelos teóricos para o

corte em elementos de membrana têm sido desenvolvidos com crescente sofisticação. Os

Modelos racionais que satisfazem o equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas não

lineares incluem o Compression Field Theory (CFT) [20,1] e o Rotating-Angle SoftenendTruss

Model (RA-STM) [66,42]. O mais recente desenvolvimento teórico para tratar elementos de

membrana de betão armado em corte é o Softened Membrane Model (SMM) [44]. O SMM tem

em consideração o efeito Poisson do betão armado em estado fissurado, que é caracterizado

por dois índices Hsu/Zhu [86]. Como resultado, o SMM consegue satisfatoriamente prever toda

a resposta monotónica das curvas carga-deformação, bem como as respostas pré-fissuração e

pós-fissuração. Em 2005, Mansour e Hsu [53,54] desenvolveram o Cyclic Softened Membrane

Model (CSMM) que constitui uma extensão do SMM para prever os “ciclos histeretics” de

elementos de membrana bidimensionais (2D) sujeitos a uma carga cíclica.

3.1.2. O Coeficiente de redução nas teorias de corte

Um elemento de membrana de betão armado sujeito ao corte é um problema 2D,

porque a tensão de corte pode ser determinado segundo um tensor das tensões principal e um

tensor das tensões de compressão principal na direcção de 45º. Para um elemento de

membrana 2D como, Robinson e Demorieux [71] descobriram em 1968 que a redução de

tensão principal de compressão foi reduzido, ou (Softened), devido á tensão de tracção na

direcção perpendicular.

Vecchio e Collins [78] mostraram em 1981 que o coeficiente de redução da curva de

tensão compressão-torção do betão era uma função da torção de tensão principal 1ε , em vez

do stress tensor principal. Isto é lógico porque a tensão normal 1ε

é uma medida directa da

severidade de fendilhação. Em 1995, Zhang e Hsu estudaram o comportamento ao corte de

painéis de betão armado executados com betão até 100 MPa. Eles descobriram que o

coeficiente de corte era não só uma função extensão perpendicular 1ε

como também uma

função de resistência à compressão do betão, '

cf [84].

Em 2006, Wang [81] afirmou que o coeficiente de redução na SMM, para ser uma

função do ângulo de desvio β (diferença entre a direcção de aplicação de carga e a direcção

principal de tensão). Ao tratar o coeficiente de redução em função de todas as três variáveis

(Ɛ1, fc’ e β), o SMM torna-se muito poderoso, aplicável aos elementos de membrana com

qualquer proporção armadura “versus” aço transversal, para quaisquer orientações da

armadura e para qualquer resistência do betão até 100 MPa.

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3.1.3 Teorias de torção para o betão armado

Ao estender o modelo de treliça plana (2-D), de Ritter e Morsch para o modelo de

treliça espacial (3-D), Rausch [68] em 1929 desenvolveu a primeira teoria de torção de

elementos de betão armado. Rausch utilizou a teoria tubo de Bredt [17] para relacionar o

momento torsor T com o fluxo de corte q na parede do tubo através de uma simples relação:

T = (2 Ao)q, onde A0 é a área limitada pela linha média do fluxo de corte.

A torção é um problema mais complicado do que o corte, porque é um problema 3-D

envolvendo não apenas o problema de corte de elementos de membrana 2-D na parede do

tubo, mas também o equilíbrio e compatibilidade do elemento 3-D e da deformação das

paredes do tubo que provoca flexão nas escoras de betão. A espessura efectiva da parede do

tubo foi definido pela zona de fluxo de corte [45] na qual a tensão do betão varia de zero a

um máximo na extremidade, criando assim um forte gradiente de tensão.

Ao incorporar as duas equações compatíveis de um elemento, a Compression Field

Theory (CFT) para o corte foi aplicada para prever a não lineariedade do comportamento

torsional pós-fendilhação do elemento, até ao momento torsor máximo [22]. Esta teoria de

torção não utilizou a curva tensão (σ) – extensão (ε) do betão tendo em conta o softening

effect, mas assumiu que o recobrimento do betão se destacava antes de atingir a carga

máxima e por isso não é contabilizado no cálculo.

Neste modelo, o pressuposto conservador de desprezar o recobrimento foi adoptado

para compensar o facto de não ser utilizado numa relação σ – ε que tem em conta o softening

effect

Em 1985, Hsu e Mo [38] desenvolveram o modelo Softened Truss Model (STM) para

prever o comportamento pós-fissuração de elementos de betão armado em torção até o ponto

mais alto. A curva de σ - ε do betão, em que o coeficiente de redução foi derivado a partir do

corte sem um gradiente de tensão, foi incorporada. O Modelo de Hsu e Mo prevê

razoavelmente o comportamento de vigas à torção e fornece uma explicação do porquê que

modelo de Rausch consistentemente sobrevaloriza a resistência à torção final. Basicamente, a

redução de resistência do betão aumenta a espessura da zona do fluxo de corte e diminui a

área de A0 o que por sua vez, reduz a resistência à torção da secção transversal [45,34]. No

presente trabalho, o modelo para o corte de elementos de membrana, SMM, é aplicado à

torção passando a ser designado de Softened Membrane Model for Torsion (SMMT) que é

capaz de prever o comportamento global de vigas de torção, incluindo a fase comportamental

pré-fendilhação e pós-fendilhação, bem como os ramos pré-pico e pós-pico. No SMMT são

necessárias duas modificações às relações constitutivas para ter em conta o gradiente de

tensão causado pela flexão das escoras de betão na zona de fluxo de corte.

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3.2. O SMMT 3.2.1. Equações de equilíbrio

Quando um membro prismático de betão armado é submetido a uma torção externa T

conforme mostrado na figura. 3.1(a), a torção externa é resistida por uma torção interna

resultante de um fluxo de corte circulatório q. Este fluxo de corte q desenvolve-se na casca

externa da secção, com uma espessura efectiva td. O elemento A (Fig. 3.1) na zona de fluxo

de corte é sujeito a um estado puro de corte (Fig. 3.1(b)). O equilíbrio em plano deste

elemento, de acordo com o SMM [44], satisfaz três equações algébricas que podem ser

expressas na forma matricial como se segue:

{ } ( )[ ]{ } { }T

ttll

TccT

lttl ffT 01

21122 ρρτσσατσσ += (3.1)

Onde:

tl σσ , tensões normais aplicados na direcção l (longitudinal) e na direcção t (transversal) das barras

de aço, respectivamente; [T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2);

c

21τ tensão de corte média do betão nas coordenadas 2-1;

ltτ tensão de corte aplicado, nas coordenadas l-t das barras de aço;

ρl,ρt taxa de armadura longitudinal e transversal do aço, respectivamente (dll tA 0/ ρρ = e

dtt stA /=ρ );

fl, ft tensão média (comum) do aço no sentido longitudinal e transversal, respectivamente

A matriz transformação [T (α2)]é dada por:

( )[ ]

−−

−=2

22

22

2 2

2

sscsc

sccs

scsc

T α

(3.2)

Onde

c – cos

s - sen

Na torção pura, o elemento A está sujeito a um estado de corte puro, com as tensões normais

σl = σt = 0 e α2 = 45º. Ao empregar o conceito de tubo fino, uma quarta equação [17] é usada

para descrever toda a secção transversal.

ltd ttAqAT 00 22 == (3.3)

Onde: td espessura da zona do fluxo de corte; q fluxo de corte;

ltτ tensão de corte aplicada, na coordenada l-t das barras de aço,

A0 área delimitada pela linha central do fluxo de corte:

2

0 )5,0( ddcc ttpAA +−= , para uma

secção rectangular

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Fig. 3.1– Secção betão armado submetidos à torção (a) fluxo de corte da secção transversal, (b) estado

de tensão de elemento A no plano [50]

3.2.2. Equações de compatibilidade

A compatibilidade no plano do elemento de corte A (Fig. 3.1(b)) satisfaz três

equações [44], que podem ser expressas em forma matricial como se segue:

{ } ( )[ ]{ }TT

lttl T 2/2/ 21122 γεεαγεε = (3.4)

Onde: Ɛl , Ɛt extensão média biaxial nas direcções l e t das barras de aço, respectivamente;

γlt distorção média na coordenada l-t das barras de aço;

[T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2);

Ɛ1, Ɛ2 extensão média biaxial na direcção 1 e direcção 2, respectivamente;

γ21 tensão de corte média na coordenada 2-1.

As 4ª e 5ª equações de compatibilidade são dadas como se segue [34]:

ltA

pγθ

0

0

2= (3.5)

22αθφ sen= (3.6)

Onde: θ ângulo de torção por unidade de comprimento;

P0 perímetro da linha média do fluxo de corte; p0 = pc – 4 td para secções rectangulares;

A0 área delimitada pela linha média do fluxo de corte: ( ) 2

0 5,0 ddcc ttpAA +−= , para uma secção

rectangular;

α2 ângulo fixo, ângulo de aplicação de tensão de compressão (eixo 2) em relação às barras de aço longitudinais

(eixo 1)

Na Eq. (3.6), em virtude da curvatura ϕ resulta uma distribuição de extensão não uniforme,

ou gradiente de extensão, nas escoras de betão . O gradiente de extensão é ilustrado na Fig.

3.2(a) pelos diagramas de extensão triangulares nas direcções 1 e 2. A distribuição da tensão

é considerada linear e a profundidade da zona de compressão das escoras de betão é

assumido como sendo a espessura da zona do fluxo de corte td. Assim, temos

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φε s

dt2

= (3.7)

Onde:

ss 21 ,εε extensão uniaxial na superfície na direcção 1 e direcção 2, respectivamente

ϕ curvatura das escoras do betão ao longo da direcção 2

Considera-se que a extensão uniaxial média 2ε está relacionada com a extensão máxima

uniaxial s2ε à superfície por 2/22 sεε = [34].

Substituindo e manipulando as Eqs. (3.5)-(3.7) e as equações para calcular p0 e A0

para secções rectangulares listadas em nomenclaturas resulta a seguinte expressão para

calcular a espessura efectiva td da zona de fluxo de corte [50]:

( )( )

+−

+−

+×+

= cccd AQQpQQ

pQ

t 442

12

142

1 2

2

(3.8)

Onde

2

2

2

2

2

4

2

2

αγε

αγε

sensenQ

ltlt

s == (3.9)

Onde: Q Variável externa, tal como definido na Eq. (3.9)

Pc perímetro da secção transversal do betão

Ac área transversal delimitada pelo perímetro exterior do betão

ss 21 ,εε extensão uniaxial de superfície na direcção 1 e direcção 2, respectivamente

21 ,εε extensão média uniaxial na direcção 1 e direcção 2, respectivamente

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Fig. 3.2– Flexão nas escoras de betão (a) estado biaxial de tensão com flexão transversal (b) [50]

3.2.3. Relação entre tensões biaxiais e tensões uniaxiais

A relação entre as tensões biaxiais e as tensões uniaxiais são expressas

matricialmente através de [44]:

{ } [ ]{ }TT

V 2/2/ 21122112 γεεγεε = (3.10)

Onde [V] é a matriz de conversão:

[ ]

−−

−−

=

100

01

1

1

011

1

21122112

21

2112

21

2112

ννννν

ννν

νν

V (3.11)

E

{ } ( )[ ]{ }TT

lttl T 2/2/ 21122 γεεαγεε = (3.12)

Onde:

21 ,εε extensão média da tensão uniaxial na direcção 1 e direcção 2, respectivamente;

[V] matriz de conversão como definido pela Eq. (3.11);

ν12,ν21 relações Hsu/Zhu usados no SMM sfεν 8502,012 +=

onde ysf εε ≤ou

9,121 =ν onde ysf εε >;

021 =ν ;

tl εε , extensão uniaxial média na direcção l e na direcção t das barras de aço, respectivamente;

[T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2)

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3.2.4. Relação constitutiva de betão em compressão

É necessário adoptar, uma relação σ-ε para o betão comprimido tendo em conta o softening

effect [81]. A relação usada é a ilustrada na Fig. 3.3 (a). O coeficiente de redução ξ na Fig.

3.3 (a), que representa a redução da tensão de compressão do betão, é expressa em função

de três variáveis: a extensão 1ε na principal direcção, a resistência do betão '

cf e o ângulo

de desvio β. A tensão de compressão nas escoras de betão é definida por:

cc

c fk '12 ξσ = (3.13)

O factor k1c é obtido pela integração das equações σ-ε na fig. 3.3(a), como se segue:

( )( )

13 0

2

2

0

2

2

0

2

1 ≤−=ξεε

ξεε

ξεε sss

c sek

(3.14)

( )( )

1433

10

2

2

002

3

02

2

01 >

−

−−−=

ξεε

ξεεε

ξεεεξε s

s

s

sc sek

Onde:

cc

21 ,σσ tensões normais médias do betão na direcção 1 e na direcção 2 respectivamente;

K1c relação entre a tensão média de compressão e o pico de tensão de compressão nas escoras de betão;

ξ coeficiente de redução do betão em compressão;

fc’ resistência à compressão do betão;

Ɛ0 extensão do cilindro de betão correspondente ao pico de tensão f’c

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Fig. 3.3– Relações constitutivas dos materiais: (a) Betão à compressão; (b) Betão à tracção; (c) aço à

tracção [50]

3.2.5 Relação constitutiva de betão à tracção Na generalidade das teorias para torção para o cálculo de resistência [22,41,40-31], a tensão

de tracção do betão é negligenciada. Por isso, nenhum desses modelos pode prever o

momento torsor de fendilhação, Tcr, nem a resposta pré-fendilhação ou convenientemente a

resposta pré-pico da curva T-θ. Essas limitações são superadas pelo SMMT, que incorpora com

sucesso este efeito. O elemento A da Fig. 3.1 é submetido a um estado de tensão biaxial no

plano com flexão transversal. As escoras e tirantes de betão em tal elemento são

esquematicamente ilustradas na Fig. 3.2(a) com a hipótese assumida de uma distribuição

linear da tensão normal. A flexão transversal cria uma superfície parabolóide hiperbólica,

como exemplificado na Fig. 3.2(b) [34]. Na direcção 2, a curvatura ϕ da curva OD é a segunda

derivada de w em relação ao comprimento na direcção 2, tendo-se verificado estar

relacionada com o ângulo de torção θ e o ângulo fixo α2 pela Eq. (3.6). Similarmente, na

direcção 1, é possível derivar a curvatura ϕ da curva AC como a derivada de w respeitante ao

comprimento na direcção 1.

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φαθϕ −=−== 22

2

2sendt

wd (3.15)

Onde: ϕ curvatura dos tirantes do betão ao longo da direcção 1;

w deslocamento “na direcção normal ao plano médio do elemento de membrana;

θ ângulo de torção por unidade de comprimento

α2 ângulo fixo, ângulo de tensão principal de compressão aplicado (eixo 2) em relação a barras de aço

longitudinais (eixo 1);

ϕ curvatura das escoras do betão ao longo da direcção 2

Supondo que a curvatura ϕ esta associada a uma distribuição de tensão linear naespessura

efectiva td, e assumindo a mesma profundidade td para a zona de tracção tal como para a

zona de compressão, a tensão máxima s1ε

pode ser calculada como

ds tϕε =1 (3.16)

Onde: ϕ curvatura dos tirantes do betão ao longo da direcção 1

A tensão uniaxial s1ε está relacionada com a tensão máxima uniaxial à superfície ε1s

através de 2/11 sεε = A relação constitutiva para o betão em tracção pode agora ser estabelecida.

Similarmente à relação para o betão à compressão, um factor de tensão é derivado para

traduzir a relação constitutiva do betão á tracção. Para distinguir a relação à compressão da

relação constitutiva à tracção, um subscrito ‘c’ é acrescentado ao factor k1 nas Eqs. (3.13) e

(3.14) para o betão em compressão e um subscrito ‘t’ é acrescentado ao factor k1 para betão

em tracção tal como se segue:

crt

c fk11 =σ (3.17)

Onde: fcr, tensão de fissuração do betão

O factor k1t é obtido por integração de relação constitutiva do betão à tracção (Fig. 3.3 (b)):

Neste estudo, a relação constitutiva do betão à tracção usada é a proposta por Belarbi

e Hsu [12] (curva tracejada na Fig. 3.3 (b)) que foi obtida a partir do ensaio de placas ao

corte e corrigida pelos autores para ser usada no âmbito de vigas à tracção.

Da integração da relação constitutiva da Fig. 3.3(b) resultam as seguintes expressões

para o factor k1t:

12

11

1 ≤=cr

s

cr

s

t sekεε

εε

(3.19)

( )( )

( ) ( )[ ] 16,02

16,06,0

1

1

4,0

1

1 >−+=cr

s

crs

s

cr

s

cr

t sekεε

εεε

ε

ε

ε

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3.2.6. Relação constitutiva média de barras de aço embutidas em betão

Uma vez que a tensão de tracção do betão é incorporada no SMMT, a relação σ-ε

uniaxial das barras de aço deve ser substituída pela relação σ-ε de barras de aço embutidas

em betão [66,43], conforme ilustrado na Fig. 3.3 (c).

3.2.7 Relação constitutiva de betão ao corte

Jeng e Hsu [50] incorporaram no SMMT, um módulo de distorção racional [85] para

relacionar a tensão de corte do betão, com a distorção, como se segue:

( ) 21

21

2121

2γ

εεσσ

τ−

−=

cc

c (3.20)

3.2.8. Algoritmo solução

O algoritmo solução do SMMT proposto por Jeng e Hsu [50] encontra-se ilustrado na

Fig. 3.4.

Fig. 3.4– Solução do algoritmo do SMMT [50]

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A necessidade de recorrer a um procedimento corte iterativo prende-se com a existência de

três variáveis interdependentes, ε2, ε1 e γ21.

3.3. Considerações finais

O SMMT, é capaz de prever toda a resposta T – θ de uma viga de betão armado em todas as

suas fases comportamentais sujeitas à torção.

Os autores apenas validam o SMMT tendo por base vigas de secção cheia e apenas comparam

os T e o θ correspondentes ao ponto de fissuração e do momento resistente, o que é pouco se

se quiser afirmar que o SMMT é um bom modelo.