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Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 1
UNIDADE 1
NÚMEROS PROPORCIONAIS
RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas
de duas grandezas na mesma unidade.
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao
quociente de a por b e indica-se por b
a
Obs.: a razão b
aé usualmente lida assim: “a está para b”.
A igualdade entre duas razões é uma proporção.
Representação: d
c
b
a
onde: a, d = extremos b, c = meios
A expressão d
c
b
a lê-se assim: a está para b, assim
como c está para d.
Observações:
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas
sucessões numéricas dadas nessa ordem.
A e B são diretamente proporcionais se:
kf
c
e
b
d
a
k é a constante de proporção.
Propriedade: fed
cba
f
c
e
b
d
a
A e B são inversamente proporcionais se:
a . d = b . e = c . f = k
Propriedade: a . d = b . e = c . f =
f
1
c
e
1
b
d
1
a
Exercícios de Sala
1. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão
entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-
la é:
2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é
42 e que a razão entre eles é
4
3.
3. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,
5 e 7.
b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a
3 e 4.
Tarefa Mínima
1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos
para o curso de Odontologia. Sabendo que foram
fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de
candidatos em relação ao número de vagas?
2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é
60 e que a razão entre eles é
3
2 .
3. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e
3
1
x
y
4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números
diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
5. Divida o número 360 em partes proporcionais aos
números 2, 3, 4 e 6.
Tarefa Complementar
6. Divida o número 220 em partes inversamente
proporcionais aos números 7
4
4
3,
3
2e .
7. A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e
estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas
pessoas.
8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente
proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade
20
5
8
x
y
9, os valores de x e y devem ser
respectivamente:
a) 2 e 36 b) 5
1 e
4
1
c) 2 e 5 d) 5 e 35
e) n.d.a.
9. (F.Carlos Chagas) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b)
são de números inversamente proporcionais e a + mb =
10, então m é igual a:
a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0
d) 2,5 e) 5,0
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 2
10. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?
a) – 2 b) 0 c) 0,5
d) 2 e) 3
11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que
432
zyx, o valor de x é:
12. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As
medidas de seus lados são inversamente proporcionais
a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado
desse terreno, é:
13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,
60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.
Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de
mortas para o número de vivas é:
1 1 4 4
a) b) c) d) e) n.d.a.4 5 1 5
14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente
proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e
m.
x y
1 2
2 p
m 8
15. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25
litros de gasolina. Determinar as razões das medidas.
a) do óleo para a gasolina
b) da gasolina para a mistura
c) do óleo para a mistura
UNIDADE 2
GEOMETRIA PLANA
ÂNGULOS
Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a
mesma origem (vértice).
O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice
UNIDADES ANGULARES
Sistema Sexagesimal (Grau)
1 grau é 360
1 da circunferência.
Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua
abertura.
Ângulo Agudo
Ângulo Reto
Ângulo Obtuso
Dois ângulos e podem ser:
a) complementares: + = 90º
b) suplementares: + = 180º
c) replementares: + = 360º
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E
UMA TRANSVERSAL
Triângulos
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se
triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos
segmentos AB, AC e BC.
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 3
Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:
Quanto aos lados
Quanto aos ângulos
CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e
considerando a, o lado maior temos:
a2 < b
2 + c
2 triângulo acutângulo
a2 = b
2 + c
2 triângulo retângulo
a2 > b
2 + c
2 triângulo obtusângulo
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
A + B + C = 180°
Triângulo Equilátero
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°
Triângulo Retângulo
Exercícios de Sala
1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x
+ 10° e x + 50°. Um deles mede:
2. Um ângulo mede a metade do seu complemento.
Então, esse ângulo mede:
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 80° e) 15°
3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x.
a) r //s
b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo
equilátero.
Tarefa Mínima
1. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x
– 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:
a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°
2. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então
esse ângulo mede:
a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°
3. Determine o valor de x na figura abaixo:
x s
r s//25º
130º
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 4
4. Nas figuras abaixo, o valor de x é:
a)
b)
c)
d)
5. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°
d) x = y e) 3x = 2y
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus,
do arco x é:
7. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:
a) 100° b) 144°
c) 36° c) 80° e) n.d.a.
8. (UFSC) Dados os ângulos:
 = 22°32'15'' C 75°01'52''
B = 17°49'47'' D = 32°44'20''
Calcular o valor, em graus, da expressão:
A C B D
9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença
x y é:
23o
y
x112
o
r
s
t
r // s // t
10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.
A medida do ângulo y, em graus, é:
11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal de modo que a soma de dois ângulos
agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos
obtusos formados mede:
a) 142° b) 144° c) 148°
d) 150° e) 152°
12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em
graus do ângulo 3 é:
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 5
a) 50 b) 55 c) 60
d) 80 e) 100
13. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o
seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em
graus a medida do ângulo:
14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.
60°
70°
Y
r
s
15. Na figura , o valor de x é:
UNIDADE 3
ESTUDO DOS POLÍGONOS
ELEMENTOS
CLASSIFICAÇÃO
Os polígonos podem ser classificados quanto o número de
lados. Os mais conhecidos são:
Triângulos - 3 lados
Quadriláteros - 4 lados
Pentágono - 5 lados
Hexágono - 6 lados
Heptágono - 7 lados
Octógono - 8 lados
Eneágono - 9 lados
Decágono - 10 lados
Undecágono – 11 lados
Dodecágono - 12 lados
Pentadecágono – 15 lados
Icoságono - 20 lados
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero
(lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).
NÚMERO DE DIAGONAIS
O número de diagonais de um polígono de n lados é dado
pela expressão:
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados
(n 3) é dado pela expressão:
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados
(n 3) é sempre igual a 360°
Observações
Para polígonos regulares, podemos calcular cada
ângulo interno ou externo através das seguintes
relações:
Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par,
então n/2 é o número de diagonais que passam pelo
centro.
Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo
centro.
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 6
POLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular quando tem lados e ângulos
congruentes. Todo polígono regular é inscritível e
circunscritível a uma circunferência.
Nomenclatura
é o lado do polígono
R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono
a é o raio da circunferência inscrita ou apótema
Triângulo Equilátero
h
Quadrado
Hexágono Regular
Exercícios de Sala
1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não
consecutivos do polígono. Se um polígono convexo
tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?
a) 72 b) 63 c) 36
d) 27 e) 18
2. Em um icoságono regular ABCDE... calcule:
a) a soma dos ângulos internos.
b) a soma dos ângulos externos.
c) cada ângulo interno e externo.
3. Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3 cm,
determine:
a) altura do triângulo.
b) raio da circunferência circunscrita.
c) raio da circunferência inscrita.
4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma
circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a:
a) 5 2 b) 10
c) 10 2 d) 20 2
e) 3 2
5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de
um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do
lado desse hexágono, em centímetros, é:
a) 3 b) 2 e) 2,5
d) 3 c) 4
Tarefa Mínima
1. O polígono que tem o número de lados igual ao
número de diagonais é o:
a) hexágono b) pentágono
c) triângulo d) heptágono
e) não existe
2. Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 230° b) 130° c) 144°
d) 28° e) 150°
3. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo
do externo?
a) Dodecágono b) Pentágono
c) Octógono d) Heptágono
e) Hexágono
4. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:
a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 7
b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo
c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo
5. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência mede 2 6 cm. Determine a medida da
altura do triângulo.
a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a.
6. (ACAFE-SC) O diâmetro mínimo de um tronco de
árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados,
cujas arestas das bases meçam 20cm, é:
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm
Tarefa Complementar
7. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:
a) 15 diagonais b) 20 diagonais
c) 25 diagonais d) 30 diagonais
e) 35 diagonais
8. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o
número de lados é 1/3.
9. ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então o número de diagonais desse
polígono é:
a) 90 b) 104
c) 119 d) 135
e) 152
10. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de
lado “a”. A diagonal AB mede:
A
B
a) 2a b) a 2
c) 2
3a d) a 3
e) 3
2a2
11. (ACAFE-SC) A razão entre os comprimentos das
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:
a) 2 b) 3 c) 2 2
d) 2 3 e ) 2
3
12. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de
um hexágono regular. A medida, em graus de um dos
ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:
a) 90 b) 100 c) 110
d) 120 e) 150
13. Calcule a medida do ângulo central de um eneágono
Regular.
14. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e
inscrito de um triângulo equilátero de lado a?
15. Determinar em função do raio R, o lado de um
decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.
UNIDADE 4
CIRCUNFERÊNCIA
ELEMENTOS
Raio: segmento CB.
Corda: segmento MN.
Diâmetro: segmento AB.
ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da
circunferência.
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 8
Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na
circunferência.
Propriedade:
Consequências
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um
lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.
Ângulo excêntrico (fora do centro) interior
Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior
Quadrilátero Inscrito na circunferência
SEGMENTOS TANGENTES
TEOREMA DE PITOT
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma
circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma
dos outros dois:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os
ângulos internos forem congruentes e os lados
proporcionais. Assim temos:
FC
kf
c
e
b
d
a então EB
DA
:Se
k é a constante de proporção ou constante de semelhança.
Observação: As medidas dos perímetros de dois
triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de
dois lados homólogos quaisquer.
Triângulo Retângulo – relações métricas
Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 9
Seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa.
Relações Métricas
Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer
as seguintes relações:
a2 = b
2 + c
2 (teorema de Pitágoras)
a.h = b.c
b2 = a.n
c2 = a.m
h2 = m.n
Exercícios de Sala
1. Determine o valor de x em cada caso abaixo:
a)
b)
x 20°
O
c)
2. Determine o valor do complemento do ângulo x
indicado na figura abaixo:
x
40°
3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC
( AB=8, AC=9 e BC=7 )
. Então, x vale:
A
B P C
x a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0
d) 4,6 e)5,0
4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B D são
congruentes. Então, o valor de x é:
a) 42 b) 32 c) 21
d) 60 e) 10
Tarefa Mínima
1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x:
2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é:
3x 150°A
B
C
O
a) 25° b) 30° c) 50°
d) 75º e) 100°
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 10
3. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos
arcos (AC) mede:
40°A B
C
4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:
3
x2
10
5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.
Nessas condições, determine o valor de x + y.
A y D 18 B
15
C
E
10
x10
Tarefa Complementar
6. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um
pentágono regular. A medida em graus do ângulo é:
8. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e
o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do
ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do
triângulo.
9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de
tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.
10. Sendo O o centro da circunferência circunscrita no
pentágono abaixo, calcule x + y.
11. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:
3x + 1
3x2x
x+1
12. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm
e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo
semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm
c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm
e) 5cm, 14cm e 19cm
13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD
dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD =
5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´
são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos
segmentos AB´, B´C´ e C´D´
14. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB
mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm.
MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao
lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O
perímetro desse retângulo, em cm, é:
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 11
A B
C
M N
Q P
a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16
15. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância
entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior as
circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros,
a medida do segmento CD.
UNIDADE 5
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
TRIÂNGULOS QUAISQUER
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
QUADRILÁTEROS
Paralelogramo
A = a.h
Círculo e suas partes
Círculo
A = R2
Coroa Circular
A = (R2 – r
2 )
Setor Circular
A = 360
απR2
Exercícios de Sala
1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado
do quadrado EFGD mede, em m:
A
B C
DE
F
10
2
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 12
a) 4 b) 5 c) 2 5
d) 5 2 e) 6
2. A área da coroa limitada pelas circunferências
inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:
a) 2,25 b) 5 c) 4
d) 2 e) 8
Tarefa Mínima
1. ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a
figura, é:
120°
AB
C
4
3
a) 3 b) 2 3
c) 3 d) 4 3 e) 6
2. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito
numa circunferência de raio 2 é igual a:
a) 3 3 cm2
b) 3 2 cm2
c) 2 3 cm2
d) 2 2 cm2
e) n.d.a.
3. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.
Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em
centímetros quadrados, é:
4. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a
figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da
de A e um terço da de C.
A
B C
Com base nessas informações, é correto afirmar:
01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2.
02. A área de A é 1/6 da área de C.
04. A área de A é 24m2.
08. Um dos lados de A mede 2m.
16. Um dos lados de C mede 8m.
5. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de
16 cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois
raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto
desses raios.
Tarefa Complementar
6. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm
e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um
losango de área 8cm2
A
B C
M
N
P
A medida, em graus, do ângulo BNP é:
a) 15 b) 30 c) 45
c) 60 d) 75
7. (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é
aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A
área do novo retângulo formado é:
a) 1,04 S b) 1,02 S
c) S d) 0,98 S
e) 0,96 S
8. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em
quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo
CEF e a área do retângulo é:
A B
C
E F G
D
a) 1/6 b) 1/7
c) 1/8 d) 1/9
e) 1/10
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 13
9. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e
circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é
igual a:
A
B C
O
10. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio
1, a área do setor assinalado é:
9
8π e)
9
5π d)
18
5π c)
18
7π b)
9
7π a)
11. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito
nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm
de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a
área do retângulo seja máxima?
12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado
de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado
medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que
está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando =
3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do
cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está
amarrado.
a) 1244 b) 1256
c) 1422 d) 1424
e) 1444
13. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua
área cresce:
a) 14% b) 14,4% c) 40%
d) 44% e) 144%
14. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de
C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela
circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados,
calcule em cm2 a área do círculo limitado pela
circunferência C2.
15. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto
médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN =
NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e
CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.
UNIDADE 6
GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS
Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.
Relação de Euler: V + F = A + 2
Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2)
onde “v” é o número de vértices.
Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um
poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas
faces hexagonais?
Poliedros Regulares
Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e
ângulos formados pelas faces iguais.
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 14
Exercícios de Sala
1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas,
faces e vértices.
2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9
faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face
hexagonal. Determine o número de vértices.
3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular
de aresta l.
Tarefa Mínima
1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces
triangulares. O número de vértices desse poliedro é:
a) 12 b) 15
c) 18 d) 20 e) 24
2. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais.
Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
a) 3240º b) 3640º c) 3840º
d) 4000º e) 4060º
3. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número
de faces desse polígono, sabendo-se que o número de
arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?
a) 6 b) 4 c) 5
d) 3 e) 8
4. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui
8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o
número total de faces desse poliedro?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
5. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
a) I é verdadeira b) II é verdadeira
c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras.
Tarefa Complementar
6. Some as alternativas corretas:
01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas
possui 10 vértices.
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e
somente faces triangulares possui 9 arestas.
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui
15 arestas.
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro
vértices pentaédricos possui 12 faces.
16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices
igual ao número de faces possui um número par de
arestas.
7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui
somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas
faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a
metade do número de faces hexagonais?
8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos
ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
a) 180 b) 360 c) 540
d) 720 e) 900
9. (UFRGS) Um octaedro regular possui:
a) mais diagonais do que vértices;
b) mais faces que arestas;
c) mais vértices do que faces;
d) menos diagonais que faces;
e) igual número de vértices e de arestas.
10. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um
poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse
poliedro é:
a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 15
UNIDADE 7
PRISMAS
DEFINIÇÃO
Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e
congruentes denominadas bases, e as demais faces em
forma de paralelogramos.
ELEMENTOS
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;
BCB´C; CDC´D´; ……
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´;
CC´; DD´ e EE´
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é
denominada altura do Prisma.
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´;
C´D´ ; D´E´ e E´A´
NOMENCLATURA
O nome do prisma se dá através da figura da base.
Prisma Triangular: As bases são triangulares.
Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.
Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos
Observação: Se o polígono da base for
regular, o prisma também será chamados de Regular.
CLASSIFICAÇÃO
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser:
Reto: quando as arestas
laterais são
perpendiculares aos planos
da base.
Oblíquo: quando as arestas
laterais são oblíquas aos
planos da base.
No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a
altura.
Fórmulas
Considere um prisma reto regular com n lados da base.
Exercícios de Sala
1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral
igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:
a) a área total do prisma
b) o volume do prisma
2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular
de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em
cm2, da área lateral desse prisma é:
Tarefa Mínima
1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base
um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:
2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área
total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da base
mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do
prisma é:
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 16
3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de
altura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é:
a) 3 m3
b) 3 3 m3
c) 9 m3
d) 3 m3
e) 8 3 m3
4. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é
6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em
cm3:
Tarefa Complementar
5. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui
10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:
a) aumenta 8% b) aumenta 15%
c) aumenta 108% d) diminui 8%
e) não se altera
6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango
cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente.
Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse
prisma, em cm3, é:
7. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base
quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de
80m2. O lado dessa base quadrada mede:
8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de
base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm,
a área total desse prisma, em cm2, é:
a) 1852 b) 1016
c) 926 d) 680
e) 508
9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é
paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é
paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os
lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o
trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos
paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume
(em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG,
ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.
UNIDADE 8
TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS
PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO
Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são
paralelogramos e as faces opostas são retângulos
congruentes.
Possui três dimensões:
comprimento (a)
largura (b)
altura (c) Fórmulas
Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)
Volume: V = a.b.c
Diagonal: D
2 = a
2 + b
2 + c
2
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)
2 = D
2 + ST
Cubo – Hexaedro Regular
Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.
Todas as faces são quadrados
Fórmulas
Área Total: ST = 6 2
Volume: V = 3
Diagonais: d = 2 D = 3
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 17
Exercícios de Sala
1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é
24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são
proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros
quadrados, a área total desse paralelepípedo.
2. No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm2.
Calcule o volume do cubo.
Tarefa Mínima
1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm.
Calcule o volume do cubo em cm3.
2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais
dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e
2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em
dm2, a área total desse paralelepípedo.
3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em
quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para
que seu volume se torne igual a 216 m3?
4. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem
tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm
de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A
terça parte do volume da caixa, em cm3, é:
5. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A
medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse
paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:
Tarefa Complementar
6. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto
retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima
parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o
resultado para o cartão resposta.
7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um
paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das
arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é
64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:
a) 292cm2 b) 298cm
2 c) 296cm
2
d) 294cm2 e) 290cm
2
8. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm
agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o
que for correto.
01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.
02. AD 2 6 dm.
04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.
08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3
dm3
16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.
9. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem
por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma
pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da
água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em
decímetros cúbicos, é:
10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água de
uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa
20 cm.
a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
b) calcule sua capacidade em litros.
UNIDADE 9
PIRÂMIDES
DEFINIÇÃO
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal
ABCDEF e as faces são regiões triangulares.
Uma pirâmide se diz regular quando for reta
(projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da
base) e a figura da base for regular
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 18
NOMENCLATURA
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.
Observe alguns exemplos.
Pirâmide Triangular a base é um triângulo
Pirâmide quadrangular a base é um quadrado
Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono
Pirâmides Regulares
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular,
a pirâmide é regular.
Elementos e Formulário
aresta da base - ℓ
aresta lateral -aℓ
altura – h
apótema da base – ab
apótema da pirâmide – ap
Raio da circunferência circunscrita – R
Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as
seguintes relações:
Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na
base
Área Lateral : SL = n. ap
2
Área Total: ST = SB + SL
Volume V = 3
.hSB
Relações Auxiliares na Pirâmide
ap2 = H
2 + ab
2
a 2 = ap
2 +
2
2
a 2 = H
2 + R
2
Exercícios de Sala
1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e
a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa
pirâmide.
2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja
altura mede 33 m e o perímetro da base mede 12 m?
3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base
e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da
pirâmide?
Tarefa Mínima
1. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem
aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm.
Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.
2. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a
área total, em cm2, dessa pirâmide.
3. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3,
é:
4. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura,
tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a
área lateral é:
a) 240cm2 b) 260cm
2 c) 340cm
2
d) 400cm2 e) n.d.a.
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 19
5. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas
medindo 2. Então, a sua altura mede:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) n.d.a.
Tarefa Complementar
6. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de
volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da
base?
7. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para
base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da
pirâmide, em cm, é:
8. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao
semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num
círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da
pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ).
9. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular
de aresta igual a 4 cm.
a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm
2
c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm
2
e) 24 3 cm2
10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação
de um sólido. O volume desse sólido é de:
a) 1152cm
3 b) 1440cm
3
c) 384cm3 d) 1200cm
3
e) 240cm3
11. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e
P são os pontos médios das arestas, como se mostra na
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:
1 3 2 5 3
a) V b) V c) V d) V e) V2 4 3 6 8
12. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro
regular de aresta igual a 4 cm.
a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm
2
c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm
2
e) 24 3 cm
2
13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide
hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide,
4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide
mede, em m2.
a) 6.10-4
b) 6.10-2
c) 12.10-4
d) 12.10-2
e) 15.10-4
14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225
cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do
vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:
a) 4,5 cm b) 7,5 cm
c) 1,5 cm d) 9,5cm
e) 3,5cm
AULAS 10
CILINDRO, CONE e ESFERA
CILINDRO DE REVOLUÇÃO
Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos
em torno de uma reta uma região retangular. Também é
chamado de cilindro circular.
Elementos
Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base
dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito
cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h
Fórmulas
Considere um cilindro reto.
Área da Base: SB = r2
Área Lateral: SL = 2 rh
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 20
Área Total: ST = 2SB + SL
Volume: V = r2h
Secção Meridiana:
A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o
seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A
secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a
secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero.
(g = h = 2r) 2R
h
CONE DE REVOLUÇÃO
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este
cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a
hipotenusa é a geratriz do mesmo.
Fórmulas
Área da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = rg
Área Total: ST = SB + SL Volume: V = 3
hπr2
Relação auxiliar: g2 = h
2 + r
2
Secção Meridiana
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles.
Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero
teremos um cone eqüilátero ( G = 2R )
h g
2R ESFERA
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias
ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também
pode ser considerada um sólido determinado pela rotação
de um círculo em torno de um de seus diâmetros.
Secção de uma esfera
Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R
determina como secção plana um círculo de raio r.
d é a distância entre o plano e o centro da esfera.
R é o raio da esfera.
r é o raio da secção.
Relação: R2 = r
2 + d
2
Fórmulas da esfera
superfície esférica: As = 4 R2
volume: V = 3
πR3
4
Exercícios de Sala
1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27
dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:
a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm
2. (UFSC) Determinar 1
do volume em m3 de um cone
de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área
lateral, 20 m2.
3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h =
20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao
mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e
exterior às esferas vale:
a) 102 3
cm3 b) 80
3 cm
3 c) 40 cm
3
d) 160cm3 e) 80 cm
3
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 21
Tarefa Mínima
1. (UFSC) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de
36 m2. O valor, em m
3, de
1do volume desse cilindro é:
2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica,
de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma
cônica, de 15
cm de altura e 12 cm de raio da base. O
volume, em cm3, de ferro que sobrou após a
modelagem, é:
3. (UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem
1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da
caixa é:
a) 3,2 m b) 3,6 m
c) 4,0 m d) 4,8 m
4. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento
e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição
vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois
litros de água em seu interior, a água:
a) ultrapassa o meio do cano
b) transborda
c) não chega ao meio do cano
d) enche o cano até a borda
e) atinge exatamente o meio do cano
5. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é
cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do
centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência, em cm, é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume.
Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em
centímetros, a sua altura.
7. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentado
de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste
cilindro sofrerá um aumento de:
a) 2% b) 4% c) 6%
d) 8% e) n.d.a.
8. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de
hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos.
Qual é o volume do sólido de revolução gerado?
a) 3 2 cm3 b) 9 cm
3
c) 18 cm3 d) 27 cm
3
e) 1/3 cm
3
9. Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano
distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da
secção.
a) 39 b) 36 c) 32
d) 65 e) n.d.a.
10. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área
total é 2. O valor de 1
3do volume da esfera, inscrita
nesse cubo, é:
11. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo
circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfície é:
12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm
o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do
raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura
do cone é:
a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4
d) 2/3 e) 1
13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqüilátero
mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em
cm3, é:
a) 144 b) 152 c) 192
d) 288 e) 302
14. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro
está completamente cheia de massa para doce, sem
exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces
em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter
com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200
d) 150 e) 100
15. (UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero mede
32 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em
cm2, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor
obtido no cartão-resposta.
UNIDADE 11
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
CONCEITOS INICIAIS
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1,
sendo n inteiro positivo. Temos:
a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.
(4, 7, 10, 13, ...........)
Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor
se mantém igual a 3. Seqüências como esta são
denominadas progressões aritméticas.
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 22
DEFINIÇÃO
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a
partir do segundo elemento, a diferença entre cada
elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é
denominada razão da P.A. e é indicada por r.
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é
necessário que:
a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r
Veja os exemplos:
a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois,
5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3.
b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois,
4 – 1 5 – 4.
CLASSIFICAÇÃO DA P.A.
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da
razão. Observe o quadro abaixo:
r > 0 P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2
r < 0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3
r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.
Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da
definição temos:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
.
.
an = a1 + (n – 1).r
Importante:
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da
fórmula do termo geral temos:
an = a1 + (n – 1)r (1)
ak = a1 + (k – 1)r (2)
Subtraindo-se (1) de (2) vem:
an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r
an – ak = (n – 1 – k + 1) r
an = ak + (n – k)r
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos
escrever:
an = ak + (n – k).r
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r
Representações Especiais
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos
utilizar os seguintes artifícios:
Três termos em P.A.
: x – r . x . x + r
Quatro termos em P.A
: x – 3r . x – r . x + r . x + 3r
Cinco termos em P.A.
: x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r
Propriedades da P.A.
Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e
razão r, podemos observar as seguintes propriedades:
Um termo qualquer, excetuando os extremos é a
média aritmética entre o termo anterior e o
posterior.
2
1na
1na
na
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)
2
14811
Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos
é igual à soma dos termos eqüidistantes dos
extremos.
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos
extremos temos:
p + q = n + 1
Com essa igualdade é possível saber se dois termos
quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não.
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são
eqüidistantes dos extremos, pois
16 + 35 = 50 + 1.
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a
e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com
m + 2 elementos.
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos
calcular a razão da P.A.
SOMA DOS TERMOS DA P.A.
.n2
na1
a
nS
Exercícios de Sala
1. A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos
consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 23
2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da
P.A.
3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA
proposição correta. A soma dos múltiplos de 10,
compreendidos entre 1e1995, é
01. 198.000
02. 19.950
04. 199.000
08. 1.991.010
16. 19.900
Tarefa Mínima
1. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que
as seqüências representem três números consecutivos em
P.A.
a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1)
c) (x + 4)2, (x – 1)
2 , (x + 2)
2
2. (FGV-SP) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma
progressão aritmética. Sua razão é:
3. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:
4. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do
terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o
décimo segundo é 110.
5. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos
entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão
aritmética cujo quinto termo vale:
6. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A
soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:
7. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é dada por:
a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n
3
8. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar
um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3
formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim
por diante, constituindo uma progressão aritmética. O
número de formandos na cerimônia é:
a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840
Tarefa Complementar
9. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma
dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois
primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é:
10. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e
623 é:
11. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 –
3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da
P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:
a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56
12. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e
a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado
do quadrado mede:
a) 2 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2
13. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos
entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são
divisíveis por 15, é:
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80
14. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e
45, qual é o sexto termo da P.A.
15. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo
estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do
triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.
16. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são
números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro
mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do
maior lado desse triângulo.
17. Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é
150, determine o raio da circunferência inscrita nesse
triângulo.
18. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A.
cujo primeiro termo e último termos são respectivamente,
7 e 17 é:
19. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A.,
na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:
20. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da
seqüência ( 133, 126, 119, 112...) para que a soma de
seus termos seja positiva.
UNIDADE 12
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
DEFINIÇÃO
É uma sequência de números não nulos em que cada termo
a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por
um número fixo chamado razão da PG.
Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 24
onde
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
a3 é o terceiro termo
an é o enésimo ou último termo
n é o número de termos
q é a razão da P.G.
qa
a
a
a
a
a
a
a
n
n
2
1
3
2
4
3 1
CLASSIFICAÇÃO DA P.G.
1º caso: a1 > 0
Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...)
Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...)
Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64,
16,...)
2º caso: a1 < 0
Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..)
Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...)
Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, -
10,...)
Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas
em que cada termo tem sinal contrário ao do termo
anterior. Isso ocorre quando q < 0.
TERMO GERAL
Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da
definição temos:
a2 = a1.q
a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2
a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q
3
an = a1.qn - 1
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos
quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma
P.G. am e ak, podemos dizer que:
am = ak.qm - k
1. Representação de três termos em
P.G.
xx x q
q, ,
2. Propriedades
1ª Propriedade:
Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3),
podemos dizer que o termo central é a média geométrica
entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:
a22 = a1.a3 ou an
2 = an - 1.an + 1
2ª Propriedade
Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao
produto dos termos eqüidistantes dos extremos.
Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).
Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128
3. Interpolação Geométrica
Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre
a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m
+ 2 elementos.
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos
calcular a razão da P.G.
3. Soma dos termos de uma P.G. finita.
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é
dada pela expressão:
111
1 1
n
na q aa q
Snq q
.( )
Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos
uma P.G. constante, e a soma dos
termos dessa P.G será dada por:
Sn = n. a1
4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.
Dada uma P.G. com: n e an 0, sua soma pode
ser calculada pela expressão:
q
aS
1
1 0 < |q| < 1
5. Produto dos termos de uma P.G. finita
O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela
expressão:
|Pn | = n). n1 a(a
Exercícios de Sala
1. (UEL-PR) A seqüência (2x + 5, x + 1,
2
x, ....) é uma
progressão geométrica de termos positivos. O décimo
terceiro termo dessa seqüência é:
a) 2 b) 3-10
c) 3 d) 310
e) 312
2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro
termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é:
a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486
Inclusão para a vida Matemática C
Pré-Vestibular da UFSC 25
3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que
a razão vale 2, o valor do quinto termo é:
a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56
4. A solução da equação: xx x x
3 9 2715 é:
Tarefa Mínima
1. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que
as seqüências representem três números consecutivos em
P.G.
a) (x + 1; x + 4; x + 10)
b) (4x, 2x + 1, x – 1) 2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o
último é 486. Calcular a razão dessa P.G.
3. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a
soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos
vale 9. Calcule a razão da progressão.
4. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde
a soma de seus termos é 14 e o produto 64?
a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1
5. (UFCE) A solução da equação xx x x
3 9 2760
é:
a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51
6. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é:
a) 567 b) 670 c) 728 d) 120
e) n.d.a.
Tarefa Complementar
7. (UFPA) A seqüência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G.
Então, o número b é:
a) o triplo de a. b) a terça parte de a.
c) racional d) irracional
e) n.d.a.
8. (UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um
mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordem é:
a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3
9. (FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, a
medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de
razão 8. Então a medida da base vale:
10. (UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é
16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.
11. ( UFSC ) Na progressão geométrica (10, 2, 2
5,
2
25,
...), a posição do termo2
625 é:
12. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é
aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior.
Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês,
obteremos uma progressão:
a) aritmética de razão 12
b) aritmética de razão 0,12
c) geométrica de razão 12
d) geométrica de razão 1,12
e) geométrica de razão 0,12
13. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto
do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do
3º termo.
Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.
14. ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos
entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º
termo dessa seqüência.
a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245
15. (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética
onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10 e
y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de
11y - 7x é:
16. (UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se
os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro
quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro
quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim
sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os
quadrados obtidos.
17. (IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao
solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no
solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a
distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua
trajetória até atingir o repouso.
18. (FGV-SP) O conjunto solução da equação
2
1...
2793
2 xxxxx é:
a) {
2
1, 1} b) {–
2
1, 1} c) {1, 4}
d) {1, - 4} e) {1, 2}
19. Considere a expressão A = ...
81
4
27
3
9
2
3
1 em
que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores
formam uma P.G. Determine o valor de 12A
Matemática C Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 26
20. (UFSC) Determine a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.
02. O valor de x que satisfaz a equação
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é
x = 1
04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a8 = 16.
08. A soma dos termos da P.G. 1
3
2
9
4
27 é igual a 1.
GABARITO
Unidade 1
1) 34,50
cand/vaga
2) 24 e 36
3) x = 15 e y = 5
4) c
5) 48, 72, 96, 144
6) 72, 64, 84
7) 35 anos e 20
anos
8) a
9) d
10) d
11) 04
12) 10
13) a
14) p = 2
1 m =
2
1
15) 6
1,
6
5,
5
1
Unidade 2
1) c
2) b
3) 75°
4) a) 20° b) 44°
c) 20° d) 30o
5) a
6) 85°
7) a
8) 47
9) 21
10) 80
11) b
12) e
13) 30°
14) 130°
15) 120
Unidade 3
1) b
2) c
3) c
4) a) 10 3 b)
10 c) 10 2
5) c
6) d
7) e
8) quadrado e
dodecágono
9) d
10) d
11) a
12) d
13) 40o
14) 2
15) R
2
15
Unidade 4
1) a) 43° b) 50°
c) 75°
2) a
3) a
4) 3/5
5) 29
6) a
7) c
8) 50°
9) 32
10) 215°
11) 20
12) b
13) 2,6; 3,9; 6,5
14) b
15) 20
Unidade 5 1) c
2) a
3) 12
4) 13
5) 15
6) b
7) e
8) c
9) 9 cm2
10) b
11) 03
12) a
13) d
14) 16
15) 20
Unidade 6
1) a
2) a
3) a
4) e
5) e
6) 23
7) 18
8) d
9) d
10) a
Unidade 7
1) 32dm3
2) 16
3) c
4) 36
5) a
6) 96
7) 04
8) d
9) 72
Unidade 8
1) 64
2) 68
3) 02
4) 64
5) 02
6) 48
7) a
8) 13
9) 06
10) a) 80 b)
512
Unidade 9
1) 64
2) 48
3) 24
4) b
5) b
6) 03
7) 18
8) 64
9) d
10) c
11) d
12) d
13) a
14) b
Unidade 10
1) 54
2) 09
3) c
4) a
5) e
6) 07
7) d
8) b
9) a
10) 96
11) 64
12) a
13) d
14) d
15) 09
Unidade 11
1) a) – 1 b) 4
c) -9/8
2) 07
3) 01
4) 06
5) 54
6) 04
7) a
8) a
9) 61
10) 120
11) d
12) b
13) b
14) 30
15) 60
16) 99
17) 02
18) 35
19) 90
20) 40
Unidade 12
1) a) 2 b) – 1/8
2) 03
3) 03
4) c
5) b
6) c
7) d
8) a
9) 16
10) 16
11) 06
12) d
13) 50
14) a
15) 96
16) 32
17) 3h
18) a
19) 09
20) 15