Algoritmos Branch-and-Bound Para o Problema da Clique...

Introdução Algoritmo Genérico Algoritmo 1 Algoritmo 2 Resultados

Algoritmos Branch-and-Bound Para oProblema da Clique Máxima

P. V. EufrásioAutor

R. C. CorrêaOrientador

Departamento de ComputaçãoUniversidade Federal do Ceará

21 de outubro de 2009

1 IntroduçãoDefinições e Motivações

2 Algoritmo GenéricoCaracterísticas GeraisCritério de RamificaçãoDetalhes a Considerar

3 Algoritmo 1Cálculo do UBRamificação

4 Algoritmo 2Cálculo do UB

5 Resultados

Definições e Motivações

Cliques e Clique Máxima

Uma clique de um grafo G é um subgrafo de G que écompleto.

Uma clique com a maior quantidade de vértices é umaclique máxima de G.

Uma clique de um grafo G é um subgrafo de G que écompleto.

Uma clique com a maior quantidade de vértices é umaclique máxima de G.

Uma clique de um grafo G é um subgrafo de G que écompleto.Uma clique com a maior quantidade de vértices é umaclique máxima de G.

Motivações

Por que determinar uma clique máxima por enumeração?

Modela diversos problemas reais.Subproblema de outros problemas em teoria dos grafos.NP-Difícil.Existe ε > 0 tal que é NP-Difícil aproximar com fator nε.

Motivações

Modela diversos problemas reais.

Subproblema de outros problemas em teoria dos grafos.NP-Difícil.Existe ε > 0 tal que é NP-Difícil aproximar com fator nε.

Motivações

Modela diversos problemas reais.Subproblema de outros problemas em teoria dos grafos.

NP-Difícil.Existe ε > 0 tal que é NP-Difícil aproximar com fator nε.

Motivações

Modela diversos problemas reais.Subproblema de outros problemas em teoria dos grafos.NP-Difícil.

Existe ε > 0 tal que é NP-Difícil aproximar com fator nε.

Motivações

Modela diversos problemas reais.Subproblema de outros problemas em teoria dos grafos.NP-Difícil.Existe ε > 0 tal que é NP-Difícil aproximar com fator nε.

Algoritmo Branch-and-Bound

Idéia geral:

Particionar o conjunto de soluções em subconjuntosdisjuntos.Combinar as soluções dos subproblemas para obter asolução do problema original.

Árvore de Enumeração:

Todo o espaço de soluções. Enorme!!

S1 ... Si ... Sn

Idéia geral:Particionar o conjunto de soluções em subconjuntosdisjuntos.

Combinar as soluções dos subproblemas para obter asolução do problema original.

S1 ... Si ... Sn

Idéia geral:Particionar o conjunto de soluções em subconjuntosdisjuntos.Combinar as soluções dos subproblemas para obter asolução do problema original.

S1 ... Si ... Sn

Árvore de Enumeração:Todo o espaço de soluções. Enorme!!

S1 ... Si ... Sn

Árvore de Enumeração:Todo o espaço de soluções. Enorme!!

S1 ... Si ... Sn

Características Gerais

Algoritmo Genérico

Percorre árvore de enumeração.

Mantém o tamanho da melhor solução já encontrada. LBCalcula o máximo que um novo nó pode ajudar na soluçãoótima. UBDescarta nós tais que UB < LB. PrunningRamifica os demais. Branching

Algoritmo Genérico

Percorre árvore de enumeração.Mantém o tamanho da melhor solução já encontrada. LB

Calcula o máximo que um novo nó pode ajudar na soluçãoótima. UBDescarta nós tais que UB < LB. PrunningRamifica os demais. Branching

Algoritmo Genérico

Percorre árvore de enumeração.Mantém o tamanho da melhor solução já encontrada. LBCalcula o máximo que um novo nó pode ajudar na soluçãoótima. UB

Descarta nós tais que UB < LB. PrunningRamifica os demais. Branching

Algoritmo Genérico

Percorre árvore de enumeração.Mantém o tamanho da melhor solução já encontrada. LBCalcula o máximo que um novo nó pode ajudar na soluçãoótima. UBDescarta nós tais que UB < LB. Prunning

Ramifica os demais. Branching

Algoritmo Genérico

Percorre árvore de enumeração.Mantém o tamanho da melhor solução já encontrada. LBCalcula o máximo que um novo nó pode ajudar na soluçãoótima. UBDescarta nós tais que UB < LB. PrunningRamifica os demais. Branching

Critério de Ramificação

Algoritmo Genérico

Si = N(i)⋂{i + 1, ...,n} , i = 1, ...,n

... Si

... Sn

Precisamos ramificar cada vértice?

Algoritmo Genérico

Si = N(i)⋂{i + 1, ...,n} , i = 1, ...,n

... Si

... Sn

Precisamos ramificar cada vértice?

Algoritmo Genérico

Si = N(i)− {1, ..., i − 1} , i = 1, ...,p

��&%'$

Sv1 v2 ...vp

v1 vi vp

UB(S′) = LB

S1 Si Sp

Detalhes a Considerar

Algoritmo Genérico

LB Inicial

Cálculo do UB

Rápido, Pouco ApertadoLento, Bastante Apertado

Ordenação Inicial dos Vértices

Algoritmo Genérico

LB InicialCálculo do UB

Algoritmo Genérico

Rápido, Pouco Apertado

Lento, Bastante Apertado

Algoritmo Genérico

Cálculo do UB

Algoritmo 1

E. Tomita, T. Kameda, 2006. An efficientbranch-and-bound algorithm for finding a maximum cliquewith computational experiments.

Usa coloração gulosa para calcular o limite superior.

UB(S) = max {c | ∃v COR (v) = c}

Cálculo do UB

Algoritmo 1

E. Tomita, T. Kameda, 2006. An efficientbranch-and-bound algorithm for finding a maximum cliquewith computational experiments.Usa coloração gulosa para calcular o limite superior.

Cálculo do UB

Algoritmo 1

E. Tomita, T. Kameda, 2006. An efficientbranch-and-bound algorithm for finding a maximum cliquewith computational experiments.Usa coloração gulosa para calcular o limite superior.

Ramificação

Algoritmo 1

Ordena vértices por classe de cor.

Ramifica primeiro os de classe mais alta.

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

Ramificação

Algoritmo 1

Ordena vértices por classe de cor.Ramifica primeiro os de classe mais alta.

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {} LB = 0

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {} LB = 0

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2} LB = 1

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2} LB = 1

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2} LB = 1

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2, v3} LB = 2

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2, v3} LB = 2

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2, v3} LB = 2

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2, v3, v4} LB = 3

Ramificação

Algoritmo 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

1 1 2 3 4 5 5

S′ = {v1, v2, v3, v4} LB = 3

Cálculo do UB

Algoritmo 2

E.C.Sewell, 1998. A Branch and Bound Algorithm for theStability Number of a Sparse Graph.

Encontra o conjunto independente máximo do grafocomplemento.Particiona S em três conjuntos:

1 K: cliques com mais de 3 vértices.2 C: ciclos ímpares.3 V’: vértices restantes.

Cálculo do UB

Algoritmo 2

E.C.Sewell, 1998. A Branch and Bound Algorithm for theStability Number of a Sparse Graph.Encontra o conjunto independente máximo do grafocomplemento.

Particiona S em três conjuntos:

Cálculo do UB

Algoritmo 2

E.C.Sewell, 1998. A Branch and Bound Algorithm for theStability Number of a Sparse Graph.Encontra o conjunto independente máximo do grafocomplemento.Particiona S em três conjuntos:

Cálculo do UB

Algoritmo 2

1 K: cliques com mais de 3 vértices.

2 C: ciclos ímpares.3 V’: vértices restantes.

Cálculo do UB

Algoritmo 2

1 K: cliques com mais de 3 vértices.2 C: ciclos ímpares.

3 V’: vértices restantes.

Cálculo do UB

Algoritmo 2

Cálculo do UB

Grafos de König

Grafo de Königα (G) = ρ (G)

Identidade de Gallaiυ (G) + ρ (G) = |V |

α (G) = |V | − υ (G)⇔ G é König

UB(S) = |K |+ (|V ′| − |M|) +∑

(|C| − 1) /2

Cálculo do UB

Grafos de König

α (G) = |V | − υ (G)⇔ G é König

UB(S) = |K |+ (|V ′| − |M|) +∑

(|C| − 1) /2

Cálculo do UB

Grafos de König

α (G) = |V | − υ (G)⇔ G é König

UB(S) = |K |+ (|V ′| − |M|) +∑

(|C| − 1) /2

Cálculo do UB

Grafos de König

α (G) = |V | − υ (G)⇔ G é König

UB(S) = |K |+ (|V ′| − |M|) +∑

(|C| − 1) /2

Grafos Aleatórios

Instance MCR COCRG n ω(G) Nodes Time Nodes Time

(density)

100− 10 100 (0.10) 4 100 0 7 0200− 10 200 (0.10) 5 204 0 10 0100− 30 100 (0.30) 6 138 0 20 0200− 30 200 (0.30) 7 849 0 85 0100− 50 100 (0.50) 9 494 0 89 0200− 50 200 (0.50) 11 8.584 0 1.443 0100− 70 100 (0.70) 15 2.635 0 1.374 0200− 70 200 (0.70) 18 230.116 10 93.841 6100− 90 100 (0.90) 31 12.331 1 376.343 26200− 90 200 (0.90) 42 96.279.819 23.063 212.522.490 33.527

DIMACS Benchmark

Instance MCR COCRG n ω(G) Nodes Time Nodes Time

(density)

c-fat500-1 500 (0.036) 14 487 0 1.374 0c-fat500-2 500 (0.073) 26 475 1 172 0c-fat200-1 200 (0.077) 12 189 0 48 0c-fat200-2 200 (0.163) 24 177 0 88 0c-fat500-5 500 (0.186) 64 437 0 543 0c-fat500-10 500 (0.374) 126 375 1 1.348 4c-fat200-5 200 (0.426) 58 143 0 235 0brock200-2 200 (0.500) 12 4.162 0 509 0brock200-3 200 (0.605) 15 17.888 1 509 2brock200-4 200 (0.660) 17 72.999 3 16.598 2brock200-1 200 (0.750) 21 512.946 38 273.456 43brock400-2 400 (0.750) 29 114.439.396 13.930 98.544.980 16.750brock400-3 400 (0.750) 31 235.969.864 27.395 199.143.755 33.547brock400-1 400 (0.750) 27 323.039.745 44.263 126.393.547 19.889

gen200-p0.9-44 200 (0.900) 44 367.274 155 154.655.871 21.563gen200-p0.9-55 200 (0.900) 55 803.983 265 2.515.770 434

Conclusão

Para instâncias difíceis, ambas as abordagensmostram-se ineficientes.

Trabalhos Futuros

Usar heurísticas para encontrar um bom LB inicial.

Estudar a relação da densidade com a eficiência de cadaalgoritmo.Paralelizar a solução dos subproblemas.

Trabalhos Futuros

Usar heurísticas para encontrar um bom LB inicial.Estudar a relação da densidade com a eficiência de cadaalgoritmo.

Paralelizar a solução dos subproblemas.

Trabalhos Futuros

Usar heurísticas para encontrar um bom LB inicial.Estudar a relação da densidade com a eficiência de cadaalgoritmo.Paralelizar a solução dos subproblemas.

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Algoritmos Branch-and-Bound Para o Problema da Clique...

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