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ANÁLISE DA DINÂMICA AXIAL COM PRESENÇA DE
AMORTECIMENTO VISCOSO NÃO-LINEAR NA INSTALAÇÃO DE
EQUIPAMENTOS SUBMARINOS EM GRANDES PROFUNDIDADES
Vinicius Dimetre Fernandes Salomão
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Naval e Oceânica da
Escola Politécnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Murilo Augusto Vaz, D. Sc.
Rio de Janeiro
Março de 2018
ANÁLISE DA DINÂMICA AXIAL COM PRESENÇA DE
AMORTECIMENTO VISCOSO NÃO-LINEAR NA INSTALAÇÃO DE
EQUIPAMENTOS SUBMARINOS EM GRANDES PROFUNDIDADES
Vinicius Dimetre Fernandes Salomão
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO
NAVAL E OCEÂNICO.
Examinado por:
_______________________________________________
Orientador: Murilo Augusto Vaz, Ph. D.
_______________________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
_______________________________________________
Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO de 2018
i
Santos
Salomão, Vinicius Dimetre Fernandes
Análise da dinâmica axial com presença de amortecimento
viscoso não-linear na instalação de equipamentos submarinos em
grandes profundidades. / Vinicius Dimetre. – Rio de Janeiro: UFRJ
/ Escola Politécnica, 2018.
ix, 67 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / Curso de
Engenharia Naval e Oceânica, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 66-67.
1. Instalação de Equipamentos Submarinos 2. Análise
Dinâmica 3. Interação Fluido-Estrutura I. Vaz, Murilo Augusto. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso
de Engenharia Naval e Oceânica. III. Análise da Dinâmica Axial
com Presença de Amortecimento Viscoso Não-Linear na Instalação
de Equipamentos Submarinos em Grandes Profundidades.
ii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Análise da Dinâmica Axial com Presença de Amortecimento Viscoso Não-Linear na
Instalação de Equipamentos Submarinos em Grandes Profundidades
Vinicius Dimetre Fernandes Salomão
Março/2018
Orientador: Murilo Augusto Vaz, Ph. D.
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Operações submarinas tem um papel em expansão na exploração marítima,
especialmente na indústria de produção de petróleo que cada vez mais utiliza
equipamentos instalados no leito marinho como forma de baratear a produção. Por conta
disso, este trabalho aborda os fatores críticos em projetos de instalação, comentando de
forma introdutória os conceitos envolvidos e principais desafios encontrados pelos
engenheiros. Um modelo dinâmico da vibração axial de equipamentos durante sua
instalação em grandes profundidades é desenvolvido. Devido à natureza do fenômeno de
interação fluido estrutura, onde estão presentes forças de amortecimento proporcionais ao
quadrado da velocidade de escoamento, técnicas de linearização são aplicadas para
resolução do problema no domínio da frequência. A validação do modelo é feita
confrontando os resultados com uma formulação consolidada publicada por uma
sociedade classificadora. Por fim, um estudo de caso aplicando a formulação
desenvolvida é apresentado, os fatores críticos de projeto identificados e conclusões sobre
o projeto de instalação feitas.
Palavras-chave: Instalação de equipamentos submarinos, Interação fluido estrutura,
vibração axial amortecida.
iii
Abstract of the Course Conclusion Project presented to the Polytechnic School/UFRJ as
a partial fulfillment of the requirements for the degree of Bachelor in Naval and Marine
Engineering (B.Sc.)
Analysis of the Axial Dynamics in The Presence of Non-Linear Viscous Damping
Applied to the Installation of Subsea Equipment in Ultra-Deepwater
Vinicius Dimetre Fernandes Salomão
March/2018
Advisor: Murilo Augusto Vaz, Ph.d.
Course: Naval Architecture and Marine Engineering
Underwater operations have an expanding role in offshore exploration, especially in
the oil production industry that increasingly uses equipment installed in the seabed as a
way of cut production expenses. In that was, this paper addresses the critical factors in an
equipment installation project, commenting in an introductory manner the concepts
involved and challenges encountered by engineers. A dynamic model of equipment axial
vibration during installation in ultra-deep waters is developed. Due to the nature of the
phenomenon of fluid-structure interaction, where damping forces are present and
proportional to the square of the flow velocity, linearization techniques are applied to
solve the problem in the frequency domain. Validation of the model is done by comparing
the results with a consolidated formulation published by a classification society. Finally,
a case study applying the developed formulation is presented, the critical design factors
are identified and conclusions on the design of the installation made.
Key words: Installation of underwater equipment, fluid-structure interaction, damped
axial vibration.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a minha mãe, Maria Lúcia Dimetre Fernandes Salomão, a meu pai, Jairo Pinto
Salomão, e a toda a minha família que sempre acreditou em mim e me deu todo apoio
que precisei para perseguir meus sonhos, incluindo, mas não limitado a esta graduação.
A minha companheira e colega de curso Danielle Carneiro que trilhou comigo o caminho
mais difícil desta graduação, me encorajando durante todo o percurso, o qual teria sido
muito mais difícil sem ela.
Ao meu orientador acadêmico Murilo Augusto Vaz por compartilhar seu conhecimento,
me mostrar os caminhos pelos desafios da engenharia e ser um profissional exemplar.
Ao meu orientador José Luis Drummond Alves, co-orientador Carlos Eduardo da Silva e
profissionais do Laboratório de Métodos Matemáticos em Engenharia (LAMCE/COPPE)
pelas lições que carregarei para sempre.
A todos os professores do Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da UFRJ que
se dedicam ao ensino e construção da nossa faculdade.
A solidariedade prestada pelos meus colegas de curso nos vários desafios da faculdade.
Em especial a meus parceiros nas disciplinas de projetos, Brunna Fuoco, Henrique Rossi
e Pedro Deus pelo companheirismo durante as noites – não dormidas – de elaboração de
relatório.
A instituição e funcionários da Universidade Federal do Rio de Janeiro por manterem a
estrutura necessária ao ensino.
v
Índice
1. Introdução.................................................................................................................. 1
1.1. Motivação .............................................................................................................. 1
1.2. Objetivo do trabalho .............................................................................................. 2
2. Fundamentos ............................................................................................................. 2
2.1. Teoria de Ondas ................................................................................................. 2
2.2. Espectros de Mar ............................................................................................... 3
2.3. Espectro de Resposta do Sistema ....................................................................... 5
2.4. Sistemas Compensadores de Heave ................................................................... 8
2.5. Snaploads ......................................................................................................... 11
2.6. Projetos de Instalações Submarinas ................................................................. 12
3. Desenvolvimento do Modelo Matemático .............................................................. 14
3.1. Semelhança, Atrito e Arrasto Viscoso ............................................................. 15
3.2. Vibração Axial de um Cabo Contínuo com Amortecimento Viscoso ao Longo
da Linha ...................................................................................................................... 21
3.3. Vibração Axial com Termo de Amortecimento Linearizado .......................... 24
3.4. Solução do Problema de Vibração Axial Amortecido ..................................... 26
3.5. Problema de Valor de Contorno para o Modelo de Instalação ........................ 30
3.5.1. Equipamento Acoplado ao Fundo ............................................................ 30
3.5.2. Cabo Solto ................................................................................................ 35
3.6. Determinação das Constantes de Amortecimento Equivalentes para o Sistema
Linearizado ................................................................................................................. 37
4. Estudo de Caso ........................................................................................................ 42
4.1. Validação do Modelo ....................................................................................... 42
4.2. Cenário ............................................................................................................. 45
4.2.1. Características do Cabo de Instalação ...................................................... 47
4.2.2. Período Fundamental ................................................................................ 48
vi
4.2.3. Massa Adicional ....................................................................................... 48
4.2.4. Arrasto na Extremidade do Cabo de Instalação Provocado pelo
Equipamento Sendo Instalado ................................................................................. 50
4.2.5. Força de Fricção Atuando ao Longo da Superfície do Cabo/Coluna de
Instalação ................................................................................................................. 50
4.2.6. Peso submerso .......................................................................................... 51
4.3. Resultados ........................................................................................................ 52
4.3.1. Deslocamentos, Períodos de Ressonância e Efeitos do Amortecimento .. 52
4.3.1. Trações atuando no cabo .......................................................................... 55
4.3.2. Determinação dos Espectros de Resposta ................................................ 57
4.3.3. Avaliando o Risco de Cabo Frouxo .......................................................... 63
4.4. Discussão ......................................................................................................... 64
5. Considerações Finais ............................................................................................... 65
6. Referências .............................................................................................................. 66
vii
Índice de Figuras
Figura 1 - Aplicabilidade de diferentes modelos de ondas. (Adaptado de [2]) ................ 2
Figura 2 - Espectros de mar utilizados no estudo de caso. ............................................... 4
Figura 3 - RAOs calculados para a embarcação utilizada como exemplo no estudo de
caso. .................................................................................................................................. 6
Figura 4 - Esquema de um sistema compensador de Heave [5] ....................................... 9
Figura 5 - Modelo de instalação submarina não-linear .................................................. 14
Figura 6 - Método proposto por Morison para determinação das constantes CD e CM, [8]
. ....................................................................................................................................... 18
Figura 7 - Variação de CD com KC, [11]....................................................................... 19
Figura 8 - Diagrama de corpo livre para elemento de cabo com amortecimento não-linear.
........................................................................................................................................ 22
Figura 9 - Diagrama de corpo livre para o elemento de cabo com força de atrito
linearizada. ...................................................................................................................... 25
Figura 10 - Modelo linearizado de instalação submarina. .............................................. 31
Figura 11 - Equivalência entre os modelos linear e não-linear. ..................................... 37
Figura 12 – Esquema do método utilizado para definir as constantes de amortecimento.
........................................................................................................................................ 41
Figura 13 - Resultado da DNV vs. modelo apresentado (TCC). .................................... 43
Figura 14 - Detalhe da região destacada na figura 13 - Resultado da DNV vs. modelo
apresentado (TCC). ......................................................................................................... 43
Figura 15 – Deslocamentos ao longo da linha para excitações próximas das frequências
naturais. .......................................................................................................................... 44
Figura 16 - Alguns valores de massa adicional para geometrias simples. [13] .............. 49
Figura 17 - Coeficientes de arrasto para cabos e correntes sob escoamento normal –
Retirado da DNV -RP-C205 [13]. .................................................................................. 50
Figura 18 - Variação da Resposta no fundo com o amortecimento no cabo. ................. 52
Figura 19 – Detalhe da Variação da Resposta no fundo com o amortecimento no cabo.
........................................................................................................................................ 52
Figura 20 - Variação da resposta no fundo com o coeficiente de arrasto do equipamento.
........................................................................................................................................ 53
Figura 21 - Resposta no fundo com e sem equipamento acoplado. ............................... 54
viii
Figura 22 - Amplitudes de movimento do equipamento em função do comprimento do
cabo. ................................................................................................................................ 55
Figura 23 - Tração atuando ao longo da linha de instalação. ......................................... 56
Figura 24 – Casco da embarcação mostrando a posição do guindaste no momento da
instalação. ....................................................................................................................... 59
Figura 25 - RAO do movimento vertical da ponta da lança do guindaste...................... 59
Figura 26 - Espectro de resposta do movimento vertical do equipamento sendo instalado.
........................................................................................................................................ 60
Figura 27 – Espectro de resposta da tração atuando no cabo a uma profundidade de 250
metros quando sob influência do mar local estudado. O comprimento do cabo é 2500m
........................................................................................................................................ 61
ix
Índice de Tabelas
Tabela 1 - Alguns valores para o coeficiente de arrasto encontrados na literatura ........ 20
Tabela 2 - Parâmetros sugeridos para cálculo do coeficiente de atrito tangencial ......... 21
Tabela 3 - Modelo matemático que representa o sistema de instalação submarina ....... 35
Tabela 4 - Parâmetros do problema utilizado para validar o modelo ............................. 42
Tabela 5 - Dados utilizados na análise do estudo de caso .............................................. 46
Tabela 6 - Parâmetros de Análise ................................................................................... 47
Tabela 7 - Propriedades do cabo informadas pelo fabricante ......................................... 47
Tabela 8 - Características do mar estudado .................................................................... 57
Tabela 9 –Características da embarcação utilizada na instalação. ................................. 58
Tabela 10 – Posição relativa da ponta do guindaste ao centro de gravidade da embarcação.
........................................................................................................................................ 59
Tabela 11 - Momentos de área do espectro de movimento vertical do equipamento. ... 60
Tabela 12 - Momentos de área do espectro de resposta de tração em x=250m. ............ 62
1
1. Introdução
Neste trabalho é desenvolvido um modelo matemático com objetivo de representar o
movimento axial de um sistema de instalação em resposta a ação de ondas em águas ultra
profundas. Devido à grande influência da exploração e produção de petróleo na indústria
moderna é natural que este trabalho se contextualize sob tal ótica, porém, suas aplicações
são afins a qualquer atividade de construção submarina onde equipamentos sejam
suspensos por embarcações flutuantes.
1.1. Motivação
A exploração do leito oceânico em águas ultra profundas já ocorre a alguns anos, mas
ainda existem oportunidades de aperfeiçoamento em diversas áreas. O caso mais evidente
ocorre na indústria do petróleo, onde há uma tendência futura de utilização de
equipamentos remotos submarinos nas atividades de exploração e produção. O objetivo
é reduzir o número de ativos de superfície, cujo custo operacional é alto.
Os desafios para desenvolver esta nova era de exploração são vários, entre eles
construir a infraestrutura submarina, a qual depende intrinsicamente da instalação de
novos equipamentos por meio de embarcações de superfície. Alguns destes equipamentos
serão recuperados do leito marinho para serem sucateados, como exige a legislação, ou
utilizados em outros projetos. Isso já acontece e continuará acontecendo no futuro visível,
o que demanda o desenvolvimento de tecnologias de instalação, inclusive no Brasil.
Com isso em mente, estudar o fenômeno é crucial para desenvolvimento da
capacidade técnica em realizar tais operações. A norma RP-H103 - Modelling and
Analysis of Marine Operation - da DNV [1] exige que análises da resposta dinâmica
devem ser realizadas em toda operação de instalação submarina, para todas as
profundidades, durante a fase de planejamento.
Além do mais, com a indústria atual mais competitiva do que nunca, a exploração em
ambientes extremos, como em águas ultra profundas, depende cada vez mais da
tecnologia para diminuir seus custos. Considerando os montantes financeiros envolvidos
neste tipo de atividades, pequenos ganhos de produtividade podem ter impactos
significativos. Dessa forma, compreender fundamentalmente os fenômenos físicos
envolvidos na instalação/recuperação de equipamentos submarinos é fundamental como
ferramenta para melhorar o desempenho de projetos de instalação.
2
1.2. Objetivo do trabalho
Análise do efeito harmônico da ação das ondas na instalação de equipamentos
submarinos em águas profundas e ultra profundas. Desenvolvimento de formulação e
solução do problema de vibração axial na presença de amortecimento não-linear.
2. Fundamentos
Nesta seção são apresentados de forma breve os conceitos utilizados para a análise do
sistema de instalação. O objetivo principal deste trabalho é determinação da resposta do
sistema de instalação quando sob atuação de cargas ambientas, especificamente sobre a
ação oscilatória de ondas. Dessa forma, vamos comentar brevemente sobre as cargas
ambientais atuando na embarcação de instalação e como estas podem ser representadas
por meio de um espectro de mar.
Também de forma breve são abordadas maneirass de estudo da resposta da
embarcação ao mar, alguns riscos associados a operação e algumas técnicas de engenharia
utilizadas para contornar os problemas mais expressivos.
2.1. Teoria de Ondas
Existem diversas teorias desenvolvidas para representar o fenômeno de ondas. A
aplicabilidade de cada uma depende do fenômeno de interesse e da relação entre
comprimento de onda e profundidade. A Figura 1 mostra alguns destes modelos e regiões
de aplicabilidade, como classificadas em [2].
Figura 1 - Aplicabilidade de diferentes modelos de ondas. (Adaptado de [2])
Quando a análise pretendida compreende águas profundas e amplitudes baixas a
teoria linear, também chamada de Stokes de primeira ordem, ou ainda ondas de ondas de
3
Airy é suficientemente adequada e frequentemente utilizada quando o foco da análise é a
cinemática de embarcações. Maiores detalhes sobre a teoria de ondas podem ser
encontrados em [3].
Por ser uma teoria linear as descrições das características do escoamento, como
velocidades, são linearmente dependentes da amplitude de onda. O modelo que
pretendemos derivar também tem essa característica, portanto tal teoria parece ser
adequada para o estudo proposto. Também por este motivo é possível aplicar técnicas de
RAO (Response Amplitude Operator) na determinação da resposta da embarcação nas
análises de vibração, melhor discutido na seção 2.3.
Neste caso, o perfil de onda que se propaga, 𝜂, é dado pela equação (1).
𝜂 = 𝐴 ∗ cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (1)
Onde 𝐴 é a amplitude da onda, 𝑘 é o número de onda, 𝜔 a frequência angular da onda e
𝜆 a distância entre dois picos. As equações (2) 𝑒 (3) definem 𝑘 e 𝜔, respectivamente.
𝑘 =2𝜋
𝜆 𝜔 =
2𝜋
𝑇(2) 𝑒 (3)
Um resultado notável desta teoria é a equação da dispersão (4) , que relaciona a
frequência, comprimento de ondas, profundidade local, ℎ, e a aceleração da gravidade, g.
𝜔2 = 𝑔𝑘 tanh(𝑘ℎ) (4)
2.2. Espectros de Mar
Nas primeiras etapas de qualquer projeto de instalação é necessário obter
conhecimento dos parâmetros de projeto, entre eles as características metaoceanográficas,
do vento, mar e ondas que podem ocorre na locação de interesse. Cada um desses fatores
afeta a embarcação de determinada maneira, impondo forças que resultarão em esforços
e movimentos das estruturas.
O mar pode ser considerado como a combinação de muitas, ou, levando ao limite,
infinitas ondas, cada qual com seu período, fase e amplitude. Dessa abstração podemos
derivar o conceito de espectro de ondas, utilizado como ferramenta para descrever
determinado estado de mar em um espaço finito de tempo.
Por meio de observações e estatísticas de parâmetros como a amplitude e períodos de
pico podemos fazer certas previsões probabilísticas de quantidades fundamentais para
projetos de sistemas oceânicos.
4
Dentre alguns espectros de mar reconhecidos estão os denominados Pierson-
Moskowitz e sua versão aprimorada, JONSWAP, apresentada na equação (5):
𝑆(𝜔) =𝛼𝑔2
𝜔5exp [−𝛽
𝜔𝑝4
𝜔4] 𝛾𝑎 (5)
Com:
𝑎 = exp [−(𝜔 − 𝜔𝑝)
2
2𝜔𝑝2𝜎2
]
𝜎 = {0.07 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔 ≤ 𝜔𝑝
0.09 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔 > 𝜔𝑝}
𝛽 =5
4
𝜔𝑝 =2𝜋
𝑇𝑃
Os fatores presentes na formulação JONSWAP se relacionam com características
físicas do local que representam: A energia fornecida ao sistema é relacionada por 𝛼, 𝜔
é a frequência da onda, 𝜔𝑝 a frequência de pico, a qual depende empiricamente do
comprimento da pista e velocidades de vento e, por fim, 𝛾, um fator de aumento de pico.
O mar é então definido pela energia (relacionada com a amplitude de onda) para cada
faixa de frequência. A Figura 2 apresenta espectros Pierson-Moskowitz e JONSWAP com
parâmetros 𝐻𝑠 = 5 m, 𝜔𝑝 = 0,79 rad/s e 𝛾 = 3,3.
Figura 2 - Espectros de mar utilizados no estudo de caso.
0
1
2
3
4
5
6
7
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Den
sid
ade
esp
ectr
al [
m2 /
s]
Periodo de excitação [s]- 2𝜋/𝜔
Espectros de mar
Pierson-Moskowitz JONSWAP
5
Os espectros – de mar local, swell, ventos, etc. – podem ser linearmente combinados
entre si para uma representação mais precisa do ambiente de operação. Em geral são
considerados os espectros do mar local, decorrente das ondas formadas pelo vento nos
arredores da locação e sem direção preferencial, do(s) swell(s), grupos de ondas formadas
a grandes distâncias e em geral agrupadas em períodos e direções típicas, e o espectro de
vento local. Quanto mais dados metaoceanográficos estiverem disponíveis, mais preciso
o modelo tende a ser em representar a resposta aos vários cenários críticos considerados
no evento de instalação.
Determinado o espectro que representa o mar de interesse podemos calcular algumas
grandezas fundamentais em análises de engenharia. Por exemplo, a amplitude de uma
componente de onda se relaciona com a amplitude do espectro por:
1
2𝐴𝑗
2 = 𝑆(𝜔𝑗)Δ𝜔 (6)
Este recurso é de extrema importância para operações marítimas pois servem como
meios de se obter parâmetros de projeto. Com ele o engenheiro pode estimar quais são as
cargas e com que frequência elas estarão atuando sobre o sistema. Algumas ferramentas
para se trabalhar com espectros são apresentadas na seção 2.3.
Cabe ainda lembrar que estas estatísticas foram desenvolvidas para serem aplicadas a
intervalos curtos de tempos, isto é, intervalos onde o espectro de mar pode ser considerado
constante. Para períodos de tempo mais longos a abordagem precisa ser adaptada para
englobar os efeitos entre estados de mar.
2.3. Espectro de Resposta do Sistema
A maneira como as embarcações reagem as cargas ambientais depende de diferentes
fatores, entre eles seu deslocamento, dimensões (boca, comprimento, borda livre, etc.,),
distribuição de massa, etc.
A resposta da embarcação é determinante na dinâmica do sistema, já que esta seve de
apoio para o sistema de instalação e o movimento desta é transmitido por todo o aparato
até o equipamento sendo instalado/recuperado.
O espectro de resposta da embarcação pode ser determinado de algumas maneiras
diferentes. Para auxiliar na determinação destas grandezas foram desenvolvidos softwares
como o WAMIT e Maxsurf, capazes de fazer os cálculos com bastante eficiência
6
aplicando teorias das faixas, métodos dos painéis, etc. Assumindo a embarcação como
um corpo rígido, a resposta em qualquer localização de interesse pode ser encontrada sem
problemas, e.g., movimentos verticais no ponto de sustentação do aparato de instalação.
Os movimentos entre regiões de interesse são relacionados por funções de transferência,
como a exemplificada em (7):
𝐻𝐿(𝜔) =𝜂𝐿
𝜂𝑎
(7)
Em (7), 𝜂𝐿 e 𝜂𝑎 representam, por exemplo, as amplitudes de resposta do equipamento e
a amplitude de excitação. Repare também que para este caso 𝐻𝐿(𝜔) é dependente da
frequência de excitação, 𝜔.
A Figura 4 mostra como exemplo algumas funções de transferência, nestes casos
também chamadas de RAO 1 (Response Amplitude Operator), para movimentos e
resistência adicionada quando a embarcação é submetida a um mar de través (com direção
de 90° da linha de centro) calculados com referência no centro de gravidade da
embarcação utilizada no estudo de caso da seção 4. Para esta análise foi utilizado o
programa Maxsurf Motions Advanced 64 bits V8i.
Figura 3 - RAOs calculados para a embarcação utilizada como exemplo no estudo de caso.
1 Os termos em inglês foram mantidos por serem mais comumente utilizados.
0
50
100
150
200
250
300
350
0
1
2
3
4
5
6
7
0,25 0,45 0,65 0,85 1,05 1,25 1,45 1,65 1,85 2,05 2,25
Re
sis[
kN/m
2]
RA
O [
m/m
]
Frequência [rad/s]
RAO - Mar de través
Heave Roll Pitch Resistência Adicionada
7
Uma vez determinadas as funções de transferência de interesse, o espectro de
resposta, 𝑆𝐿(𝜔), pode ser utilizado para análise em qualquer estado de mar pela aplicação
da relação (8).
𝑆𝐿(𝜔) =
[𝐻𝐿(𝜔)𝐻𝑎(𝜔)]2𝑆𝐽(𝜔)#(8) 𝑆𝐿(𝜔) = [𝐻𝐿(𝜔)𝐻𝑎(𝜔)]2𝑆𝐽(𝜔) (8)
A equação 𝑆𝐿(𝜔) = [𝐻𝐿(𝜔)𝐻𝑎(𝜔)]2𝑆𝐽(𝜔)#(8) , exemplifica a determinação de
𝑆𝐿(𝜔) pela utilização de duas funções de transferência, 𝐻𝐿(𝜔) e 𝐻𝑎(𝜔) ,
respectivamente, as funções de transferências que relacionam os movimentos do
equipamento sendo instalado com a oscilação do ponto de sustentação, e.g., ponta da
lança do guindaste, e a função de transferência que relaciona os movimentos do ponto de
sustentação com centro de gravidade da embarcação. O termo multiplicador 𝑆𝐽(𝜔) é o
espectro de mar de interesse, por exemplo o dado pela formulação JONSWAP.
Um dos objetivos do projeto de instalação é determinar as faixas de maiores
amplitudes - e trações - em que o sistema irá responder e projetar para que que não sejam
coincidentes com os intervalos de maior energia do mar. Do contrário, combinar as
maiores faixas de energia do mar com os maiores fatores de amplificação pode encarecer
ou inviabilizar o projeto. Se fenômenos de ressonância são inevitáveis, medidas
mitigadoras, como adição de amortecimento, podem ser adotadas.
Seguindo uma abordagem estatística, quantidades chaves nos projetos de instalação
podem ser determinadas a partir do espectro de resposta total. Definirmos os momentos
espectrais como sendo a integral ao longo do domínio do espectro tal que:
𝑚𝑛 = ∫ 𝜔𝑛𝑆(𝜔)𝑑𝜔 (9)
Ao assumir que as amplitudes de onda registradas para determinado estado de mar
seguem uma distribuição de Rayleigh, de banda estreita, podemos calcular alguns
parâmetros importantes para nossas análises. A seguir são apresentados alguns deles:
O valor quadrático médio do espectro, ou RMS (Root Mean Square) pode ser
calculado segundo a equação (10).
𝑅𝑀𝑆 = √𝑚0 (10)
Como exposto por Faltinsen em [4], o valor expressivo mais provável de ocorrer após
a passagem de 𝑁 ondas é dado pela equação (11)
8
𝑅 = √2 ln(𝑁) √𝑚0 (11)
Valores típicos adotados são a passagem de 1000 ondas pela localização da
embarcação. Este é também o período típico para o qual o estado de mar pode ser
considerado como estacionário.
Ainda considerando uma distribuição de Rayleigh, temos a frequência média em que
os picos ocorrem
��𝑃 = √𝑚4
𝑚2 (12)
De forma similar, o período de cruzamento zero é estatisticamente dado por:
��𝑍 = √𝑚0
𝑚2
(13)
E, por fim, a probabilidade de que um valor qualquer 𝑧 seja maior que 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡 pode ser
obtido pela equação (14).
𝑃(𝑧 > 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡) = exp (−𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡
2
2 𝑚0) (14)
Com estas ferramentas e outros parâmetros que podem ser derivados dos espectros é
possível quantificar a resposta do sistema de instalação a diferentes cenários e calcular os
riscos associados a operação em um mar irregular, mas de características conhecidas.
2.4. Sistemas Compensadores de Heave
Como o nome sugere, equipamentos compensadores de heave2 tem como objetivo
eliminar ou reduzir o movimento vertical dos componentes de instalação. Eles aumentam
a segurança da operação por conta de algumas características decorrentes do seu emprego;
redução dos movimentos nas fases críticas de projeto, como durante a passagem por zonas
de ressonância, pouso (assentamento) no leito marinho, operações com ROVs3 (Remote
operated Vehicles), prevenção da ocorrência de snaploads, etc. Além disso, ao diminuir
as acelerações os cabos utilizados na instalação podem ser mais leves e mais baratos, já
que não precisam suportar cargas dinâmicas tão elevadas.
2 O termo “heave” foi adotado por ser o termo mais comum utilizado, inclusive entre falantes nativos do
Português. 3 Equipamentos remotamente controlados.
9
Compensadores de heave podem ser ativos, passivos ou uma combinação de ambos.
Diferentes tecnologias existem para cada esquema de instalação, cada qual com suas
vantagem e desvantagem.
Os sistemas de compensação ativos recebem dados de sensores (acelerômetros,
anemômetros, etc.) que são interpretados e transmitidos ao dispositivo mecânico que irá
atuar no sistema. Basicamente, o sistema de aquisição de movimentos (Movement
Reference Unit – MRU), os quais podem ser dedicados ao sistema de compensção ou
providos pela embarcação, determina as velocidades e acelerações verticais da
embarcação no ponto de lançamento, e então um guincho, atuador hidráulico, ou
combinação de ambos, lança ou recolhe cabo para compensar o movimento e manter o
equipamento numa mesma posição. Este sistema pode atingir grandes níveis de precisão,
mas são mais sofisticados e estão sujeitos a panes.
Equipamentos passivos por outro lado funcionam em geral com arranjos engenhosos
de elementos simples, como a compressão de gases e amortecedores. Os sistemas podem
ser complexos como um todo, mas possuem a desvantagem de não conseguir compensar
completamente os movimentos. Um arranjo básico, apresentado na Figura 4, consiste em
utilizar uma mola pneumática para tracionar o sistema. No evento de a embarcação se
movimentar verticalmente, alterando a tração no cabo, o gás no pistão se comprime ou
expande, pagando ou recolhendo cabo e dessa forma compensando parcialmente o
deslocamento.
Figura 4 - Esquema de um sistema compensador de Heave [5]
10
Uma das vantagens de se utilizar o sistema passivo em conjunto com o ativo é o de
tornar possível atingir uma compensação total com um gasto energético menor do que o
do sistema ativo puro. Uma descrição mais elaborada de alguns métodos de instalação é
dada em [6].
A manipulação da resposta do sistema pode ser feita pela instalação de seções de
elementos de rigidez baixa. Estando o elemento em série com o cabo de instalação, uma
nova rigidez efetiva pode ser calculada, como exemplificada na equação (15):
𝐾 =1
𝐿𝐴𝐸 +
1𝑘𝐶
+1𝑘𝑆
(15)
No exemplo (15), um cabo de comprimento L e rigidez axial 𝐸𝐴 é associado em série
com um compensador com rigidez 𝑘𝐶 e eslingas de rigidez 𝑘𝑠 . Este é por exemplo a
situação onde é empregado um Cranemasters®, Fotografia 1, um sistema de compensação
comercial passivo que é em geral posicionado na extremidade do cabo próximo ao
equipamento sendo instalado.
Fotografia 1 – Cranemaster® - Um exemplo de compensação passiva. ( [7])
11
2.5. Snaploads
Snaploads 4 são carregamentos impulsivos que podem gerar tensões maiores que o do
efeito dinâmico decorrente do carregamento harmônico sozinho. Algumas situações
críticas propiciam o acontecimento deste fenômeno, por exemplo, quando o sistema de
compensação atinge repentinamente o seu limite de curso. Uma outra situação é quando
a amplitude de movimentos devido ao efeito dinâmico ultrapassa certo valor crítico.
Como se sabe, cabos são elementos que não são capazes de suportar carregamentos
compressivos, se em algum instante a força dinâmica é maior que a tração estática, o cabo
fica “frouxo” e snaploads ocorrerão. Alguns tipos de equipamentos utilizados na
instalação de equipamentos, como risers e dutos flexíveis, até podem ter certa capacidade
em suportar carregamentos de compressão, porém, dificilmente são projetados com esta
finalidade. Sendo assim, um bom projeto de instalação visa operar sempre com o sistema
sob tração, prevenindo assim os danos de cargas impulsivas.
O cabo pode ser dito “frouxo” quando o deslocamento relativo entre o objeto que está
sendo içado e o ponto de suporte do sistema de instalação é menor do que o comprimento
do cabo estaticamente tracionado, 𝐿𝑠 . O comprimento de um cabo de comportamento
linear elástico com rigidez axial igual 𝐸𝐴 sob uma carga estática pode ser aproximado
segundo a equação (16).
𝐿𝑠 = 𝐿 [1 +𝑊 +
12 𝑤𝐿
𝐸𝐴] (16)
Onde 𝐿 é o comprimento do cabo e 𝑊 e 𝑤 são respectivamente o peso submerso
(descontado o empuxo) do equipamento sendo instalado e o peso submerso por unidade
de comprimento do cabo de instalação.
Dessa forma, o critério para o cabo esteja sempre sob tração é que o movimento
relativo entre a ponta de sustentação (ponta do guindaste) e o movimento do equipamento
no fundo não ultrapasse o valor de deformação estática causada pelo peso do sistema. Ou
seja, seguindo da equação (16), quando a inequação (17) é válida.
|𝜂𝐿 − 𝜂𝑎| ≥ 𝐿𝑠 − L =𝐿𝑊 +
12 𝑤𝐿2
𝐸𝐴(17)
4 O termo “Snapload” foi conservado por ser o termo mais comum utilizado, inclusive entre falantes nativos
do Português.
12
Com 𝜂𝐿 e 𝜂𝑎 sendo as amplitudes de movimento do equipamento e de excitação na
ponta de sustentação, respectivamente.
Alternativamente, podemos considerar como critério que a amplitude de tração
dinâmica em determinada região do cabo de instalação não ultrapasse o valor de
carregamento estático. Isto é, a tração dinâmica deve ser menor que o peso submerso do
cabo de aço abaixo da região de interesse somado ao peso submerso do equipamento
sendo instalado. Ou seja, o cabo fica frouxo quando o limite dado na equação (18) é
ultrapassado
𝑇𝐷(𝑥) ≥ 𝑇𝑠(𝑥) = 𝑊 + (𝐿 − 𝑥)𝑤 (18)
Onde 𝑇𝐷(𝑥) é a tração atuando a uma profundidade 𝑥 e 𝑇𝑠(𝑥) a tração estática.
2.6. Projetos de Instalações Submarinas
Podendo envolver uma ou múltiplas embarcações e equipes, os projetos aumentam de
complexidade à medida que crescem os desafios. Fatores de projeto críticos a serem
considerados em todas as etapas de projeto são listados a seguir e discutidos em
sequência:
• Tração atuante nos cabos e estruturas
• Movimento dos equipamentos submarinos
• Ressonância do sistema suspenso
• Risco de snaploads
As trações que atuam nos cabos e estruturas devem estar sempre abaixo dos limites
pré-estabelecidos para os materiais e coeficientes de segurança empregados. Quando
atuando de forma harmônica, mesmo carregamentos baixos podem fazer com que estes
limites sejam alcançados, sendo um bom exemplo o carregamento decorrente da
passagem de ondas pela embarcação de instalação.
Da forma mais básica possível, para otimizar o projeto é necessário que as
frequências de excitações dos cenários críticos de instalação (tamanho de linha, período
de ondas, ventos, etc.) estejam fora das faixas de ressonância do sistema planejado. Para
tal, ainda na etapa de projeto, a resposta da embarcação e do ponto de içamento (e.g.,
ponta da lança do guindaste) em determinado estado de mar devem ser minuciosamente
estudados, já que estes influem drasticamente na resposta do sistema.
13
Objetivamente o que se deseja é minimizar os movimentos do sistema como um todo.
Além de reduzir as deformações de elementos estruturais, e, portanto, as tensões no
sistema, se limitam também os movimentos do equipamento sendo instalado, o que é
fundamental para garantir a segurança da operação. Grandes amplitudes e acelerações
podem dificultar ou impedir o acoplamento entre equipamentos, além de aumentar o risco
de choques com estruturas, embarcações, ROVs e o leito oceânico.
Janelas de operação devem ser sempre consideradas, já que a ação de vento e ondas
pode inviabilizar a instalação. Além disso, legislações e normas limitam a velocidade
máxima do vento em operações de içamento como forma de manter controlado o risco de
acidentes. Um dos objetivos traçados na etapa de projeto é que a embarcação opere o
maior tempo possível, ou seja, ampliar as janelas operacionais e, portanto, maximizar o
número de cenários climáticos (situações de ventos, correntes e estados de mar) nos quais
operações podem ser conduzidas com segurança.
A minimização de todos os riscos citados anteriormente pode ser feita, por exemplo,
pela aplicação de arranjos engenhosos que manipulam rigidez e amortecimentos dos
elementos do sistema de forma a minimizar as respostas de elementos críticos. Outra
possibilidade é a utilização de elementos ativos como compensadores de heave,
discutidos na seção 2.4., e durantes as etapas de planejamento pela escolha da técnica e
de equipamentos adequados.
Fotografia 2 - Instalação de um template de 285 toneladas no Mar do Norte (Subsea7).
Indispensável comentar que a viabilidade financeira é um fator crucial ao projeto.
Com a diária de uma sonda de perfuração ou uma embarcação de construção offshore na
14
casa das centenas de milhares de dólares, mobilizar embarcações deste tipo para uma
operação de instalação requer uma etapa prévia de estudos de viabilidade. O projeto de
instalação deve, portanto, ser econômico na sua seleção, envolvendo o menor número
possível de recursos (pessoal, embarcações, equipes, etc.), e a opção mais barata em geral
é a mais simples.
3. Desenvolvimento do Modelo Matemático
O modelo físico utilizado para descrever o movimento axial do sistema de instalação
é esquematizado na Figura 5. O sistema é excitado por um deslocamento vertical
harmônico na extremidade superior do cabo de instalação e uma massa na extremidade
inferior representa a inércia que o equipamento submerso adiciona ao sistema. Uma força
dissipativa distribuída na superfície do cabo de instalação e uma força de arrasto atuando
sobre o equipamento na extremidade do fundo, ambas proporcionais ao quadrado da
velocidade, retiram energia do sistema.
Figura 5 - Modelo de instalação submarina não-linear
Na Figura 5, 𝐿 é o comprimento do cabo, 𝐴 a área transversal, 𝐸 o módulo de
elasticidade, 𝐴𝑃 é a área projetada do equipamento, 𝑀 a massa virtual do equipamento
(considerando a massa adicional), 𝐶�� e 𝐶�� são constantes de proporcionalidade, 𝑈0 a
15
amplitude do deslocamento imposto, 𝜔 a frequência angular do deslocamento imposto, 𝑢
é o deslocamento, 𝑥 a variável espacial e 𝑡 a temporal.
3.1. Semelhança, Atrito e Arrasto Viscoso
Para contemplar a interação do cabo ou riser de instalação com o meio fluido
circundante adicionaremos ao modelo uma força que atua tangencialmente em toda a
superfície do cabo submerso. O objetivo é representar a dissipação viscosa que atua
retirando energia do sistema quando este se movimenta.
A forma corriqueira utilizada para representar o arrasto com o fluido é:
𝐹𝐷 = − 𝐶𝐷 ∙ 𝑉2 (19)
Onde 𝐶𝐷 é um fator de proporcionalidade, 𝑉 a velocidade local do sistema e o sinal
de negativo para indicar que é uma força contrária ao movimento.
Para entender melhor como chegamos a equação (19) e a origem do fator de
proporcionalidade 𝐶𝐷 precisamos discutir melhor as leis de semelhança e como esta
abordagem se aplica no projeto de instalações submarinas.
Denominando os índices 𝑚 e 𝑝 como sendo relativos a modelo e protótipo, considere
as seguintes relações de proporcionalidade para comprimento, velocidade e densidade do
fluido, respectivamente nas equações 20a, 20b e 20c,
𝐿𝑝 = 𝛼𝐿 . 𝐿𝑚 (20. 𝑎)
𝑉𝑝 = 𝛼𝑉 . 𝑉𝑚 (20. 𝑏)
𝜌𝑝 = 𝛼𝜌 . 𝜌𝑚 (20. 𝑐)
Utilizando os parâmetros de proporcionalidade 𝛼 definidos em ( 20 ) podemos
relacionar as proporções entre áreas, volumes e massas subíndices 𝑆 , 𝑣 e 𝑀 ,
respectivamente dadas pelas equações 21a, 21b e 21c.
𝛼𝑆 = 𝛼𝐿2 (21. 𝑎)
𝛼𝑣 = 𝛼𝐿3 (21. 𝑏)
𝛼𝑀 = 𝛼𝜌 . 𝛼𝐿3 = 𝛼𝜌 . 𝛼𝑣 (21. 𝑐)
Se quisermos relacionar as forças entre o modelo e o protótipo, podemos escrever:
𝐹𝑃 = 𝛼𝐹 . 𝐹𝑚 (22)
O parâmetro 𝛼𝐹 da equação (22) pode ser obtido pela aplicação direta da segunda lei
de movimento de Newton:
16
𝛼𝐹 = 𝛼𝑀 . 𝛼𝐴 = (𝛼𝜌 . 𝛼𝐿3) . (
𝛼𝑉2
𝛼𝐿) = 𝛼𝜌 . 𝛼𝐿
2 . 𝛼𝑉2 (23)
Onde utilizamos as definições de velocidade, aceleração e massa das equações (20) e
(21.c) para reescrever o fator 𝛼𝐴, como apresentado na equação (24).
𝛼𝐴 =𝛼𝑉
𝛼𝑇=
𝛼𝑉
𝛼𝐿
𝛼𝑉
=𝛼𝑉
2
𝛼𝐿
(24)
Substituindo os resultados de (23) na equação (22), lei de movimento de Newton
temos:
𝐹𝑃 = 𝛼𝜌 . 𝛼𝐿2 . 𝛼𝑉
2 . 𝐹𝑚 (25)
Sendo que também podemos reescrever o resultado em (25) da seguinte forma:
𝐹𝑃
𝐹𝑀= 𝛼𝜌 . 𝛼𝐿
2 . 𝛼𝑉2 (26)
Substituindo em (26) as definições de 𝛼 dadas em (20) chega-se a equação (27).
𝐹𝑃
𝐹𝑀=
𝜌𝑝 . 𝐿𝑝2 . 𝑉𝑝
2
𝜌𝑚 . 𝐿𝑚2 . 𝑉𝑚
2(27)
Ainda, ao adicionar ao denominador e numerado da equação (27) um novo termo 1
2𝐶
chegamos a equação (28).
𝐹𝑃
𝐹𝑀=
12 𝐶 . 𝜌𝑝 . 𝐿𝑝
2 . 𝑉𝑝2
12
𝐶 . 𝜌𝑚 . 𝐿𝑚2 . 𝑉𝑚
2(28)
E finalmente, por inspeção da equação (28) podemos deduzir que:
𝐹𝑃 = 𝐶 .1
2 . 𝜌𝑝 . 𝐿𝑝
2 . 𝑉𝑝2 (29. 𝑎)
𝐹𝑀 = 𝐶 .1
2 . 𝜌𝑀 . 𝐿𝑀
2 . 𝑉M2 (29. 𝑏)
Ou seja, podemos definir a força de arrasto como sendo:
𝐹𝐷 =1
2𝜌𝑉2 𝐶𝐷 𝐴 (30)
Na equação (30) 𝜌 é a massa específica do meio, 𝐴 uma área caraterística, 𝑉 a
velocidade de escoamento e 𝐶𝐷 o coeficiente que correlaciona protótipo e modelo.
17
Ainda na equação(30) é interessante observar que a força é proporcional a uma área
característica e a constante de arrasto, 𝐶𝐷, que é a mesma para o protótipo e para o modelo
e independente da escala adotada. Uma explicação mais detalhada está disponível em [8].
Ainda, nota-se que foi adicionado o termo 1/2 para que a pressão de estagnação
aparecesse no resultado, forma comumente encontrada na bibliografia para equação de
arrasto.
O valor da constante pode ser obtido prontamente rearranjando (30):
𝐶𝐷 =𝐹𝐷
12 𝜌𝑉2𝐴
(31)
Podemos então comparar a equação para o arrasto, (30), com a bem conhecida no
campo da hidrodinâmica, formulação de Morison. Utilizada para quantificar a força
atuando em cilindros submersos sob ação de escoamentos transversais, ela é amplamente
utilizada no projeto de estruturas submarinas. A equação (32) apresenta a formulação em
uma de suas versões.
𝐹(𝑡) =𝜋
4 𝜌 𝐶𝑀 𝐷2 ��(𝑡) +
1
2 𝜌 𝐶𝐷 𝐷 𝑢(𝑡) |𝑢(𝑡)| (32)
Na equação (32) , 𝜌 é a massa específica do fluido, 𝐶𝑀 e 𝐶𝐷 são constantes, 𝐷 o
diâmetro característico do cilindro e 𝑢 a velocidade do escoamento em um ponto distante
do objeto.
A primeira parcela da equação corresponde a força inercial consequência do
deslocamento do fluido nas imediações do cilindro enquanto a segunda parcela é
decorrente do arrasto. Notamos que a parcela de arrasto, proporcional a 𝐶𝐷, tem a mesma
forma que a utilizada no modelo proposto.
Diferentes maneiras foram concebidas para determinação dos coeficientes. Uma
maneira experimental simples proposta por Morison em seu trabalho original consiste em
oscilar o corpo de prova no fluido e registrar a força de reação. Ao comparar o valor da
força lido nos momentos onde a velocidade e aceleração impostas são nulos, podemos
obter exclusivamente os termos de arrasto e inerciais, respectivamente. Veja a Figura 6
para uma demonstração gráfica. Conhecendo os parâmetros do sistema a determinação
das constantes segue de forma imediata pela aplicação da equação (32).
18
Figura 6 - Método proposto por Morison para determinação das constantes CD e CM, [8] .
Pela aplicação dos conceitos de semelhança o efeito que o amortecimento do fluido
causa em um protótipo pode ser experimentalmente obtido e daí extrapolado para o
equipamento real, com quilômetros de comprimento. Hoje já se encontram tabelados na
bibliografia resultados para a maioria das geometrias simples, exemplo de [9] e [10].
O outro termo apresentado na equação (32), proporcional a 𝐶𝑀 , é referente aos
efeitos inerciais de aceleração do meio fluido que circunda. No problema de vibração
axial, espera-se que o fluido sofra aceleração expressiva apenas nos arredores da
extremidade livre do cabo de instalação, e por esta área ser muito pequena podemos
desprezar estes efeitos. Entretanto, na presença de um equipamento conectado,
conjectura-se que a massa de fluido acelerada é relevante, e a adição de uma massa virtual
equivalente é utilizado como artifício para capturar o fenômeno de aceleração do fluido.
Importante também notar que para escoamento oscilatório os coeficientes de arrasto
podem se tornar bem maiores que os obtidos para escoamentos permanentes. O número
(adimensional) de Keulegan-Carpenter (𝐾𝐶), juntamente com o número de Reynolds
19
(𝑅𝑒) e a rugosidade relativa (Δ) das estruturas submersas são utilizados para classificar o
escoamento. Estes estão apresentados nas equações (33) a (35).
𝐾𝐶 =𝑢 𝑇
𝐷=
2𝜋 𝑍𝑚
𝐷(33)
𝑅𝑒 =𝑢 𝐷
𝜈(34)
Δ =𝑘𝑟
𝐷(35)
A dimensão característica do objeto é 𝐷, 𝜈 a viscosidade cinemática, 𝑍𝑚 é a amplitude
das oscilações, 𝑇 o período de oscilação e 𝑘𝑟 a rugosidade da superfície. Alguns autores
referem-se também a um parâmetro denominado de frequência viscosa, 𝛽, definido pela
razão entre Reynolds e 𝐾𝐶, equação (36).
𝛽 =𝑅𝑒
𝐾𝐶(36)
O fato do escoamento ser oscilatório pode elevar o coeficiente de arrasto em mais que
o dobro quando comparado com o escoamento uniforme. A Figura 7, extraída da
referência [1] exemplifica alguns dos resultados presentes na bibliografia para este
fenômeno por base no número de Keulegan-Carpenter, [11].
Figura 7 - Variação de CD com KC, [11].
Com base no discutido, no modelo implementado neste trabalho considerou-se a força
de atrito com o fluido que atua na superfície do cabo de instalação como sendo:
𝐹𝑓 =1
2𝜌 𝐶𝐷𝑓 𝐷 𝐿
𝜕𝑢
𝜕𝑡|𝜕𝑢
𝜕𝑡| (37)
20
Ou ainda, a força por unidade de comprimento como sendo:
𝐹′𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐶T
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡|𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡| (38)
Com:
𝐶T =1
2𝜌 𝐶𝐷𝑓 𝐷 (39)
Onde 𝜌 é a massa específica do fluido, 𝐶𝐷𝑓 o coeficiente de fricção com o cabo, 𝐷 o
diâmetro do cabo e 𝑠 a quantidade de cabo submerso. Alternativamente temos 𝐹′𝑓 como
a força por unidade de comprimento de cabo em conjunto com 𝐶𝑇 , o coeficiente utilizado
para cálculo no modelo.
De forma similar, a força de arrasto devido a presença do equipamento na extremidade
do cabo é assumida no modelo como sendo:
𝐹𝐷(𝐿, 𝑡) =1
2𝜌 𝐶𝐷𝑧 𝐴𝑃
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡|𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡| (40)
Ou então:
𝐹𝐷 = 𝐶𝐷
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡|𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡| (41)
Com:
𝐶𝐷 =
1
2𝜌 𝐶𝐷𝑧 𝐴𝑃 (42)
Alguns valores para 𝐶𝐷 disponíveis na referência [1] são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 - Alguns valores para o coeficiente de arrasto encontrados na literatura
21
O coeficiente de fricção longitudinal é em geral bem pequeno, e métodos foram
desenvolvidos para quantifica-lo. Um deles é o proposto por Eames em [12], o qual
consiste em adotar o coeficiente de fricção longitudinal como uma função do coeficiente
de arrasto normal e o ângulo de ataque com o escoamento, 𝛼, equação (43).
𝐶𝐷𝑓 = 𝐶𝐷 . [ 𝑚 + 𝑛 . 𝑠𝑒𝑛(𝛼)] . cos(𝛼) (43)
Alguns coeficientes propostos por Eames, [13], para serem utilizados na equação
(43) são apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 - Parâmetros sugeridos para cálculo do coeficiente de atrito tangencial
Superficies m n
Cabos nus, Cilíndros Lisos. 0.02-0.03 0.04-0.05
Cabos Revestidos 0.25-0.50 0.50-0.25
Cabos Trançados (6 strands5) 0.03 0.06
Em muitos casos encontrados na literatura este é desprezado frente à magnitude das
outras forças atuantes. Entretanto, para instalação a grandes profundidades, conjectura-se
que a grande área de cabo submersa possa tornar este fator relevante para análise, o que
é investigado nos resultados deste trabalho.
3.2. Vibração Axial de um Cabo Contínuo com Amortecimento Viscoso
ao Longo da Linha
Ao considerar uma porção infinitesimal da linha de instalação percebemos que as
forças atuantes sobre esta são: A tração no cabo, o amortecimento viscoso decorrente do
contato como o meio fluido externo e a força do peso submerso (peso próprio descontado
os efeitos de empuxo do meio). Por hora vamos desconsiderar este último pois seu efeito
global é apenas a adição de um deslocamento estático, e nosso objetivo é estudar a
resposta dinâmica do sistema. Ele ainda é utilizado, entretanto, posteriormente na
averiguação de snaploads e trações totais atuando no cabo.
A força de dissipação devido ao atrito com o meio fluido é corriqueiramente tratada
como proporcional ao quadrado da velocidade do escoamento, e a constante de
amortecimento irá depender das características do escoamento (rugosidade, número de
5 Strands são os trançados de arames menores, que por sua vez são trançados entre si para compor o cabo.
22
Reynolds e Keulegan-Carpenter, para escoamentos oscilatórios). O valor da constante
pode ser obtido de diferentes formas, sendo ensaios laboratoriais e modelos numéricos
algumas delas, como já discutido na seção 3.1.
O diagrama de corpo livre e sentidos de atuação das forças consideradas é apresentado
na Figura 8. Nele temos a tração atuando no cabo, 𝑇, junto com uma força dissipativa
oriunda do atrito com o fluido, proporcional ao quadrado da velocidade local e ao termo
𝐶��.
Figura 8 - Diagrama de corpo livre para elemento de cabo com amortecimento não-linear.
Fazendo o equilíbrio de forças, por meio da aplicação da segunda lei de Newton
chegamos a equação de governo:
−𝑇 + (𝑇 + 𝑑𝑇) − 𝐶𝑇
𝜕𝑢
𝜕𝑡|𝜕𝑢
𝜕𝑡| = 𝜌 . 𝐴 .
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2𝑑𝑥 (44)
Com:
𝐶�� =1
2𝜌𝑤 𝐶𝐷𝑓 𝐷 (45)
Na equação (45) 𝜌𝑤 é a massa específica da água do mar, 𝐷 o diâmetro característico
do cabo e 𝐶𝐷𝑓 o coeficiente de atrito longitudinal.
O módulo utilizado em um dos termos de velocidade da equação (44) é para que a
força de atrito com o fluido seja sempre dissipadora de energia.
23
Vamos considerar o comportamento do sistema como sendo linear elástico, isto é,
onde é válida a relação:
𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐴𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥(46)
Na equação (46), 𝐸 é o módulo de elasticidade do sistema e 𝐴 seção transversal do
cabo de instalação. Essa equação constitutiva é uma boa aproximação para cabos de aço
e riser rígidos, mas não tanto para risers flexíveis, umbilicais, materiais poliméricos e
outros aparatos de instalação, que são mais bem aproximados com modelos não-lineares
ou bi-lineares. Este é um ponto interessante que pode ser abordado em trabalho futuros,
juntamente com efeitos de dissipação de energia internamente.
Substituindo a equação constitutiva (46) pode-se escrever a equação de governo para
o modelo proposto em sua forma concisa como sendo:
𝑐2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2+ 𝛾
𝜕𝑢
𝜕𝑡|𝜕𝑢
𝜕𝑡| (47)
Na equação (46), o termo 𝑐 é reconhecido como sendo a celeridade da onda, isto é, a
velocidade com que uma onda de pressão longitudinal se propaga ao longo do meio. Este
fator é função dos parâmetros geométricos e das propriedades físicas do material
empregado segundo a equação (48).
𝑐 = √𝐸
𝜌𝑐= √
𝐸𝐴
𝑚(48)
O cálculo de 𝑐 é função dos termos 𝜌𝑐 ou 𝑚, dependentes das características do cabo
de instalação, sendo eles a massa específica, dada em [𝑘𝑔
𝑚3], e a massa linear, de unidade
[𝑘𝑔
𝑚], respectivamente.
A constante 𝛾 é o fator que engloba os efeitos de amortecimento do sistema, definida
na equação (49).
𝛾 =𝐶��
𝑚(49)
24
Nota-se que para o sistema não amortecido, fazendo 𝛾 nulo, a equação de governo se
reduz à conhecida equação de onda:
𝑐2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2(50)
A solução da equação (50) pode ser encontrada pelo método de separação de
variáveis e é apresentada em (51).
𝑢(𝑥, 𝑡) = U0 . [𝑎1 . cos (𝜔. 𝑥
𝑐) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛 (
𝜔. 𝑥
𝑐) )] . 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) (51)
Novamente, as constantes 𝑎1 e 𝑎2 são dadas pelas condições de contorno do
problema.
3.3. Vibração Axial com Termo de Amortecimento Linearizado
O termo quadrático na equação de governo (47) complica de certa forma a solução,
sendo necessário o emprego de técnicas complexas que demandam bastante tempo,
recursos e nem sempre culminam em soluções exatas.
Para pequenas velocidades o termo de amortecimento é relativamente pequeno, dessa
forma iremos considerar que a força de atrito varia linearmente com a velocidade do
escoamento local e conforme uma nova constante 𝐶��𝑙. Seguindo o mesmo processo
anterior, chegamos à equação na forma linearizada:
𝑐2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2+ 𝛾𝑙
𝜕𝑢
𝜕𝑡 (52)
A constante 𝛾𝑙 na equação (52) é o fator que engloba os efeitos de amortecimento
do sistema, definida por:
𝛾𝑙 =𝐶��𝑙
𝑚(53)
25
A linearização é um instrumento simplificador que segue da hipótese que a ordem de
grandeza das velocidades de escoamento decorrentes da atuação de ondas é pequena, tal
como o esperado para o sistema oscilatório considerado.
Um valor adequado deve ser calculado para a constante 𝐶�� do novo modelo
linearizado pois a constante 𝐶𝑇 foi obtida postulando-se o atrito como proporcional ao
quadrado da velocidade. O tratamento para chegar ao valor equivalente é descrito na
seção 3.6.
Além disso, na realidade os valores de 𝐶��𝑙, e 𝐶��, variam ao longo do cabo/coluna de
instalação pois são dependentes da amplitude de oscilação, a qual assume valores
diferentes ao longo do comprimento. No modelo desenvolvido este valor é assumido
constante, obtido da média de cada ponto da coluna por meio de integração.
Novamente analisando as forças atuantes num elemento genérico do aparato de
instalação podemos atualizar o diagrama de corpo livre da Figura 8 para o sistema
linearizado, apresentado na Figura 9. Como anteriormente, desprezamos os efeitos do
peso próprio e empuxo
Figura 9 - Diagrama de corpo livre para o elemento de cabo com força de atrito linearizada.
26
3.4. Solução do Problema de Vibração Axial Amortecido
Como discutido anteriormente, a vibração axial com amortecimento fluido no meio
da linha pode ser representada pela equação (52) , já os efeitos decorrentes do
amortecimento local devido ao arrasto do equipamento, a ação das ondas e a inércia
devido a presença do equipamento serão englobados pelas condições de contorno do
sistema, que serão definidas na seção 3.5.
Prosseguindo para a resolução, como o movimento imposto pelas ondas tem natureza
oscilatória vamos buscar uma solução da forma:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐹(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) + 𝐺(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (54)
As funções 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) são incógnitas do problema e dependem das condições de
contorno empregadas. Como de costume, derivamos a equação (54) e substituímos na
equação de governo, (52). Utilizando alguma manipulação algébrica chegamos a:
𝜕2𝐹(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) + 𝜔2 𝐹(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) + 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐺(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡)
= −𝜕2𝐺(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) − 𝜔2 𝐺(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) + 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐹(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (55)
Ao separar a equação (55) entre os termos proporcionais a seno e cosseno fica
evidente que para que a equação seja verdadeira em todo o tempo é preciso que sejam
simultaneamente satisfeitas as equações (56. 𝑎) e (56. 𝑏).
𝜕2𝐹(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 + 𝜔2 𝐹(𝑥) + 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐺(𝑥) = 0 (56. 𝑎)
𝜕2𝐺(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 + 𝜔2 𝐺(𝑥) − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐹(𝑥) = 0 (56. 𝑏)
27
Multiplicando a equação (56. 𝑏) pelo número imaginário i6 temos;
𝜕2𝐺(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 . 𝑖 + 𝜔2 𝐺(𝑥) . 𝑖 − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐹(𝑥) . 𝑖 = 0 (57)
Somando a equação (57) com a equação (56. 𝑎) chegamos a equação (58).
𝜕2𝐺(𝑥)
𝜕𝑥2 𝑐2 . 𝑖 + 𝜔2 𝐺(𝑥) . 𝑖 − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐹(𝑥) . 𝑖
+ 𝑐2𝜕2𝐹(𝑥)
𝜕𝑥2+ 𝜔2 . 𝐹(𝑥) + 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝐺(𝑥) = 0 (58)
Considere então a função complexa 𝑋(𝑥) e suas derivadas definidas pelas equações
(59. 𝑎) a (59. 𝑐):
𝑋(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) . 𝑖 (59. 𝑎)
𝜕𝑋(𝑥)
𝜕𝑥=
𝜕𝐹(𝑥)
𝜕𝑥+
𝜕𝐺(𝑥)
𝜕𝑥 . 𝑖 (59. 𝑏)
𝜕2𝑋(𝑥)
𝜕𝑥2=
𝜕2𝐹(𝑥)
𝜕𝑥2−
𝜕2𝐺(𝑥)
𝜕𝑥2(59. 𝑐)
Substituindo as equações (59) na equação de governo (58), após alguma manipulação
algébrica chegamos a (60):
𝜕2𝑋(𝑥)
𝜕𝑥2+ [
𝜔2 − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝑖
𝑐2] 𝑋(𝑥) = 0 (60)
A equação (60) pode ser reescrita substituindo o parâmetro 𝐶 da equação (62):
𝜕2𝑋(𝑥)
𝜕𝑥2+ 𝐶2 . 𝑋(𝑥) = 0 (61)
6 Definição do número imaginário: 𝑖 = √−1
28
O parâmetro 𝐶 é constante e dependente apenas dos valores iniciais do problema:
𝐶2 =𝜔2 − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝑖
𝑐2=
𝑚 . 𝜔2 − 𝑐𝑇𝑙 . 𝜔 . 𝑖
𝐸𝐴(62)
A solução da equação (62) é conhecida e na forma harmônica pode ser expressa por:
𝑋(𝑥) = 𝑎1 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥) (63)
Onde 𝑎1 e 𝑎2 são termo constantes que variam conforme o problema. Uma vez
definidas estas constantes a solução do problema de vibração axial é definida.
As funções 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) na equação (54) podem ser determinadas pela separação em
partes reais e imaginárias da solução encontrada para 𝑋(𝑥), equação (63), isto é:
𝐹(𝑥) = ℜ[𝑋(𝑥)] = ℜ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] (64. 𝑎)
𝐺(𝑥) = ℑ[𝑋(𝑥)] = ℑ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] (64. 𝑏)
A solução do deslocamento segue imediatamente pela substituição das equações (64)
em (54):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ℜ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡)
+ℑ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (65)
Ou seja, com auxílio de duas condições de contorno - uma no topo do cabo e outra no
fundo do aparato de instalação - podemos determinar as constantes e descrever o
movimento do sistema.
O resultado em (65) pode ser expandido além do apresentado pela aplicação das
relações obtidas por expansão em série de Taylor:
29
cosh(x) = cos (i . x)
cos(x) = cosh (i . x)
𝑖 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑖 . 𝑥)
𝑖 . 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑖 . 𝑥)
Se definirmos as duas constantes complexas subsequentes como sendo:
𝑝 =1
√2√√(
𝜔2
𝑐2)
2
+ (−𝛾𝑙 . 𝜔
𝑐2)
2
+𝜔2
𝑐2(66. 𝑎)
𝑞 =−1
√2√√(
𝜔2
𝑐2)
2
+ (−𝛾𝑙 . 𝜔
𝑐2)
2
−𝜔2
𝑐2(66. 𝑏)
A equação (65) pode ser reescrita pela substituição das equações (66) como:
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝑎1 . cos(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥)] . 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡)
+[𝑎1 . sen(𝑝 . 𝑥) . 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑞 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑐𝑜𝑠(𝑝 . 𝑥). sinh (𝑞 . 𝑥)] . 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (67. 𝑎)
É interessante notar que ao fazer com que 𝛾𝑙 seja muito pequeno podemos assumir
que:
𝑝 =𝜔
𝑐
𝑞 = 0
E a solução da equação (67. 𝑎) se torna:
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝑎1 . cos (𝜔 . 𝑥
𝑐) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛 (
𝜔 . 𝑥
𝑐) )] . 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) (67. 𝑏)
A expressão (67. 𝑏) é exatamente o resultado encontrado para o problema de vibração
axial não amortecida, solução da equação de onda, equação (51), cuja expressão foi
apresentada no final da seção 3.2.
30
3.5. Problema de Valor de Contorno para o Modelo de Instalação
3.5.1. Equipamento Acoplado ao Fundo
O arranjo de instalação mais básico é aquele onde o equipamento é suspenso pelo
topo e com auxílio do guincho do guindaste paga-se cabo de instalação até que este
chegue ao fundo, sendo este o problema que iremos resolver nesta seção.
A inercia que o equipamento submerso adiciona ao modelo é considerado pela
inclusão de uma massa na extremidade final do cabo. Salvo o amortecimento distribuído
ao longo da linha, o problema é muito parecido com o de um sistema massa-mola-
amortecedor, onde o cabo é o elemento restaurador (a mola) e o arrasto do equipamento
a força de dissipação de energia (amortecimento).
Nota-se que a dimensão da massa adicionada ao fundo deve ser a massa do
equipamento propriamente dito somada aos efeitos de massa adicional. A massa efetiva
atuando é denominada massa virtual. Tal fenômeno representa o conjunto de reações
decorrentes da aceleração do fluido no qual o equipamento está submerso. É possível
calcular analiticamente esta dimensão para certas formas simples, mas tal efeito pode se
tornar bastante complexo, já que formas complexas e proximidade com barreiras (como
o leito oceânico e estruturas) tem grande importância neste dimensionamento. No modelo
desenvolvido foi feita uma aproximação que representa a inércia em um mar infinito, i.e.,
sem interações com corpos próximos.
Movimento é imposto ao sistema pela extremidade superior do cabo de instalação,
conectado à ponta da lança de um guindaste, guincho, etc., dependendo do arranjo de
instalação selecionado. Um modelo mais completo pode considerar os efeitos da rigidez
de tais elementos pela associação em série com o cabo de instalação. Neste trabalho
vamos focar na resposta do sistema cabo-massa-amortecedor quando é feita a aplicação
de um deslocamento harmônico no topo.
Os efeitos de amortecimento com o fluido considerados no modelo têm duas
naturezas; o decorrente do atrito do fluido com a superfície do cabo de instalação e o
amortecimento concentrado no fundo consequência do escoamento através/no entorno do
equipamento sendo instalado. Os efeitos do amortecimento devido ao fluido circundante,
que tem natureza quadrática com a velocidade, serão tratados linearmente em conjunto
de uma constante de proporcionalidade, como discutidos na seção 3.3.
31
A Figura 10 é um esquemático do modelo de instalação com a representação das
condições de contorno e forças atuando.
Figura 10 - Modelo linearizado de instalação submarina.
A solução para a vibração axial do cabo de instalação foi derivada na seção 3.4,
equação (65), restando apenas a determinação das constantes 𝑎1 e 𝑎2, que englobam os
efeitos de ondas, amortecimento localizado no fundo e inércia do equipamento instalado.
Iremos encontrar a primeira constante aplicando a condição de contorno de
deslocamento harmônico na extremidade do topo, isto é;
𝑢(0, 𝑡) = 𝐹(0) 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) + 𝐺(0) 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) = 𝑈0 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) (68)
Na equação (68) 𝑈0 é a amplitude do movimento na ponta da lança e 𝜔 a frequência
de excitação.
Para que a equação (68) seja verdade em todo o tempo, temos que:
𝐹(0) = 𝑈0
32
e
𝐺(0) = 0
Recordando as equações (64) onde as funções 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) correspondem
respectivamente as partes reais e imaginárias de (63), podemos escrever:
𝐹(0) = ℜ[𝑎1 . cos(𝐶 . 0) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 .0) ] = ℜ[𝑎1] = 𝑈𝑜
e
𝐺(0) = ℑ[𝑎1 . cos(𝐶 . 0) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 .0) ] = ℑ[𝑎1 ] = 0
Ou seja, está definida a primeira constante:
𝑎1 = 𝑈0 + 0. 𝑖 = 𝑈0 (69)
A resposta do sistema amortecido quando é imposto um deslocamento harmônico no
topo fica então sendo:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ℜ[𝑈0 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡)
+ℑ[𝑈0 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (70)
A condição de contorno remanescente é obtida pelo equilíbrio de forças na
extremidade no fundo, onde conecta-se o equipamento instalado.
A tração ao longo da linha de instalação, e por consequência a força atuando na
extremidade, pode ser encontrada por meio da equação constituinte do material. Para o
caso linear elástico adotado, a equação constitutiva é dada por (71).
𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐴 𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥= 𝑚 𝑐2
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥(71)
33
O amortecimento concentrado é oriundo da força de arrastro casuada pela presença
do equipamento sendo instalado. Esta tem direção e sentidos contrários ao movimento e
sua magnitude é segundo (72)
𝐹𝐷 =1
2𝜌 𝐶𝐷𝑧𝐴𝑃 |
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥|
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥(72)
No modelo é empregada a linearização do termo de velocidade da mesma forma e
pelos mesmos argumentos aplicados ao amortecimento distribuído ao longo do cabo de
instalação discutido na seção 3.2. A força de amortecimento local utilizada no modelo é
dada por (73).
𝐹𝐷 = 𝐶��
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥|𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥| = 𝑐𝑒𝑞
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥(73)
O valor de 𝐶�� é definido em (42) e sua equivalência com 𝐶𝐷𝑧 é tratada na seção 3.6.
Já os efeitos inerciais decorrentes do acoplamento de um equipamento ao fundo são
dados pela aplicação da lei de Newton, compreendidos pelo termo:
𝐹𝐼 = 𝑀𝜕2𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡2(74)
Somando as parcelas expressas nas equações (71), (73) e (74), quando atuam na
extremidade do fundo, chega-se a segunda condição de contorno:
𝑚 𝑐2𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥+ 𝑀
𝜕2𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡2+ 𝑐𝑒𝑞
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥= 0 (75)
Ao substituir a equação (70), equação de governo, na equação (75) da condição de
contorno, após algum algebrismo podemos escrever a equação:
[𝜕𝐹(𝐿)
𝜕𝑥−
𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2𝐹(𝐿) −
𝑐𝑒𝑞 . 𝜔
𝑚 . 𝑐2𝐺(𝐿)] 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡)
34
+ [𝜕𝐺(𝐿)
𝜕𝑥−
𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2𝐺(𝐿) +
𝑐𝑒𝑞. 𝜔
𝑚 . 𝑐2𝐹(𝐿)] 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) = 0 (76)
Ou ainda, para que a equação acima seja verdade em todo o tempo é necessário que:
𝜕𝐹(𝐿)
𝜕𝑥+
𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2𝐹(𝐿) +
𝑐𝑒𝑞 . 𝜔
𝑚 . 𝑐2𝐺(𝐿) = 0 (77. 𝑎)
𝜕𝐺(𝐿)
𝜕𝑥+
𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2𝐺(𝐿) −
𝑐𝑒𝑞. 𝜔
𝑚 . 𝑐2𝐹(𝐿) = 0 (77. 𝑏)
Substituindo nas equações (77) as expressões (64) para 𝐹(𝐿), 𝐺(𝐿) e suas derivadas,
chegamos a:
ℜ[−𝑎1 . 𝐶 . sen(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝐶 . 𝑐𝑜𝑠(𝐶 . 𝐿) ]
+𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2 . ℜ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝐿) ] (78. a)
−𝑐𝑒𝑞. 𝜔
𝑚 . 𝑐2. ℑ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝐿) ] = 0
e
ℑ[−𝑎1 . 𝐶 . sen(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝐶 . 𝑐𝑜𝑠(𝐶 . 𝐿) ]
+𝑀 . 𝜔2
𝑚 . 𝑐2 . ℑ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝐿) ] (78. b)
−𝑐𝑒𝑞. 𝜔
𝑚 . 𝑐2. ℜ[𝑎1 . cos(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝐿) ] = 0
Como a constante 𝑎1 já foi definida, as equações (78. a) e (78. b) podem ser
simultaneamente resolvidas para chegar a constante 𝑎2 faltando, e finalmente até a
solução.
A Tabela 3 define o modelo matemático de instalação submarina. E a solução é dada
pela equação (67).
35
Tabela 3 - Modelo matemático que representa o sistema de instalação submarina
𝑐2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2+ 𝛾𝑙
𝜕𝑢
𝜕𝑡 (𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑜𝑣𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝑢(0, 𝑡) = 𝑈0 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) (𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜)
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥=
𝑀
𝑚 𝑐2
𝜕2𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑡2+
𝑐𝑒𝑞
𝑚 𝑐2
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥 (𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑜)
Ou ainda, a solução da equação (67) pode ser escrita na seguinte forma:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡 + 𝛿(𝑥)) (79. 𝑎)
Onde:
𝐴(𝑥) = √𝐹(𝑥)2 + 𝐺(𝑥)2 (79. 𝑏)
E
𝛿(𝑥) = tan−1 (𝐺(𝑥)
𝐹(𝑥)) (79. 𝑐)
Ou ainda:
𝐴(𝑥) = {[𝑎1 . cos(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥)]2
+ [𝑎1 . sen(𝑝 . 𝑥) . 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑞 . 𝑥) − 𝑎2 . 𝑐𝑜𝑠(𝑝 . 𝑥). sinh (𝑞 . 𝑥)]2}12
E:
𝛿(𝑥) = tan−1 (𝑎1 . sen(𝑝 . 𝑥) . 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑞 . 𝑥) − 𝑎2 . 𝑐𝑜𝑠(𝑝 . 𝑥). sinh(𝑞 . 𝑥)
𝑎1 . cos(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥) + 𝑎2 . 𝑠𝑒𝑛(𝑝 . 𝑥) . cosh(𝑞 . 𝑥))
3.5.2. Cabo Solto
Após a instalação, durante o recolhimento do cabo não existem mais a massa e
amortecimento concentrados na extremidade inferior da coluna/cabo de instalação.
Portanto, uma outra equação de movimento da resposta final pode ser deduzida segundo
as novas condições de contorno.
A solução derivada anteriormente na seção 3.5.1 continua válida, é claro, bastante
tornar a massa e amortecimentos concentrados nulos. Entretanto esta solução é
computacionalmente bem mais onerosa quando comparada com a que iremos deduzir em
sequência.
36
A condição de contorno no topo não se altera e é dada por (68). Já para a base do cabo
uma nova condição de contorno existe: Se o cabo está livre, podemos pela aplicação da
segunda lei de Newton escrever:
𝑇(𝐿, 𝑡) = 𝑚 𝑐2𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥= 0 (80)
De (80) temos que:
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥= 0 (81)
A equação (81) define a condição de contorno para o cabo livre. Substituindo a
solução para 𝑢(𝑥, 𝑡) da equação (55) em (81) temos:
𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)
𝜕𝑥=
𝜕𝐹(𝐿)
𝜕𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡) +
𝜕𝐺(𝐿)
𝜕𝑥. 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) = 0 (82)
Para que a equação (82) seja verdade em todo o tempo temos necessariamente que:
𝜕𝐹(𝐿)
𝜕𝑥=
𝜕𝐺(𝐿)
𝜕𝑥= 0 (83)
Substituindo por sua vez o resultado de (83) na função complexa 𝑋(𝑥) da equação
(59. 𝑎) escrevemos:
𝜕𝑋(𝐿)
𝜕𝑥=
𝜕𝐹(𝐿)
𝜕𝑥+
𝜕𝐺(𝐿)
𝜕𝑥. 𝑖 = 0 (84)
Substituindo os valores de 𝐹(𝐿) e 𝐺(𝐿) dados pelas equações (64) em (84) temos:
𝜕𝑋(𝐿)
𝜕𝑥= − 𝑎1. 𝐶. 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝐿) + 𝑎2. 𝐶. 𝑐𝑜𝑠(𝐶 . 𝐿) = 0 (85)
Como 𝑎1 já foi determinado pela condição de contorno do topo podemos encontrar a
constante restante resolvendo a equação (85):
37
𝑎2 = 𝑎1 . 𝑡𝑎𝑛(𝐶 . 𝐿) = 𝑈0 . 𝑡𝑎𝑛(𝐶 . 𝐿) (86)
A solução final segue pela substituição das constantes:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ℜ[𝑈0 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑈0 . tan(𝐶 . 𝐿) . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑠𝑒𝑛(𝜔 . 𝑡)
+ℑ[𝑈0 . cos(𝐶 . 𝑥) + 𝑈0 . tan(𝐶 . 𝐿) . 𝑠𝑒𝑛(𝐶 . 𝑥)] 𝑐𝑜𝑠(𝜔 . 𝑡) (87)
Com:
𝐶2 =𝜔2 − 𝛾𝑙 . 𝜔 . 𝑖
𝑐2
3.6. Determinação das Constantes de Amortecimento Equivalentes para
o Sistema Linearizado
O objetivo final é que a solução do sistema linearizado seja igual à do problema de
vibração axial não-linear descrito na seção 3.2, Figura 11. Nesta seção são deduzidos os
valores que as constantes de amortecimento assumem após o procedimento de
linearização descrito na seção 3.3.
Figura 11 - Equivalência entre os modelos linear e não-linear.
38
Assim como para o caso não-linear, o valor da constante de proporcionalidade irá
depender das características do escoamento oscilatório e do revestimento dos
equipamentos. É possível relacionar as constantes de amortecimento ao fazer com que a
dissipação de energia seja equivalente em ambos os casos.
Isto é, sendo a potência dissipada pelas forças de atrito dada por 𝑊 =
(𝐹𝑜𝑟ç𝑎) x 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒, para os casos linearizado e não-linear temos respectivamente:
𝜕𝑊𝑙
𝜕𝑡= (𝐶𝑇𝑙
∙𝜕𝑢
𝜕𝑡) ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡(88. 𝑎)
𝜕𝑊
𝜕𝑡= (𝐶𝑇 ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡∙ |
𝜕𝑢
𝜕𝑡| ) ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡(88. 𝑏)
O módulo de seno até então utilizado não é mais necessário pois o interesse é na
intensidade da força e na energia dissipada. Igualando ambos e integrando para um ciclo
como apresentado na equação (89):
∫ [(𝐶𝑇𝑙∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡) ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡] 𝑑𝑡
𝑇
0
= ∫ [(𝐶𝑇 ∙𝜕𝑢
𝜕𝑡∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡 ) ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑡 ] 𝑑𝑡
𝑇
0
(89)
Onde:
𝑇 =2 𝜋
𝜔(90)
A velocidade pode ser escrita por:
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡= −𝜔 ∙ 𝐴(𝑥) ∙ sen(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝛿(𝑥)) (91)
Descartamos o termo da fase, 𝛿(𝑥), pois estamos interessados na energia dissipado
em qualquer ciclo. Iremos substituir as equações (91.b) em (89) e então resolver as
integrais para encontrar o amortecimento equivalente para o modelo linearizado.
39
Iniciando pelo amortecedor na base, oriundo do arrasto localizado causado pelo
equipamento, ao igualar a energia dissipada no ciclo temos:
∫ [(𝐶𝑒𝑞 ∙ 𝐴(𝐿) ∙ 𝜔 ∙ sen(𝜔𝑡)) ∙ 𝐴(𝐿) ∙ 𝜔 ∙ sen(𝜔𝑡)] 𝑑𝑡𝑇
0
= ∫ [( 𝐶𝐷 ∙ 𝐴(𝐿) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔 ∙ 𝑡) ∙ 𝐴(𝐿) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔 ∙ 𝑡) )
𝑇
0
∙ |𝐴(𝐿) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔𝑡) |] 𝑑𝑡
𝐴(𝐿)2𝜔2𝐶𝑒𝑞 ∫ sen2(𝜔 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡𝑇
0
= 𝐴(𝐿)3𝜔3 𝐶𝐷 ∫ sen2(𝜔 ∙ 𝑡) ∙ |sen (𝜔𝑡) | 𝑑𝑡
𝑇
0
𝜔2𝐶𝑒𝑞
𝜋
𝜔 = 𝐴(𝐿) 𝜔3 𝐶𝐷
8
3 𝜔
𝐶𝑒𝑞 =8 𝜔 𝐴(𝐿)
3𝜋 𝐶𝐷
𝐶𝑒𝑞 =8 𝜔 (𝐹(𝐿)2 + 𝐺(𝐿)2)
12
3𝜋 𝐶𝐷
(92)
Chama-se atenção neste ponto para o fato de o termo 𝐴(𝐿) (ou 𝐹(𝐿) e 𝐺(𝐿)) ser
dependente do fator de amortecimento o qual desejamos calcular. Para encontrar a
constante final utilizamos um simples esquema iterativo delineado na Figura 12.
De forma similar, para encontrar o fator de amortecimento que atua ao longo de toda
a extensão igualamos as taxas de dissipação. Entretanto, um esforço adicional é
necessário nessa parte, isso porque a velocidade tangencial do fluido varia tanto no tempo
quanto ao longo da extensão do cabo. Ou seja, cada região infinitesimal do cabo está
sujeita a uma constante de amortecimento linearizada diferente, i.e., 𝛾𝑙 = 𝛾𝑙(𝑥). Para
tratar esta situação foi utilizado um valor médio de velocidade, de forma que a resposta
na extremidade do cabo de instalação deve ser a mesma.
40
1
𝐿∫ ∫ [(𝐶𝑇𝑙
∙ 𝐴(𝑥) ∙ 𝜔 ∙ sen(𝜔 ∙ 𝑡)) ∙ 𝐴 ∙ 𝜔 ∙ sen(𝜔 ∙ 𝑡)]𝐿
0
𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑇
0
=1
𝐿∫ ∫ [(𝐶𝑇 ∙ 𝐴(𝑥) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔 ∙ 𝑡) ∙ 𝐴(𝑥) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔 ∙ 𝑡) ) ∙ 𝐴(𝑥) ∙ 𝜔 ∙ sen (𝜔
𝐿
0
𝑇
0
∙ 𝑡) ] 𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝐶𝑇𝐿. 𝜔3
𝐿∫ ∫ 𝐴(𝑥)2sen2(𝜔 ∙ 𝑡)
𝐿
0
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑇
0
= 𝐶𝑇 . 𝜔3
𝐿∫ ∫ 𝐴(𝑥)3sen2(𝜔 ∙ 𝑡) ∙ |sen (𝜔𝑡) |
𝐿
0
𝑇
0
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝐶𝑇𝑙 . 𝜔2. 𝜋 ∫ 𝐴(𝑥)2
𝐿
0
𝑑𝑥 =8
3 𝐶𝑇 . 𝜔3 ∫ 𝐴(𝑥)3
𝐿
0
𝑑𝑥
𝐶𝑇𝑙 ∫ 𝐴(𝑥)2
𝐿
0
𝑑𝑥 =8
3
𝐶𝑇 . 𝜔
𝜋 ∫ 𝐴(𝑥)3
𝐿
0
𝑑𝑥
𝐶𝑇𝑙. ∫(𝐹(𝑥)2 + 𝐺(𝑥)2)
𝐿
0
𝑑𝑥 =8
3
𝐶𝑇 . 𝜔
𝜋∫(𝐹(𝑥)2 + 𝐺(𝑥)2)
32
𝐿
0
𝑑𝑥
𝐶𝑇𝑙=
8
3
𝐶𝑇 . 𝜔
𝜋
∫ (𝐹(𝑥)2 + 𝐺(𝑥)2)32
𝐿
0𝑑𝑥
∫ (𝐹(𝑥)2 + 𝐺(𝑥)2)𝐿
0𝑑𝑥
(93)
As equações (92) e (93) assumem que já é conhecida a resposta do problema. Sendo
assim, as constantes não-linearizadas foram utilizadas como ponto de partida, e a solução
delas encontradas utilizadas para o cálculo das novas constantes linearizadas. O processo
de busca iterativa apresentado na Figura 12 foi utilizado para encontrar a solução final.
41
Figura 12 – Esquema do método utilizado para definir as constantes de amortecimento.
Durante o desenvolvimento do trabalho notou-se que um bom chute inicial é
necessário para a convergência em níveis adequados. Utilizar a amplitude de excitação
como ponto de partida faz, em geral, para regiões fora da ressonância, o resultado
convergir para valores de amplitudes discrepantes, definidas como menos de 0,5% entre
iterações subsequentes, em até 5 iterações. Próximo da ressonância, entretanto, a melhor
abordagem encontrada foi utilizar como chute o último valor dado como satisfatório.
Além do mais, como a convergência para o resultado não tem comportamento
monotônico, a média entre valores subsequentes foi utilizada satisfatoriamente para
acelerar a convergência.
Resolução do problema
Cálculo das constantes linearizas
Diferença entre amplitudes
(velocidades)
Resultado final
Chutes iniciais baseado na
amplitude de excitação
Novas coeficientes de amortecimento
42
4. Estudo de Caso
4.1. Validação do Modelo
Para validar o modelo e códigos desenvolvidos foi feita a análise para o problema
presente na referência [1] e os resultados confrontados com a metodologia de cálculo
proposta pela classificadora. Os parâmetros da análise são apresentados na Tabela 4.
Tabela 4 - Parâmetros do problema utilizado para validar o modelo
Parâmetro/variável Símbolo Valor Unidade
Massa (Incluindo Massa Adicional) 𝑀 190000 kg
Massa linear do Cabo 𝑚 25 kg/m
Comprimento do Cabo 𝐿 3000 L
Rigidez Axial 𝐸𝐴 3.00E+08 N
Densidade da Água do Mar 𝜌 1025 Kg/m3
Diâmetro do Cabo 𝐷𝑐 0.04 m
Coeficiente de Fricção longitudinal do Cabo 𝐶𝐷𝑓 0.02 Adm
Coeficiente de Arrasto Vertical 𝐶𝐷𝑧 1.0 – 2.0 Adm
Área Projetada do Objeto Sendo Içado 𝐴𝑃 25 m2
Amplitude do Movimento Forçado 𝜂𝑎 1 m
Segundo a formulação apresentada na norma, a amplitude de movimento na
extremidade inferior da linha, onde é instalado o equipamento é dado pela equação (94).
|ηL| = 𝜂𝑎 |𝑘 𝐸𝐴
𝑘 𝐸𝐴 cos(𝑘 𝐿) + (−𝜔2 𝑀 + 𝑖 𝜔 Σ)𝑠𝑒𝑛(𝑘 𝐿)| (94)
E os coeficientes de amortecimentos linearizados atuando no cabo e no objeto sendo
içado são dados respectivamente pelas equações (95) e (96):
Σ =4
3 𝜋 𝜌 𝐶𝐷𝑧 𝐴𝑃 𝜔 𝜂𝐿 (95)
𝜎 =4
3𝜌 𝐶𝐷𝑓 𝐷𝑐 𝜔 𝜂𝑎 (96)
43
Note que o coeficiente de amortecimento que atua no cabo, 𝜎 , é constante e
proporcional a amplitude do movimento imposto no topo. Esta é uma hipótese
simplificadora, pois, como discutido anteriormente, idealmente este coeficiente varia com
a amplitude do movimento e, portanto, varia ao longo do cabo. Esta formulação é também
diferente do proposto no modelo desenvolvido neste trabalho, o qual utiliza os valores
médios de amplitude ao longo do cabo para cada frequência de excitação avaliada.
A comparação entre os resultados pode ser vista nas Figura 13 eFigura 14.
Figura 13 - Resultado da DNV vs. modelo apresentado (TCC).
Figura 14 - Detalhe da região destacada na figura 13 - Resultado da DNV vs. modelo apresentado (TCC).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0,7 5,7 10,7 15,7 20,7
Am
plit
ud
e (m
/m)
Período (s)
Resposta do equipamento sendo instalado
TCC: Cd = 1.0
TCC: Cd = 1.5
TCC: Cd = 2.5
DNV: Cd = 1.0
DNV: Cd = 1.5
DNV: Cd = 2.5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0,74 0,94 1,14 1,34 1,54 1,74 1,94 2,14 2,34
Am
plit
ud
e [m
/m]
Período [s]
Resposta do equipamento sendo instaladoDetalhe em altas frequências
TCC: Cd = 1.0
TCC: Cd = 1.5
TCC: Cd = 2.5
DNV: Cd = 1.0
DNV: Cd = 1.5
DNV: Cd = 2.5
44
Analisando as Figura 13 eFigura 14 percebemos a grande concordância do modelo
aqui desenvolvido com a formulação consolidada na norma DNV-RP-H103, referência
[1], apenas perdendo aderência nos picos de pequenos períodos, altas frequências,
detalhados na Figura 14. A discrepância observada é esperada e decorrente do processo
de linearização. Ao adotar o termo de amortecimento atuando no cabo, 𝜎, constante, o
resultado da DNV é sub-amortecido para amplitudes grande, como as que acontecem
próximo dos períodos de ressonância.
A discrepância não é evidente no pico maior, próximo à frequência natural, pois neste
caso o amortecimento é governado pelo arrasto do equipamento, cuja linearização leva
em consideração a amplitude do movimento. Já no segundo e terceiro modo de vibração,
a amplitude na extremidade do fundo é pequena, o arrasto do equipamento é menor e a
força de atrito atuando ao longo do cabo passa a ser o amortecimento dominante na
resposta.
A Figura 15 mostra os deslocamentos ao longo da linha para períodos de excitação
próximos aos períodos de ressonância. Neles é possível observar o modo dominante em
cada situação.
Figura 15 – Deslocamentos ao longo da linha para excitações próximas das frequências naturais.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Am
plit
ud
e [
m]
Profundidade [m]
Deslocamentos ao longo da linha próximo as frequências de ressonância
T = 9,75 s T = 1,67 s T = 0,86 s
45
Na Figura 15 é possível observar uma inversão brusca próximo à extremidade final.
Acredita-se que isto acontece devido a efeitos dinâmicos decorrentes da propagação da
onda longitudinal através do cabo de instalação. Tal fenômeno é observado quando o
período de excitação é menor ou igual ao tempo necessário para que um pulso se propague
uma distância mínima igual a dois comprimentos de cabo. Isto é:
𝑇 ≤ 𝜏 =2𝐿
𝑐(97)
Este é o caso para o primeiro e segundo pico de ressonância, que acontecem
respectivamente em 1,67 e 0,85 segundos, enquanto o valor de 𝜏 calculado para o modelo
é 1,73 segundos.
Por fim, vale comentar que como o termo de fricção tangencial no cabo é
normalmente pequeno a ponto de ser desprezado, a formulação apresentada na DNV-RP-
H103 [1], com amortecimento constante ao longo do cabo, é razoável ou conservadora
para a grande maioria das aplicações.
4.2. Cenário
Para este estudo de caso vamos analisar a instalação uma árvore de natal no percurso
totalmente submerso entre a plataforma e a posição próxima do leito marinho, a 2500
metros de profundidade. Vamos supor que unidade de construção submarina disponível
para fazer a instalação possui um guindaste cujo guincho tem equipado um cabo de aço
cujas especificações são conhecidas. Queremos avaliar a viabilidade técnica dessa
instalação utilizando os equipamentos a mão.
Fotografia 3 - Árvore de Natal submarina da FMC (Girassol).
46
Os dados relevantes as estas análises foram obtidas de tecnologias tradicionalmente
empregadas na indústria offshore e estão compilados nas Tabela 5 e Tabela 6.
Tabela 5 - Dados utilizados na análise do estudo de caso
Equipamento Instalado
Parâmetro/Variável Símbolo Valor Unidade
Massa do Equipamento 𝑀’ 65,00 t
Massa Adicional 𝐴33 20,15 t
Fator de Massa Adicional 𝐶𝐴 0,31 adm
Massa Efetiva 𝑀 85,15 t
Área Projetada 𝐴𝑃 20 m2
Comprimento x Largura x Altura a x b x h 5 x 4 x 4 m
Coeficiente de Arrasto vertical 𝐶𝐷𝑧 1,2 adm
Aparato de Instalação
Comprimento do Cabo 𝐿 50 − 2500 m
Módulo de Young 𝐸 99,2 GPa
Área Transversal 𝐴 0,001572 m2
Produto Área e Módulo de Young 𝐸𝐴 156 MN
Diâmetro Externo Nominal 𝑂𝐷 52 mm
Diâmetro Interno 𝐼𝐷 𝑁/𝐴 mm
Coeficiente de Preenchimento 𝐶𝐹 0,74 adm
Massa Linear 𝑚 13,5 kg/m
Carga Mínima de Ruptura 𝑀𝐵𝐿 253 t
Celeridade da Onda de Pressão 𝑐 3399,3 m/s
Coeficiente de Fricção
Longitudinal 𝐶𝐷𝑓 0,02
adm
47
Tabela 6 - Parâmetros de Análise
Meio Ambiente
Parâmetro/Variável 𝑺í𝒎𝒃𝒐𝒍𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 Unidade
Profundidades 𝐷𝑝𝑡 0 − 2500 m
Amplitude de Movimento 𝑈0 1 m
Frequência de Onda* 𝜔 𝜋 − 𝜋/10 rad/s
Período de Ondas* 𝑇 2 − 20 s
Massa específica do Mar 𝜌𝐻 1025 Kg/m3
*Os períodos e frequências típicas até onde o espectro de mar possui energia
significativa.
4.2.1. Características do Cabo de Instalação
Cabos de guindaste são tipicamente construídos por trançados de cabos de aço. Sua
área transversal efetiva pode ser calculada por:
𝐴 =𝜋 . 𝑂𝐷2
4 . 𝐶𝐹 (98)
Onde 𝐶𝐹 é um coeficiente de preenchimento fornecido pelo fabricante do cabo de aço,
As características do cabo de aço retiradas do catálogo [14] estão na Tabela 7.
Tabela 7 - Propriedades do cabo informadas pelo fabricante
Parâmetro/Variável Símbolo Valor Unidade
Diâmetro Externo 𝑂𝐷 52 mm
Área Metálica 𝐴 1572 mm2
Rigidez Axial 𝐸𝐴 156 MN
Módulo de Elasticidade 𝐸 99,2 GPa
Massa Linear 𝑀 13,5 Kg/m
Limite Mínimo de Ruptura 𝑀𝐵𝐿 253 toneladas
Coeficiente de Preenchimento 𝐶𝐹 0,74 adm
48
4.2.2. Período Fundamental
O período fundamental para o sistema não amortecido pode ser encontrado através da
resolução da equação transcendental (99), como descrito em [15].
𝛼 tan(𝛼) = 𝛽 (99)
Na equação (99) 𝛼 e 𝛽 são dados por:
𝛼 =𝜔𝑛𝐿
𝑐(100. 𝑎)
E
𝛽 =𝐸𝐴 𝐿
𝑐2 𝑀(100. 𝑏)
Resolvendo iterativamente chegamos aos valores para a frequência natural de 𝜔0 =
0,37 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ou então 𝑇𝑜 = 8,64 𝑠, quando 𝛼 = 3090470 e 𝛽 = 0,40. O período natural
do sistema amortecido é diferente do apresentado, porém próximo, sendo útil em diversas
análises práticas do ponto de vista de engenharia.
4.2.3. Massa Adicional
Antes de prosseguir para o cálculo de massa adicional é preciso definir o regime de
escoamento pelo número de Reynolds. Estimando a faixa de velocidades em que o
sistema oscilará encontramos também a faixa de Reynolds:
𝑅𝑒 = 𝑢𝐷
𝜈≈ 2𝑒04 − 3.5𝑒05 (101)
Por simplicidade a geometria do equipamento instalado será considerada como um
paralelepípedo sólido. A DNV-RP-H103 [1] recomenda uma aproximação a massa
adicional gerada por um corpo tridimensional com lados verticais como sendo:
𝐴33 ≈ [1 + √1 − 𝜆2
2(1 + 𝜆2)] . 𝐴330
(102. 𝑎)
49
Com:
𝜆 =√𝐴𝑝
ℎ + √𝐴𝑃
(102. 𝑏)
Onde 𝐴𝑃 é a área projetada, ℎ é a altura do objeto, 𝐴330 é a massa adicional para a placa
plana horizontal de mesma forma da área projetada do objeto7.
O coeficiente de massa adicional é dado por:
𝐶𝐴 =𝐴330
𝜌𝐴(103)
Para a placa plana retangular de dimensões 5 x 4 metros, base do equipamento sendo
instalado, da Figura 16 temos 𝐶𝑎 = 0,642. Calculando a massa adicional para a base:
𝐴330= 𝐶𝐴 . 𝜌 . 𝐴 = 13161,0 (104)
Calculando o termo 𝜆 para então obter a massa adicional para o objeto tridimensional:
𝜆 = 0,528
Logo, a massa adicional é:
𝐴33 = 20151,0 [kg] (105)
Figura 16 - Alguns valores de massa adicional para geometrias simples. [13]
7 Se dados mais precisos da geometria do corpo estiverem disponíveis o cálculo de massa adicional pode
ser feito para elementos individuais e assim atingir maior acurácia para o equipamento. Provavelmente seria
menor que a aqui calculada pela consideração de perfurações no corpo por onde a água poderia escoar
50
4.2.4. Arrasto na Extremidade do Cabo de Instalação Provocado pelo
Equipamento Sendo Instalado
Estimando a faixa de velocidades em que o sistema oscilará encontramos também a
faixa de Reynolds:
𝑅𝑒 = 𝑢𝐷
𝜈≈ 2𝑒04 − 3.5𝑒05 (106)
Da Figura 17 obtemos o coeficiente de arrasto para a forma do equipamento instalado
como sendo 𝐶𝐷𝑧 = 1,2. Substituindo os dados do problema chegamos até:
𝐶𝐷 =
1
2𝜌 𝐶𝐷𝑧 𝐴𝑃 = 12300 (107)
A força de arrasto é dada pela equação (40) e (41).
4.2.5. Força de Fricção Atuando ao Longo da Superfície do Cabo/Coluna de
Instalação
A constante 𝐶𝐷𝑓 adotada será definida a partir da formulação apresentada na seção
3.1. Assumimos o escoamento totalmente tangencial, e, da Tabela 2, adotamos o valor 𝑚
sugerido para cabos de aço trançados, i.e., 0.03. O valor do coeficiente 𝑛 não é relevante
quando o escoamento é totalmente tangencial. Já a faixa de coeficientes de arrasto com
escoamento normal foi extraída da Figura 17 , sendo de 1.5 até 1.8. Dessa forma, a faixa
𝐶𝐷𝑓 para cabos de aço é de 0.045 até 0.055.
Figura 17 - Coeficientes de arrasto para cabos e correntes sob escoamento normal – Retirado da DNV -RP-C205 [13].
Lembrando que a força de atrito que atua na superfície do cabo de instalação por
unidade de comprimento é considerada sendo como a dada pela equação (38)
Para a faixa de 𝐶𝐷𝑓 possíveis temos:
𝐶𝑇 = 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎[ 1,20 − 1,44 ] (108)
51
Daí podemos calcular a faixa de fatores de amortecimento 𝛾𝑙 que serão investigados
no modelo, e sua relevância relativa na resposta final:
𝛾𝑙 =𝐶𝑇
𝑚= 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎[ 0,09 − 0,11 ] (109)
4.2.6. Peso submerso
Para calcular o peso submerso da árvore de natal vamos utilizar o peso seco, 40
toneladas, e subtrair o empuxo. Para calcular o empuxo vamos considerar o
paralelepípedo formado pelas dimensões máximas (5m x 4m x 4m) multiplicado por um
fator de permeabilidade igual a 0,35 (baseado em estimativas geométricas). Sendo assim
o peso submerso do objeto sendo instalado é:
𝑊 = 𝑀′ − 𝐸 = 36300 [kgf] = 356,1 [𝑘𝑁] (110)
De forma similar, para um elemento de cabo de 1 metro, baseado na área metálica
encontrada no manual:
w = 11,89 [kgf
m] = 116,6 [𝑁] (111)
Alternativamente, podemos considerar como critério que a amplitude de tensão
dinâmica em determinada região do cabo de instalação não ultrapasse o valor de
carregamento estático. Isto é, a tensão dinâmica deve ser menor que o peso submerso do
cabo de aço abaixo da região de interesse somado ao peso submerso do equipamento
sendo instalado. Ou seja, o cabo fica frouxo segundo o critério da equação (112):
𝑇𝐷(𝑥) ≥ 𝑇𝑠𝑛𝑎𝑝(𝑥) = 𝑊 + (𝐿 − 𝑥)𝑤
𝑇𝐷(𝑥) ≥ 𝑇𝑠(𝑥) = 356100 + (𝐿 − 𝑥) ∙ 116,6 (112)
OBS: Aproximadamente 30 metros de cabo ficam fora da água durante a instalação,
mas este efeito foi desconsiderado por simplicidade.
52
4.3. Resultados
4.3.1. Deslocamentos, Períodos de Ressonância e Efeitos do Amortecimento
O efeito do atrito tangencial é bem pequeno na resposta de movimento do
equipamento sendo instalado, sendo imperceptível a variação dentro da faixa de
amortecimento recomendada para cabos de aço trançados encontrados na literatura (0,045
até 0,055), de forma que foi utilizado o valor médio de 0,05. As Figura 18 e Figura 19
mostram a variação da amplitude como função do coeficiente de atrito com o cabo para
diversas frequências de excitação.
Figura 18 - Variação da Resposta no fundo com o amortecimento no cabo.
Figura 19 – Detalhe da Variação da Resposta no fundo com o amortecimento no cabo.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Am
plit
ud
e [m
]
Tempo [s]
Efeito de fricção tangencial do cabo no movimento do equipamento
Ct = 0,0 Ct = 0,025 Ct = 0,05 Ct = 0,075
1,5
2
2,5
3
3,5
6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11
Am
plit
ud
e [m
]
Tempo [s]
Efeito de fricção tangencial do cabo no movimento do equipamento
Ct = 0,0 Ct = 0,025 Ct = 0,05 Ct = 0,075
53
Já o efeito do arrasto devido à presença do equipamento no fundo tem efeito
considerável na resposta do movimento, principalmente em frequências próximas da
ressonância. A Figura 20 demonstra a amplitude de movimento do equipamento para
alguns diferentes coeficientes de arrasto, onde é observado um aumento de
aproximadamente 30% na amplitude máxima quando o coeficiente de arrasto diminui
pela metade, de 1,6 para 0,8.
Figura 20 - Variação da resposta no fundo com o coeficiente de arrasto do equipamento.
Ou seja, o detalhamento do arrasto provocado pelo equipamento pode ter impactos
significativos no projeto de instalação e deve ser foco de investigação maior quando
possível.
Retornando aos valores de 𝐶𝑑 e 𝐶𝑓 calculados para o estudo de caso, respectivamente
1,2 e 0,05, construímos o gráfico do movimento do equipamento ao longo do tempo para
frequências próximas à ressonância do sistema. Este está apresentado na Figura 21 em
conjunto com a resposta da extremidade do fundo do cabo de instalação após a
desconexão do equipamento.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Am
plit
ud
e [m
]
Período de excitação [s]
Efeito do arrasto do equipamento no movimento
Cd = 0,8 Cd = 1 Cd = 1,2 Cd = 1,4 Cd = 1,6
54
Figura 21 - Resposta no fundo com e sem equipamento acoplado.
Notamos a diferença de fase entre o movimento do topo e do fundo ocasionado pelo
amortecimento do sistema. Ou seja, a variação de movimento no topo só acontece
aproximadamente 1,8 segundos depois na extremidade do fundo, o que pode ser relevante
dependendo da operação sendo realizada.
Podemos também observar como a resposta do sistema se altera pela presença do
equipamento. No caso em questão, após a remoção do equipamento (e o amortecimento
por ele causado) a amplitude do movimento reduz drasticamente. Em uma análise rápida
calculamos a nova frequência natural na ausência da massa efetiva na extremidade do
cabo:
𝑇0 = √𝑚 𝐿2
3
𝐸𝐴= 2,67 [𝑠] (113)
Ou seja, nesta situação específica estamos distantes da ressonância e por isso os
movimentos são minimizados. Poderíamos, porém, ter encontrados resultados contrários,
com a amplificação do movimento da extremidade do cabo após a desconexão do
equipamento caso a frequência de excitação esteja próxima da nova frequência natural do
sistema.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Am
plit
ud
e [m
]
Tempo [s]
Amplitude de movimento nas extremidades ao longo de um ciclo
T = 8,2 s
Movimento excitado no extremidade do topo.
Extremidade do fundo com equipmaneto acomplado
Extremidade do fundo sem equipmaneto acomplado
55
4.3.1. Trações atuando no cabo
A amplitude de tração pode ser prontamente encontrada do resultado calculado para
o movimento pela diferenciação em relação a um elemento de cabo, dada pela equação
(46).
A Figura 22 demostra a amplitude do movimento do equipamento sendo instalado
como função do comprimento do cabo. A medida se paga cabo a resposta do sistema se
altera, e as zonas onde a maior amplificação de movimento são encontradas também
variam.
Figura 22 - Amplitudes de movimento do equipamento em função do comprimento do cabo.
Ainda na Figura 22 temos traçado o limite máximo que a tração dinâmica pode atingir
sem que haja ruptura do cabo de instalação, já considerado o peso do equipamento, MBL.
É interessante notar que o ponto crítico para extremidade do fundo quando sob
excitação de 3 segundos acontece ainda em profundidades rasas, próximas a 400 metros
de profundidade, sendo neste ponto o fator de segurança é menor que 2.
Notando os picos de amplitude é possível perceber uma pequena tendência de que os
maiores movimentos ocorrem para os maiores comprimentos de cabo (equipamento
0
500
1000
1500
2000
2500
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
50 300 550 800 1050 1300 1550 1800 2050 2300
Traç
ao [
kN]
Am
plit
ud
e [
m]
Comprimento do cabo [m]
Amplitudes e trações máximas na extremidade do fundo
Amplitude: T = 13 Amplitude: T = 8,0
Amplitude: T = 6,3 Amplitude: T = 4,2
Amplitude: T = 3,1 Tração: T = 13
Tração: T = 8,0 Tração: T = 6,3
Tração: T = 4,2 Tração: T = 3,1
MBL
56
próximo da profundidade final). Já as maiores trações ocorrem para pequenos
comprimentos de cabo sob oscilações forçadas de alta frequência.
Idealmente análises completas devem ser realizas para as várias profundidades em
todo o percurso entre a embarcação e a localização onde a embarcação será instalada.
Infelizmente não existe tempo e recursos computacionais para apresentarmos estes
resultados no presente trabalho, então uma análise focada no equipamento em sua
profundidade final é apresentada.
Figura 23 - Tração atuando ao longo da linha de instalação.
A Figura 23 mostra a variação da tração ao longo do cabo para diferentes frequências
de excitação quando o equipamento já atingiu a profundidade final.
Como esperado as tensões maiores ocorrem no período de ressonância do sistema.
Outro fato interessante é que, para o caso estudado, em frequências de excitação próximas
ou abaixo da frequência de ressonância o ponto sobre maior tensão dinâmica ocorre
próximo a superfície. Já para frequências mais altas este ponto migra para próximo da
0
50
100
150
200
2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 18,5 19,5
Traç
ão [
kN]
Período de excitação [s]
Tração máxima atuando em diferentes pontos da linha (Profundidade igual a 2500 m)
x = 250 x = 500 x = 750 x = 1000 x = 1250
x = 1500 x = 1750 x = 2000 x = 2250 x = 2500
57
extremidade inferior do cabo de instalação. Isto é, a região crítica do cabo varia conforme
a frequência de instalação.
Assumindo que as tensões máximas ocorrem próximas a 250 metros do topo do cabo,
temos da Figura 23 a tração dinâmica como sendo igual a 210 kN. Somando este valor
com a tração estática devido ao peso submerso combinado do equipamento e do cabo de
aço, 618 kN, a tração total atuando neste elemento do cabo é igual a 828 kN.
Se o cabo é o elemento crítico do sistema de instalação, e sendo o MBL (minimum
breaking load) do cabo informado pelo fabricante igual a 2481 kN (253 toneladas), o
fator de segurança para o caso crítico é de aproximadamente 3.
Este número é bem razoável considerando os valores absolutos da carga sendo içada
e compreende uma excitação periódica de frequência constante. A seguir vamos estudar
o comportamento do sistema quando sujeito ao carregamento de um mar irregular.
4.3.2. Determinação dos Espectros de Resposta
O sistema de instalação estudado é suportado por um guindaste instalado em uma
embarcação flutuante. Logo, antes de determinar a resposta do sistema precisamos ter
conhecimento de como a embarcação se comporta nas condições climáticas de interesse.
Em análises mais completas, diversas situações de mar são estudadas, mas no presente
trabalho vamos apresentar o caso compreendido pelo mar irregular representado pelo
espectro JONSWAP com parâmetros definidos na Tabela 8.
Tabela 8 - Características do mar estudado
𝐴 0,657344 [adm]
𝐻𝑠 5 [m]
𝑇𝑝 8 [s]
𝜔𝑝 0,7854 [rad/s]
𝛽 1,25 [adm]
𝛼 0,0081 [adm]
𝛾 3,3 [adm]
58
Uma representação espectral do mar definido na Tabela 8 é apresentada na Figura 2.
Este mar é subjetivamente classificado como sendo muito agirtado,“very rough”, de
acordo com o código de classificação de mar da World Meteorological Organization
(WMO) e provavelmente não seria viável operar sob trais condições. Mas ele pode, por
exemplo auxiliar na decisão de se é necessário recolher o equipamento sendo instalado
caso um aviso de tempestade ocorra.
Um navio de dimensões adequadas a instalação da árvore de natal do estudo de caso
foi modelado em softwares de (computer aided design) CAD para posteriormente gerar
os RAOs. As dimensões principais e algumas características da distribuição de massa
foram obtidos de semelhantes, [16], e são apresentadas na Tabela 9.
Tabela 9 –Características da embarcação utilizada na instalação.
𝐿𝑝𝑝 156 m
𝐵𝑜𝑐𝑎 27,4 m
𝐶𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 8,5 m
Deslocamento 28860 t
Coeficiente de bloco 0,78 -
Centro de gravidade vertical (VCG) 8,5 m
Raio de giração (roll) 14,1 m
Raio de giração (Pitch) 40,0 m
Raio de giração (Yaw) 40,0 m
O guindaste na embarcação modelada é um típico equipamento de instalação
encontrado em operações offshore, um pedestal mounted crane, com lança articulada,
instalado próximo ao centro de flutuação da embarcação. Levando em consideração o
deslocamento do navio frente a massa da árvore de naval e do sistema de instalação, é
assumido que a movimentação da carga não afeta a posição de equilíbrio estático ou
resposta do navio.
Para a análise a ponta da lança do guindaste foi movida para a posição de instalação
apresentada na Figura 24.
59
Figura 24 – Casco da embarcação mostrando a posição do guindaste no momento da instalação.
O modelo então foi exportado para o pacote de programas Maxsurf, para o cálculo do
RAO na ponta de lança. A Tabela 7 mostra as distâncias da ponta de lança, suporte do
sistema de instalação, até o centro de gravidade da embarcação.
Tabela 10 – Posição relativa da ponta do guindaste ao centro de gravidade da embarcação.
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (a cima) 26,5 m
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 (a ré) 19,83 m
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (a bb) 9,81 m
O programa calcula o RAO para a ponta de lança. Para instalações em grandes
profundidades apenas o movimento vertical é de interesse. O RAO de movimento
vertical calculado pelo Maxsurf Motions é apresentado na Figura 26. Movimentos
laterais da lança, provocados pelo roll e pitch são dissipados ao longo do cabo e, dada as
profundidades de instalação, estes podem ser desprezados.
Figura 25 - RAO do movimento vertical da ponta da lança do guindaste
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
2,5 7,5 12,5 17,5
RA
O [
m/m
]
Periodo de excitação [s]
RAO do movimento vertical da ponta da lança do guindaste
RAO do movimento vertical
60
Movimento do equipamento
Utilizando o modelo desenvolvido foi construída a função de transferência de
movimento vertical (RAO) da excitação no topo do cabo para o equipamento sendo
instalado. Aplicando o resultado da equação apresenta na equação (8) da seção 2.3. O
resultado de (114) considerando o mar definidos pelos parâmetros da Tabela 8 é
apresentado na Figura 26.
Figura 26 - Espectro de resposta do movimento vertical do equipamento sendo instalado.
Realizando a integração numérica do espectro de resposta apresentado na Figura 26
encontramos os momentos espectrais, Tabela 8.
Tabela 11 - Momentos de área do espectro de movimento vertical do equipamento.
𝑚0 14,3
𝑚1 11,14
𝑚2 8,77
𝑚4 5,55
A variância é dada por:
𝑅𝑀𝑆 = √𝑚0 = 3,8 metros (115)
0
20
40
60
80
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
De
nsi
dad
e e
spe
ctra
l [m
2/s
]
RA
O [
m/m
] o
u D
en
sid
ade
esp
ect
ral [
m2
/s]
Período [s]
Espectro de resposta do movimento vertical do equipamento
JONSWAP (eixo vertical da esquerda)
RAO - Movimento vertical do equipamento
RAO - Movimento vertical da lança do guindaste
Espectro de resposta do equipamento (eixo vertical da direita)
61
Com os momentos calculado na Tabela 8. Podemos calcular alguns parâmetros de
interesse. Por exemplo, podemos afirmar que o valor expressivo mais provável de
ocorrer após a passagem de 1000 ondas é de 14,0 metros. Ou calcular que existe 99% de
chance de que o movimento do equipamento esteja limitado a até 11,35 metros. A
aplicação imediata destes valores é prever a possibilidade de choque com outras
estruturas e/ou o leito marinho.
OBS: Como comentado a proximidade com barreiras altera a dinâmica de vibração do
sistema. Ainda assim o resultado acima parece ser uma boa aproximação em análises
simplificadas.
Tração no cabo
Do modelo matemático desenvolvido no Maple construímos também o RAO da
tração no cabo. O resultado para a tração a uma distância de 250 metros da lança do
guindaste, pior cenário estimado na Figura 23, é apresentado na Figura 27 junto com o
espectro de resposta calculado utilizando a equação (8) da seção 2.3.
Figura 27 – Espectro de resposta da tração atuando no cabo a uma profundidade de 250 metros quando sob influência do mar local estudado. O comprimento do cabo é 2500m
0
1E+11
2E+11
3E+11
4E+11
5E+11
6E+11
0
0,5
1
1,5
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
De
nsi
dad
e e
spe
ctra
l [N
2 /s]
RA
O [
N/m
] o
u [
m/m
]
Período [s]
Espectro de resposta da tração @ 250 metros do topo.
RAO - Movimento vertical da lança do guindaste (eixo vertical esquerdo)
RAO - Tracao @250 m [1E+6] - (Eixo vertical esquerdo)
JONSWAP [E+11] = (Eixo vertical direito)
Espectro de resposta da tração no cabo (Eixo vertical direito)
62
Realizando a integração numérica do espectro apresentado na Figura 32 encontramos os
momentos, apresentados na Tabela 12.
Tabela 12 - Momentos de área do espectro de resposta de tração em x=250m.
𝑚0 6,36E+10 𝑁2
𝑚1 5,08E+10 𝑁
𝑚2 4,09E+10
𝑚4 2,73E+10
O 𝑀𝐵𝐿 informado pelo fabricante é de 253 toneladas. Se adotarmos um fator de
segurança igual a 3, a carga segura de trabalho, 𝑆𝑊𝐿 (safe work load), é igual a 827 kN.
Assumindo então uma distribuição de Rayleigh e os valores da Tabela 12 a probabilidade
de que se exceda o valor de SWL no ponto estudado é:
𝑃(𝑧 > 𝑆𝑊𝐿) = exp (−(𝑆𝑊𝐿)2
2 𝑚0) = 0,46 % (117. 𝑎)
Já a probabilidade de a tração desenvolvida no cabo ser superior ao limite de ruptura:
𝑃(𝑧 > 𝑀𝐵𝐿) = exp (−𝑀𝐵𝐿2
2 𝑚0) = 0,00 % (117)
Ou seja, a possibilidade de ruptura do cabo é virtualmente nula para as condições
consideradas.8
8 Sem considerar carregamentos decorrentes de outros fenômenos, como snaploads.
63
4.3.3. Avaliando o Risco de Cabo Frouxo
Como discutido, a situação de cabo frouxo ocorre quando a tensão dinâmica excede o
valor decorrente da tração estática do peso da linha e do equipamento. Assumindo que a
maior tração acontece perto de 250 metros de profundidade, podemos aproximar a tração
estática e limite de carga para ocorrer o snaploads por:
𝑇𝑠(𝑥) = 𝑊 + (𝐿 − 𝑥)𝑤 = 618 [kN] (118)
A probabilidade deste valor ocorrer, assumindo uma distribuição de Rayleigh e valores
da Tabela 12 - Momentos de área do espectro de resposta de tração em x=250m. é dada
por:
𝑃(𝑧 > 618000) = exp (−6180002
2 𝑚0) = 4,96 % (119)
O valor em (119) é demasiadamente alto 9 e uma análise posterior para definir as
consequências caso uma carga impulsiva venha a ocorrer é recomendado. Só então seria
possível estabelecer os riscos da operação. Idealmente uma janela meteorológica deve ser
definida, limitando as operações em um mar com as características aqui analisadas ou
então assumindo preparativos para mitigar essa situação, por exemplo, recolhendo o
comprimento de cabo.
9 De fato, é improvável que uma embarcação opere lançando equipamentos com mares de altura
significativa igual a 5 metros.
64
4.4. Discussão
Pode-se verificar durante a análise do estudo de caso que o amortecimento tem papel
significativo na dinâmica da resposta, podendo definir a viabilidade da operação. Quando
comparamos a origem dos amortecimentos, de atrito com o cabo e de arrasto no fundo,
concluímos que a última é predominante. Porém é importante considerar o atrito com o
cabo, já que o resultado pode variar significativamente para grandes profundidades.
É primordial que o estudo seja conduzido para as várias profundidades em que o
equipamento passa até chegar no local de instalação. Durante o trajeto ao leito oceânico
a resposta total varia com o comprimento do cabo, isto é, diferentes frequências de
ressonância, amplitudes máximas, pontos de maior tração, etc., são observados. Sem uma
análise que compreenda várias profundidades é difícil determinar com confiança o
elemento crítico do projeto de instalação.
As tensões variam ao longo da linha de instalação, mas numa faixa relativamente
estreita para frequências próximas a frequência natural, cerca 40 kN (4 toneladas). Para
períodos de excitação menores as faixas se expandem, mas os valores de tração absolutos
são menores que o as observadas próximas ao período natural. Interessante notar que o
ponto do cabo sob maior tração se modifica conforme a frequência de instalação, o que é
importante, entre outras coisas, para determinar a região mais propensa a snaploads.
Na seção 4.3.2 discutiu-se as chances de se exceder os limites de tração do cabo para
um determinado mar. O valor de 0,45% de probabilidade de se exceder o limite calculado
para o SWL é bastante aceitável, principalmente quando também foi concluído que as
chances de se atingir o limite de ruptura do cabo são muito baixas. Porém, na 4.3.3
conclui-se que a probabilidade de ocorrência de um snaploads nestas mesmas
circunstâncias é demasiadamente alta, 4,96%. Este é um ótimo exemplo de como todos
os fenômenos relevantes devem ser observados antes do parecer final de viabilidade de
operação.
65
5. Considerações Finais
O modelo apresentado se mostrou uma ferramenta extremamente capaz de capturar
os principais fenômenos ocorrendo durante a instalação de equipamentos submarinos.
Quando alimentado com informações acuradas para os coeficientes de dissipação, este
deve dar resultados suficientes para uma grande gama de problemas de engenharia.
Ainda, outros estudos podem ser conduzidos para expandir a capacidade do modelo, por
exemplo, a consideração da dissipação de energia interna no sistema e utilização de
equações constitutivas mais elaboradas, tornando-o ainda mais abrangente.
Pode-se também perceber que o projeto de instalação submarina é um assunto
bastante extenso. Diversos tipos de análises (velocidades, amplitudes máximas,
amortecimentos, etc.) devem ser conduzidas para diferentes regiões do cabo, e uma
variedade de fenômenos físicos (comportamento do material, massa adicional, snaploads,
etc.) precisam ser considerados até que se chegue a uma conclusão final.
Além do mais, para que seja possível a definição de uma janela de operações as
análises devem ser reproduzidas para diferentes condições de mar, o que pode representar
um grande esforço computacional. Porém, este ainda se mostra o caminho mais fácil para
se estabelecer com confiança o risco da operação e, por fim, sua viabilidade.
Com tantos parâmetros influenciando a resposta do sistema, a existência de um
modelo analítico como o aqui apresentado, capaz de realizar análises paramétrica com
relativa agilidade se mostra de grande valia, principalmente na identificação das etapas
críticas de projeto.
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6. Referências
[1] DNV, Recommended Practise RP -H103: Modelling and Analysis
of Marine Operations, Høvik, Norway: Det Norske Veritas, 2011.
[2] B. LE MÉHAUTÉ, An Introduction to Hydrodynamics and Water
Waves, Springer: ISBN 0387072322, 1976.
[3] S. SPHAIER, Hidrodinâmica, Rio de Janeiro, RJ: Departamento de
Engenharia Naval e Oceânica UFRJ, 1996.
[4] O. FALTINSEN, Sea Loads on Ships and Offshore Structures, U.K.:
Cambridge University Press, 1990.
[5] R. C. ORLOWSKY, Dispositivos com rigidez não-linear na
instalação de módulos submarinos em águas profundas, Rio de Janeiro:
COPPE/UFRJ, 2007.
[6] M. B. d. Cerqueira, INSTALAÇÃO DE EQUIPAMENTOS
SUBMARINOS EM ÁGUAS ULTRA-PROFUNDAS ATRAVÉS DE
SUSPENSORES FLEXÍVEIS, Rio de Janeiro: COPPE/UFRJ, 1998.
[7] “UniqueGroup,” 14 November 2016. [Online]. Available:
https://www.uniquegroup.com/media-centre/news/cranemaster-partners-
with-unique-group-extend-presence-middle-east-india. [Acesso em 03
March 2018].
[8] J. M. W. W. JOURNÉE, Offshore Hydromechanics, First Edition,
Delft University of Technology, 2001.
[9] M. Cassarella e M. Parsons, “Cable Systems Under Hydrodinamis
Loading,” Maritime Tecnology Society, Vols. %1 de %227-44, p. 4, 1970.
[10] S. K. CHAKRABARTI, Handbook of offshore engineering, First
Edition, Illinois, USA: Elsevier, 2005.
67
[11] G. H. K. a. L. H. CARPENTER, “Forces on Cylinders and Plates in
Oscillating Fluid,” Journal of Research of the National Bureau of
Standards, vol. 60, nº 5, pp. 423-440, 1958.
[12] M. EAMES, Steady State Theory of Towing Cables, vol. 10, Trans
of the Royal Institute of Naval Archtects, 1968.
[13] DET NORSKE VERITAS, “DNV-RP-C205 - ENVIRONMENTAL
CONDITIONS AND ENVIRONMENTAL LOADS,” DNV, 2010.
[14] Bridon, Crane Rope Catalogue, Doncaster, 2018.
[15] S. RAO, Vibrações Mecanicas, São Pauo: Pierson Educational
Brasil, 2009.
[16] DOF , “Fleet Asset Overview,” DOF, 2018, 2018.
[17] A. MOSTOWSKI e M. STARK, Introduction to Higher Algebra,
New York: Pergamon Press, 1964.