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ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Rio de Janeiro
Outubro de 2011
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.
________________________________________________ Prof. João Nazareno Nonato Quaresma, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
________________________________________________ Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 2011
Lage, Luciana Ferreira
Análise da Influência da Dependência em
Temperatura da Viscosidade na Convecção Forçada
com Nanofluidos/ Luciana Ferreira Lage. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XVII, 80 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/
Programa de Engenharia Mecânica, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 74-80.
1. Convecção forçada. 2. Nanofluidos. 3.
Transformada integral. I. Cotta, Renato Machado et
al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.
Título.
iv
Ao meu filho, Emanuel, por me mostrar a mais fascinante forma de Amar.
Ao meu marido, Carlos Erli, pela compreensão e apoio, o meu eterno amor.
Aos meus pais, José Manuel e Conceição, pelo estímulo dado
desde sempre, entrego a alegria desta conquista.
Ao meu irmão, Eduardo, pelo incentivo, o mais sincero afeto.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por sempre estar ao meu lado, principalmente nos
momentos mais difíceis, por ter sido Ele o grande responsável pela motivação
de sempre continuar lutando por tudo aquilo que acredito e por ter me dado a
oportunidade de conhecer pessoas tão especiais e brilhantes.
Ao meu filho Emanuel pela transformação em minha vida.
Ao meu marido Carlos Erli por nossa união e por todos os instantes
compartilhados, minha admiração e gratidão eternas.
Aos meus pais e ao meu irmão por todos os momentos de nossas vidas,
pelo apoio e ensinamentos que contribuíram para a realização deste sonho.
Ao Grande Mestre e Orientador Renato Machado Cotta pela confiança,
competência, paciência e conhecimento compartilhado, suas sugestões e
discussões foram indispensáveis para a realização desta conquista.
Ao Grande Mestre e Co-orientador João Nazareno Nonato Quaresma
pelo seu apoio, colaboração, compreensão e sugestões tornando possível a
realização deste trabalho.
Aos Meus Orientadores e aos Professores Antônio José da Silva Neto,
Carolina Palma Navieira Cotta e Helcio Rangel Barreto Orlande pela amizade e
pelo carinho.
A todos os meus amigos pelo companheirismo e força, em especial, à
Rayana Larissa Vasconcelos e à Vera Lúcia Pinheiro Santos Noronha.
À doutoranda Ivana Gabriela dos Santos Cerqueira pela colaboração.
A todos os citados e aos que involuntariamente tenham sido esquecidos,
do fundo do meu coração – Muito Obrigada.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
Outubro/2011
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Programa: Engenharia Mecânica
O termo nanofluido é comumente empregado para caracterizar suspensões de
nanopartículas de metais ou óxidos metálicos em líquidos normalmente utilizados
como fluidos térmicos, visando a intensificação da transferência de calor. Esta
dissertação analisa e avalia a influência da variação da viscosidade com a temperatura
no problema de convecção forçada interna de nanofluidos, em regime de escoamento
laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento
térmico no interior de tubos circulares, a partir de comparações entre resultados
teóricos e experimentais, próprios e disponíveis na literatura, das quantidades de
interesse prático como temperaturas de parede, temperaturas médias de mistura e
números de Nusselt. O modelo proposto admite a variação da viscosidade com a
temperatura na equação de momentum longitudinal simplificada, desprezando-se os
termos de inércia, a partir de um escoamento desenvolvido na entrada da seção
aquecida. O campo de velocidades então obtido desta formulação diferencial ordinária
é introduzido na equação de energia referente à região de entrada térmica ao longo do
duto. A metodologia aplicada na solução desta equação de energia não-linear consiste
vii
na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). Esta técnica híbrida
numérico-analítica propõe a expansão do campo de temperaturas no fluido em
autofunções ortogonais na direção transversal do duto e permite obter um sistema
transformado de equações diferenciais ordinárias na direção longitudinal, que é
resolvido numericamente através do uso da subrotina IVPAG da biblioteca IMSL, a
partir da implementação de um código computacional em Fortran 95. Os resultados
obtidos foram inicialmente verificados com outras implementações teóricas disponíveis
na literatura, para condições de contorno de temperatura e fluxo uniformes prescritos,
e subsequentemente validados com resultados experimentais obtidos no Laboratório
de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, para um
nanofluido comercial de água-óxido de silício.
viii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF TEMPERATURE DEPENDENCY OF
THE VISCOSITY ON FORCED CONVECTION OF NANOFLUIDS
Luciana Ferreira Lage
October/2011
Advisors: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Department: Mechanical Engineering
The term nanofluid is commonly used to characterize suspensions of
nanoparticles of metals or metal oxides in liquids normally used as heat transfer fluids,
aiming at the intensification of heat transfer. This dissertation examines and evaluates
the influence of the viscosity with the temperature in the internal problem of forced
convection of nanofluids in laminar flow regime and incompressible, hydrodynamically
developed and developing heat inside circular tubes, based on comparisons between
theoretical results and experimental, fit and available in the literature, the quantities of
practical interest such as wall temperatures, average temperatures of mixing and
Nusselt numbers. The proposed model admits the change in viscosity with temperature
in the longitudinal momentum equation simplified by neglecting the terms of inertia,
from a developed flow at the entrance of the heated section. The velocity field obtained
then this formulation is introduced into the ordinary differential equation of energy on
the thermal entry region along the pipeline. The methodology applied in the solution of
energy equation is nonlinear in the Generalized Integral Transform Technique
(GITT). This hybrid numerical-technical analytics proposes expanding the field in the
fluid temperature in orthogonal eigenfunctions in the transverse direction of the pipeline
and allows for a transformed system of ordinary differential equations in the longitudinal
ix
direction, which is numerically solved by using the IMSL subroutine library IVPAG from
the implementation of a computer code in Fortran 95. The results were first checked
with other theoretical implementations available in the literature for boundary conditions
of prescribed uniform temperature and flow, and subsequently validated with
experimental results obtained at the Laboratório de Transmissão e Tecnologia de
Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, for nanofluid a commercial water-oxide silicon.
x
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO........................................................................... 1
CAPÍTULO 2 - REVISÃO DA LITERATURA...................................................... 5
2.1 – CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS...................................... 5
2.2 – A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA............ 11
CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO......................................................................................................... 13
3.1 – METODOLODIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL................................................................................................................
13
3.2 – ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE.......................... 22
3.2.1 - Metodologia de Solução.......................................................................... 23
3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE....................... 26
3.3.1 - Metodologia de Solução.......................................................................... 28
3.3.2 - Solução pelo Código UNIT (“Unified Integral Transforms”)..................... 31
CAPÍTULO 4 - DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL ....................... 36
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS E DISCUSSÃO.............................................. 41
5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA................................................................... 41
5.1.1 – Análise da Convergência........................................................................ 41
5.1.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([10] e [68])............... 46
5.2 - FLUXO PRESCRITO.................................................................................. 51
5.2.1 – Análise da Convergência........................................................................ 52
5.2.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([9] e [10]) ................ 54
5.2.2.1 – Verificação da Importância dos Termos Convectivos na Formulação do Problema para Fluxo Prescrito.......................................................................
56
5.2.3 – UNIT para Óleo Térmico LUBRAX OT-68-OF........................................ 59
5.2.4 – Comparação com os Resultados Experimentais.................................... 65
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES.......................................................................... 72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................... 74
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.2.1 Representação esquemática do problema de convecção
forçada em tubo circular para temperatura prescrita uniforme na
parede........................................................................................... 22
Figura 3.3.1 Representação esquemática do problema de convecção
forçada em tubo circular para fluxo de calor prescrito uniforme
na parede...................................................................................... 26
Figura
4.1a,b
Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de
convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ).......... 37
Figura 4.2 Disposição esquemática do aparato experimental....................... 37
Figura 4.3 Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro)
(Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA).................... 38
Figura
5.1.2.1
Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura
prescrita e conforme Yang [10]..................................................... 46
Figura
5.1.2.2
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
temperatura prescrita e ����=9,0 para ambas as formas de cálculo
e conforme referência [10]............................................................ 47
Figura
5.1.2.3
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
temperatura prescrita e ����=-0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [10]................................................ 49
Figura
5.1.2.4
Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da
temperatura prescrita e ����=-0,9 conforme referência [68]............. 50
Figura
5.2.2.1
Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo
prescrito e l= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]............. 55
Figura
5.2.2.1.1
Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada
térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo
prescrito e l= 0,721295................................................................ 58
Figura
5.2.3.1.a
Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico
(Re=2000, ∆Tb=20°C).................................................................. 61
Figura
5.2.3.1.b
Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=2000, ∆Tb=20°C) .................................................................... 62
Figura
5.2.3.2.a
Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico
(Re=1200, ∆Tb=10°C) ................................................................... 63
Figura
5.2.3.2.b
Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo
(Re=1200, ∆Tb=10°C) ................................................................... 63
xii
Figura
5.2.3.3
Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em
diferentes posições............................................................................... 64
Figura
5.2.3.4
Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes
posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C
(pontos - presente simulação, linha continua - correlação de
Churchill & Ozoe).................................................................................. 65
Figura
5.2.4.1
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 1 –
SiO2 [75])............................................................................................... 70
Figura
5.2.4.2
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 7 –
SiO2 [75])............................................................................................... 70
Figura
5.2.4.3
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 9 –
SiO2 [75])............................................................................................... 71
Figura
5.2.4.4
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 3 –
SiO2 [75]).............................................................................................. 71
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante 38
Tabela
5.1.1.1
Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de
temperatura prescrita e ����=9,0.................................................... 42
Tabela
5.1.1.2
Convergência da temperatura média no tubo para o caso de
temperatura prescrita e ����=9,0..................................................... 43
Tabela
5.1.1.3
Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa)
para o caso de temperatura prescrita e ����=9,0............................. 44
Tabela
5.1.1.4
Convergência do número de Nusselt local (equação de energia)
para o caso de temperatura prescrita e ����=9,0............................. 45
Tabela
5.1.2.1
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
temperatura prescrita e ����=9,0 para ambas as formas de cálculo
e conforme referência [10]........................................................... 47
Tabela
5.1.2.2
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
temperatura prescrita e ���� = -0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [68]................................................ 48
Tabela
5.1.2.3
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
temperatura prescrita e ���� = -0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [10]................................................ 49
Tabela
5.1.2.4
Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da
temperatura prescrita e ���� = -0,9 conforme referência [68]............ 50
Tabela
5.2.1.1
Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de
fluxo prescrito e ����= -0,3................................................................. 52
Tabela
5.2.1.2
Convergência da temperatura média no tubo para o caso de
fluxo prescrito e ����= -0,3............................................................... 53
Tabela
5.2.1.3
Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo
prescrito e ����= -0,3........................................................................ 54
Tabela
5.2.2.1
Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo
prescrito e ����= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]............. 55
Tabela
5.2.2.2
Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso
de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e
conforme referência [9]................................................................. 56
xiv
Tabela
5.2.3.1
Análise de convergência do número de Nusselt local para o
caso de viscosidade constante (l= 0) e comparação com
resultados de referência [9].......................................................... 60
Tabela
5.2.3.2
Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não
linear l= -0,3: Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina
dedicada e diferenças finitas [10]................................................. 60
Tabela
5.2.4.1
Consolidação de parâmetros relacionados aos casos
experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as
comparações................................................................................ 65
Tabela
5.2.4.2
Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios
considerando-se as propriedades constantes para a condição
de fluxo prescrito.......................................................................... 66
Tabela
5.2.4.3
Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios
considerando-se a viscosidade variável para a condição de
fluxo prescrito................................................................................ 67
Tabela
5.2.4.4
Convergência do número de Nusselt médio para os dois
ensaios considerando-se as propriedades constantes para a
condição de fluxo prescrito.......................................................... 67
Tabela
5.2.4.5
Convergência do número de Nusselt médio para os dois
ensaios considerando-se a viscosidade variável para a
condição de fluxo prescrito.......................................................... 68
Tabela
5.2.4.6
Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental
(medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo
prescrito......................................................................................... 69
Tabela
5.2.4.7
Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental
(medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo
prescrito........................................................................................ 69
xv
NOMENCLATURA
Letras Latinas
A Coeficientes da expansão em autofunções
Bk
Operador linear da condição de contorno
d Termo de dissipação linear
D Diâmetro do tubo [m]
f Distribuição inicial do potencial
g Termo fonte
h Coeficiente de transferência de calor [W/m2ºC]
k Condutividade térmica [W/mºC]
L Comprimento do tubo [m]
N Norma (integral de normalização)
Nu Número de Nusselt
NuZ Número de Nusselt local
Nuav Número de Nusselt médio
P Termo fonte
qw Fluxo de calor prescrito [W/m2]
Re Número de Reynolds
t Variável temporal
T Temperatura [ºC]
Ti Temperatura de entrada do canal [ºC]
Tw Temperatura prescrita uniforme [ºC]
u Velocidade do fluido [m/s]
uav Velocidade média do fluido [m/s]
U Velocidade adimensional
R Coordenada radial adimensional
r Coordenada radial dimensional
rw Raio interno da parede do tubo
S Superfície de contorno
V Volume do meio
x Coordenada espacial
Z Coordenada axial adimensional
xvi
z Coordenada axial dimensional
w Coeficiente do termo convectivo ou transiente
Letras Gregas
α Difusividade térmica [m2/s]
αk Coeficientes da condição de contorno
βk Coeficientes da condição de contorno
φ Termo fonte da condição de contorno
� Constante que relaciona a variação da viscosidade com a
temperatura definida na Eq. (3.2.b)
η Coordenada radial do problema de Graetz
ϕ Concentração volumétrica de nanopartículas
� Constante que relaciona a variação da viscosidade com a
temperatura definida na Eq. (3.13.b)
� Viscosidade dinâmica [m2/s]
ν Viscosidade cinemática [m2/s]
θ Temperatura adimensional
ξ Coordenada axial do problema de Graetz
ψ Autofunções
ζ Autovalores
ζ k Autovalores do problema auxiliar
Subscrito
av “average” - médio
i inicial
f índice que representa filtro
i índice de autovalores e quantidades relacionadas
j índice de autovalores e quantidades relacionadas
k índice de autovalores e quantidades relacionadas
xvii
l local
w “wall” - parede
0 condição de entrada
Sobrescrito
- Relativo a transformada
~ Relativo a autofunção normalizada
* Relativo a solução homogênea
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O advento da nanotecnologia proporcionou grandes oportunidades na engenharia
moderna ao processar e produzir materiais com tamanho médio menor que 50 nm [1].
Dentre várias outras descobertas em diversos campos, Choi [1] reconheceu uma
oportunidade de se aplicar a nanotecnologia então emergente na engenharia térmica.
Em 1993, Choi propôs que partículas metálicas nanométricas, com tamanho médio
menor que 50 nm, fossem suspensas em fluidos de transferência de calor industriais,
como água, etileno glicol ou óleo, para produzir uma nova classe de fluidos projetados
com alta condutividade térmica. O autor deu a essa nova classe de fluidos o nome de
nanofluidos [2]. Experimentos subsequentes com nanofluidos indicaram aumentos
significativos na condutividade térmica, quando comparados com líquidos sem
nanopartículas ou partículas grandes [3], e variações significativas das propriedades
com a temperatura.
O nanofluido é uma suspensão de partículas ultrafinas em um fluido base
convencional que utilizado para melhorar as características de transferência de calor
do fluido original. Além disso, espera-se que os nanofluidos não sejam inviabilizados
em aplicações práticas, pelo aumento em perda de carga, apesar das nanopartículas
serem ultrafinas, aparentando comportamento como um fluido monofásico de uma
mistura sólido-líquido [4].
A fabricação de nanofluidos por processos simplificados com nanopartículas de
óxidos metálicos [5], tornou viável a extensão dessa tecnologia para diferentes
aplicações científicas e industriais.
A literatura científica já reporta algumas aplicações de nanofluidos diretamente
no setor de energia, como no caso de transformadores de energia elétrica [5] e em
sistemas híbridos de condicionamento de ar com desumidificação a partir de
dessecantes líquidos [6]. Entretanto, pode-se vislumbrar uma série de outras
possibilidades em processos e equipamentos de transferência de calor que afetam o
aumento da eficiência energética, como no caso da energia. Para tanto, é necessária
a consolidação da análise da variação das propriedades termofísicas com a
2
temperatura a fim de possibilitar a correta aplicação desses nanofluidos nos diferentes
sistemas de transferência de calor para que os equipamentos tenham a melhor
relação custo/benefício aliada ao desempenho e eficiência.
As pesquisas em transferência de calor convectiva utilizando suspensões de
partículas nanométricas sólidas em líquidos base começaram a apenas duas décadas.
As investigações recentes sobre nanofluidos indicam que as nanopartículas
suspensas ocasionam alterações nas propriedades de transporte e nas características
da transferência de calor da suspensão. Wang e Mujumdar [7] revisaram as recentes
pesquisas teóricas e investigações numéricas de várias propriedades térmicas e
aplicações de nanofluidos. Os mesmos autores também revisaram o comportamento
do escoamento e da transferência de calor de nanofluidos em situações de convecção
forçada e livre e as potenciais aplicações de nanofluidos [8].
Como a razão área superficial volume de partículas nanométricas é muito
maior que a de partículas de tamanhos convencionais (micropartículas), não só as
propriedades termofísicas podem ser melhoradas, mas também a estabilidade da
suspensão. Metais nanométricos podem ser apropriados para aplicações na qual o
fluido passa por pequenos orifícios, pois as nanopartículas metálicas são pequenas o
bastante para se comportarem como moléculas de líquidos. Dessa maneira, as
nanopartículas não obstruem os pequenos orifícios e melhoram a condutividade
térmica dos fluidos. Isso abriu a possibilidade de se usar nanopartículas mesmo em
microcanais para várias aplicações com altas taxas de transferência de calor [1].
O estudo teórico-experimental da convecção forçada com nanofluidos é um
assunto ainda pouco explorado, mas que despertou o interesse e a dedicação de
alguns pesquisadores devido à sua relevância. Até aqui, pode-se dizer que um dos
focos principais de pesquisa tem sido a análise teórica e experimental das
propriedades termofísicas inerentes ao nanofluido proposto.
O presente trabalho objetiva a comparação crítica entre modelos teóricos e
resultados experimentais, visando contribuir à avaliação da importância da variação
das propriedades termofisicas com a temperatura, no comportamento da convecção
forçada interna com nanofluidos. Para tanto, desenvolveu-se um modelo
matemático e uma solução híbrida numérico-analítica baseada na Técnica da
Transformada Integral Generalizada para o problema de convecção forçada interna
com propriedades variáveis em tubos circulares. O código computacional construído
em Fortran 95 foi inicialmente verificado através de uma solução onde se considerou
as propriedades constantes e, em outra etapa, apenas com a viscosidade variável,
3
para comparação com os resultados disponíveis na literatura, nas referências [9] e
[10], respectivamente.
Além da análise dos resultados obtidos em relação aos já disponíveis na
literatura, realizou-se também uma comparação com os dados experimentais obtidos
recentemente no Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC,
Engenharia Mecânica, POLI & COPPE/UFRJ, objetivando consolidar os estudos
experimentais realizados com nanofluidos comerciais de água-sílica e evidenciar a
influência da viscosidade variável no comportamento da transferência de calor em
regime laminar.
Este trabalho faz parte de um projeto que vem sendo desenvolvido pela equipe
do LTTC, iniciado em 2006, com apoio do CENPES/Petrobras. Como parte dos
trabalhos já produzidos nesse esforço mais amplo, pode-se citar:
− A medição de propriedades termofísicas de diferentes nanofluidos através de
técnicas experimentais e a comparação dos resultados experimentais com
modelos e correlações disponíveis na literatura para prever o aumento da
condutividade térmica de nanofluidos [11];
− A análise experimental da convecção forçada com nanofluidos de alumina, em
diferentes frações volumétricas, no aumento da taxa de transferência de calor
no escoamento em regime laminar em tubos, para o problema de convecção
forçada interna [12];
− A avaliação da intensificação térmica, através da simulação computacional, de
diferentes nanofluidos em tubos circulares para o problema da convecção
forçada turbulenta com propriedades constantes, ao longo da região de
desenvolvimento térmico [13];
− A análise dos efeitos da intensificação térmica advindos da utilização de
nanofluidos comerciais de alumina e óxido de titânio dispersos em água, em
convecção forçada laminar em tubos circulares aquecidos eletricamente,
incluindo os efeitos de perdas de calor pelo isolamento térmico [14];
Este trabalho apresentará a análise da variação de propriedades termofísicas
com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de nanofluidos, no
regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e
em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares. Os tópicos a serem
explorados são os seguintes:
4
− Simular a convecção forçada laminar para nanofluidos com variação da
viscosidade com a temperatura, considerando um modelo para a equação de
momentum na direção longitudinal que desconsidera os termos de inércia, a
partir de uma condição de entrada de escoamento desenvolvido, e avaliando-
se comparativamente com resultados de referência para o caso de viscosidade
constante;
− Verificar a solução obtida com resultados teóricos disponíveis na literatura para
os casos de temperatura e fluxo de calor uniforme prescritos;
− Validar o modelo e solução propostos com resultados experimentais
recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES para
nanofluidos comerciais de água-sílica.
De forma a elucidar os primeiros estudos para implementação do circuito
termohidráulico para altas temperaturas que será construído no LTTC, serão
analisados também neste trabalho uma simulação utilizando o código UNIT e
aplicando a metodologia de solução aqui descrita para o óleo térmico LUBRAX OT-68-
OF. Conforme realizado anteriormente, a formulação com o código UNIT será validada
a partir dos resultados deste trabalho.
Será apresentada a seguir uma revisão bibliográfica, com foco na análise da
variação de propriedades termofísicas com a temperatura para nanofluidos.
5
CAPÍTULO 2
REVISÃO DA LITERATURA
2.1 - CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Segundo Hwang et al. [15], em seu recente estudo, diversas nanopartículas, em
nanotubos de carbono de paredes múltiplas (MWCNT), como, por exemplo, fulereno,
óxido de cobre e dióxido de silício têm sido usados para produzir nanofluidos, cujos
líquidos bases mais utilizados foram água destilada, etileno glicol e óleo. Os autores
realizaram medidas da condutividade térmica e avaliaram a estabilidade do nanofluido
através do espectrofotômetro UV-vis. De acordo com suas análises, a condutividade
térmica do nanofluido aumenta com a fração de volume crescente de nanopartículas
exceto para o nanofluido à base de água e fulereno, pois este tem menor
condutividade térmica do que o fluido base. A estabilidade de nanofluido é fortemente
influenciada pelas características da interação entre o fluido base e as nanopartículas
suspensas, como por exemplo, pela morfologia das partículas, pela estrutura química
das partículas e o fluido base. Além disso, a adição de surfactante, SDS, pode
melhorar a estabilidade das suspensões. Em suma, a melhora da condutividade
térmica depende da fração de volume das partículas em suspensão, da condutividade
térmica das partículas e do fluido base.
Nguyen et al. [16] investigaram experimentalmente o comportamento e o
aumento da transferência de calor de um nanofluido com nanopartículas de alumina
(Al2O3) dispersas em água, fluindo dentro de um sistema fechado que é destinado à
refrigeração de microprocessadores e outros componentes eletrônicos. Os autores
obtiveram dados experimentais para o regime de escoamento turbulento, e tais
resultados mostraram que a inclusão das nanopartículas em água destilada, produziu
uma melhora no coeficiente de transferência de calor convectivo do bloco refrigerado.
Além disso, os autores atestaram que um aumento da concentração de partículas
produziu uma clara diminuição da temperatura do componente aquecido.
Kwak e Kim [17] estudaram a relação entre as propriedades reológicas de
nanofluidos de óxido de cobre (CuO) com partículas de 10-30 nm, em etileno glicol,
com o aumento da condutividade térmica. De acordo com os autores, a melhora
6
substancial da condutividade térmica é atingível somente quando a concentração de
partículas é inferior ao limite de solubilidade. O estudo também sugere que, para um
nanofluido ser eficiente, as partículas devem ter formato esférico para promover um
limite de diluição crítico alto.
Mintsa et al. [18] apresentaram medidas de condutividade térmica efetiva dos
nanofluidos de alumina/água e de óxido de cobre/água. Também investigaram os
efeitos da fração de volume das partículas, da temperatura e do tamanho das
partículas, através de experimentos com leituras à temperatura ambiente e variando-
se a temperatura para várias frações volumétricas de partículas. Segundo os autores,
o efeito global prevê um aumento efetivo da condutividade térmica com o aumento da
fração volumétrica de partículas e com uma diminuição no tamanho das partículas.
Além disso, ocorreu um aumento relativo da condutividade térmica que se mostrou
mais significativo em altas temperaturas.
Palm et al. [19] promoveram um estudo do escoamento radial em sistemas de
refrigeração, incluindo propriedades dependentes da temperatura, mais
especificamente, a viscosidade dinâmica e a condutividade térmica foram analisadas
para distribuições dependentes da temperatura com concentrações de nanopartículas
de 1% a 4%. Os resultados confirmaram que o uso de nanopartículas aumentou a
capacidade de transferência de calor para o escoamento radial do sistema de
arrefecimento, porém ocorreram aumentos similares para a tensão de cisalhamento na
parede. A inclusão da dependência da temperatura mostrou um aumento na taxa de
transferência de calor quando comparado com a análise sob uma propriedade
constante.
Namburu et al. [20] analisaram numericamente o escoamento turbulento e a
transferência de calor de três diferentes nanofluidos fabricados com óxido de cobre
(CuO), alumina (Al2O3) e óxido de silício (SiO2), em uma mistura de etileno glicol e
água que flui através de um tubo circular sob condição de fluxo de calor prescrito
constante. Os autores apresentaram uma revisão de novas correlações para a
viscosidade para até 10% em fração volumétrica para estes nanofluidos, como uma
função da fração volumétrica e da temperatura, que foram desenvolvidas a partir dos
experimentos. Conforme o estudo numérico realizado, todas as propriedades
termofísicas de nanofluidos dependem da temperatura. Além disso, verificou-se que
nanofluidos contendo nanopartículas de menor diâmetro apresentaram maior
viscosidade e maiores valores de números de Nusselt. Portanto, constatou-se que a
viscosidade de nanofluidos aumenta à medida que diminui o diâmetro da partícula. O
coeficiente de transferência de calor de nanofluidos aumenta com o aumento da
concentração volumétrica de nanopartículas e do número de Reynolds. A operação de
7
nanofluidos a temperaturas elevadas produz um maior aumento percentual na taxa de
transferência de calor. Já o número de Prandtl dos nanofluidos aumenta com a
diminuição da temperatura de operação, uma vez que a viscosidade desempenha um
papel dominante. Para a mesma concentração de nanopartículas a um dado número
de Reynolds, os nanofluidos de óxido de cobre obtiveram um desempenho superior no
que diz respeito à transferência de calor, seguidos pelo de alumina e do de óxido de
silício. A perda de carga aumenta com o aumento na fração volumétrica de partículas
dos nanofluidos.
Cotta et al. [21] investigaram aspectos da modelagem e simulação em
convecção forçada laminar relacionada com a melhoria da eficiência energética pelo
aumento da transferência de calor no escoamento laminar em dutos. Três linhas de
pesquisa complementares foram exploradas, considerando-se a modificação do fluido
base com a dispersão de nanopartículas de óxido metálico (nanofluidos), a análise
conjugada dos efeitos de transferência de calor em microcanais e o estudo do
aumento de transferência de calor em dutos de parede ondulada na microescala.
Segundo os autores, foi observado que a dependência da temperatura com a
condutividade térmica e com a viscosidade desempenham algum papel na previsão do
comportamento convectivo dos nanofluidos, mas, além disso, é necessário levar em
consideração as variações da concentração de nanopartículas nos fluidos ao longo da
operação dos equipamentos de troca de calor.
Mansour et al. [22] pesquisaram o efeito das incertezas nos valores das
propriedades físicas da dispersão de água com alumina gama (γ-Al2O3), sobre o seu
desempenho termohidráulico para convecção forçada com escoamento plenamente
desenvolvido, laminar e turbulento, em um tubo com fluxo de calor prescrito uniforme.
Os autores analisaram dois tipos de problemas: a substituição de um fluido simples
por um nanofluido em uma determinada instalação e o projeto de uma instalação
elementar de transferência de calor. Segundo eles, as condições operacionais e os
parâmetros de projeto variam de forma significativa com as propriedades termofísicas
do nanofluido. No entanto, visto que, os efeitos de certas características do nanofluido,
tais como, o tamanho médio das partículas e a distribuição espacial de nanopartículas,
sobre estas propriedades não são atualmente conhecidas com precisão, é muito difícil
concluir sobre as vantagens estimadas dos nanofluidos sobre fluidos de transferência
de calor convencionais.
Yang [10] obteve soluções analíticas para convecção laminar forçada de
líquidos escoando em tubos circulares com viscosidade dependente da temperatura
8
para duas condições de contorno: temperatura prescrita na parede do tubo e fluxo de
calor na parede prescrito e uniforme. A acurácia deste procedimento analítico foi
demonstrada através da comparação com resultados obtidos para problemas
isotérmicos cuja solução exata era possível.
Ferrouillat et al. [23] investigaram experimentalmente a transferência de calor
convectiva de suspensões coloidais SiO2/água (5-34 wt.%) em um circuito com uma
seção de testes de tubo horizontal cuja temperatura da parede foi imposta.
Experimentos foram realizados em diferentes temperaturas de entrada (20, 50, 70 °C)
no resfriamento e / ou nas condições de aquecimento para várias vazões (200 <Re
<10000). Os resultados indicaram que utilizando-se o nanofluido, os valores dos
coeficientes de transferência de calor aumentaram entre 10% a 60% em comparação
com aqueles de água pura. Eles também mostraram que a tendência geral dos
padrões das correlações foram respeitados.
Escher et al. [24] apresentaram uma caracterização sistemática de suspensões
de nanopartículas de sílica em água até uma concentração volumétrica de 31%. Eles
determinaram a morfologia das nanopartículas através de imagens microscópicas e a
condição da dispersão pelas medidas dos dispersantes. Também obtiveram medidas
experimentais das propriedades termofísicas dos fluidos, a saber, calor específico,
densidade, condutividade térmica e viscosidade dinâmica. O número de Nusselt foi
extraído dos resultados experimentais e comparados com as previsões teóricas,
considerando-se as propriedades da mistura. Através destas análises eles
demonstraram um desvio menor que 10%. Concluíram que as correlações usuais
podem ser utilizadas para estimar a transferência de calor por convecção dos
nanofluidos. Também variaram as propriedades termofísicas individualmente no
circuito refrigerante e estudaram estes impactos na performance da transferência de
calor no canal submerso. Eles demonstraram que o aumento da condutividade térmica
relativa deve ser maior que o aumento da viscosidade relativa a fim de conseguir um
considerável benifício na performance. Além disso, eles mostraram que é preferível
aumentar o calor específico volumétrico do nanofluido do que aumentar a
condutividade térmica.
Heidary e Kermani [25] estudaram numericamente a transferência de calor e o
campo do escoamento no microcanal de parede ondulada. A temperatura do fluido de
entrada introduzido no canal era menor que a temperatura da parede. O sistema de
equações governantes foi resolvido numericamente no domínio através de uma
aproximação por um volume de controle baseado na técnica SIMPLE. O nanofluido
considerado na simulação é uma mistura de cobre e água. Um amplo espectro de
9
simulações foram realizadas com um intervalo de Reynolds entre 5 e 1500, com fração
volumétrica do nanofluido entre 0 e 20% e amplitude da onda entre 0 e 0,3. Os efeitos
desses parâmetros foram investigados através dos números de Nusselt local e médio
e do fator de fricção. Os autores concluíram que a transferência de calor nos canais
pode aumentar em 50% pela adição das nanopartículas e utilizando-se a parede
horizontal ondulada.
Anoop et al. [26] investigaram experimentalmente as características da
transferência de calor por convecção forçada em um duto com escoamento em
desenvolvimento e com fluxo de calor constante, realizado com nanofluido alumina-
água. O objetivo principal era avaliar o efeito do tamanho das nanopartículas na
transferência de calor por convecção na região de escoamento laminar. Foram
utilizadas nos experimentos duas nanopartículas, uma com média menor que 45 nm e
outra com aproximadamente 150 nm. Os autores observaram que ambos os
nanofluidos mostraram alta capacidade de transferência de calor comparando-se com
o fluido base e o nanofluido com as nanopartículas de menor tamanho apresentou
maior coeficiente de transferência de calor que o nanofluido com nanopartículas de
150 nm. Eles também notaram que na região em desenvolvimento, os coeficientes de
transferência de calor mostraram-se maiores que na região de escoamento
completamente desenvolvido.
Kakaç e Pramuanjaroenkij [27] revisaram e resumiram as mais importantes
publicações sobre a intensificação da transferência de calor por convecção forçada
com nanofluidos. Este levantamento mostrou que os nanofluidos melhoram
significativamente a capacidade de transferência de calor em comparação com a
utilização dos fluidos convecionais, tais como óleo e água com nanopartículas
suspensas nestes fluidos base. Adicionalmente, modelos teóricos e trabalhos
experimentais sobre condutividade térmica efetiva e difusividade aparente são
necessários para demonstrar o completo potencial dos nanofluidos para a melhoria da
convecção forçada.
Vajjha e Das [28] investigaram experimentalmente, através da determinação da
condutividade térmica, três nanofluidos contendo óxido de alumínio, óxido de cobre e
óxido de zinco em nanopartículas dispersas no fluido base feito de uma mistura de
etileno glicol e água, na proporção (em massa) de 60 para 40. A concentração
volumétrica de nanopartículas dos nanofluidos testados foram de até 10% e o intervalo
de temperatura nos experimentos foi de 298 a 363K. O resultados mostraram um
aumento na condutividade térmica dos nanofluidos comparados com o fluido base
bem como com o aumento da concentração volumétrica das nanopartículas. A
10
condutividade térmica também aumenta substancialmente com o aumento da
temperatura. Os autores compararam vários modelos existentes para estimar a
condutividade térmica com dados experimentais obtidos para estes nanofluidos, no
entato eles não mostraram boa concordância. Logo, um modelo foi desenvolvido, o
qual tratava-se de um refinamento de um modelo já existente e que incorporava o
modelo clássico de Maxwell e o efeito do movimento Browniano para representar a
condutividade térmica de nanofluidos como função da temperatura, da concentração
volumétrica das nanopartículas, das propriedades das nanopartículas e do fluido base,
o qual concorda com os dados experimentais.
Mirmasoumi e Behzadmehr [29] estudaram numericamente a convecção mista
em regime laminar de um nanofluido de água e Al2O3 em um duto horizontal. Um
modelo para mistura bifásica foi empregado para investigar o comportamento térmico
e hidrodinâmico do nanofluido para uma elevada gama de números de Grashof e
Reynolds. As comparações com trabalhos de análises experimentais e numéricas para
convecção mista em dutos horizontais ofereceram boa concordância entre os
resultados. Foram apresentados os parâmetros térmicos e hidrodinâmicos, para um
determinado diâmetro de nanopartículas, em relação ao efeito da fração volumétrica
de nanopartículas. Os resultados mostraram que na região de escoamento
completamente desenvolvido a concentração de nanopartículas não influencia
significativamente os parâmetros hidrodinâmicos. No entanto, os efeitos sobre os
parâmetros térmicos foram relevantes. A concentração das nanopartículas é maior na
parte inferior do duto e próxima à parede.
Raisee e Moghaddami [30] examinaram os efeitos da melhora da transferência
de calor por convecção forçada a partir da adição de nanopartículas metálicas de
alumina gama (γ-Al2O3) na água no escoamento em duto circular avaliando-se,
conforme o caso, duas condições de contorno distintas, ou seja, temperatura na
parede constante ou fluxo de calor na parede uniforme. Dois modelos de nanofluidos
foram utilizados nas simulações. O primeiro modelo (simpler model) foi desenvolvido
por Maiga et al. [31], enquanto o segundo modelo, o qual considerou-se o movimento
Browniano das nanopartículas, foi proposto por Koo e Kleinstreuer [32] baseados nos
dados experimentais de Das et al. [33]. Os resultados foram obtidos utilizando-se um
código de volumes finitos bidimensionais. O campo de pressões foi obtido através do
algoritmo SIMPLE. O fluxo advectivo do volume de controle foi aproximado utilizando-
se o esquema QUICK. As comparações entre os resultados obtidos numericamente e
os dados experimentais de Zeinali et al. [34] mostraram que o segundo modelo previa
com maior confiabilidade os níveis de transferência de calor. Além disso, o primeiro
11
modelo também apresentava maior perda de carga que o segundo. Como esperado, a
adição de nanopartículas melhora a transferência de calor. Segundo os autores, a
menor melhora da transferência de calor foi de aproximadamente 10% para uma
fração volumétrica de nanopartículas 1%, enquanto que a maior ficou em torno de
30%, considerando-se uma fração de 4%. Eles também concluíram que a utilização de
nanofluidos produz uma melhora mais significante para menores números de
Reynolds.
Chen et al. [35] realizaram experimentos para investigar a condutividade
térmica efetiva, o comportamento reológico e a transferência de calor por convecção
forçada com nanofluidos. Nanotubos de titânio foram sintetizados, caracterizados e
preenchidos com água para formar nanofluidos estáveis na proporção de 0.5, 1.0 e
2.5 (wt.%) dos nanotubos. Os resultados mostraram uma pequena melhora da
condutividade térmica em torno de 3% em 25ºC e aproximadamente 5% para 40ºC,
considerando-se o nanofluido de (2.5 wt.%). Os nanofluidos encontrados eram fluidos
não-Newtonianos com comportamento pseudoplástico, ou seja, a viscosidade diminuiu
com o aumento da tensão de cisalhamento para baixas taxas de cisalhamento. Apesar
da pequena melhora em relação a condutividade térmica, segundo os autores,
observou-se uma excelente melhora do coeficiente de transferência de calor por
convecção. Conforme os autores, comparando-se com nanofluidos contendo
nanopartículas esféricas de TiO2 sob condições similares, constatou-se que a melhora
de ambos os parâmetros (condutividade térmica e coeficiente de transferência de calor
por convecção) em relação ao nanofluido do nanotubo de titânio foi consideravelmente
maior; indicando, inclusive, o papel primordial que o formato da nanopartícula exerce
na melhora da transferência de calor.
2.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Métodos numéricos discretos para formulações diferenciais parciais em convecção-
difusão pertencem hoje em dia ao trabalho rotineiro dos engenheiros térmicos
envolvidos em tarefas de projeto e desenvolvimento, e não são mais restritos aos
ambientes de pesquisa científica. Os diferentes métodos e enfoques estão fartamente
discutidos em livros texto e de referência [36] e muitos estão disponíveis na forma de
aplicativos comerciais. No entanto, e não apenas por curiosidade científica, existe
ainda uma forte motivação para a otimização das técnicas já existentes, bem como,
para o desenvolvimento de novas técnicas de simulação que se beneficiem dos
progressos mais recentes em análise numérica e computação mista simbólica-
numérica.
12
Nesse contexto, técnicas de solução para equações diferenciais parciais que
exploram a base de conhecimento em métodos analíticos e se apoiam em plataformas
de computação simbólica, têm chamado muita atenção da comunidade científica e
oferecido algumas vantagens sobre as técnicas numéricas clássicas em diversas
aplicações. Dentro desta ampla frente de pesquisa pode-se situar os avanços na
Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) [37-42], empregada na solução
híbrida numérico-analítica de problemas de convecção-difusão ao longo de cerca de
30 anos. Neste caso, a ênfase é a extensão do método clássico de transformação
integral para tratar problemas não transformáveis a priori, permitindo flexibilidade
suficiente para tratar mesmo problemas com coeficientes não lineares nas
formulações [43-50]. Várias classes de problemas em transferência de calor e em
mecânica dos fluidos foram tratados pela GITT, incluindo formulações baseadas nas
equações de camada limite e de Navier-Stokes para escoamentos externos, em
cavidades e canais, aqui revisados apenas para escoamentos em dutos em função do
interesse mais próximo da presente aplicação [51-67]. No entanto, apenas em
algumas poucas situações [59-60] a natureza totalmente não linear dessas equações
foi tratada, incluindo-se não apenas os termos convectivos não lineares usuais, mas
também a variação das propriedades físicas com a temperatura em particular.
Segundo Oliveira Filho et al. [68] a variação da viscosidade com relação a
temperatura do fluido influencia fortemente os perfis de velocidade e de temperatura e,
às vezes, apresentam desvios significativos no problema típico de propriedades
constantes. Um dos pesquisadores pioneiros na indentificação desta característica foi
Yang [10] e em reconhecer estas diferenças no estudo da convecção forçada laminar
de líquidos com dependência da viscosidade em temperatura [68]. Objetivando
explorar mais profundamente o problema da convecção forçada interna nas situações
onde a variação da viscosidade com a temperatura é levada em consideração, os
autores, também aplicaram a GITT para a formulação apresentada por Yang [10], no
entanto, o trabalho consistiu somente na análise do caso da temperatura prescrita na
parede. Embora estes autores tenham utilizado a mesma metodologia proposta neste
trabalho, a formulação aqui empregada é distinta e mais abrangente pois contempla
ambos os casos abordados por Yang [10]. Contudo, faremos aqui uma comparação
entre os resultados obtidos nestas publicações e àqueles apresentados neste trabalho.
Esta análise é bastante enriquecedora dadas as similaridades entre as metodologias
face às diferenças nas formulações.
13
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
A solução da formulação matemática adimensional do problema de convecção forçada
laminar em tubo circular considerado neste trabalho, baseou-se na Técnica da
Transformada Integral Generalizada (GITT). A Técnica da Transformada Integral
Generalizada foi introduzida por Özisik e Murray [69] e Mikhailov [70], a partir da
Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT), desenvolvida entre outros por
Mikhailov & Özisik [71], a fim de possibilitar a solução analítica de um maior número de
problemas de engenharia. Nesta técnica aplica-se o operador de transformação
integral no sistema diferencial parcial mesmo que contendo termos não
transformáveis, ao contrário do procedimento aplicando-se a CITT. Dependendo da
classe do problema e da rigidez das EDOs (Equações Diferencias Ordinárias), pode-
se resolver estes problemas através da solução analítica aproximada ou empregando-
se uma solução híbrida numérico-analítica.
3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL
Na presente seção apresenta-se um procedimento de tranformação integral geral que
evita a construção de um sistema transformado com acoplamento do termo transiente
a partir de uma matriz de coeficientes não linear, que exigiria tediosas inversões ao
longo do processo de integração do sistema diferencial ordinário para o campo
transformado. Assim, uma formulação do problema original é preferida, trazendo
vantagens na computação dos potenciais transformados.
Para permitir uma análise acurada dos modelos teóricos de convecção forçada
de nanofluidos a serem aqui considerados, foi proposta uma extensão da Técnica da
Transformada Integral Generalizada (GITT) para tratar de forma unificada formulações
bem gerais não lineares de convecção-difusão, em que se permitem coeficientes
dependentes da temperatura em cada termo da equação de energia e das condições
de contorno. A metodologia híbrida numérico-analítica proposta é aplicável tanto a
situações em regime permanente quanto transiente, e o processo de transformação
integral é promovido de forma a se obter um sistema transformado explícito, evitando-
se assim permitir coeficientes não lineares no termo transiente (ou variável espacial
14
equivalente), e com isso reduzir o custo computacional na solução numérica do
sistema transformado a partir de rotinas de solução de problemas de valor inicial. Para
demonstrar os passos da técnica de solução, considera-se uma formulação
suficientemente geral de convecção-difusão, que inclui os problemas não lineares em
convecção de calor interna de interesse no presente estudo. Um conjunto de
potenciais, ( ),kT tx , , 1,2, ,k l M= … , dependentes da posição x e do tempo t (ou
variável espacial equivalente) como temperatura, concentrações, componentes de
velocidade, pressão, etc., encontra-se definido na regiãoV com superfície de contorno
S , e obedece a seguinte formulação com coeficientes não lineares em todos os
coeficientes da equação e das condições de contorno:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *
* *
,, , , , , , ,
, , , , , , , 0, , 1,2, ,
k
k l l k k l k
k l k k l
T tw T u t T T t k t T T t
t
d t T T x t P t T t k l M
∂+ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ −
∂
+ ∈ > = …
xx x x x x
x x x V
(3.1.a)
com condições iniciais e de contorno
( ) ( ), , k kT t f= ∈x x x V (3.1.b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )* * * *,
, , , , , , , , , , k
k l k k l k l k l
T tt T T t t T k t T t Tα β φ
∂+ = ∈
∂
xx x x x x x S
n (3.1.c)
O procedimento híbrido baseado em transformação integral se inicia com a
proposição de uma solução formal em termos de uma expansão em autofunções para
os potenciais desejados, ( ),kT tx , com os coeficientes dependentes de t
correspondentes a ser determinados:
( ) ( ) ( ), ,
1
, k k i k i
i
T t A t ψ∞
=
=∑x x (3.2)
onde as autofunções, ( ),k iψ x , são obtidas de um problema de autovalor
representativo que contém tanta informação quanto possível do problema original, na
forma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* 2
, , ,0, , 0
k k i k i k k k ik w d tψ ζ ψ∇ ⋅ ∇ + − = ∈ >x x x x x x V (3.3.a)
( ) ( ) ( ) ( )( )
0k ,i
k k ,i k k
ψψ k , α β
∂+ = ∈
∂
xx x x x x S
n (3.3.b)
15
Os coeficientes ( ) ( ) ( ) ( ), , ,k k k kw k d αx x x x e ( )kβ x do problema auxiliar (3.3)
são esperados incluir informações relacionadas aos coeficientes não lineares originais
das Eqs. (3.1). Note que o termo convectivo na Eq. (3.1.a) não foi representado no
problema auxiliar (3.3), uma vez que assim resultaria um problema de autovalor não
auto-adjunto.
Embora esta situação tenha sido considerada com alguma vantagem na
literatura de GITT, pelo objetivo de unificação da presente solução, somente
problemas de Sturm-Liouville de comportamento espectral bem estabelecido serão
aqui considerados. Assim, o problema (3.3) oferece uma propriedade de
ortogonalidade das autofunções que é muito relevante na aplicação desta
metodologia, a qual é escrita como:
( ) ( ) ( )kd
k ,i k , j i, j k,i
V
w ψ ψ v δ N=∫ x x x (3.4.a)
onde o delta de Kronecker
i, jδ é igual a 1 para i j= ou 0 para i j≠ e
,k iN são as
integrais de normalização que são calculadas por:
( ) ( )d2
k,i k k,i
V
N w ψ v= ∫ x x (3.4.b)
Com ajuda da Eq. (3.4.a), pode-se operar na expansão proposta, Eq. (3.2),
com o operador integral ( ) ( ) _dk k,i
V
w ψ v∫ x x , para obter os coeficientes da expansão:
( ) ( ) ( )k
1d
k,j
*
k,j k,j k
V
A (t) w ψ vN
T ,t= ∫ x x x (3.5)
Uma vez que todos os termos da soma infinita da Eq. (3.2) são anulados,
exceto aquele para o qual i j= . Então, as Eqs. (3.2) e (3.5) fornecem o par de
fórmulas de transformação integral, chamadas de transformada e inversa,
respectivamente:
( ) ( ) ( )kd
k ,i k,i k
V
T (t) w ψ T , t v= ∫ �x x x , transformada (3.6.a)
( ) ( ), ,
1
, ∞
=
=∑ �k k i k i
i
T t T (t)ψx x , inversa (3.6.b)
16
Nas Eqs. (3.6.a,b) acima adotou-se uma autofunção normalizada, repartindo a
contribuição da norma entre as duas fórmulas, transformada e inversa, na forma:
( )( )
=�k,i
k,i
k,i
ψψ
N
xx (3.6.c)
O próximo passo na GITT é então a transformação integral das Eqs. (3.1.a)
fazendo uso do par transformada-inversa definido acima. O procedimento tradicional
envolveria a operação de transformação integral, com ajuda da fórmula da
transformada, Eq. (3.6.b), em ambos os lados da Eq. (3.1.a), o que para essa
formulação totalmente não linear resultaria em uma matriz de coeficientes não lineares
no lado esquerdo do sistema transformado, devido à natureza não linear do coeficiente
do termo transiente no problema original, *
k lw ( ,T )x . Sob o ponto de vista
computacional, essa formulação explícita não linear iria requerer que a matriz de
acoplamento fosse invertida diversas vezes ao longo do processo de integração
numérica do sistema transformado, como inerente aos procedimentos das rotinas de
solução de problemas de valor inicial, resultando em custos computacionais
consideráveis. Entretanto, antes de prosseguir nesse caminho, mostra-se vantajoso
reescrever a formulação do problema de forma a oferecer uma transformação linear
explícita para a transformação integral do termo transiente. Como o resultado final da
transformação integral será a construção de um problema de valor inicial para se obter
os potenciais transformados, k,i
T (t) , é sem dúvida mais interessante para o algoritmo
de solução numérica dessas equações diferenciais ordinárias, lidar com um sistema
explícito e linear no operador transiente, evitando-se assim inversões da matriz não
linear que seria usualmente obtida. Desta forma, o coeficiente do termo transiente
pode ser reescrito na forma:
( )( )
( ) 1
** k lk l k k k l
k
w ( ,T )w ( ,T )= w w C ( ,t,T )
w
−=x
x x x xx
(3.7)
Que resulta na seguinte versão da equação (3.1a):
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *
*
,, , [ , , , , , ,
, , , , , ], , 0
k
k k l k l k k l k
l k k l
T tw C t T k t T T t d t T T x t
t
u t T T t P t T t
∂= ∇ ⋅ ∇ −
∂
− ⋅∇ + ∈ >
xx x x x x
x x x x V (3.8)
17
,ou simplesmente:
( )( )
( ),
, , 0, , 1, 2,...,k
k k l
T tw H t T t l k M
t
∂= > =
∂
xx x
(3.9.a)
onde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *
*
, , , , [ , , , , , ,
, , , , , ]
k l k l k l k k l k
l k k l
H t T C t T k t T T t d t T T x t
u t T T t P t T
= ∇ ⋅ ∇ −
− ⋅∇ +
x x x x x
x x x (3.9.b)
com as condições iniciais dadas pelas equações (3.1.b) e condições de contorno
também reescritas na forma:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ),
, , , , k
k k k k k l
T tT t k t Tα β φ
∂+ = ∈
∂
xx x x x x x S
n (3.9.c)
onde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
* *
* *
, , , , , , ,
,, , , ,
k l k l k k l k
k
k k k l k l
t T t T t T T t
T tk t T k t T
φ φ α α
β β
= + − +
∂ − ∂
x x x x x
xx x x x
n
(3.9.d)
O processo de transformação integral é então realizado operando-se a
equação (3.9.a) com o operador ( ) _dk,i
V
ψ v∫ � x , para obter:
( )( ) ( ),
, , dk i
k,i k l
V
dT tψ H t T v, t > 0,i = 1,2,...
dt= ∫ � x x (3.10.a)
A princípio, a integração direta do lado direito da eq. (3.10.a) forneceria um
vetor, a partir da substituição da fórmula da inversa, eq. (3.6.a), nos termos não-
lineares, que no entanto não traria nenhuma informação sobre os termos fonte da
condição de contorno, ( ), , k lt Tφ x . Assim, para levar em conta a contribuição da
condição de contorno, primeiro dividimos o lado direito da equação acima em dois
termos, como se segue:
18
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, *
* *
, , , , , d
, , , , , , , , , , d
k i
k,i k l k l k
V
k,i k l k l k l k l k
V
dT tψ C t T k t T T t v+
dt
ψ C t T P t T d t T T t u t T T t v
= ∇ ⋅ ∇
− − ⋅∇
∫
∫
�
�
x x x x
x x x x x x x
(3.10.b)
O primeiro termo no lado direito pode ser avaliado empregando-se a 2ª fórmula
de Green, para obter-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
* *
*
, , , , , d , , , , ,
, , ,, , , , , d
k,i k l k l k k k l k,i k l
V V
k,i k lk
k l k,i k l k
S
ψ C t T k t T T t v = T t k t T ψ C t T dv
ψ C t TT tk t T ψ C t T T t s
∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ +
∂∂ − ∂ ∂
∫ ∫
∫
� �
�
�
x x x x x x x x
x xxx x x x
n n
(3.10.c)
ou,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
* * *
*
, , , , , d ,
, , , , , , , , , d
k,i k l k l k k k k,i k k k k,i
V V
k k,i k l
k l k l k,i k k k,i
S
ψ C t T k t T T t v = T t k ψ C k C ψ dv
T t ψ C t Tk t T C t T ψ T t T t ψ s
∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ +
∂ ∂ ∂ − −
∂ ∂ ∂
+∫ ∫
∫
� � �
�� �
x x x x x
x x xx x x x x x
n n n
(3.10.d)
Desta forma, o sistema transformado pode ser escrito na forma sintética
abaixo:
(3.11.a)
onde o vetor ( ), ,,
k i l jh t T é formado pelas seguintes contribuições:
( ) ( ) ( ) ( )*
, , , , , , , ,, , , ,
k i l j k i l j k i l j k i l jh t T h t T q t T g t T= + + (3.11.b)
com,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *
, ,, , , , , , , , , , ,k i l j k,i k l k l k l k l k
V
h t T ψ C t T P t T d t T T t u t T T t dv = − − ⋅∇ ∫ � x x x x x x x
(3.11.c)
( )( ),
, ,, , 0, 1,2,..., , 1, 2,...
k i
k i l j
dT th t T t k M i
dt= > = =
19
( ) ( ) * *
, ,, ,
k i l j k k k,i k k k k,i
V
q t T T t k ψ C k C ψ dv = ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ + ∫ � �x (3.11.d)
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
*
, ,
,, , ,
, , , ds
, , ,
k k,i
k l k,i k
k i l j k l
Sk l
k k,i
T t ψC t T ψ T t
g t T k t TC t T
T t ψ
∂ ∂−
∂ ∂ = ∂
− ∂
∫
��
�
x xx x x
n nx
xx x
n
(3.11.e)
O vetor de coeficientes contendo a contribuição do divergente da autofunção
pode também ser reescrito de forma mais conveniente para fins computacionais como:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* *
, ,, ,
, 2 ,
k i l j k k k k k k,i
V
k k k k k k k,i k k k k k,i
V V
q t T T t k C k C ψ dv
T t C C k ψ dv T t C k ψ dvγ γ γ
= ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅∇ +
∇ ∇
+
⋅ ∇ + ∇ ⋅ ∇+
∫
∫ ∫
�
� �
x
x x
(3.11.f)
O problema de autovalor, eq.(3.3.a), pode ser empregado para simplificar mais
esse vetor, fornecendo:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
* *
, ,
2
, ,
, 2 ,
k i l j k k k k k k k k k,i
V
k k k k k k k,i i k k k k k,i
V V
q t T T t k C k C C d ψ dv
T t C C k ψ dv T t C w ψ dv
γ
γ γ ζ γ
= ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅∇ +
∇ ∇ ⋅ ∇ − ∇
+ +
+
∫
∫ ∫
�
� �
x x
x x x x
(3.11.g)
onde,
( )( )
( )
*,
, ,k l
k l
k
k t Tt T
kγ =
x,x
x (3.11.h)
A contribuição do termo fonte do contorno pode ser reescrita explicitamente
manipulando-se as duas condições de contorno, do problema original e do problema
auxiliar, eqs.(3.9.d) and (3.3.b), respectivamente, obtendo-se:
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
, ,
*
, , , ds
, , , , ,
k,i
k,i k
k i l j k k k l
k kS
k l
k l k k,i
S
ψψ k
g t T C t T
C t Tk t T T t ψ ds
γ φα β
∂−
∂= +
∂−
∂
∫
∫
��
�
xx x
nxx x
xx x x
n
(3.11.i)
20
Embora formal e exata, a manipulação acima para levar em conta os termos
fonte da condição de contorno introduz complexidade adicional à solução ao requerer
a avaliação de derivadas dos coeficientes não-lineares, como ( ), , k lC t Tx .
Alternativamente, pode-se preferir um procedimento mais direto de incluir a
contribuição do contorno, como agora descrito. Partindo da eq. (3.10.b), somamos e
subtraimos a contribuição do termo do divergente do fluxo, ou seja:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
, *
*
* *
, , , , ,
, , ,
1
, , , , ,, ,
, , ,
k i
k,i k l k l k
V
k,i k l k
V
k l k l k
k,i k l
V l k
dT tψ C t T k t T T t
dt
ψ k t T T t
P t T d t T T tψ C t T
dv
dvt T T t
dv
u
−
+
= ∇ ⋅ ∇
−+
−
∇ ⋅ ∇
⋅ ∇
∫
∫
∫
�
�
�
x x x x
x x x
x x xx x
x x
(3.11.j)
Agora, a Segunda formula de Green é aplicada somente ao segundo termo do
lado direito da equação, que corresponde à transformação integral do termo de
divergência do fluxo original, na forma:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
, *
*
*
* *
, , , , ,
, , ,
,, , ,
, , , , ,, ,
, ,
1
,
k i
k,i k l k l k
V
k k l k,i
V
k k,i
k l k,i k
S
k l k l k
k,i k l
V l k
dT tψ C t T k t T T t
dt
T t k t T ψ
T t ψk t T ψ T t ds+
P t T d t T T tψ C t T dv
dv
v
u T t
d
t T
= ∇ ⋅ ∇
∇ ⋅ ∇
∂ ∂−
∂ ∂
− +
+ +
− −
⋅ ∇
∫
∫
∫
∫
�
�
��
�
x x x x
x x x
x xx x x
n n
x x xx x
x x
(3.11.k)
Logo, o sistema transformado alternativo pode ser escrito em forma sintética como:
( )( )*,
,, 0, 1,2,..., 1
ˆ, 2,, ...
k i
k,i l jt
dT th t
tkT
dM= > = = (3.11.l)
21
onde o vetor , ( )*
,
ˆ,
k,i l jh t T
, é agora formado pelas três novas contribuições abaixo:
( ) ( ) ( ) ( )*
, , , , , , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,k i l j k i l j k i l j k i l j
h t T h t T q t T g t T= + + 3.11.m)
com,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* *
, ,
* *
ˆ, , , 1 , , ,
, , , , , , , , , ,
k i l j k,i k l k l k
V
k,i k l k l k l k l k
V
h t T ψ C t T k t T T t dv
ψ C t T P t T d t T T t u t T T t dv
= − ∇ ⋅ ∇ +
− − ⋅∇
∫
∫
�
�
x x x x
x x x x x x x
(3.11.n)
( ) ( ) ( ) ( )*
, ,ˆ , , , ,
k i l j k k l k,i
V
q t T T t k t T ψ dv= ∇ ⋅ ∇∫ �x x x (3.11.o)
( ) ( ) ( )( )
( )( )*
, ,
,ˆ , , , , ds
k k,i
k i l j k l k,i k
S
T t ψg t T k t T ψ T t
∂ ∂= −
∂ ∂ ∫
��
x xx x x
n n (3.11.p)
O sistema transformado alternativo, eqs.(3.11.l)-(3.11.p), apresenta expressões
finais mais simples, especialmente ao evitar derivadas dos coeficientes não-lineares
originais.
As eqs.(3.11.a) ou (3.11.l) requerem condições iniciais transformadas para
cada potencial, a partir da transformação integral da eq.(3.1.b) com
( ) ( ) _dk k,i
V
w ψ v∫ �x x ∫ (x), resultando em:
( ) ( ) ( ) ( )0 dk ,i k k,i k
V
T w ψ f v= ∫ �x x x (3.11.q)
As eqs. (3.11.l) a (3.11.q) formam um sistema infinito acoplado de equações
diferenciais ordinárias não-lineares para os potenciais transformados, ( )k ,iT t, que
dificilmente permitiria a obtenção de uma solução analítica. Entretanto, algoritmos
confiáveis para a solução numérica de tais sistemas encontram-se disponíveis, após o
truncamento em uma ordem suficientemente grande para a precisão final desejada
pelo usuário. O sistema Fortran 95 oferece a subrotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]
para resolver sistemas rígidos de EDO´s como aquele aqui obtido, com controle
automático do erro relativo. Uma vez que o sistema tenha sido resolvido, o Fortran
22
também prove funções de interpolação para aproximar o comportamento dos campos
transformados na variável t em forma contínua. A fórmula de inversão pode então ser
chamada para reconstruir o potencial desejado em forma implícita e analítica nas
variáveis espaciais.
Para os estudos e análises específicos deste trabalho foram utilizados dois
casos distintos de condições de contorno, ou seja, temperatura prescrita uniforme na
parede (caso 1) e fluxo de calor prescrito uniforme na parede (caso 2).
3.2 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE
TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE
Figura 3.2.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular
para temperatura prescrita uniforme na parede.
Considera-se escoamento laminar incompressível na região de entrada térmica
de um tubo circular onde as paredes do mesmo estão sujeitas a uma temperatura
prescrita uniforme Tw, enquanto na entrada a temperatura é admitida ser constante e
dada por T0. Ainda, considera-se que o escoamento seja completamente desenvolvido
com propriedades físicas constantes, exceto a viscosidade que varia com a
temperatura numa forma funcional dada por Yang [10]. Com essas hipóteses, a
formulação matemática desse problema na forma adimensional é dada por:
( )( , ) 1 ( , )
, 0<R<1, Z, >0
=
T R Z T R ZU R
Z R RR Z
R
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ (3.12.a)
( ,0) 1, 0 R 1= ≤ ≤T R (3.12.b)
(0, )0; (1, ) 0, Z>0= =
T ZT Z
R
∂
∂ (3.12.c,d)
u0
T0
T = Tw = constante
T = Tw = constante
23
Despreza-se então o termo de convecção na direção radial. Na Eq. (3.12.a)
U(R,Z) é o perfil de velocidade completamente desenvolvido, porém com dependência
na variável axial Z, devido à consideração de variação de viscosidade com o campo de
temperatura. Este perfil é obtido ao integrar-se duas vezes a componente axial da
equação de conservação de quantidade de movimento linear, resultando em:
( )
1
1 1
0
1 ( )
2
(
,
)
=
∫
∫ ∫
R
R
dT
U
R
R
d dRT
Z
ηη
µ
ηη
µ
(3.13.a)
A forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a
mesma do trabalho de Yang [10] e é dada por:
* *
*
( ) 1( )
1 ( , )w
TT
T R Z
µµ
µ γ= =
+ (3.13.b)
onde, γ é um parâmetro de viscosidade, o qual assume um valor positivo para
resfriamento e negativo para aquecimento.
Na obtenção da formulação matemática do problema acima, os seguintes
grupos adimensionais foram introduzidos:
*
2
( , )( , ); ; ( , ) ; ( , ) w
w w av av i w
T r z Tr z u r zR Z U R Z T R Z
r r u u T T
α −= = = =
− (3.14.a-d)
3.2.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
Seguindo o formalismo da GITT [51-67] o primeiro passo nesta técnica consiste na
definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o seguinte
problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:
2( )( ) 0 , 0<R<1i
i i
d RdR R R
dR dR
ψζ ψ
+ =
(3.15.a)
(0)0; (1) 0= =i
i
d
dR
ψψ (3.15.b,c)
24
O problema definido pelas Eqs. (3.15) acima é resolvido analiticamente para
fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,
ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:
0 0( ) 0; ( ) ( );
i i iJ R J Rζ ψ ζ= = (3.16.a,b)
21
2 1
0
( )( ) ,
2
ii i
JN R R dR i = 1,2,3,...
ζψ= =∫ (3.16.c)
1
0
( ) ( )
,
≠=
=∫ i j
i
0, i jR R R dR
N i jψ ψ (3.16.d)
O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.15) permite a definição do
seguinte par transformada-inversa:
1
0( ) ( ) ( , )= ∫ �
i iT Z R R T R Z dRψ , transformada (3.17.a)
1
( , ) ( ) ( )∞
=
=∑ � i i
i
T R Z R T Zψ , inversa (3.17.b)
onde, ( ) ( ) /=�i i i
R R Nψ ψ , são as autofunções normalizadas.
A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.17.b), nas Eqs. (3.13) para
o campo de velocidade, obtém-se:
( )
2
1
1
2(1 ) 4 ( ) (
1 8 ( )
,
)∞
=∞
=
− +
=
+
∑
∑
i i
i
i i
i
R A R T Z
U
Z
Z
BT
R
γ
γ
(3.18.a)
1 1
0( ) ( ) ; ( )= =∫ ∫�
i i i iR
A R d B RA R dRηψ η η (3.18.b,c)
O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da
EDP (Equação Diferencial Parcial) original. Para isso, a Eq. (3.12.a) é multiplicada por
( )�i
R Rψ e integrada no domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada
pela Eq. (3.17.b) nos termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o
25
cálculo dos potencias transformados, ( )i
T Z . Similarmente, o mesmo procedimento é
realizado na condição de entrada dada pela Eq. (3.12.b), resultando finalmente:
1
( )( ) ( ),
∞
=
=∑ j
ij i
j
dT ZC Z D Z Z > 0
dZ (3.19.a)
(0) =i i
T f (3.19.b)
onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.19) são dados por:
1 13 3
0 01
( ) 2 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )∞
=
= − + ∑∫ ∫� � � �
ij ij i j i j k k
k
C Z R R R dR R R R A R dR T Zδ ψ ψ γ ψ ψ (3.20.a)
2
1
( ) ( ) 1 8 ( )i i i j j
j
D Z T Z B T Zζ γ∞
=
= − +
∑ (3.20.b)
1
0( )
i if R R dRψ= ∫ � (3.20.c)
O sistema definido pelas Eqs. (3.19) constitui-se em um problema de valor
inicial não linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos
computacionais, é necessário truncar as expansões infinitas em um número de termos
NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais transformados ( )i
T Z . Na
solução deste sistema, devido à sua característica de rigidez (problema stiff) sub-
rotinas apropriadas devem ser empregadas, como a rotina IVPAG da biblioteca IMSL
[72]. Esta sub-rotina fornece uma característica importante de controle automático do
erro relativo na solução do sistema de equações diferenciais ordinárias, possibilitando
ao usuário estabelecer a princípio o erro de interesse para obter os potenciais
desejados. Então, uma vez solucionado este sistema, a fórmula de inversão dada pela
Eq. (3.17.b) é utilizada para fornecer o campo de temperatura T(R,Z), bem como o
campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.18.a).
A partir do campo de temperatura, quantidades de interesse prático podem ser
calculadas, tais como a temperatura média de mistura e números de Nusselt local e
médio. Portanto, de suas definições usuais, tem-se:
1
0( ) 2 ( , ) ( , )
avT Z RU R Z T R Z dR= ∫ (3.21.a)
26
(1, )2
( )( )
( )av
T Z
h z D RNu Zk T Z
∂−
∂= = (3.21.b)
0
1( ) ( )
Z
avNu Z Nu d
Zξ ξ= ∫ (3.21.c)
Portanto, introduzindo-se a fórmula de inversão dada pela Eq. (3.17.b) e a Eq.
(3.18.a) para o campo de velocidade nas Eqs. (3.21.a,b), obtém-se
1 1
1
8 ( ) ( )
( )
1 8 ( )
i ij j i
i j
av
i i
i
E F T Z T Z
T Z
BT Z
γ
γ
∞ ∞
= =
∞
=
+
=
+
∑ ∑
∑ (3.22.a)
1
(1)2 ( )
( )( )
ii
i
av
dT Z
dRNu Z
T Z
ψ∞
=
−
=∑
�
(3.22.b)
12
04 (1 ) ( )
i iB R R R dRψ= −∫ � (3.22.c)
1
0( ) ( )
ij i jF R R A R dRψ= ∫ � (3.22.d)
3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE
FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE
Figura 3.3.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular
para fluxo de calor prescrito uniforme na parede.
q = qw = constante
q = qw = constante
u0
T0
27
As hipóteses para este caso são similares ao do caso de temperatura prescrita
uniforme, entretanto na parede do tubo circular aplica-se um fluxo de calor uniforme
qw. A viscosidade também varia com a temperatura numa forma funcional dada no
trabalho de Yang [10]. Com essas hipóteses, a formulação matemática desse
problema na forma adimensional é dada por:
( )( , ) 1 ( , )
, 0<R<1, Z, >0
=
T R Z T R ZU R
Z R RR Z
R
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ (3.23.a)
( , 0) 0, 0 R 1T R = ≤ ≤ (3.23.b)
(0, ) (1, )0; 1, Z>0
T Z T Z
R R
∂ ∂
∂ ∂= = (3.23.c,d)
O perfil de velocidade completamente desenvolvido, U(R,Z), para este caso é
dado por:
( )
1
1 1
0
1 ( ),
2
( )
R
R
dT
U
R d dR
R
T
Z
ηη
µ
ηη
µ
=
∫
∫ ∫ (3.24.a)
* *
*
( ) 1( )
1 ( , )i
TT
T R Z
µµ
µ λ= =
+ (3.24.b)
Onde a forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a
também dada no trabalho de Yang [10]. Na Eq. (3.24.b), λ é um parâmetro de
viscosidade, o qual assume um valor positivo para aquecimento e negativo para
resfriamento.
Na obtenção da formulação matemática do problema desta seção, os mesmos
grupos adimensionais dados pelas Eqs. (3.14) foram introduzidos, exceto a
temperatura adimensional, a qual para este caso é dada por:
*( , )
( , )( / )
i
w w
T r z TT R Z
q r k
−= (3.25)
Neste ponto, a fim de se homogeneizar a condição de contorno dada pela Eq.
(3.23.d), o seguinte filtro é proposto:
28
2
( , ) ( , )2
RT R Z R Zθ= + (3.26)
Portanto, introduzindo-se a Eq. (3.26) nas Eqs. (3.23), o seguinte problema
homogeneizado é obtido:
( )( , ) 1 ( , )
2, 0<R<1, Z>0, R Z R Z
U RZ R R R
R Z∂θ ∂ ∂θ
∂ ∂ ∂
= +
(3.27.a)
2
( , 0) , 0 R 12
RRθ = ≤ ≤ (3.27.b)
(0, ) (1, )0; 0, Z>0
Z Z
R R
∂θ ∂θ
∂ ∂= = (3.27.c,d)
3.3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
Da mesma forma como no caso anterior, aplicando-se a metodologia da GITT [51-67]
temos a definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o
seguinte problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:
2( )( ) 0 , 0<R<1i
i i
d RdR R R
dR dR
ψζ ψ
+ =
(3.28.a)
(0) (1)0; 0i i
d d
dR dR
ψ ψ= =
(3.28.b,c)
O problema definido pelas Eqs. (3.28) acima é resolvido analiticamente para
fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,
ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:
1 0( ) 0; ( ) ( );
i i iJ R J Rζ ψ ζ= = (3.29.a, b)
21
2 0
0
( )( ) ,
2
ii i
JN R R dR i = 1,2,3,...
βψ= =∫
(3.29.c)
1
0
( ) ( )
,
≠=
=∫ i j
i
0, i jR R R dR
N i jψ ψ (3.29.d)
29
O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.28) permite a definição do
seguinte par transformada-inversa:
1
0( ) ( ) ( , )= ∫ �
i iT Z R R T R Z dRψ , transformada (3.30.a)
1
( , ) ( ) ( )∞
=
=∑ � i i
i
T R Z R T Zψ , inversa (3.30.b)
onde, ( ) ( ) /=�i i i
R R Nψ ψ , são as autofunções normalizadas.
A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.30.b), nas Eqs. (3.26) para
o campo de velocidade, obtém-se:
( )
24
1
1
(1 )(1 ) ( ) ( )
1 2 8
12( )
8 2
,
4
i i
i
i i
i
R
RR F R T Z
G T Z
ZU
λλ
λλ
∞
=∞
=
−+ − −
=
+ +
∑
∑ (3.31.a)
onde:
2
01
2
1( 1)1;( ) 1;
82
( )( )1.( ) 1.
ii
ii
iiii
i ii i
RG para iF R para i
NN
JRJ RG para iF R para i
NN
ζζ
ζζ
− = == =
= >= >
(3.31.b,c)
Utilizidando-se a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da
continuidade, após que integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,
obtém-se a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,z):
( )
2 4
1 1
2
1
1
1
( )(1 ) (1 ) ( ) ( )
4 2 16 31
2 1( )
8
,
24
( )( )
1
( )8 2
4
ii i i
i i
i i
i
ii
i
i i
i
dT ZR R R RH R T Z G
dZV
G T Z
dT ZH R
dZ
G T Z
R Z
λλ λ
λλ
λ
λλ
∞ ∞
= =
∞
=
∞
=
∞
=
− + − +
= + +
−
+ +
∑ ∑
∑
∑
∑
(3.32.a)
onde:
2
0 12
(2 )( ) 1;
8
1 2( ) ( ) ( ) 1.
i
i
i i i
ii i
R RC R para i
N
F R RJ R J R para iN
ζ ζζζ
−= =
= − >
(3.32.b)
30
O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da
EDP original. Para isso, a Eq. (3.25.a) é multiplicada por ( )�i
R Rψ e integrada no
domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) nos
termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o cálculo dos potencias
transformados, ( )i
T Z . Similarmente, o mesmo procedimento é realizado na condição
de entrada dada pela Eq. (3.25.b), resultando:
1
( )( ) ( ),
j
ij i
j
dT ZA Z B Z Z > 0
dZ
∞
=
=∑ (3.33.a)
(0)i i
T g= (3.33.b) onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.33) são dados por:
( ) ( ) ( )2
( )( )1( ) ( )
2 8 2
ijkiij ij ij ij ij ij ij k
ki k k
C ZT ZA Z a b a T Z
N N
λ λδ δ δ λ
ζ
∞
=
= − + − + − − ∑ (3.34.a)
2 01
221
( )( )1( ) ( ) ( ) 2 ( )
4 12 4
ki i i i k
k k k
JT ZB Z T Z g R T Z
N N
µλ λζ λ
ζ
∞
=
= − + + + +
∑ (3.34.b)
1 13 5
0 0( ) ( ) , ( ) ( )
ij i j ij i ja R R R dR b R R R dRψ ψ ψ ψ= =∫ ∫� � � � (3.34.c,d)
12
10
( ) ( ) ( )ijk i j k
C R R R J R dRψ ψ ζ= ∫ � � (3.34.e)
1
0
11;
( ) 2 ( )
0 1.
ii i
para iNg R R R dR
para i
ψ
=
= = >
∫ � (3.34.f)
O sistema definido pelas Eqs. (3.33) constitui um problema de valor inicial não
linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos computacionais,
conforme já explicado anteriormente, é necessário truncar as expansões infinitas em
um número de termos NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais
transformados ( )i
T Z . Na solução deste sistema, também, devido à sua característica
de rigidez (problema stiff) sub-rotinas apropriadas devem ser empregadas, como a
rotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]. Logo, uma vez solucionado este sistema, a
fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) é utilizada para fornecer o campo de
temperatura T(R,Z), bem como o campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.31.a).
A partir do campo de temperaturas, as mesmas quantidades de interesse
prático podem ser calculadas, de forma equivalente ao exposto anteriormente.
31
3.3.2 – SOLUÇÃO PELO CÓDIGO UNIT (“Unified Integral Transforms”)
A versão 1D - Mathematica do código UNIT [73-74] utilizado pelo presente trabalho
inclui todos os cálculos simbólicos necessários que foram descritos para a solução
formal via Técnica da Transformada Integral Generalizada para o caso unidimensional,
além de todos os cálculos numéricos envolvidos na solução do problema de autovalor
escolhido e do sistema de EDO's para os potenciais transformados resultantes. De
fato, o usuário essencialmente necessita especificar a formulação do problema,
escolher os coeficientes a serem utilizados no problema de autovalor e determinar
como apresentar os resultados. A seguir é feita uma descrição do algoritmo
implementado no código UNIT 1D utilizado neste trabalho para a solução formal do
problema geral de convecção-difusão.
O código trata a seguinte formulação matemática unidimensional transiente:
0 1
( , )( ) ( , , ), , 1, 2,..., , , 0k
k k j P
T x tw x G x t T k j M x x x t
t
∂= = < < >
∂ (3.35.a)
( ,0) ( ), 0 1k k
T x f x x x x= ≤ ≤ (3.35.b)
0 1
( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ), , , 0k
k k k k k j
T x tx T x t x k x x t T x x x tα β φ
∂+ = = >
∂n (3.35.c)
onde PM é a quantidade de potenciais presentes no sistema modelado. Em todos os
resultados apresentados neste trabalho o único potencial da formulação é o campo de
temperatura e, portanto, 1P
M = .
No módulo “Input & Problem Definition” do código UNIT, os seguintes termos
devem ser definidos pelo usuário de acordo com o modelo físico em análise:
( , , )k jG x t T que deve incluir os termos de difusão, dissipação e fonte, lineares ou não-
lineares. Também devem ser definidos pelo usuário a forma funcional de ( )k
f x , que é
a condição inicial do modelo; os coeficientes ( )k
xα , ( )k
xβ e ( )k
k x , que permitem
várias combinações, definindo diferentes tipos de condições de contorno e, finalmente,
( , , )k jx t Tφ , que é o termo-fonte do contorno, podendo ser linear ou não-linear.
32
Definida a formulação matemática do problema como supracitado, o usuário
deve fornecer valores para a seguinte lista de parâmetros, ainda no módulo “Input &
Problem Definition”:
− M, que corresponde ao PM na formulação do problema, sendo o número de
potenciais envolvidos no modelo. Como já destacado, neste trabalho o único
potencial presente na formulação é o campo de temperatura e M =1;
− Neig, que corresponde à ordem de truncamento na expansão em autofunções
do campo de temperatura;
− Ifilter, este parâmetro pode ter os valores 0 ou 1, sendo 0 para ativar o filtro
linear automático ou 1 quando o usuário pretende fornecer o filtro
manualmente.
− Iintegral, que permite ao usuário escolher a maneira como serão executadas as
integrações de transformação dos termos-fonte. Os valores possíveis são: 0
para a integração semi-analítica automática, 1 para a integração através de
quadraturas gaussianas, 2 para integração analítica (função Integrate) ou 3
para integração numérica automática intrínseca ao Mathematica (função
NIntegrate);
− Intorder, o valor deste parâmetro deve ser definido caso o usuário opte pela
integração semi-analítica automática, neste caso, o valor deste parâmetro
define a forma funcional do integrando de cada sub-região, sendo 0 para ordem
zero, 1 para aproximação linear (1ª ordem) e 2 para aproximação quadrática
(2ª ordem);
− Mreg, que também deve ser definido caso o usuário opte pela integração semi-
analítica automática. Este parâmetro define o número de sub-regiões utilizados
na integração. Também pode ser definido como Mregauto, neste caso o
número de regiões é definido automaticamente;
− ngauss, que define a ordem da integração Gaussiana, caso o usuário opte por
este tipo de integração. Também pode ser definido como ngauto, neste caso o
valor é escolhido automaticamente;
− tfinal, que corresponde ao maior tempo de interesse na solução do problema;
− Nerror, que corresponde à quantidade de termos que aproximam o resíduo na
análise de convergência da expansão do potencial em autofunções.
Ainda os parâmetros a seguir, que na realidade são opções da função NDSolve
utilizada na solução do sistema transformado, podem ser definidos manualmente.
33
Entretanto, ressalta-se que a configuração default deve funcionar para a maior parte
dos problemas.
− maxstepsize, que é o tamanho máximo do passo no tempo na solução
numérica do problema transformado;
− startingstepsize, é o tamanho inicial do passo no tempo na solução numérica
do problema transformado;
− accuracyODE, acurácia desejada na solução numérica do problema
transformado;
− precisionODE, precisão desejada na solução numérica do problema
transformado;
− methodODE, método para a solução numérica do problema transformado .
Neste momento o problema já está devidamente formulado, mas o usuário
ainda deve fornecer qual deve ser a escolha do problema auxiliar de autovalor através
da definição dos coeficientes k*(x), w*(x) e d*(x), todos devidamente indicados no
módulo “Input & Problem Definition”, que devem ser especificados e então o problema
auxiliar de autovalor é automaticamente gerado. A partir deste ponto começa a
solução propriamente dita do problema.
Primeiro, o módulo de filtragem automático é iniciado e utiliza ou o filtro
fornecido pelo usuário ou o filtro linear automático, dependendo de qual foi a escolha
do usuário.
Na sequência, o problema auxiliar de autovalor é resolvido empregando a
função DSolve do Mathematica, e a equação transcendental que gera os autovalores e
as respectivas autofunções normalizadas são determinados analiticamente pela
plataforma de computação simbólica.
Então, a condição inicial transformada é calculada. Como já destacado nesta
seção, o código utiliza a forma de integração definida pelo usuário no parâmetro
Iintegral, que pode ser a integração analítica automática (função Integrate), a
integração numérica automática (função NIntegrate), a integração semi-analítica ou
ainda a integração numérica com quadraturas gaussianas. O mesmo acontece para
obtenção dos coeficientes do sistema de EDO's para o potencial transformado, onde
integrações devem ser efetuadas. A importância da opção de utilização da integração
semi-analítica reside principalmente na sua maior eficácia na integração destes
termos-fonte, que usualmente exigem integrações numéricas internas à rotina de
34
solução do problema de valor inicial, especialmente em formulações não-lineares. Na
opção de integração semi-analítica a transformação integral do termo-fonte se dá da
seguinte maneira:
1
ˆ( , ) ( ) ( , ,T) ( ) ( , ,T)m
M
i j i i mv v
m
g t T G t dv G t dvψ ψ=
= =∑∫ ∫x x x x� �
(3.36)
onde ˆ ( , ,T)mG tx são formas funcionais mais simples analiticamente integráveis do
termo-fonte, definas em M sub-regiões Vm. A escolha mais simples é a utilização de
valores uniformes dentro de cada sub-região (aproximação de ordem zero), mas
aproximações lineares (primeira ordem) e quadráticas (segunda ordem) também estão
implementadas no código e o usuário deve optar por uma delas no caso de escolha da
utilização da integração semi-analítica, como já citado, através da escolha adequada
do parâmetro Intorder no módulo “Input & Problem Definition”.
A esta altura o sistema de EDO's para o potencial transformado é montado e o
próximo passo é a sua solução. Como discutido anteriormente, este sistema é
resolvido numericamente através da função NDSolve, intrínseca à plataforma
Mathematica. O código UNIT em sua configuração default utiliza o método BDF,
intrínseco à função NDSolve.
Com o sistema de EDO's para o potencial transformado resolvido, o campo de
temperatura é calculado a partir da expansão em autofunções. Neste ponto o usuário
deve verificar se a convergência da expansão está satisfatória e eventualmente
diminuir/aumentar a ordem de truncamento N de modo a atender seus requisitos. Por
exemplo, pode ser usada a seguinte fórmula para este teste de convergência:
* 1
1
( )
( ) max
( )
( )
( ; ) ( )
N
i
i N
N
i
i
i
f i
T
t
T T
t
t t
ψ
ε
ψ
= +
=
=
+
∑
∑
x
xx
�
�
(3.37)
O numerador na Eq. 3.37 diz respeito aos termos que a princípio poderiam ser
extraídos da expansão da temperatura, para fornecer uma estimativa do resíduo da
solução, e verificar o atendimento da tolerância admitida pelas especificações do
usuário. O número de termos usados para este teste de convergência é controlado
35
pelo parâmetro Nerror. Neste trabalho foram sempre escolhidos alguns pontos
diferentes do domínio de modo a se avaliar qual o maior erro de truncamento dentre
estes pontos. Ressalta-se que não está disponível um sistema automático de
convergência e o usuário deve observar se a convergência está dentro de suas
pretensões e então aumentar/diminuir a ordem de truncamento, conforme suas
necessidades de precisão e custo computacional.
Finalmente, a expansão em autofunções é realizada e o usuário então dispõe
de uma função contínua em x e t para os potenciais e então, no módulo “Results”,
pode utilizar as ferramentas do Mathematica para apresentar os resultados de acordo
com suas necessidades, como gráficos, tabelas, comparações, etc.
36
CAPÍTULO 4
DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL
Para validação dos resultados obtidos através deste estudo teórico e contribuir mais
efetivamente com o avanço das pesquisas nesta linha, utilizou-se dados experimentais
próprios aquisitados no LTTC para um nanofluido comercial água-sílica, no contexto
do projeto COPPE-CENPES [75]. Portanto, para um entendimento adequado sobre os
resultados experimentais obtidos, far-se-á uma breve descrição a respeito do aparato
experimental e dos experimentos correspondentes.
O aparato experimental para estudos de convecção forçada com nanofluidos
objetiva a determinação de coeficientes de transferência de calor locais e médios para
escoamento em tubos retos de seção circular, em função do número de Reynolds,
variando-se a vazão do escoamento, bem como em função da posição axial ao longo
do tubo e da concentração de nanopartículas no fluido.
No desenvolvimento deste trabalho, foram considerados alguns aspectos
relevantes em função das mais recentes inovações e modificações na bancada
experimental já disponível no LTTC, originalmente projetada e construída no projeto
precursor junto ao CENPES/Petrobras [76]. O histórico de todas estas melhorias no
circuito termohidráulico estão amplamente abordadas e justificadas nos relatórios de
progressos e podem ser disponibilizados para consulta [75].
O circuito termohidráulico, mostrado nas Figuras 4.1 a,b e esquematizado na
Figura 4.2 abaixo, está dividido em cinco partes: Aquecimento, Seção de Testes,
Circuito Hidráulico, Sistema de Rejeição de Calor e Aquisição de Dados [14].
37
Figura 4.1.a,b – Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ).
Figura 4.2 – Disposição esquemática do aparato experimental.
38
Para os estudos inerentes a este trabalho foi utilizado e avaliado um nanofluido
comercial de óxido de silício (SiO2)-água [45, 50 e 53], o qual foi adquirido da empresa
americana Nanostructured & Amorphous Materials, Inc. A ficha técnica fornecida pelo
fabricante do nanofluido utilizado é apresentada na tabela 4.1 mostrada abaixo e o
recipiente comercializado é ilustrado na Figura 4.1.
Tabela 4.1 – Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante.
Tipo da nanopartícula SiO2
Tamanho da nanopartícula 30 nm
Densidade da nanopartícula 2.2 g/cm3
pH 6-7
Concentração de nanopartículas 25 % em massa
Figura 4.3 – Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro) (Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA).
Foram empregados 2,5 litros do nanofluido no circuito, com uma concentração
volumétrica nominal, antes da realização do experimento, de 12,794% de
39
nanopartículas de óxido de silício (25% em massa), posteriormente avaliada mais
adequadamente de acordo com as medidas de fração volumétrica efetuadas no
laboratório, com auxílio da estufa e da balança de precisão.
O sistema de aquisição de dados é responsável pela aquisição e
armazenamento dos dados, a partir do processamento automático das informações
proveniente de sensores, bem como pelo monitoramento nos componentes de suporte
dos equipamentos do aparato experimental.
A aquisição de dados em um experimento típico do circuito térmohidráulico de
convecção forçada inclui os arquivos de aquisição de vazão produzidos pelo programa
“GramaTempo”, o arquivo de aquisição de temperaturas e voltagens gerado pelo
Agilent, e outros dados de controle anotados pelo operador (temperatura ambiente,
corrente na resistência aquecedora, etc.).
O programa “GramaTempo” é um aplicativo em C construído no LTTC, que
permite a comunicação com a balança de precisão e o computador, registrando as
medidas de tempo e massa e oferecendo ao operador o controle do início e final da
operação enquanto estima a vazão durante a aquisição. Um grande volume de dados
é gerado pela aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, que captura todo o
processo transiente desde o ligamento do circuito térmico até o estabelecimento do
regime permanente, requerendo um tratamento estatístico seguido pela apresentação
gráfica e devidas comparações com previsões teóricas. Para tal fim foi construído um
notebook* na plataforma Mathematica [77] “ExperimentoNanofluido”. Este notebook é
modular podendo ser executado na íntegra ou apenas nos conjuntos de células de
interesse para uma dada situação. Os grupos de células mais importantes podem ser
assim descritos: * notebook – terminologia utilizada para designar o código computacional no
Mathematica.
a. Propriedades Termofísicas da Água e do Nanofluido
A partir de dados da literatura, efetuam-se interpolações para as propriedades
termofísicas da água e empregam-se as fórmulas de correção para o nanofluido
correspondente; pode-se também empregar os dados próprios de propriedades para o
nanofluido.
b. Parâmetros Experimentais: Vazão, Temperaturas, Voltagens e Outros Dados
O Módulo principal que lê os dados aquisitados de vazão, temperaturas e
voltagens, tratando esses dados a seguir. Para o tratamento dos dados de vazão
despreza-se 10% das medidas no início e final do processo, empregando-se a rotina
40
Regress* do Mathematica para análise estatística desses dados e obtenção da
estimativa da vazão. São efetuadas em geral seis réplicas para obtenção de médias,
desvios-padrão e incertezas (intervalo de confiança de 95%). A utilização da função
Regress forneceu excelente concordância, o que foi observado na totalidade dos
experimentos aqui observados, e a incerteza associada, por exemplo, à vazão média
permaneceu em torno de 3%. * Regress – função padrão do Mathematica que faz uma estimativa para os
coeficientes de curvas a partir de um conjunto de dados, neste caso a curva é linear.
Já da aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, é selecionada uma
janela de tempo dentro do período constatado como em regime permanente para
obtenção das médias e incertezas de cada medida. Foi adotada aqui uma janela de
cinco minutos em todas as estimativas, que se mostrou representativa em todos os
experimentos, cujo tempo para atingir regime permanente variou de 15 minutos até
cerca de 120 minutos em alguns casos, dependendo da vazão, condição inicial e
potência fornecida.
Por fim, os resultados experimentais são consolidados pelo Mathematica, onde
a primeira linha corresponde à temperatura de entrada do fluido e as demais
correspondem aos termopares posicionados na parede externa do tubo nas posições
axiais ali apresentadas. Observou-se que as incertezas destas medidas eram
inferiores a 0,1 ºC em todas as posições.
41
CAPÍTULO 5
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A seguir serão apresentados os resultados numéricos a partir da solução proposta,
obtidos através de uma implementação computacional em Fortran 95. Ambas as
condições de contorno, de temperatura ou fluxo de calor prescritos, foram simuladas e
seus resultados comparados com a literatura e, no caso específico do fluxo de calor
prescrito, foi efetuada a validação com resultados experimentais obtidos no LTTC para
um nanofluido comercial de água-sílica.
Para a efetiva verificação do código computacional construído, foram
considerados diferentes casos com variação de � e �, parâmetros que caracterizam a
variação da viscosidade com a temperatura, definidos, respectivamente, na Eq.
(3.13.b) e na Eq. (3.24.b), conforme apresentado na literatura [10]. Além disso,
buscou-se realizar uma análise da convergência dos resultados a fim de avaliar a
incerteza dos resultados.
5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA
5.1.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA
No presente estudo, para confirmar a convergência dos resultados variou-se o número
de termos da expansão, até que os resultados obtidos fossem considerados
convergidos. Observou-se, como esperado, que quanto menor a distância axial
considerada, ou seja, quanto mais próximo da entrada do tubo, mais termos na
expansão são necessários para atingir a convergência em um dado número de dígitos
significativos.
Caso analisado: ���� = 9,0
Para as análises apresentadas nas tabelas 5.1.1 - 4 abaixo, optou-se por uma
variação de 10 em 10 termos na expansão. Das Tabelas 5.1.1 e 5.1.2 pode-se
observar que a velocidade no centro do tubo e a temperatura média na seção atingem
convergência em cinco dígitos significativos em todas as posições axiais
apresentadas, para NT<80. Claramente, ordens de truncamento bem menores podem
ser empregadas para critérios de convergência menos rígidos, ou seja, convergência
42
em quatro dígitos significativos pode ser obtida mesmo com ordens de truncamento
NT<40.
Tabela 5.1.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de temperatura
prescrita e ����=9,0. VELOCIDADE NO CENTRO
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 2,1042 2,1278 2,137 2,1377 2,1381 2,1383 2,1384 2,1384
0,0002 0,0001 2,1305 2,1717 2,1727 2,1735 2,1737 2,1738 2,1739 2,1739
0,0003 0,00015 2,1553 2,1967 2,1978 2,1983 2,1985 2,1986 2,1986 2,1986
0,0004 0,0002 2,1784 2,2161 2,2175 2,2179 2,2180 2,2181 2,2182 2,2182
0,0005 0,00025 2,1997 2,2325 2,234 2,2343 2,2345 2,2345 2,2346 2,2346
0,0006 0,0003 2,2192 2,2470 2,2483 2,2487 2,2488 2,2488 2,2488 2,2489
0,0007 0,00035 2,2370 2,2599 2,2611 2,2614 2,2615 2,2615 2,2616 2,2616
0,0008 0,0004 2,2531 2,2716 2,2726 2,2729 2,2730 2,2730 2,2731 2,2731
0,0009 0,00045 2,2677 2,2822 2,2832 2,2834 2,2835 2,2836 2,2836 2,2836
0,001 0,0005 2,2808 2,2921 2,293 2,2932 2,2933 2,2933 2,2933 2,2933
0,002 0,001 2,3633 2,3647 2,3652 2,3653 2,3654 2,3654 2,3654 2,3654
0,003 0,0015 2,4116 2,4139 2,4143 2,4144 2,4144 2,4144 2,4145 2,4145
0,004 0,002 2,4495 2,4521 2,4524 2,4524 2,4525 2,4525 2,4525 2,4525
0,005 0,0025 2,4811 2,4835 2,4838 2,4838 2,4839 2,4839 2,4839 2,4839
0,006 0,003 2,5083 2,5104 2,5106 2,5106 2,5107 2,5107 2,5107 2,5107
0,007 0,0035 2,5321 2,5339 2,5341 2,5341 2,5341 2,5342 2,5342 2,5342
0,008 0,004 2,5532 2,5548 2,5550 2,5550 2,5550 2,5551 2,5551 2,5551
0,009 0,0045 2,5723 2,5737 2,5738 2,5739 2,5739 2,5739 2,5739 2,5739
0,01 0,005 2,5896 2,5909 2,5910 2,5910 2,5911 2,5911 2,5911 2,5911
0,02 0,01 2,7082 2,7088 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089 2,7089
0,03 0,015 2,7776 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781 2,7781
0,04 0,02 2,8240 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243 2,8243
0,05 0,025 2,8565 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567 2,8567
0,06 0,03 2,8797 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799 2,8799
0,07 0,035 2,8963 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964 2,8964
0,08 0,04 2,9077 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078 2,9078
0,09 0,045 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153 2,9153
0,1 0,05 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197 2,9197
0,2 0,1 2,8741 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740 2,8740
0,3 0,15 2,7698 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697 2,7697
0,4 0,2 2,6540 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539 2,6539
0,5 0,25 2,5392 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391 2,5391
0,6 0,3 2,432 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319 2,4319
0,7 0,35 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367 2,3367
0,8 0,4 2,2561 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560 2,2560
0,9 0,45 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906 2,1906
1 0,5 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394 2,1394
2 1 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041 2,0041
3 1,5 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001 2,0001
4 2 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000
43
Tabela 5.1.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de temperatura prescrita e ����=9,0.
TEMPERATURA MÉDIA (Tav)
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 0,9985 0,9968 0,9968 0,9968 0,9968 0,9968 0,9967 0,9967
0,0002 0,0001 0,9960 0,9950 0,9949 0,9948 0,9948 0,9948 0,9948 0,9948
0,0003 0,00015 0,9939 0,9934 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932 0,9932
0,0004 0,0002 0,9922 0,9919 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917 0,9917
0,0005 0,00025 0,9906 0,9905 0,9904 0,9903 0,9903 0,9903 0,9903 0,9903
0,0006 0,0003 0,9893 0,9892 0,9891 0,9891 0,9890 0,9890 0,9890 0,9890
0,0007 0,00035 0,9880 0,9880 0,9879 0,9878 0,9878 0,9878 0,9878 0,9878
0,0008 0,0004 0,9869 0,9868 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867 0,9867
0,0009 0,00045 0,9859 0,9857 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856 0,9856
0,001 0,0005 0,9849 0,9846 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845 0,9845
0,002 0,001 0,9759 0,9752 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751 0,9751
0,003 0,0015 0,9678 0,9672 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671 0,9671
0,004 0,002 0,9606 0,9600 0,9600 0,9600 0,9600 0,9599 0,9599 0,9599
0,005 0,0025 0,9539 0,9534 0,9534 0,9533 0,9533 0,9533 0,9533 0,9533
0,006 0,003 0,9476 0,9472 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471 0,9471
0,007 0,0035 0,9417 0,9413 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412 0,9412
0,008 0,004 0,9361 0,9357 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356 0,9356
0,009 0,0045 0,9306 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302 0,9302
0,01 0,005 0,9254 0,9250 0,9250 0,9250 0,9250 0,9249 0,9249 0,9249
0,02 0,01 0,8799 0,8796 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795 0,8795
0,03 0,015 0,8417 0,8415 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414 0,8414
0,04 0,02 0,8079 0,8077 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076 0,8076
0,05 0,025 0,7771 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769 0,7769
0,06 0,03 0,7486 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484 0,7484
0,07 0,035 0,7220 0,7218 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217 0,7217
0,08 0,04 0,6969 0,6967 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966 0,6966
0,09 0,045 0,6731 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729 0,6729
0,1 0,05 0,6505 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503 0,6503
0,2 0,1 0,4686 0,4685 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684 0,4684
0,3 0,15 0,3389 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388 0,3388
0,4 0,2 0,2439 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438 0,2438
0,5 0,25 0,1743 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742 0,1742
0,6 0,3 0,1238 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237 0,1237
0,7 0,35 0,0874 0,0874 0,0874 0,0874 0,0874 0,0873 0,0873 0,0873
0,8 0,4 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614 0,0614
0,9 0,45 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430 0,0430
1 0,5 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300
2 1 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008
3 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0 0
44
Tabela 5.1.1.3 – Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa) para o caso de
temperatura prescrita e ����=9,0.
Número de Nusselt local (Nu) – Fórmula da Inversa
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 35,4863 35,3665 28,4273 28,3543 28,0278 27,9216 27,8727 27,8504
0,0002 0,0001 31,5665 22,9289 22,4788 22,1675 22,0902 22,0625 22,0518 22,0468
0,0003 0,00015 28,1472 19,4849 19,4361 19,2875 19,2526 19,2412 19,2362 19,2337
0,0004 0,0002 25,1889 17,7480 17,5642 17,4895 17,4705 17,4639 17,4608 17,4590
0,0005 0,00025 22,6500 16,4888 16,2622 16,2169 16,2049 16,2003 16,1980 16,1967
0,0006 0,0003 20,4879 15,4899 15,2802 15,2488 15,2403 15,2368 15,2349 15,2339
0,0007 0,00035 18,6598 14,6751 14,5002 14,4769 14,4703 14,4674 14,4660 14,4651
0,0008 0,0004 17,1239 13,9985 13,8587 13,8407 13,8353 13,8329 13,8317 13,8310
0,0009 0,00045 15,8400 13,4275 13,3177 13,3033 13,2988 13,2967 13,2957 13,2951
0,001 0,0005 14,7709 12,9387 12,8526 12,8407 12,8368 12,8351 12,8341 12,8336
0,002 0,001 10,2131 10,2052 10,1874 10,1832 10,1816 10,1809 10,1806 10,1804
0,003 0,0015 8,9340 8,9129 8,9033 8,9009 8,9000 8,8996 8,8993 8,8992
0,004 0,002 8,1639 8,1040 8,0976 8,096 8,0954 8,0951 8,0949 8,0948
0,005 0,0025 7,5936 7,5321 7,5274 7,5261 7,5257 7,5255 7,5254 7,5253
0,006 0,003 7,1497 7,0981 7,0944 7,0935 7,0931 7,0929 7,0928 7,0928
0,007 0,0035 6,7938 6,7532 6,7503 6,7495 6,7492 6,7490 6,7490 6,7489
0,008 0,004 6,5014 6,4701 6,4676 6,4669 6,4667 6,4666 6,4665 6,4665
0,009 0,0045 6,2563 6,2319 6,2298 6,2292 6,2290 6,2289 6,2288 6,2288
0,01 0,005 6,0470 6,0277 6,0258 6,0253 6,0251 6,0251 6,0250 6,0250
0,02 0,01 4,8822 4,8761 4,8754 4,8752 4,8752 4,8751 4,8751 4,8751
0,03 0,015 4,3465 4,3430 4,3425 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424
0,04 0,02 4,0244 4,0220 4,0218 4,0217 4,0217 4,0216 4,0216 4,0216
0,05 0,025 3,8064 3,8047 3,8045 3,8045 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044
0,06 0,03 3,6487 3,6474 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472
0,07 0,035 3,5297 3,5286 3,5285 3,5285 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284
0,08 0,04 3,4373 3,4364 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363
0,09 0,045 3,3642 3,3635 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634
0,1 0,05 3,3057 3,3051 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050
0,2 0,1 3,0934 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932
0,3 0,15 3,1084 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082
0,4 0,2 3,1703 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701
0,5 0,25 3,2427 3,2425 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424
0,6 0,3 3,3154 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151
0,7 0,35 3,3836 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832
0,8 0,4 3,4441 3,4438 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437
0,9 0,45 3,4954 3,4950 3,4950 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949
1 0,5 3,5370 3,5365 3,5368 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364
2 1 3,6537 3,6532 3,6531 3,6519 3,6531 3,6522 3,6496 3,6538
3 1,5 3,6639 3,6568 3,6567 3,6870 3,6567 3,6567 3,6567 3,6507
4 2 3,6578 3,6645 4,1313 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568
45
Tabela 5.1.1.4 – Convergência do número de Nusselt local (equação de energia) para o caso
de temperatura prescrita e ���� = 9,0.
Número de Nusselt Local(Nu) – Balanço de Energia
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 27,2681 30,9964 27,9788 28,0033 27,9064 27,8723 27,8538 27,8432
0,0002 0,0001 24,7322 22,2936 22,2044 22,1018 22,0718 22,0577 22,0504 22,0462
0,0003 0,00015 22,5170 19,2951 19,3194 19,2663 19,2483 19,2401 19,2358 19,2333
0,0004 0,0002 20,5954 17,5775 17,5141 17,4813 17,4690 17,4634 17,4605 17,4588
0,0005 0,00025 18,9396 16,3262 16,2373 16,2133 16,2042 16,2000 16,1978 16,1966
0,0006 0,0003 17,5213 15,3496 15,2660 15,2469 15,2398 15,2365 15,2348 15,2338
0,0007 0,00035 16,3125 14,5623 14,4914 14,4757 14,4699 14,4672 14,4658 14,4650
0,0008 0,0004 15,2863 13,9116 13,853 13,8399 13,835 13,8327 13,8316 13,8309
0,0009 0,00045 14,4173 13,3624 13,3139 13,3027 13,2985 13,2966 13,2956 13,295
0,001 0,0005 13,6821 12,8906 12,85 12,8402 12,8366 12,8349 12,8341 12,8336
0,002 0,001 10,1977 10,2014 10,1868 10,1830 10,1815 10,1809 10,1805 10,1803
0,003 0,0015 8,9372 8,9115 8,903 8,9007 8,8999 8,8995 8,8993 8,8992
0,004 0,002 8,1455 8,1032 8,0974 8,0959 8,0953 8,095 8,0949 8,0948
0,005 0,0025 7,5703 7,5315 7,5272 7,5261 7,5256 7,5254 7,5253 7,5253
0,006 0,003 7,1294 7,0976 7,0943 7,0934 7,0931 7,0929 7,0928 7,0928
0,007 0,0035 6,7784 6,7529 6,7501 6,7494 6,7492 6,7490 6,7490 6,7489
0,008 0,004 6,4905 6,4698 6,4675 6,4669 6,4667 6,4666 6,4665 6,4665
0,009 0,0045 6,2488 6,2316 6,2297 6,2292 6,229 6,2289 6,2288 6,2288
0,01 0,005 6,0420 6,0274 6,0257 6,0253 6,0251 6,0250 6,0250 6,0250
0,02 0,01 4,8813 4,8760 4,8754 4,8752 4,8752 4,8751 4,8751 4,8751
0,03 0,015 4,3458 4,3429 4,3425 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424 4,3424
0,04 0,02 4,0239 4,0220 4,0217 4,0217 4,0217 4,0216 4,0216 4,0216
0,05 0,025 3,8060 3,8047 3,8045 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044 3,8044
0,06 0,03 3,6483 3,6473 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472 3,6472
0,07 0,035 3,5293 3,5286 3,5285 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284 3,5284
0,08 0,04 3,4370 3,4364 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363 3,4363
0,09 0,045 3,3640 3,3635 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634 3,3634
0,1 0,05 3,3055 3,3051 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050 3,3050
0,2 0,1 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932 3,0932
0,3 0,15 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082 3,1082
0,4 0,2 3,17 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701 3,1701
0,5 0,25 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424 3,2424
0,6 0,3 3,3150 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151 3,3151
0,7 0,35 3,3831 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832 3,3832
0,8 0,4 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437 3,4437
0,9 0,45 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949 3,4949
1 0,5 3,5364 3,5364 3,5368 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364 3,5364
2 1 3,6531 3,6531 3,6531 3,6530 3,6531 3,653 3,6527 3,6531
3 1,5 3,6624 3,6567 3,6567 3,6664 3,6567 3,6567 3,6567 3,6492
4 2 3,6571 3,6644 4,0295 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568 3,6568
46
Na avaliação do número de Nusselt local, para o caso de temperatura prescrita
na parede, foram utilizadas duas formas de cálculo, uma através do balanço integral
da equação de energia e outra pelo cálculo direto da derivada da temperatura na
parede a partir da fórmula da inversa. Claramente, como ilustrado nas Tabelas 5.1.1.3
e 5.1.1.4 abaixo, o cálculo baseado na integração da equação de energia apresenta
uma convergência melhor que no caso da substituição direta da fórmula da inversa
para estimar o fluxo de calor na parede. Não obstante, ambas formas de cálculo levam
ao mesmo resultado final para ordens de truncamento suficientemente grandes.
5.1.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([10] e [68])
A seguir apresentamos uma breve verificação do código implementado, a partir de
comparações com resultados numéricos apresentados por Yang [10]. Para ajudar a
visualizar as sensíveis variações da viscosidade nos casos apresentados em [10],
mostramos na Figura 5.1.2.1 abaixo, as diferentes curvas para a viscosidade em
função da temperatura, para os valores de � utilizados por Yang [10], tanto positivos
quanto negativos.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1T
0.1
1
10
µ(T
)
Casos de Yang [10]γ = -0,3
γ = -0,6
γ = -0,9
γ = 3,0
γ = 6,0
γ = 9,0
Figura 5.1.2.1 – Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura prescrita e conforme Yang [10].
47
Caso analisado: ���� = 9,0 ([10])
Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.1 foram considerados 80 termos
na expansão do campo de temperaturas.
Tabela 5.1.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ���� = 9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
Z X Nu1 Nu2 Nu [10]
0,0008 0,0004 13,8310 13,8309 14,203
0,0086 0,0043 6,3193 6,3193 6,382
0,0342 0,0171 4,1905 4,1905 4,231
0,0812 0,0406 3,4266 3,4266 3,531
0,2 0,1 3,0932 3,0932 3,115
0,3 0,15 3,1082 3,1082 3,193
0,4 0,2 3,1701 3,1701 3,276
0,5 0,25 3,2424 3,2424 3,360
0,6 0,3 3,3151 3,3151 3,438 (1) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)
0 0.2 0.4 0.6Z
0
4
8
12
16
20
24
Nu
(Z)
Nusselt Local (γ = 9,0)Yang [10]Nu(Z) - InversaNu(Z) - Energia
Figura 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ����=9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
48
As duas formas de calcular o número de Nusselt aqui adotadas, a partir do
balanço integral e da fórmula da inversa, apresentam total concordância entre si, após
ser atingida a convergência (como esperado), como mostrado na Tabela 5.1.2.1, e tem
uma razoável concordância com os resultados pioneiros de Yang [10], como também
pode ser observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.2.
Caso analisado: ���� = -0,9 ([10] e [68])
De forma análoga ao caso anterior, na sequência é apresentada uma nova
verificação do código implementado, a partir de comparações com resultados
numéricos apresentados por Yang [10], bem como com resultados mais recentes de
Oliveira Filho et al. [68]. Estes autores consideraram para esta publicação resultados
com erro relativo de 10-6 na obtenção dos campos transformados e ordem de
truncamento de 40 termos.
Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.2 foram considerados 80 termos
na expansão do campo de temperaturas. As duas formas de calcular o número de
Nusselt aqui empregadas, a partir do balanço integral e da fórmula da inversa,
apresentam total concordância entre si, após ser atingida a convergência, como
mostrado nas Tabelas 5.1.2.2 e 5.1.2.3, e não apresentam concordância com os
resultados mais recentes Oliveira Filho et al. [68], Tabela 5.1.2.2, no entanto
apresentam boa concordância com Yang [10], Tabela 5.1.2.3, como também pode ser
observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.3.
Tabela 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ���� = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [68].
Z=X Nu1 Nu2 Nu [68]
0,0001 59,268 59,126 372,296
0,001 24,287 24,283 94,251
0,005 12,740 12,740 33,428
0,01 9,664 9,664 21,232
0,05 5,364 5,364 8,065
0,1 4,429 4,429 5,833
0,2 3,944 3,944 4,646
0,3 3,812 3,812 4,243
0,5 3,721 3,721 3,907
1,0 3,661 3,662 3,694
1,6 3,764 3,750 3,661
2,0 3,773 3,757 3,657 (1) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)
49
Tabela 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ���� = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
Z X Nu1 Nu2 Nu [10]
0,003 0,0015 15,646 15,645 16,004
0,0188 0,0094 7,570 7,570 7,685
0,052 0,026 5,298 5,298 5,317
0,0988 0,0494 4,441 4,441 4,447
0,2 0,1 3,944 3,944 3,912
0,3 0,15 3,812 3,812 3,829
0,4 0,2 3,754 3,754 3,781
0,5 0,25 3,721 3,721 3,752
0,6 0,3 3,700 3,700 3,734
(2) Nu local (Inversa) (2)Nu local (Energia)
0 0.2 0.4 0.6Z
0
4
8
12
16
20
Nu
(Z)
Nusselt Local (γ = -0,9)Yang [10]Nu(Z) - InversaNu(Z) - Energia
Figura 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ����=-0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
50
Por outro lado, através da Tabela 5.1.2.4 e da Figura 5.1.2.4 as comparações
considerando-se a velocidade no centro do tubo demonstrou excelente concordância
com os resultados de Oliveira Filho et al. [68]. Aparentemente houve um equívoco nos
resultados reportados para o número de Nusselt na ref.[68], sendo este o único
conjunto de dados disponível para comparação direta naquela referência.
Tabela 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura
prescrita e ���� = -0,9 conforme referência [68].
Z=X U U [68]
0,0001 1,606 1,609
0,001 1,433 1,433
0,005 1,372 1,371
0,01 1,377 1,377
0,05 1,504 1,504
0,1 1,620 1,620
0,2 1,763 1,763
0,3 1,847 1,846
0,5 1,931 1,931
1,0 1,990 1,990
1,6 1,999 1,999
2,0 2,000 2,000
0.0001 0.001 0.01 0.1 1Z
1.4
1.6
1.8
2
U(Z
)
Velocidade no centro (γ = -0,9)Oliveira Filho et al. [68]GITT
Figura 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura
prescrita e ����=-0,9 conforme referência [68].
51
5.2 - FLUXO PRESCRITO
5.2.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA
Para este caso foi realizado procedimento semelhante ao descrito anteriormente, para
o caso da temperatura na parede prescrita, quanto à variação do número de termos na
expansão, no entanto, observou-se uma maior rigidez deste problema em relação ao
anterior, e que quanto maior o valor absoluto de ���� , menor a taxa de convergência e
maior o custo computacional requerido.
Caso analisado: ����= -0,3
Para as análises apresentadas nas tabelas 5.2.1 - 3 abaixo, optou-se por uma
variação de 10 em 10 termos na expansão. Observa-se uma excelente convergência
para a velocidade no centro do tubo, para a temperatura média na seção, bem como
para o número de Nusselt local. Pelo menos quatro dígitos significativos encontram-se
convergidos para o número de Nusselt com NT=80.
52
Tabela 5.2.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de fluxo prescrito e
����= -0,3.
VELOCIDADE NO CENTRO
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 2,0008 2,0011 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012 2,0012
0,0002 0,0001 2,0014 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019 2,0019
0,0003 0,00015 2,0021 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025 2,0025
0,0004 0,0002 2,0026 2,003 2,003 2,0031 2,0031 2,0031 2,0031 2,0031
0,0005 0,00025 2,0032 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035 2,0035
0,0006 0,0003 2,0037 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040 2,0040
0,0007 0,00035 2,0042 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044 2,0044
0,0008 0,0004 2,0046 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048 2,0048
0,0009 0,00045 2,0050 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052 2,0052
0,001 0,0005 2,0054 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056 2,0056
0,002 0,001 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087 2,0087
0,003 0,0015 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112 2,0112
0,004 0,002 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134 2,0134
0,005 0,0025 2,0153 2,0153 2,0153 2,0154 2,0154 2,0154 2,0154 2,0154
0,006 0,003 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171 2,0171
0,007 0,0035 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187 2,0187
0,008 0,004 2,0202 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203 2,0203
0,009 0,0045 2,0216 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217 2,0217
0,01 0,005 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230 2,0230
0,02 0,01 2,0337 2,0337 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338 2,0338
0,03 0,015 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416 2,0416
0,04 0,02 2,0479 2,0479 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480 2,0480
0,05 0,025 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532 2,0532
0,06 0,03 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578 2,0578
0,07 0,035 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617 2,0617
0,08 0,04 2,0652 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653 2,0653
0,09 0,045 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684 2,0684
0,1 0,05 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712 2,0712
0,2 0,1 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898 2,0898
0,3 0,15 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012 2,1012
0,4 0,2 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116 2,1116
0,5 0,25 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230 2,1230
0,6 0,3 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366 2,1366
0,7 0,35 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534 2,1534
0,8 0,4 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749 2,1749
0,9 0,45 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035 2,2035
1 0,5 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433 2,2433
53
Tabela 5.2.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de fluxo prescrito e
����= -0,3.
TEMPERATURA MÉDIA (Tav)
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 1,41E-04 1,93E-04 1,98E-04 1,99E-04 1,99E-04 1,99E-04 1,99E-04 2,00E-04
0,0002 0,0001 3,41E-04 3,92E-04 3,97E-04 3,98E-04 3,99E-04 3,99E-04 3,99E-04 3,99E-04
0,0003 0,00015 5,40E-04 5,91E-04 5,96E-04 5,97E-04 5,98E-04 5,98E-04 5,98E-04 5,98E-04
0,0004 0,0002 7,39E-04 7,90E-04 7,95E-04 7,96E-04 7,97E-04 7,97E-04 7,97E-04 7,97E-04
0,0005 0,00025 9,38E-04 9,89E-04 9,94E-04 9,95E-04 9,96E-04 9,96E-04 9,96E-04 9,96E-04
0,0006 0,0003 1,14E-03 1,19E-03 1,19E-03 1,19E-03 1,20E-03 1,20E-03 1,20E-03 1,20E-03
0,0007 0,00035 1,34E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03 1,39E-03
0,0008 0,0004 1,53E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03 1,59E-03
0,0009 0,00045 1,73E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03 1,79E-03
0,001 0,0005 1,93E-03 1,98E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03 1,99E-03
0,002 0,001 3,92E-03 3,97E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03 3,98E-03
0,003 0,0015 5,90E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03 5,96E-03
0,004 0,002 7,89E-03 7,94E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03 7,95E-03
0,005 0,0025 9,87E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03 9,93E-03
0,006 0,003 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02 1,19E-02
0,007 0,0035 1,38E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02 1,39E-02
0,008 0,004 1,58E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02 1,59E-02
0,009 0,0045 1,78E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02 1,79E-02
0,01 0,005 1,98E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02 1,99E-02
0,02 0,01 3,96E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02 3,97E-02
0,03 0,015 5,95E-02 5,95E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02 5,96E-02
0,04 0,02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02 7,94E-02
0,05 0,025 9,92E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02 9,93E-02
0,06 0,03 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01 1,19E-01
0,07 0,035 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01 1,39E-01
0,08 0,04 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01 1,59E-01
0,09 0,045 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01 1,79E-01
0,1 0,05 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01 1,99E-01
0,2 0,1 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01 3,98E-01
0,3 0,15 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01 5,97E-01
0,4 0,2 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01 7,97E-01
0,5 0,25 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01 9,96E-01
0,6 0,3 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00 1,20E+00
0,7 0,35 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00 1,39E+00
0,8 0,4 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00 1,59E+00
0,9 0,45 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00 1,79E+00
1 0,5 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00 1,99E+00
54
Tabela 5.2.1.3 – Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -0,3.
Número de Nusselt local (Nu)
Z X NT=10 NT=20 NT=30 NT=40 NT=50 NT=60 NT=70 NT=80
0,0001 0,00005 62,9132 53,1291 49,2223 49,0226 48,9521 48,9155 48,8975 48,8875
0,0002 0,0001 48,1523 38,4086 37,7176 37,6496 37,6189 37,6057 37,599 37,5952
0,0003 0,00015 39,8168 32,5545 32,3923 32,3439 32,3269 32,3194 32,3156 32,3134
0,0004 0,0002 34,4725 29,1787 29,1022 29,0695 29,0581 29,0530 29,0505 29,0490
0,0005 0,00025 30,7604 26,8618 26,798 26,7743 26,7659 26,7622 26,7603 26,7593
0,0006 0,0003 28,0349 25,1205 25,061 25,0426 25,0361 25,0332 25,0318 25,0309
0,0007 0,00035 25,9502 23,7409 23,6866 23,6717 23,6665 23,6641 23,6629 23,6623
0,0008 0,0004 24,3045 22,6097 22,5612 22,5489 22,5445 22,5425 22,5415 22,541
0,0009 0,00045 22,9719 21,6588 21,616 21,6055 21,6018 21,6001 21,5993 21,5988
0,001 0,0005 21,8702 20,8441 20,8064 20,7973 20,7941 20,7927 20,7919 20,7915
0,002 0,001 16,3772 16,243 16,2283 16,2247 16,2235 16,2229 16,2226 16,2225
0,003 0,0015 14,1290 14,0731 14,0646 14,0626 14,0618 14,0615 14,0613 14,0612
0,004 0,002 12,7729 12,7275 12,7217 12,7203 12,7198 12,7196 12,7195 12,7194
0,005 0,0025 11,8214 11,7824 11,7781 11,7771 11,7767 11,7766 11,7765 11,7764
0,006 0,003 11,1018 11,069 11,0656 11,0648 11,0645 11,0644 11,0643 11,0643
0,007 0,0035 10,5318 10,5042 10,5015 10,5008 10,5006 10,5005 10,5004 10,5004
0,008 0,004 10,0654 10,0420 10,0397 10,0392 10,039 10,0389 10,0388 10,0388
0,009 0,0045 9,6743 9,6542 9,6522 9,6517 9,6516 9,6515 9,6514 9,6514
0,01 0,005 9,3399 9,3223 9,3206 9,3202 9,3201 9,3200 9,3200 9,3199
0,02 0,01 7,4691 7,4619 7,4612 7,4610 7,4610 7,4610 7,4609 7,4609
0,03 0,015 6,6078 6,6035 6,6031 6,6030 6,6029 6,6029 6,6029 6,6029
0,04 0,02 6,0880 6,0850 6,0847 6,0847 6,0846 6,0846 6,0846 6,0846
0,05 0,025 5,7335 5,7312 5,731 5,731 5,7309 5,7309 5,7309 5,7309
0,06 0,03 5,4741 5,4723 5,4721 5,4721 5,4720 5,4720 5,4720 5,4720
0,07 0,035 5,2755 5,2739 5,2738 5,2738 5,2737 5,2737 5,2737 5,2737
0,08 0,04 5,1185 5,1172 5,1171 5,1170 5,1170 5,1170 5,1170 5,1170
0,09 0,045 4,9916 4,9904 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903 4,9903
0,1 0,05 4,8872 4,8861 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860 4,8860
0,2 0,1 4,4127 4,4121 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120 4,4120
0,3 0,15 4,2906 4,2901 4,2901 4,2900 4,2900 4,2900 4,2900 4,2900
0,4 0,2 4,2495 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490 4,2490
0,5 0,25 4,2288 4,2284 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283 4,2283
0,6 0,3 4,212 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115 4,2115
0,7 0,35 4,1935 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931 4,1931
0,8 0,4 4,171 4,1706 4,1706 4,1705 4,1705 4,1705 4,1705 4,1705
0,9 0,45 4,1418 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414 4,1414
1 0,5 4,1021 4,1018 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017 4,1017
5.2.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([9] e [10])
A seguir, efetua-se a verificação do código construído, por comparação direta com
alguns resultados apresentados nos trabalhos de Quaresma [9] e Yang [10]. Nos
55
resultados apresentados na Tabela 5.2.4 abaixo foram considerados 80 termos na
expansão, comparando-se o número de Nusselt local em algumas posições axiais. Os
resultados tem uma razoável concordância com Yang [10], como também confirmado
pela comparação gráfica apresentada na Figura 5.2.1.
Tabela 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -
0,3 pela GITT e conforme referência [10]. Z X Nu Yang [10]
0,0082 0,0041 9,9561 9,754
0,015 0,0075 8,1683 8,024
0,0242 0,0121 7,0382 6,918
0,0356 0,0178 6,2859 6,170
0,0494 0,0247 5,7490 5,647
0,0652 0,0326 5,3628 5,277
0 0.02 0.04 0.06Z
0
10
20
30
40
Nu
(Z)
Nusselt Local (λ= -0,3)Yang [10]GITT
Figura 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -
0,3 pela GITT e conforme referência [10].
A seguir apresentamos uma verificação da solução aqui proposta, para o caso
de viscosidade constante, comparada aos resultados de referência obtidos por
Transformação Integral Clássica (CITT) por Quaresma [9], no qual o respectivo autor
considerou 50 termos na expansão. Para a análise dos resultados apresentados na
Tabela 5.2.5 foram considerados 25 termos na expansão da presente solução. A
presente solução com um número relativamente menor de termos permitiu verificar a
56
boa aderência com a solução benchmark da ref. [9], e serviu para definir um limite da
ordem de truncamento a ser utilizada nos exemplos subsequentes da formulação não
linear.
Tabela 5.2.2.2 – Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e conforme referência [9].
Z z Nuz Quaresma [9] Nuav Quaresma [9]
0,0004 0,0001 27,357 27,276 38,111 38,405
0,0008 0,0002 21,591 21,557 31,070 31,191
0,0012 0,0003 18,809 18,790 27,404 27,477
0,0016 0,0004 17,062 17,095 25,023 25,074
0,002 0,0005 15,823 15,813 23,300 23,339
0,0024 0,0006 14,880 14,872 21,972 22,003
0,0028 0,0007 14,129 14,123 20,904 20,929
0,0032 0,0008 13,511 13,506 20,017 20,038
0,0036 0,0009 12,990 12,985 19,264 19,283
0,004 0,0010 12,542 12,538 18,614 18,630
0,008 0,0020 9,988 9,986 14,840 14,846
0,012 0,0030 8,773 8,772 13,001 13,005
0,016 0,0040 8,021 8,020 11,844 11,847
0,02 0,0050 7,494 7,494 11,024 11,026
0,024 0,0060 7,099 7,099 10,401 10,403
0,028 0,0070 6,788 6,788 9,906 9,908
0,032 0,0080 6,536 6,536 9,500 9,502
0,036 0,0090 6,326 6,326 9,159 9,160
0,04 0,0100 6,148 6,148 8,867 8,868
0,08 0,0200 5,198 5,198 7,227 7,228
0,12 0,0300 4,816 4,816 6,479 6,473
0,16 0,0400 4,621 4,621 6,037 6,037
0,2 0,0500 4,514 4,514 5,742 5,742
0,24 0,0600 4,452 4,452 5,532 5,532
0,28 0,0700 4,416 4,416 5,375 5,375
0,32 0,0800 4,399 4,399 5,253 5,253
0,36 0,0900 4,382 4,382 5,157 5,157
0,4 0,1000 4,375 4,375 5,079 5,079
0,8 0,2000 4,364 4,364 4,723 4,723
5.2.2.1 - VERIFICAÇÃO DA IMPORTÂNCIA DOS TERMOS CONVECTIVOS NA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA FLUXO PRESCRITO
A fim de verificar a importância dos termos convectivos no cálculo do campo de
temperatura para o problema com condição de contorno de fluxo prescrito, deve-se,
primeiramente, calcular a componente radial do campo de velocidade. Para esse
propósito, se utiliza a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da
57
continuidade, em seguida integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,
obtendo-se assim a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,Z):
( )
2 4
1 1
2
1
1
1
( )(1 ) (1 ) ( ) ( )
4 2 16 31
2 1( )
8
,
24
( )( )
1
( )8 2
4
ii i i
i i
i i
i
ii
i
i i
i
dT ZR R R RH R T Z G
dZV
G T Z
dT ZH R
dZ
G T Z
R Z
λλ λ
λλ
λ
λλ
∞ ∞
= =
∞
=
∞
=
∞
=
− + − +
= + +
−
+ +
∑ ∑
∑
∑
∑
(5.1.a)
onde:
2
0 12
(2 )( ) 1;
8
1 2( ) ( ) ( ) 1.
i
i
i i i
ii i
R RH R para i
N
H R RJ R J R para iN
ζ ζζζ
−= =
= − >
(5.1.b)
As Eqs. (5.1) acima juntamente com a componente axial de velocidade dada
pelas Eqs. (3.31) e o campo de temperatura dado pelas Eqs. (3.26) e (3.30.b) servem
para calcular os termos convectivos e verificar as suas respectivas importâncias para
esse problema de entrada térmica com condição de contono de fluxo prescrito.
Neste ponto, antes de prosseguir com as análises será feita uma verificação da
importância dos termos convectivos ( ) ( ,,
)T R ZU R
ZZ
∂∂ e ( ) ( ,
, )T R Z
V RR
Z∂
∂ no
campo de temperatura e quantidades de interesse prático, tais como números de
Nusselt. Para esse propósito, observou-se a variação desses referidos termos ao
longo da entrada térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo calo
prescrito constante e adotando-se λ=0,721295. Observa-se das Figuras 5.2.2.1.1 que o
termo ( ) ( ,,
)T R ZU R
ZZ
∂∂ é sempre superior ao ( ) ( ,
, )T R Z
V RR
Z∂
∂ para quase
todas as posições axiais, exceto para Z=0,0001, onde a ordem de magnitude desses
termos são bem próximas em uma determinada faixa de posição radial, embora
próximo da parede R=1, os gradientes de ( ) ( ,,
)T R ZU R
ZZ
∂∂ sejam bem maiores, o
que influenciará diretamente os valores de números de Nusselt. À medida que Z
aumenta, a importância do termo convectivo radial vai diminuindo consideravelmente.
58
Dessa forma, justifica-se a hipótese adotada no presente trabalho de se desprezar o
termo convectivo radial face à importância do termo convectivo axial.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
R
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Term
os
Con
vec
tivos
Z=0.0001
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
R
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Term
os
Co
nv
ecti
vo
s
Z=0.001
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
R
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Term
os
Co
nv
ecti
vo
s
Z=0.01
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
R
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Term
os
Co
nv
ecti
vo
s
Z=0.1
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
R
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Term
os
Co
nv
ecti
vo
s
Z=1.0
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
Figura 5.2.2.1.1 – Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada térmica como
função da coordenada radial para o caso de fluxo prescrito e l= 0,721295.
59
5.2.3 – UNIT PARA ÓLEO TÉRMICO LUBRAX OT-68-OF
Inicialmente será apresentada uma breve verificação da solução obtida pelo código
UNIT para a convecção forçada laminar, utilizando o valor l= 0, correspondente à
situação de viscosidade constante, para o qual resultados benchmark estão
disponíveis a partir da solução exata por transformada integral [9]. A tabela 5.2.3.1
abaixo apresenta uma análise de convergência para o número de Nusselt local da
solução híbrida proposta, que deve ser comparada em sua ordem de truncamento
mais elevada, N=30, com a solução de referência em [9], apresentada na última
coluna. Apresentamos também a solução por GITT acima detalhada, como obtida pela
rotina dedicada escrita em Fortran 95 do presente trabalho. A solução pelo código
UNIT foi obtida com um máximo de 30 termos na expansão em autofunções,
empregando o filtro automático acima definido, e evitando-se o sistema transformado
implícito, levando-se o campo de velocidades U(R,Z) para o denominador do termo
fonte geral. Foi empregada integração numérica por Gauss não adaptatitiva com 464
pontos nodais. Claramente, a solução obtida pelo UNIT encontra-se convergida em
pelo menos três dígitos significativos, em toda a faixa de variável dependente
considerada. Pode-se também observar que a solução automática concorda pelo
menos em mais ou menos um nesse mesmo dígito em relação às duas soluções
apresentadas, a solução exata na ref.[9] e o algoritmo dedicado deste trabalho. Essa
comparação fornece a necessária confiança para empregar esse conjunto de
parâmetros na obtenção dos resultados para o caso específico do óleo térmico.
Já a Tabela 5.2.3.2 apresenta uma comparação específica dos números de
Nusselt locais para o caso não-linear apresentado por Yang [10] com l= -0,3. Além dos
resultados de Yang na última coluna, apresentamos os resultados da simulação com o
código UNIT e com a rotina dedicada por GITT deste trabalho. Pode-se observar uma
maior discrepância entres os resultados da presente análise e o trabalho pioneiro e
aproximado de Yang [10], mas uma diferença apenas no terceiro dígito entre a
presente simulação e o código dedicado do presente trabalho.
60
Tabela 5.2.3.1 - Análise de convergência do número de Nusselt local para o caso de
viscosidade constante (l= 0) e comparação com resultados de referência [9].
Número de Nusselt local (Nu)
Z N=5 N=10 N=15 N=20 N=25 N=30 Nuz Ref. [9]
0,0012 20,0317 18,8936 18,6568 18,6288 18,6151 18,6034 18,809 18,790
0,0016 18,1671 17,0779 16,9452 16,9249 16,9154 16,9074 17,062 17,095
0,002 16,7967 15,8107 15,7282 15,7122 15,7050 15,699 15,823 15,813
0,0024 15,734 14,8569 14,8004 14,7873 14,7817 14,7769 14,880 14,872
0,0028 14,8789 14,1021 14,0601 14,0492 14,0446 14,0406 14,129 14,123
0,0032 14,1718 13,4834 13,4501 13,4408 13,4369 13,4336 13,511 13,506
0,0036 13,5745 12,9631 12,9352 12,9272 12,9238 12,921 12,990 12,985
0,004 13,0615 12,5165 12,4923 12,4853 12,4824 12,4799 12,542 12,538
0,008 10,1816 9,97263 9,96148 9,95855 9,9573 9,95625 9,988 9,986
0,012 8,86583 8,76196 8,75504 8,75324 8,75248 8,75184 8,773 8,772
0,016 8,07336 8,01148 8,00656 8,00528 8,00474 8,00428 8,021 8,020
0,02 7,52877 7,48642 7,48263 7,48165 7,48123 7,48087 7,494 7,494
0,024 7,12441 7,0923 7,08922 7,08841 7,08807 7,08779 7,099 7,099
0,028 6,80862 6,78247 6,77988 6,7792 6,77891 6,77867 6,788 6,788
0,032 6,55316 6,53083 6,52858 6,5280 6,52775 6,52751 6,536 6,536
0,036 6,34109 6,32142 6,31944 6,31892 6,3187 6,31849 6,326 6,326
0,04 6,16154 6,14385 6,14208 6,14161 6,14142 6,14123 6,148 6,148
0,08 5,2053 5,19587 5,19495 5,19471 5,19461 5,19452 5,198 5,198
0,12 4,82069 4,8138 4,81314 4,81296 4,81289 4,81282 4,816 4,816
0,16 4,62554 4,61978 4,61922 4,61908 4,61902 4,61896 4,621 4,621
0,2 4,51774 4,51256 4,51206 4,51193 4,51187 4,51182 4,514 4,514
0,24 4,4559 4,45105 4,45058 4,45045 4,4504 4,45036 4,452 4,452
0,28 4,41976 4,4151 4,41461 4,41452 4,41448 4,41443 4,416 4,416
0,32 4,39844 4,39388 4,3934 4,39332 4,39327 4,39323 4,399 4,399
0,36 4,38578 4,38128 4,38081 4,38074 4,38068 4,38064 4,382 4,382
0,4 4,37824 4,37378 4,37332 4,37324 4,37319 4,37315 4,375 4,375
0,8 4,36713 4,36273 4,36227 4,36219 4,36214 4,3621 4,364 4,364
Tabela 5.2.3.2 - Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não linear l= -0,3:
Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina dedicada e diferenças finitas [10].
Z UNIT Nuz GITT/Fortran Yang [10]
0,0082 9,93846 9,9561 9,754
0,015 8,18838 8,1683 8,024
0,0242 7,0665 7,0382 6,918
0,0356 6,31145 6,2859 6,17
0,0494 5,76738 5,749 5,647
0,0652 5,37234 5,3628 5,277
61
A seguir serão apresentados resultados referentes ao óleo térmico LUBRAX
OT-68-OF, cujas propriedades podem ser consultadas na ref. [75]. O primeiro caso
considerado refere-se a uma temperatura de entrada de 150°C, uma variação de
temperatura média de 20°C na seção térmica, e um número de Reynolds de Re=2000,
praticamente no limite superior do regime laminar. Para o comprimento aquecido de
L=4,95m e o raio interno da tubulação de rw=0,0079m, prescreve-se então uma
potência total (desprezando as perdas) de Qw=3077,4 W, distribuídos nas doze
resistências que compõem a seção de testes. O ajuste do parâmetro da variação de
viscosidade fornece o valor l= 18,99 nesse caso, a uma velocidade média de
um=0,394 m/s. Este caso foi rapidamente descartado, pois observou-se os altos
valores da temperatura da parede alcançados, chegando-se a 369,6°C na saída da
seção de testes, bem acima das temperaturas de fulgor VA (254°C), do ponto de
combustão (284°C) e quase até de auto-ignição do óleo (366°C). Esse resultado é
ilustrado nas Figuras 5.2.3.1.a,b abaixo que ilustram a distribuição espacial da
temperatura do fluido e os gráficos das temperaturas na parede, média e no centro
para esta situação, respectivamente. Outro aspecto importante observado é que o
comprimento de entrada de Le=0,51 m seria insuficiente para o desenvolvimento
hidrodinâmico do escoamento até a entrada da seção térmica, e que seria necessário
um comprimento de 1,77m.
Figura 5.2.3.1.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico
(Re=2000, ∆Tb=20°C)
62
1 2 3 4 5z @mD
200
250
300
350
Tb, T0 & Tw @ºC D
Figura 5.2.3.1.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo
(Re=2000, ∆Tb=20°C)
Em função dessas considerações, optou-se então por considerar um aumento
menos acentuado na temperatura média do fluido ao longo da seção, bem como uma
redução no número de Reynolds para Re=1200, e considerando-se um ∆Tb=10°C.
Nesse caso, a potência pré-dimensionada resultou em Qw=974,2 W, desta feita
distribuídos entre apenas 10 resistências. As duas primeiras resistências são então
desconectadas para prover um comprimento de desenvolvimento hidrodinâmico
adequado. Estima-se que nesse caso o comprimento de entrada Lh seria de 1,06m e
portanto, com a distância disponível e o comprimento das duas resistências
desligadas, chega-se ao valor novo disponível de Le=1,3m. O comprimento de
desenvolvimento térmico estimado é de cerca de 62m tendo em vista o alto número de
Prandtl do óleo térmico. O parâmetro de viscosidade então assume o valor l= 7,105 e
a velocidade média é um=0,252 m/s e a vazão cerca 2,4 kg/min.
As Figuras 5.2.3.2.a,b então ilustram a distribuição espacial da temperatura no
fluido e as temperaturas na parede, média de mistura e no centro do canal,
respectivamente. Neste caso, chega-se à temperatura máxima de parede de 248,1°C,
portanto abaixo da temperatura de fulgor VA de 254°C. Naturalmente, essa estimativa
é conservativa, porque há perdas térmicas pelo isolamento, mas é possível reduzir o
número de Reynolds para definir um caso teste ainda mais conservativo. Pela
distribuição espacial na saída observa-se claramente que um termopar posicionado no
fluido não efetuaria uma medida representativa da temperatura média de mistura, o
que demonstra a necessidade de um misturador adiabático na saída para que a
estimativa da temperatura média tenha aplicabilidade.
63
Figura 5.2.3.2.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico (Re=1200,
∆Tb=10°C)
1 2 3 4z @mD
160
180
200
220
240
Tb , T0 & Tw @ºCD
Figura 5.2.3.2.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=1200,
∆Tb=10°C)
64
A Figura 5.2.3.3 apresenta os perfis da componente longitudinal da velocidade
na seção do tubo ao longo da dimensão axial, nas posições z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m a
partir da entrada, confirmando a importância de se levar em consideração a variação
da viscosidade para esse fluido. Já a Figura 5.2.3.4 apresenta a variação do
coeficiente de transferência de calor local ao longo do tubo, mostrado em forma de
pontos, nas mesmas posições axiais onde estão previstos os termopares, ou seja, três
termopares equiespaçados na terceira resistência (primeira resistência ativa nesse
caso), e um termopar central nas demais 9 resistências, perfazendo um total de 12
medidas. Evita-se assim que os termopares estejam próximas às extremidades das
resistências, bem como da entrada e da saída do tubo. Vale comentar que o
coeficiente de transferência de calor na saída do tubo é de 53,89 W/m2°C, ainda bem
distante do valor assimptótico de de 24,28 W/m2°C. Por outro lado, o coeficiente de
transferência de calor médio na saída da seção térmica é de 77,84 W/m2°C. Esses
valores podem ser diretamente comparados com aqueles previstos pelas correlações
teórica de Shah [78], hS(L)=74,22 W/m2°C, e empírica de Churchill & Ozoe [79],
hC(L)=75,34 W/m2°C. A correlação de Churchill & Ozoe também permite uma correção
do valor do número de Nusselt em função da variação da viscosidade, o que nesse
caso resulta em um valor majorado do coeficiente de transferência de calor médio,
igual hC(L)=81,18 W/m2°C. A comparação entre os coeficientes locais de transferência
de calor aqui calculados e aqueles previstos pela correlação de Churchill & Ozoe (linha
vermelha) é mostrada na Fig.5.2.3.4, com excelente concordância, oferecendo uma
verificação do modelo aqui adotado.
2 4 6 8r @mm D
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
uHr,zL @mêsD
Figura 5.2.3.3 - Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em diferentes posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C
65
0 1 2 3 4z @mD
50
100
150
200
250
h @Wêm2C D
Figura 5.2.3.4 - Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes posições
axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C (pontos - presente simulação, linha
continua - correlação de Churchill & Ozoe).
O presente caso servirá como caso-teste após a montagem e testes de funcionamento do circuito termohidráulico para altas temperaturas.
5.2.4 – COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Esta seção é dedicada à comparação da presente simulação com resultados
experimentais recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES, para
um nanofluido comercial de água-sílica [75]. Quatro ensaios com o nanofluido
comercial foram selecionados para esta comparação, e seus dados principais são
consolidados na Tabela 5.2.4.1 abaixo, observando-se a ampla faixa de números de
Reynolds selecionada, de cerca de 1200 a 1900.
Tabela 5.2.4.1 – Consolidação de parâmetros relacionados aos casos experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as comparações.
Medição l Vazão T0 [°C] qw [W/m2] Reynolds Prandtl Peclet
1 0,721295 876 25,06 5295 1458 9,87802 14401
3 0,784579 720 25,58 5733 1237 9,53625 11796
7 0,728404 973 26,19 5286 1654 9,64812 15957
9 0,926381 1093 26,26 6723 1876 9,54910 17914
66
As tabelas 5.2.4.2 e 5.2.4.5 abaixo apresentam uma análise de convergência,
através de uma variação de 5 em 5 termos na expansão. A tabela 5.2.4.2 apresenta os
resultados referentes ao número de Nusselt local no caso de propriedades constantes,
enquanto a tabela 5.2.4.3 ilustra a convergência do caso com variação da viscosidade
com a temperatura. Praticamente quatro dígitos significativos encontram-se
convergidos nessa faixa de ordem de truncamento da expansão, mais que suficiente
para as comparações com resultados experimentais que se seguirão. As posições
axiais mostradas correspondem às posições onde estão instalados os termopares ao
longo do tubo de teste. Observa-se um aumento no número de Nusselt ao considerar-
se o modelo com variação da viscosidade, ao longo do tubo aquecido, exceto na
primeira posição próxima à entrada do canal. Vale lembrar que o presente modelo não
leva em consideração a variação da componente transversal da velocidade, que pode
ter alguma importância nas posições mais próximas à entrada do canal.
Além do cálculo do número de Nusselt local, inclui-se também a convergência
do número de Nusselt médio, ilustrada nas tabelas 5.2.4.4 e 5.2.4.5, respectivamente
para os casos de propriedades constantes e viscosidade variável. Nesse caso, uma
convergência de cerca de três dígitos significativos foi observada nas posições
correspondentes aos termopares instalados no experimento. Aqui fica evidente o
maior desvio entre os números de Nusselt médio para propriedades constantes e
viscosidade variável, na região mais próxima à entrada do canal.
Tabela 5.2.4.2 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.
Nuz
Caso Z z (m) NT=5 NT=10 NT=15 NT=20 NT=25
Medição 1 - SiO2
8,32624 E-04 0,019 29,013 22,664 21,348 21,328 21,299
1,87559 E-02 0,428 7,6973 7,6491 7,6428 7,6413 7,6408
3,44882 E-02 0,787 6,4328 6,4054 6,4024 6,4017 6,4014
5,20171 E-02 1,187 5,7650 5,7463 5,7445 5,7440 5,7439
7,23506 E-02 1,651 5,3279 5,3147 5,3134 5,3131 5,3130
8,86964 E-02 2,024 5,1011 5,0904 5,0894 5,0891 5,0890
9,71541 E-02 2,217 5,0103 5,0005 4,9996 4,9993 4,9993
Medição 7 - SiO2
7,51973 E-04 0,019 30,033 23,764 22,105 22,083 22,051
1,69392 E-02 0,428 7,9493 7,8909 7,8838 7,8821 7,8815
3,11475 E-02 0,787 6,6201 6,5904 6,5871 6,5863 6,5860
4,69785 E-02 1,187 5,9177 5,8969 5,8949 5,8944 5,8942
6,53425 E-02 1,651 5,4536 5,4389 5,4375 5,4371 5,4370
8,01049 E-02 2,024 5,2105 5,1986 5,1974 5,1971 5,1971
8,77433 E-02 2,217 5,1123 5,1015 5,1004 5,1002 5,1001
67
Tabela 5.2.4.3 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.
Nuz
Caso Z z (m) NT=5 NT=10 NT=15 NT=20 NT=25
Medição 1 - SiO2 (l= 0,721295)
8,32624 E-04 0,019 27,964 19,873 19,247 19,231 19,209
1,87559 E-02 0,428 7,7515 7,7100 7,7038 7,7023 7,7018
3,44882 E-02 0,787 6,5486 6,5208 6,5178 6,5171 6,5168
5,20171 E-02 1,187 5,8999 5,8804 5,8785 5,8781 5,8779
7,23506 E-02 1,651 5,4708 5,4568 5,4554 5,4551 5,4550
8,86964 E-02 2,024 5,2467 5,2352 5,2340 5,2338 5,2337
9,71541 E-02 2,217 5,1566 5,1460 5,1449 5,1447 5,1446
Medição 7 - SiO2 (l = 0,728404)
7,51973 E-04 0,019 28,982 20,642 19,768 19,766 19,741
1,69392 E-02 0,428 7,9867 7,9387 7,9318 7,9301 7,9296
3,11475 E-02 0,787 6,7300 6,7003 6,6970 6,6961 6,6958
4,69785 E-02 1,187 6,0500 6,0286 6,0264 6,0259 6,0257
6,53425 E-02 1,651 5,5957 5,5802 5,5787 5,5784 5,5782
8,01049 E-02 2,024 5,3561 5,3433 5,3421 5,3418 5,3417
8,77433 E-02 2,217 5,2590 5,2473 5,2462 5,2459 5,2458
Tabela 5.2.4.4 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.
Nuav
Caso Z z (m) NT=5 NT=10 NT=15 NT=20 NT=25
Medição 1 - SiO2
8,32624 E-04 0,019 36,161 37,913 33,676 31,512 30,692
1,87559 E-02 0,428 12,456 11,622 11,395 11,292 11,251
3,44882 E-02 0,787 9,9542 9,4849 9,3592 9,3029 9,2806
5,20171 E-02 1,187 8,6434 8,3247 8,2405 8,2031 8,1882
7,23506 E-02 1,651 7,7677 7,5341 7,4732 7,4461 7,4354
8,86964 E-02 2,024 7,2959 7,1032 7,0533 7,0312 7,0224
9,71541 E-02 2,217 7,1008 6,9240 6,8783 6,8581 6,8501
Medição 7 - SiO2
7,51973 E-04 0,019 36,873 39,491 34,959 32,564 31,660
1,69392 E-02 0,428 12,953 12,036 11,784 11,671 11,626
3,11475 E-02 0,787 10,322 9,8056 9,6667 9,6045 9,5798
4,69785 E-02 1,187 8,9442 8,5934 8,5004 8,4589 8,4425
6,53425 E-02 1,651 8,0228 7,7656 7,6983 7,6684 7,6565
8,01049 E-02 2,024 7,5256 7,3135 7,2583 7,2338 7,2242
8,77433 E-02 2,217 7,3197 7,1250 7,0746 7,0522 7,0433
68
Tabela 5.2.4.5 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.
Nuav
Caso Z z (m) NT=5 NT=10 NT=15 NT=20 NT=25
Medição 1 - SiO2 (l = 0,721295)
8,32624 E-04 0,019 35,385 32,582 26,450 24,783 24,918
1,87559 E-02 0,428 12,200 11,170 10,880 10,800 10,804
3,44882 E-02 0,787 9,8573 9,2819 9,1222 9,0782 9,0800
5,20171 E-02 1,187 8,6220 8,2327 8,1259 8,0966 8,0978
7,23506 E-02 1,651 7,7915 7,5069 7,4297 7,4085 7,4093
8,86964 E-02 2,024 7,3420 7,1075 7,0443 7,0270 7,0276
9,71541 E-02 2,217 7,1555 6,9405 6,8828 6,8669 6,8675
Medição 7 - SiO2 (l= 0,728404)
7,51973 E-04 0,019 36,118 33,842 27,115 25,293 25,452
1,69392 E-02 0,428 12,663 11,524 11,203 11,116 11,120
3,11475 E-02 0,787 10,202 9,5663 9,3895 9,3414 9,3437
4,69785 E-02 1,187 8,9057 8,4760 8,3579 8,3258 8,3272
6,53425 E-02 1,651 8,0339 7,7199 7,6344 7,6112 7,6122
8,01049 E-02 2,024 7,5613 7,3025 7,2326 7,2136 7,2144
8,77433 E-02 2,217 7,3650 7,1277 7,0637 7,0464 7,0471
A comparação com os resultados experimentais é agora consolidada nas
Tabelas 5.2.4.6 a 5.2.4.7, respectivamente, para os mesmos dois casos acima do
nanofluido comercial. Para os resultados apresentados nessas tabelas foram
considerados 25 termos na expansão, conforme já explicitado anteriormente. As
tabelas apresentam os resultados da simulação para os números de Nusselt local e
médio, com propriedades constantes e viscosidade variável, bem como o resultado
experimental estimado para o número de Nusselt local nas posições dos termopares.
Para determinação do número de Nusselt experimental, é necessário estimar
teoricamente a temperatura média de mistura a partir da hipótese de fluxo de calor
prescrito uniforme e desconsiderando perdas ao longo do tubo. Apresenta-se também
os valores do número de Nusselt local obtidos a partir da correlação empírica de
Churchill e Ozoe, que apresenta uma excelente concordância com os resultados de
propriedades variáveis aqui produzidos, exceto no ponto mais próximo da entrada do
canal, possivelmente pelo presente modelo não levar em conta a a convecção na
direção transversal na equação de energia nem os termos de inércia na equação de
momentum.
As Figuras 5.2.4.1 e 5.2.4.4 ilustram os resultados de números de Nusselt em
forma gráfica, para permitir também uma análise comparativa de todos os quatro
casos considerados.
69
Em geral, os resultados teóricos com o modelo de viscosidade variável
reproduzem melhor os resultados experimentais, embora a diferença entre os dois
resultados teóricos seja menor que o desvio entre os resultados teórico e
experimental. Claramente, há um comportamento sistemático do segundo ponto
experimental, de subestimar o número de Nusselt, e portanto superestimar a
temperatura, que pode estar relacionado a um mau posicionamento deste termopar.
Po outro lado, o último termopar, localizado muito próximo ao final da seção quente,
mostra uma tendência a superestimar o número de Nusselt, tendo em vista o aumento
da perda de calor para a seção fria do tubo nessa posição, que reduz o valor da
diferença de temperaturas entre a parede e a temperatura média do fluido.
Tabela 5.2.4.6 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.
Z z (m)
Nuz
(l= 0,721295) Nuz (Props. Constantes) Nuexp Nuz [79]
Nuav
(l= 0,721295) Nuav (Props. Constantes)
8,32624 E-04 0,019 19,209 21,299 17,857 25,952 24,918 30,692
1,87559 E-02 0,428 7,7018 7,6408 6,6610 7,7039 10,804 11,251
3,44882 E-02 0,787 6,5168 6,4014 6,3234 6,4253 9,0800 9,2806
5,20171 E-02 1,187 5,8779 5,7439 5,7470 5,8058 8,0978 8,1882
7,23506 E-02 1,651 5,4550 5,3130 5,3782 5,4268 7,4093 7,4354
8,86964 E-02 2,024 5,2337 5,0890 5,1551 5,2380 7,0276 7,0224
9,71541 E-02 2,217 5,1446 4,9993 5,3859 5,1635 6,8675 6,8501
Tabela 5.2.4.7 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.
Z z (m) Nuz
(l= 0,728404) Nuz (Props. Constantes) Nuexp Nuz [79]
Nuav
(l= 0,728404) Nuav (Props. Constantes)
7,51973 E-04 0,019 19,741 22,051 19,520 27,180 25,452 31,660
1,69392 E-02 0,428 7,9295 7,8815 7,1992 7,9718 11,120 11,626
3,11475 E-02 0,787 6,6958 6,5860 6,8390 6,6110 9,3437 9,5798
4,69785 E-02 1,187 6,0257 5,8942 6,5202 5,9456 8,3272 8,4425
6,53425 E-02 1,651 5,5782 5,4370 6,4965 5,5354 7,6122 7,6565
8,01049 E-02 2,024 5,3417 5,1971 5,8128 5,3299 7,2144 7,2242
8,77433 E-02 2,217 5,2458 5,1001 6,0786 5,2485 7,0471 7,0434
70
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1Z
0
10
20
30
40
50
Nu
SiO2 - Reynolds = 1458Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantes
Nuav(Z) - Viscosidade variável
Nuav(Z) - Propriedades constantes
Figura 5.2.4.1 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de
fluxo prescrito (medição 1 – SiO2 [75]).
0.02 0.04 0.06 0.08Z
0
10
20
30
40
50
Nu
SiO2 - Reynolds = 1654Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantesNuav(Z) - Viscosidade variável
Nuav(Z) - Propriedades constantes
Figura 5.2.4.2 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de
fluxo prescrito (medição 7 – SiO2 [75]).
71
0.02 0.04 0.06 0.08Z
0
10
20
30
40
50
Nu
SiO2 - Reynolds = 1876Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantesNuav(Z) - Viscosidade variável
Nuav(Z) - Propriedades constantes
Figura 5.2.4.3 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio
teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 9 – SiO2 [75]).
0.04 0.08 0.12Z
0
10
20
30
40
50
Nu
SiO2 - Reynolds = 1237Nu(Z) - ExperimentalNu(Z) - Churchill & Ozoe [79]Nu(Z) - Viscosidade variávelNu(Z) - Propriedades constantesNuav(Z) - Viscosidade variável
Nuav(Z) - Propriedades constantes
Figura 5.2.4.4 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o
caso de fluxo prescrito (medição 3 – SiO2 [75]).
72
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
Este trabalho teve como ênfase apresentar a análise da variação de propriedades
termofísicas com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de
nanofluidos, no regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente
desenvolvido e em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares.
A partir da avaliação dos resultados obtidos pode-se verificar que a
metodologia de solução empregada neste trabalho representa adequadamente o
desenvolvimento térmico no escoamento laminar incompressível em um tubo circular,
considerando-se variações da viscosidade com a temperatura, para ambos os casos
de condições de contorno estudados, ou seja, temperatura prescrita uniforme e fluxo
de calor prescrito. A análise de convergência efetuada permitiu identificar os limites de
ordens de truncamento a serem utilizados nas comparações, e consolidou os valores
convergidos que foram efetivamente comparados com resultados da literatura para
ambas as situações.
Na sequência, o código construído foi empregado para comparações críticas
dos resultados teóricos com resultados experimentais recentemente obtidos para um
nanofluido comercial de água-sílica. Embora a concordância entre resultados teóricos
e experimentais não seja uniforme ao longo do duto, os resultados referentes à
situação com viscosidade variável se aproxima mais das medidas. Além de melhorias
eventualmente possíveis na aquisição de dados e na estimativa das perdas de calor, o
modelo aqui proposto deve também ser estendido para incluir a componente
transversal da velocidade na equação de energia, bem como a variação com a
temperatura em particular da condutividade térmica do nanofluido, permitindo uma
investigação mais definitiva sobre a importância da variação dessa propriedade nas
previsões da convecção forçada com nanofluidos. Sem prejuízo dessas extensões, o
presente estudo também demonstrou que a correlação empírica de Churchill & Ozoe,
construída a partir de experimentos com fluidos ordinários, tem uma concordância
bastante razoável com a presente simulação, exceto na posição do primeiro termopar
bem próximo à entrada do canal, confirmando que não há nenhum comportamento
não previsível na convecção forçada do nanofluido água-sílica aqui ensaiado, podendo
ser analisada a partir das correlações clássicas.
73
A avaliação para o óleo térmico LUBRAX OT-68-OF mostrou-se satisfatória e,
portanto, o caso analisado neste trabalho servirá como caso-teste para estudos de
performance do circuito termohidráulico para altas temperaturas que será construído
no LTTC e, também, para verificação da intensificação térmica das propriedades
termofísicas no óleo a partir da dispersão de partículas metálicas na escala
nanométrica que aqui denominaremos, a priori, de nanofluido de óleo.
74
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