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ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO
MÉTODO DA INTERSEÇÃO NORMAL À
FRONTEIRA PARA OTIMIZAÇÃO DE
RESPOSTAS
MULTICORRELACIONADAS
DANIELLE MARTINS DUARTE COSTA (IFSULDEMINA)
dmdc.duarte@gmail.com
Taynara Incerti de Paula (UNIFEI)
tayincerti@hotmail.com
Patricia Agnes Pereira da Silva (UNIFEI)
paty.agnes@bol.com.br
Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI)
andersonppaiva@yahoo.com.br
Jose Henrique de Freitas Gomes (UNIFEI)
ze_henriquefg@yahoo.com.br
O método da Interseção Normal à Fronteira (NBI) permite a construção de fronteiras
contínuas e uniformemente distribuídas, garantindo a obtenção de soluções viáveis,
mesmo nas regiões não-convexas da fronteira. Entretanto, se o problema apresenta
múltiplas respostas correlacionadas, a otimização pelo método NBI pode conduzir os
resultados ótimos para pontos inadequados, pois o mesmo não considera a
correlação entre as respostas. Afim de verificar o comportamento do método NBI
aplicado à respostas multicorrelacionadas e testar a premissa de que o método NBI
falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo
numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como
características de qualidade mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção
de Material. O método NBI foi aplicado na otimização das duas respostas em duas
situações, com e sem o efeito da correlação. Neste último caso, o processo de
otimização por NBI foi aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído (SR) de
Taguchi e a Análise de Componentes Principais (ACP). Finalmente, os resultados
mostraram que, apesar de ambos os métodos apresentarem soluções viáveis, o
método NBI (desconsiderando a correlação entre as respostas) não conseguiu
apresentar as soluções ótimas de pareto convexa e uniformemente distribuídas ao
longo da fronteira de Pareto. Além disso, os valores ótimos encontrados para MRR,
quando otimizados sob o efeito da correlação, se distanciaram de seus alvos em
muitos pontos da fronteira. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação
influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando
significamente os pontos ótimos da fronteira.
Palavras-chave: Problema Multiobjetivo, Método da Interseção Normal à Fronteira,
Respostas Correlacionadas, Abordagem Sinal-Ruído e ACP
XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
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1. Introdução
Kazemzadeh et al. (2008) afirma que a oferta de produtos de qualidade não é uma tarefa fácil,
uma vez que exige que os processos são preparados para otimizar simultaneamente mais de
uma característica de qualidade.
O método de Interseção Normal à Fronteira (NBI, do inglês Normal Boundary Intersection),
proposto por Das e Denis (1998) é um dos inúmeros métodos utilizados na solução de
problemas multiobjetivos. Este método permite a construção de fronteiras contínuas e
uniformemente distribuídas, independentemente dos pesos atribuídos pelas funções objetivo,
o que faz com que este método seja muito útil na otimização de inúmeros processos
industriais. Entretanto, se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, a
otimização pelo método NBI pode conduzir os resultados ótimos para pontos inadequados,
pois o mesmo não considera a correlação entre as respostas (OLIVEIRA, 2013).
Na realidade, em muitos processos de fabricação, com várias respostas, as características de
qualidade de um produto/processo medidos quase sempre apresentam-se correlacionadas e
com sentidos de otimização diferentes (PAIVA et al., 2007 e GOVINDALURI e CHO, 2007
apud OLIVEIRA, 2013).
O grande problema é que a presença da correlação nas múltiplas respostas causa instabilidade
no modelo e erros nos coeficientes de regressão, que pode modificar substancialmente os
resultados de otimização (YUAN et al., 2008; WU, 2005; BRATCHELL, 1989; KHURI e
CONLON, 1981; BOX et al., 1973). A presença de tais correlações, de acordo com Box et al.
(1973), pode influenciar na otimização dos resultados, além de desestabilizar os modelos
matemáticos e produzir erros nos coeficientes de regressão. Se a correlação são ignoradas, as
equações de regressões não podem representar as funções objetivo e de restrição
adequadamente (CHIAO e HAMADA, 2001; KHURI e CONLON, 1981).
Embora um número de autores realizaram estudos para otimização de processos, as estruturas
de correlação e as interações entre as variáveis de respostas foram negligenciadas (PAIVA et
al. 2009; GOVINDALURI e CHO, 2007).
De fato, apesar das funções objetivas apresentar uma forte correlação, não existem grandes
preocupações dos autores acerca da influência de tais estruturas de correlação na estimativa
dos coeficientes dos modelos de regressão, como apresentado em Bouzid et al., (2014), Sahu
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e Sahu (2014), Soni, Mondal e Singh (2014), Kaladhar et al. (2014), Janardhani e Krishna
(2012), Kumar et al. (2011), Moshat et al. (2010) e Kopac e Krajnik (2007). Em todos estes
trabalhos, o problema de otimização teve como processo de manufatura o torneamento e
nenhum deles apresentaram a análise de correlação entre as respostas, ou citaram os possíveis
efeitos que elas poderiam causar sobre os resultados obtidos. Em todos, as respostas
analisadas - em sua maioria, Rugosidade Média (Ra) e Taxa de Remoção de Material (MRR) -
apresentaram-se correlacionados. Essa análise de correlação foi realizada por nós, utilizando o
coeficiente de Pearson.
Assim, afim de verificar o comportamento do método NBI aplicado à respostas
multicorrelacionadas, sem nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha
se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado
ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como características de qualidade
mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção de Material. O método NBI foi
aplicado para otimização das duas respostas, em duas situações, com e sem a presença de
correlação entre as respostas. Para este último caso, o processo de otimização por NBI foi
aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído de Taguchi (RSR) e a Análise de
Componentes Principais (ACP).
Finalmente, neste trabalho, pretende-se mostrar que os pontos ótimos determinados através da
otimização pelo NBI, desconsiderando o efeito da correlação, podem ser desviados
significativamente.
2. Referencial Teórico
2.1. Otimização multiobjetivo pelo método da Interseção Normal à Fronteira
O principal objetivo da otimização multiobjetivo é encontrar um conjunto de soluções
(denominadas Pareto-ótimas) que minimize todas as funções simultaneamente. Para tanto,
inúmeros métodos podem ser encontrados na literatura. Dentre esses métodos, o método NBI
permite a construção de fronteiras contínuas e uniformemente distribuídas,
independentemente da distribuição dos pesos entre as funções ou das escalas relativas entre as
diversas funções objetivo, características que fazem com que este método apresente-se muito
vantajoso comparado a outros métodos de aglutinação como, por exemplo,os métodos das
Somas ponderadas e do Critério Global (Figura 1).
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Figura 1 - Comparação entre o método NBI e o método de Somas Ponderadas
Fonte: Gomes, 2013
O primeiro passo a ser executado no método NBI é a definição da matriz Payoff (Φ), através
do cálculo dos mínimos individuais de cada função objetivo. O vetor de solução que minimiza
individualmente a i-ésima função objetivo )(xfié representado por *
ix , de sorte que o valor
mínimo de )(xfi neste ponto seja )( * *
ii xf . Quando se substitui o ponto de ótimo individual
*
ix obtido na otimização de função objetivo nas demais funções tem-se )( *
ii xf que é,
portanto, um valor não-ótimo dessa função (GOMES, 2013). Repetindo-se este procedimento
para todas as funções, pode-se representar a matriz Payoff como:
(3)
Cada linha da Payoff é composta por valores mínimos e máximos de )(xf i . O conjunto de
ótimos individuais Tmm
U xfxfxff )(),...,(),...,( ***
1
*
1
*
1
*
1 é conhecido como ponto de Utopia
)(iy , enquanto o conjunto dos valores máximos (não-ótimos) TN ffff ),...,,..., N
1
N
1
N
1 é
conhecido como ponto de Nadir (JIA e IERAPETRITOU, 2007). Usando estes conjuntos de
pontos extremos, a normalização (escalonamento) das funções objetivo pode ser obtida como:
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5
U
i
N
i
U
ii
ff
fxfxf
, mi ,,1 (4)
O método NBI pode ser escrito como um problema de programação não-linear restrita, como:
DMaxtx ),(
(5)
0)(
0)(
ˆ :.
xh
xg
DtS
j
j
x
xFnβΦ
(6)
O problema de otimização representado pelo sistema de Eqs. (5 e 6) pode ser resolvido
iterativamente para diferentes valores de w , o que cria, por conseguinte, uma Fronteira de
Pareto igualmente espaçada. Uma escolha comum proposta por Jia e Ierapetritou (2007) é
fazer iin ww 11 .
3. Método experimental
Para analisar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas, sem
nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta
múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço
12L14 foi desenvolvido em duas fases. Na primeira fase, as respostas Rugosidade Média e
Taxa de Material de Remoção foram otimizadas pelo método NBI, considerando a correlação
entre elas, ou seja, nenhum tratamento foi aplicado à essas respostas para eliminar o efeito da
correlação. Na segunda fase, a estrutura de correlação entre as respostas foi analisada. Se
confirmado a presença de correlação entre as respostas, uma combinação entre as técnica
Relação Sinal-ruído (RSR) de Taguchi e ACP (ACP), ou RSR-ACP, foi aplicada a fim de
delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI
com respostas não correlacionadas. A seção seguinte detalha a abordagem usada nesta
segunda fase.
Em seguida, os resultados obtidos em ambas as fases foram comparados.
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3.1. Abordagem NBI-RSR-ACP
Se confirmado a presença de correlação entre as respostas Ra e MRR mensuradas sobre o
processo de Torneamento do aço 12L14, a abordagem RSR-ACP será aplicada a fim de
delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI
com respostas não correlacionadas.
Antes de efetuar a ACP, é necessário analisar o objetivo de otimização das respostas. Se
existir respostas com o sentido de otimização diferentes (alguns maximizados e outros
minimizados), a maximização ou minimização dos componentes principais favorecerá
algumas variáveis e outras não. Para resolver este problema, a Relação Sinal-ruído (SNR) de
Taguchi pode ser aplicado a fim de normalizar o sentido de otimização das respostas
individuais. Os valores de resposta são transformados por uma equação logarítmica (SNR) de
acordo com o seu objetivo de otimização (maximização ou minimização), ou seja, se o tipo de
problema em estudo, for classificado como “smaller-the-better” (minimizar o desempenho),
adota-se a Equação (7). Por outro lado, se o objetivo for do tipo “bigger-the-better”
(maximizar o desempenho) então a Equação (8) deverá ser adotada (PONTES et al., 2012).
N
yRSR
N
i i1
2
10log10 (7)
N
yRSR
N
i i1
2
10
/1log10 (8)
Dessa forma, como as relações Sinal-ruído (RSR) de Taguchi devem ser sempre maximizadas,
é possível padronizar a direção de otimização das respostas individuais e de sintonizá-las de
acordo com a representação por componentes principais (PAIVA, 2006).
Feito isso, a ACP pode ser aplicada sobre as respostas originais transformadas em respostas
Sinal-Ruído (NR/Ra e NR/MRR).
Segundo Paiva (2006), ACP é uma técnica de redução de dimensionalidade reconhecida que
tem a característica de manter a maior parte da informação contida no conjunto original de
variáveis. O conjunto de dados reduzido consiste em componentes únicos ou múltiplos,
chamados de Componentes Principais (CP), ou ainda, um conjunto de variáveis originais
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pode ser substituído por combinações lineares na forma de “escores” do componente
principal. Estes componentes são uma combinação linear das variáveis originais, que não
estão correlacionados. Os métodos mais utilizados para estimarem-se o número de
componentes principais significantes são aqueles baseados nos critérios de Kaiser
(JOHNSON e WICHERN, 2002), em que, o autovalor do CP deve ser maior que um e a
variância acumulada explicada deve ser superior a 90%.
Para finalizar, após a determinação dos Componentes Principais significativos e,
armazenamento de seus escores, a otimização pelo método NBI baseada na abordagem RSR-
ACP pode ser aplicada. De forma resumida, a abordagem utilizada nesta segunda fase da
pesquisa foi desenvolvida de acordo com as etapas descritas na Figura 2.
Figura 2 - Esquema resumido das etapas aplicadas na Fase 2 da pesquisa (Método NBI-SRS-
ACP)
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Fonte: os autores
3.2. Procedimento experimental
Este trabalho teve como base de estudo, os experimentos realizados por Freitas et al. (2012).
Informações detalhadas o experimento original podem ser obtidos no respectivo trabalho.
Os dados foram coletados para o processo de torneamento do aço 12L14. Duas respostas
foram medidas: rugosidade média (Ra) e taxa de remoção de material (MRR). Os parâmetros
de entrada considerados foram: a velocidade de corte (Vc), o avanço (f) e a profundidade de
corte (d). Para tanto, um conjunto de 17 experimentos foram estabelecidos usando um arranjo
experimental composto central (CCD) construído a partir dos respectivos parâmetros de corte
e níveis apresentados no Quadro 1. O Quadro 2 apresenta a matriz do arranjo experimental.
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Todos as análises foram realizadas usando o Software Minitab® 16.0 e Office Excel®.
Quadro 1 - Parâmetros de corte e respectivos níveis
Parâmetros Símbolo Unid, Níveis (Decodificados e Codificados)
-1,682 -1 0 +1 +1,682
Velocidade de Corte Vc m/min 180 220 280 340 380
Taxa de Alimentação f mm/rev 0,07 0,08 0,10 0,12 0,13
Profundidade de Corte d mm 0,53 0,70 0,95 1,20 1,37
Fonte: os autores
Quadro 2 - Matriz do arranjo experimental
Parâmetros de Corte Respostas Originais Respostas RSR Resposta ACP
Min. Max. Max. Max. Max. Max
Test v
[m/min]
f
[mm/rev]
d
[mm]
Ra
[μm]
MRR
[cm3/min]
NR/Ra NR/MRR
PC1 PC2
1 220 0,08 0,70 1,36 12,32 0,34 2,18 -1,79 -0,88
2 340 0,08 0,70 1,65 19,04 0,40 2,56 - -
3 220 0,12 0,70 1,78 18,48 0,86 2,53 0,06 -1,20
4 340 0,12 0,70 1,84 28,56 0,91 2,91 1,00 -0,49
5 220 0,08 1,20 2,22 21,12 -0,05 2,65 - 0,98
6 340 0,08 1,20 2,21 32,64 0,17 3,03 -0,32 1,34
7 220 0,12 1,20 1,82 31,68 1,25 3,00 1,91 -1,01
8 340 0,12 1,20 2,24 48,96 0,52 3,38 1,20 1,35
9 180 0,10 0,95 1,90 17,10 0,45 2,47 -0,95 -0,48
10 380 0,10 0,95 2,09 36,10 0,35 3,12 0,25 1,15
11 280 0,07 0,95 1,85 18,62 0,61 2,54 - -
12 280 0,13 0,95 1,85 34,58 1,03 3,08 1,61 -0,37
13 280 0,10 0,53 1,68 14,84 0,92 2,34 -0,23 -1,74
14 280 0,10 1,37 2,31 38,36 0,61 3,17 0,92 0,71
15 280 0,10 0,95 2,32 26,60 0,37 2,85 -0,29 0,53
16 280 0,10 0,95 2,24 26,60 0,39 2,85 -0,24 0,48
17 280 0,10 0,95 2,38 26,60 0,40 2,85 -0,21 0,45
Fonte: os autores
4. Resultados para o estudo de caso aplicado ao processo de torneamento do aço 12L14
Com base no CCD descrito no Quadro 2, o algoritmo OLS (do inglês, Ordinary Least Squares)
foi aplicado para todas as respostas e os resultados para os modelos quadráticos completos
descritos no Quadro 3. Todos os modelos apresentaram R2 (ajustado) acima de 85%,
indicando uma ótima adequação dos mesmos.
Quadro 3 - Modelos quadráticos completos para as respostas
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Coeficientes Ra MRR NR/Ra NR/MRR PC1 PC2
Constante 2.316 26.600 0.385 2.849 -0,2515 0,4918
V 0.079 5.679 0.000 0.189 0,3435 0,4789
f 0.017 5.082 0.261 0.177 0,8382 -0,0723
d 0.212 6.997 -0.124 0.240 0,3288 0,7216
V*V -0.121 0.000 0.009 -0.020 -0,0173 -0,0678
f*f -0.172 0.000 0.080 -0.022 0,1931 -0,2851
d*d -0.121 0.000 0.137 -0.032 0,2274 -0,3667
V*f 0.023 1.140 -0.188 0.002 -0,2754 0,2913
V*d 0.008 1.500 -0.147 0.002 -0,3991 0,4037
f*d -0.122 1.400 0.148 -0.002 0,1921 -0,2079
Adj-R2 (%) 86.20 99.72 93.60 99.89 99,05 99,55
Fonte: os autores
4.2 Resultados da otimização pelo método NBI para respostas multicorrelacionadas
Com os modelos quadráticos completos encontrados para Ra e MRR (Quadro 3), a otimização
pelo método NBI pode ser promovida para as superfícies de Resposta. Com base na Equação
(3) a Matriz Payoff foi determinada levando em consideração os pontos de Utopia
( 45,1)( xR aI
e 77,47)( xMMRMax ). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi
realizada. Em seguida, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo
disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (5 e 6) resultou no conjunto
de resultados ótimos de Pareto, conforme demonstrado no Quadro 4. Incrementos de
aproximadamente 5% foram adotados para a construção da fronteira de Pareto (Figura 3) e a
restrição não linear 829,2xxT
foi considerada.
Quadro 4 - Resultados da otimização pelo método NBI (considerando a correlação entre as
respostas)
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)( Respostas Parâmetros Codificados Parâmetros Decodificados
Ra MRR Vc f d V f d
0 2,26 43,54 0,41 0,61 1,33 304,82 0,11 1,28
0,05 2,10 47,42 0,81 1,08 1,00 328,75 0,12 1,20
0,1 2,05 46,57 0,67 1,24 0,92 320,11 0,12 1,18
0,15 2,00 45,40 0,52 1,36 0,84 310,96 0,13 1,16
0,2 1,96 43,95 0,36 1,45 0,77 301,50 0,13 1,14
0,25 1,92 42,28 0,20 1,52 0,69 291,79 0,13 1,12
0,3 1,89 40,40 0,03 1,57 0,60 281,92 0,13 1,10
0,35 1,86 38,30 -0,14 1,60 0,51 271,86 0,13 1,08
0,4 1,84 36,00 -0,31 1,60 0,40 261,68 0,13 1,05
0,45 1,93 28,41 1,54 -0,12 -0,67 372,32 0,10 0,78
0,5 1,89 26,87 1,50 -0,31 -0,69 369,96 0,09 0,78
0,55 1,85 25,42 1,44 -0,47 -0,73 366,43 0,09 0,77
0,6 1,81 24,03 1,37 -0,60 -0,77 362,04 0,09 0,76
0,65 1,76 22,69 1,28 -0,72 -0,82 356,86 0,09 0,75
0,7 1,72 21,41 1,18 -0,82 -0,87 350,90 0,08 0,73
0,75 1,67 20,16 1,07 -0,92 -0,92 344,04 0,08 0,72
0,8 1,63 18,94 0,94 -1,00 -0,97 336,10 0,08 0,71
0,85 1,58 17,74 0,78 -1,08 -1,03 326,77 0,08 0,69
0,9 1,53 16,54 0,59 -1,13 -1,09 315,34 0,08 0,68
0,95 1,49 15,29 0,34 -1,16 -1,17 300,19 0,08 0,66
1 1,45 13,55 -0,27 -1,10 -1,24 263,96 0,08 0,64
Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global
Fonte: os autores
Figura 3 - Fronteira de Pareto para Ra e MRR otimizado pelo NBI (considerando a correlação
entre as respostas)
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
1,25 1,45 1,65 1,85 2,05 2,25
MR
R
Ra
Fonte: os autores
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A otimização pelo método NBI considerando a correlação entre as funções objetivas não
conseguiu construir uma fronteira de Pareto convexa, contínua e uniformemente distribuída.
Na verdade, o método tende a falhar na transição dos pesos 05,0w 2 para 10,0w 3 e
40,0w 9 para 45,0w10 . Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do
Erro Percentual Global (EPG), descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor
encontrado para o Ra foi 2,00 m e o maior valor encontrado para MRR foi 45,40 min/3cm .
Neste caso, os parâmetros de processo que atenderam estas condições foram uma velocidade
de corte de 310,96 m/min, um avanço de 0,13mm/rev e uma profundidade de corte de
1,16mm (valores em negrito no Quadro 4). Embora tenha apresentado uma alta taxa de
alimentação, os níveis foram obtidos dentro dos limites de especificação.
4.2 Resultados da otimização pela abordagem NBI-RSR-ACP
A abordagem NBI-RSR-ACP descrita na seção 3.1 serão aqui discutidas de acordo com todas
as etapas apresentadas na Figura 1. Nesta segunda fase da pesquisa, a matriz de correlação foi
analisada (Etapa 1) e uma moderada correlação entre as Respostas Ra e MRR foi observada
)012,0,596,0( valueP . Levando em consideração que Ra deve ser minimizada, enquanto
MRR deve ser maximizada, a Relação Sinal-Ruído de Taguchi foi aplicada à Ra e MRR
(Etapa 2). Os resultados podem ser vistos no Quadro 2. A transformação faz com que essas
novas respostam tenham o mesmo sentido de otimização, ou seja, deverão ser maximizadas.
O algoritmo OLS foi aplicado para SNR/Ra e SNR/MRR, obtendo-se um bom ajuste (Quadro
3). Em seguida, a Análise de Componentes Principais foi realizada para as respostas pré-
processadas (Etapa 3). Usando a matriz de correlação, os escores dos CPs foram extraídos
(Quadro 2) e os respectivos autovalores e autovetores armazenados (Quadro 4).
Quadro 4 - Análise de Componentes Principais
PC1 PC2
Eigenvalue )(e 1,0991 0,9009
Proportion 0,550 0,450
Cumulative 0,550 1,000
Eigenvectors )( PC1 PC2
NR/Ra 0,707 -0,707
NR/MRR 0,707 0,707
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Fonte: os autores
Como o primeiro componente principal explica apenas 55,0% da variância-covariância
acumulada, o segundo componente também foi considerado na análise. Assim, o método NBI-
RSR-PCA foi implantado utilizando os dois componentes (PC1 e PC2). Na Etapa 4, o
algoritmo OLS foi aplicado e os modelos quadráticos completo foram obtidos (Quadro 3),
definindo as seguintes equações:
fddVfVddff
VdfVPC
cc
cc
1921,03991,02754,02274,01931,0
0173,08832,08382,03435,02515,01
(9)
fddVfVddff
VVdfVPC
cc
ccc
2079,040372913,03667.08512.0
8067.07216.00723,04789.04918,02
(10)
Após a modelagem das funções objetivas PC1 e PC2, a otimização pelo método NBI pode ser
promovida para as superfícies de resposta. Os pontos de Utopia )(iy de PC1 e PC2 foram
determinados levando em conta a maximização individual restrita xx
iy yMaxi
ˆ
para
ambos. Em seguida, conforme estabelecido pela Equação (3), a Matriz Payoff foi determinada
levando em consideração os pontos de Utopia encontrados: 83,2)( xPC aMax
q e
835,1)(2 xPCMax
(Etapa 5). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi realizada
(Etapa 6). Finalmente, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo
disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (11 e 12) obteve-se os
resultados apresentados no Quadro 5. A restrição não linear 829,2xxT
foi considerada
(Etapa 7). Usando incrementos de 5% na distribuição dos pesos, foi possível construir a
fronteira de Pareto para a otimização das funções objetivas PC1 e PC2 (Figura 4a) e para os
dados decodificados das variáveis Ra e MRR a partir da abordagem NBI-RSR-ACP (Figura
4b) (Etapa 8).
Nota-se que, o método NBI-RSR-ACP (para funções objetivas descorrelacionadas) supera o
método NBI (considerando a correlação entre as funções objetivo), permitindo a construção
de uma fronteira de Pareto contínua e uniformemente distribuída, considerando a mesma
distribuição de pesos para ambos os métodos.
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Quadro 5 - Resultados da otimização pelo método NBI (sem considerar o efeito da
correlação)
)( Respostas
Parâmetros
Codificados
Parâmetros
Decodificados
Respostas
Decodificadas
PC1 PC2 Vc f d Vc f d Ra MRR
0 0,27 1,92 1,36 0,11 0,99 361,50 0,10 1,20 2,2929 44,0783
0,05 0,43 1,89 1,32 0,32 1,00 359,01 0,11 1,20 2,2717 45,5431
0,1 0,57 1,84 1,26 0,46 1,01 355,63 0,11 1,20 2,2518 46,4340
0,15 0,70 1,76 1,20 0,58 1,03 351,95 0,11 1,21 2,2322 47,0190
0,2 0,82 1,67 1,13 0,68 1,04 348,06 0,11 1,21 2,2131 47,4031
0,25 0,93 1,58 1,07 0,76 1,05 344,02 0,12 1,21 2,1945 47,6390
0,3 1,04 1,48 1,00 0,84 1,06 339,89 0,12 1,22 2,1761 47,7563
0,35 1,14 1,38 0,93 0,90 1,07 335,71 0,12 1,22 2,1577 47,7732
0,4 1,24 1,27 0,86 0,96 1,08 331,38 0,12 1,22 2,1398 47,7026
0,45 1,34 1,15 0,78 1,02 1,09 326,98 0,12 1,22 2,1219 47,5509
0,5 1,43 1,04 0,71 1,06 1,09 322,46 0,12 1,22 2,1042 47,3227
0,55 1,52 0,92 0,63 1,11 1,10 317,83 0,12 1,22 2,0864 47,0192
0,6 1,61 0,79 0,55 1,15 1,10 313,02 0,12 1,22 2,0689 46,6404
0,65 1,70 0,66 0,47 1,19 1,10 308,06 0,12 1,22 2,0511 46,1823
0,7 1,78 0,53 0,38 1,22 1,09 302,88 0,12 1,22 2,0334 45,6392
0,75 1,86 0,39 0,29 1,25 1,09 297,43 0,12 1,22 2,0154 45,0010
0,8 1,93 0,25 0,19 1,28 1,08 291,62 0,13 1,22 1,9972 44,2516
0,85 2,00 0,10 0,09 1,30 1,06 285,38 0,13 1,22 1,9783 43,3646
0,9 2,06 -0,07 -0,03 1,32 1,04 278,44 0,13 1,21 1,9587 42,2945
0,95 2,10 -0,24 -0,16 1,34 1,01 270,48 0,13 1,20 1,9373 40,9486
1 2,13 -0,45 -0,33 1,35 0,95 260,41 0,13 1,19 1,9122 39,0777
Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global
Fonte: os autores
Figura 4 - Fronteira de Pareto para: (a) PC1 e PC2 e (b) Ra e MRR otimizados pela abordagem
NBI-RSR-ACP (sem considerar o efeito da correlação)
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-0,75
-0,25
0,25
0,75
1,25
1,75
2,25
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
PC
2
PC1
37,0
39,0
41,0
43,0
45,0
47,0
49,0
1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30
MR
R
Ra
Fonte: os autores
Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do Erro Percentual Global,
descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor encontrado para o Ra foi 2,08 m e o
maior valor encontrado para MRR foi 47,02 min/3cm . Neste caso, os parâmetros de processo
que atenderam estas condições foram uma velocidade de corte de 317 m/min, um avanço de
0,12mm/rev e uma profundidade de corte de 1,22mm. Todos os níveis foram obtidos dentro
dos limites de especificação.
Pelo Quadro 6 é possível comparar os pontos ótimos encontrados pelo minimização do EPG,
tanto na otimização pelo método NBI, considerando o efeito da correlação entre Ra e MRR,
quanto pelos resultados ótimos encontrados pelo método NBI, sem considerar o efeito da
correlação entre as respostas (abordagem NBI-RSR-ACP).
Nota-se que, embora o método NBI (com correlação) tenha apresentado uma alta taxa de
alimentação, ambos os métodos chegaram à resultados bem próximos dos seus alvos (ponto
de utopia). Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções
ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira, permitiu que se
chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e
com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda
que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54,
enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem
desconsiderar a minimização de Ra.
Quadro 6 - Resultados ótimos encontrados pelo método NBI (com e sem correlação)
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Ra MRR Vc f d
Ponto de Utopia )(iy 1,45 47,77 280 0,10 0,95
Pontos ótimos (NBI considerando o efeito da
correlação) 2,00 45,40 310 0,13 1,16
Pontos ótimos (NBI-RSR-ACP, sem
considerando o efeito da correlação)
2,
08 47,02 317 0,12 1,22
Unidade m min/3cm
Fonte: os autores
5. Considerações finais
Através dos resultados obtidos nota-se que, ao aplicar o método NBI para as funções Ra e
MRR foi possível encontrar soluções viáveis para ambos os casos, com e sem o efeito da
correlação. Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções
ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira (o que não
aconteceu com o método NBI, considerando respostas correlacionadas), permitiu que se
chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e
com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda
que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54,
enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem
desconsiderar a minimização de Ra. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação
influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando significamente os
pontos ótimos da fronteira. Deixar de considerar este efeito pode conduzir a uma solução não
compatível com a realidade.
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Agradecimentos
Os autores agradecem à FAPEMIG, CNPq e CAPES.