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Análise da Mandala de Nazca ... - Luna
Revista Diálogos – mar./ abr. – 2017 – n.° 17 373
Análise da Mandala de Nazca: Algumas Considerações
Matemáticas e Outras nem tanto...
d.o.i. 10.13115/2236-1499.v1n17p373
Jairo Nogueira Luna – UPE1
RESUMO:
Neste artigo se busca analisar a enigmática figura da “Mandala de
Nazca” que difere do padrão das demais figuras do platô de Nazca, por
não ser figurativa nem antropomórfica ou zoomórfica. Apresenta-se
interpretações matemáticas e geométricas referente à estrutura da figura
bem como aspectos ligados à significação esotérica da figura. O artigo
é, ainda, um resultado parcial de pesquisas feitas sobre o tema, mas já
possui elementos suficientes para este texto de modo apresenta-lo com
substância acadêmica e científica. Neste artigo também se faz a análise
e a crítica de interpretações que foram tentadas para um entendimento
da figura. Como requisito para entendimento do que o que aqui se
expõe é necessário certa familiaridade com o significado matemático e
esotérico dos quadrados mágicos.
Palavras-chave: Platô de Nazca, Mandala de Nazca, Neo-
estruturalismo Semiótico, Quadrados Mágicos, Esoterismo.
ABSTRACT:
In this article, we analyze the enigmatic figure of the "Nazca Mandala"
that differs from the standard of the other figures of the Nazca plateau,
because it is neither figurative nor anthropomorphic or zoomorphic. It
presents mathematical and geometrical interpretations regarding the
structure of the figure as well as aspects related to the esoteric meaning
of the figure. The article is still a partial result of research done on the
subject, but already has sufficient elements for this text so as to present
1 Professor Doutor e Adjunto da Universidade de Pernambuco.
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it with academic and scientific substance. In this article we also analyze
and critique interpretations that have been tried for an understanding of
the figure. As a requisite for understanding what is set forth here, a
certain familiarity with the mathematical and esoteric meaning of the
magic squares is necessary.
Keywords: Nazca Plateau, Nazca Mandala, Semiotic Neo-
structuralism, Magic Squares, Esotericism.
1. Introdução
O platô de Nazca é um local mundialmente conhecido, localizado
no sul do Peru, cortado pela estrada pan-americana. O local, de
característica desértica tornou-se famoso pelas figuras desenhadas no
solo de tamanho tal que se só podem ser entendidas a partir de uma
posição no céu, ou seja, voando. Figuras que lembram animais diversos
(cachorro, beija-flor, macaco, baleia, etc..) e outras representações (o
astronauta, p.ex.) provocam a imaginação de estudiosos, cientistas e
curiosos em busca de seu real significado, do propósito de sua feitura e
de quem efetivamente as teria feito.
Aqui nos deteremos numa figura em particular cuja natureza
foge ao padrão das inscrições de Nazca, trata-se da figura comumente
denominada de “Mandala de Nazca”, também conhecida como
“Estrela” ou “Cruz de Nazca”.
A região é dividida em dois conjuntos de figuras, uma, maior e
localizada na parte mais plana, denominada “Platô de Nazca” por
situar-se na direção da cidade de Nazca. Um segundo conjunto, menor,
em terreno mais acidentado e elevado, chamada “Palpa” por situar-se
próximo a este povoado. A Mandala localiza-se neste segundo
conjunto.
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Fig.1
O Mapa acima é relativamente simplificado, não mostrando
todas as figuras, o mapa a seguir, mais detalhado, refere-se apenas à
Palpa, para que possamos, perceber o conjunto de figuras em que se
localiza a mandala:
Fig.2
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Notemos a posição da Mandala (“La Estrela”). O conjunto de
Palpa em relação ao de Nazca, possui mais figuras antropomórficas
(Família Paracas, O Viajante, A Mulher, a Fertilidade). Não nos
deteremos aqui nas questões antropológicas acerca das teorias que
determinam o modo de feitura, ou que povo as fez e porque, nem
tampouco enveredaremos pelas suposições fantásticas sobre viajantes
extraterrestres. É fácil encontrar vídeos, documentários e outros
materiais sobre estas suposições. Nosso objetivo é tão somente mostrar
algumas observações que fizemos acerca da estrutura da Mandala de
Nazca, que a nosso ver, apresenta algumas peculiaridades muito
específicas correlacionadas com pesquisas que desenvolvemos acerca
da natureza e das características dos denominados “quadrados
mágicos”. Também não daremos explicações básicas sobre os
quadrados mágicos, tidos – via de regra – como curiosidades
matemáticas ou como um tipo muito peculiar de matriz. Enfim, iremos
direto ao assunto.
2. A Estrutura da Mandala de Nazca
A Mandala de Nazca diferencia-se das demais figuras do local
pela sua constituição não antropomórfica nem zoomórfica. É uma
grande de quadrados e linhas que cruzam esta grade em diferentes
angulações. Outro aspecto também é que suas linhas, embora visíveis,
são mais tênues do que as linhas que compõem as outras figuras.
Situada na parte denominada de Palpa está localizada um pouco acima
do terreno das linhas de Nazca.
Joseph E. Mason2 num artigo de internet publicado em página
não acadêmica apresenta uma observação interessante sobre a estrutura
da mandala em questão, observando sua semelhança com um quadrado
mágico 8x8, conhecido nos textos cabalísticos e alquímicos como
2 MASON, Joseph E. The Naza Sun-Star as the Magic Square of Mercury.
Disponível em: http://www.greatdreams.com/numbers/nazca/nazca.htm
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“quadrado mágico de Mercúrio”. De fato, é fácil reconhecer uma grade
de 8x8 na Mandala de Nazca:
Fig.3
Acima (fig.3), temos uma vista aérea da Mandala de Nazca,
abaixo (fig.4) estão marcadas as linhas da grade, incluindo as linhas
que cortam a grande em diferentes angulações:
Fig.4
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A figura pode desnortear um pouco nossa percepção, mas uma
observação contínua nos permite ver vários aspectos da figura. A grade
8x8 tem quadrados marcados em tom mais escuro, pois no chão de
Palpa eles aparecem em toma mais claro que os demais. São três para
cada canto da grade e doze quadrados centrais que formam uma cruz.
A associação com da Mandala de Nazca com o quadrado mágico de
Mercúrio se dá tão somente, em princípio, pelo número de quadrados
da grade (64), já que não estão inscritos em cada quadrado os numerais
correspondentes ao quadrado mágico de Mercúrio. Sendo, assim,
inserimos os numerais e partir das próprias indicações das linhas e das
cores dos quadrados comprovamos que de fato se trata de um quadrado
mágico 8x8:
Fig.5
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O quadrado mágico de Mercúrio – doravante aqui o
denominaremos assim – dá como soma de cada coluna, linha ou
diagonal o valor 260. Mas esta é uma condição básica do quadrado
mágico. Este, como os de outra ordem, guarda uma série de relações
internas envolvendo 4, 8 ou 16 números que somam em cada relação
específica 260. Os antigos sabiam destas propriedades intrínsecas dos
quadrados mágicos. No caso do de Mercúrio a seguinte figura é bem
ilustrativa destas relações internas:
Fig.6
A explicação detalhada do significado desta ilustração daria um
outro artigo, mas o leitor pode conseguir algumas informações
interessantes no livro de Henrique Cornelio Agrippa de Nettesheim3,
páginas 945, 946 e 950.
No caso dos numerais marcados na Mandala de Nazca, notemos
que se somamos dois conjuntos opostos de trios de número marcados,
mais os dois números centrais perpendiculares a diagonal formada
pelos dois conjuntos, obtemos 260. Exemplo:
3 NETTESHEIM, Cornelio Agrippa de. Três Livros de Filosofia Oculta. São Paulo,
Madras, 2012.
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a) 9 + 2 + 64 = 75
b) 1+ 63 + 56 = 120
c) 29 + 36 = 65
d) 75 + 120 + 65 = 260
Se o leitor quiser exercitar sua capacidade de fazer conta de
cabeça, tente com os outros números do outro conjunto. Na cruz central,
a haste vertical soma 260, assim como a barra horizontal da cruz. Por
estes aspectos, nos parece patente que a grade 8x8 da Mandala de Nazca
não é apenas uma grade de quadrados vazios, mas uma matriz de
quadrado mágico.
Mas a seguir, demonstraremos como o conhecimento de quem
fez essa figura em Nazca ia além dos conhecimentos até hoje
divulgados acerca do uso dos quadrados mágicos. Esperamos poder,
talvez, colocar no leitor um ponto de interrogação sobre a utilidade
acerca desta figura bem como da quantidade de conhecimento
requerido para produzi-la e, principalmente, do que ela pode significar
de fato.
3. As intersecções de quadrados mágicos e a dinamicidade de
suas transformações.
O que vamos destacar nessa secção deste texto envolve as
marcações que existem na Mandala de Nazca nos referidos quatro
cantos e nas unidades centrais. Existem vários artigos não acadêmicos
na internet sobre a interpretação destas marcações, porém, a nosso ver,
elas ficam em conjecturas sem muita sustentação, fazendo constantes
referências a simbologia da cruz e as relações astronômicas que se pode
tirar da interpretação dos ângulos formados pelas linhas que cruzam a
grade.
Notemos que se observamos com atenção a figura, existem duas
grades superpostas, a segunda, tendo com relação à primeira um ângulo
de 45.° de inclinação no sentido sudoeste-nordeste. A partir desta
orientação é perfeitamente identificável uma grade central menor de
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extensão 4x4. No âmbito esotérico, conhecida como “quadrado mágico
de Júpiter”. Um quadrado básico deste tipo tem 16 unidades ao todo e
a soma de cada linha, coluna ou diagonal dá 34. Se voltamos a observar
o quadrado mágico de Mercúrio, a referida cruz se transforma num
quadrado mágico de 4x4 se apenas acrescentamos as unidades dos
cantos (valores: 19, 22, 43 e 46). Ao analisarmos esse novo quadrado
mágico contido na grade de Mercúrio observamos que guarda as
mesmas propriedades do quadrado mágico de Júpiter, no sentido de que
cada linha, coluna ou diagonal soma a mesma quantidade, só que agora
o valor é de 130:
22 44 45 19
35 29 28 38
27 37 36 30
46 20 21 43
Fig.7
O quadrado mágico assim obtido, guarda também todas
as relações intrínsecas a um típico quadrado mágico de Júpiter, no
sentido de que todas as relações existentes internamente entre
conjuntos de 4 e 8 unidades do quadrado estão mantidas. Elas
podem ser exemplificadas pelo seguinte conjunto de diagramas
(fig.9):
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Fig.09
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A maioria das relações internas cujo resultado de 4 unidades
somadas dá 34 estão aí colocadas, mas existem outras ainda, não
pretendemos nos estender nesse ponto, isto é apenas para dar uma
idéia do que chamamos de relações internas. Observemos que o
quadrado mágico 4x4 obtido a partir do quadrado mágico de
Mercúrio na Mandala de Nazca, mantém todas estas propriedades,
só que agora com o valor de 130, ou seja, metade do valor obtido
por conjunto de 8 unidades no quadrado de Mercúrio.
Mas o mais interessante, ao nosso entendimento, vem agora,
pois observemos as três unidades colocadas nos cantos do quadrado
de Mercúrio. Não nos parece que seu objetivo seja apenas o de
compor valores dentro do quadrado de Mercúrio. Pois, assim como
podemos obter um quadrado mágico 4x4 da parte central do de
Mercúrio, também podemos obter um quadrado de ordem 6x6, se
seguimos as orientações da própria Mandala de Nazca.
Agrippa apresenta um método para construção de um quadrado
do Sol (6x6) baseado numa série de inversões a partir de um vetor
retirado de um sinal encontrado no quadrado de Saturno (3x3).
Fig. 10 - Selo de Saturno
Esta gravura denominada selo de saturno é resultado da
marcação nas células de um quadrado 3x3. A diagonal soma 15, os
dois sinais em forma de compasso, somam valores diferentes (6 e
24, respectivamente a menor e a maior soma possíveis de 3 células),
mas cuja média é 15. Observe na figura a seguir, como Agrippa
utiliza este “selo” para promover inversões numa grade 6x6, em que
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as células estão preenchidas em ordem de 1 a 36 partindo da célula
do canto inferior esquerdo, e após ele promoveu a inversão das
diagonais4.
Fig.11
No caso da Mandala de Nazca, temos uma grade 8x8 e
queremos produzir uma grade de um quadrado mágico 6x6. Assim
aplicamos a solução de Agippa na grade de Mercúrio, observando
o limite de 6x6 e depois invertemos apenas as pontas das diagonais
do quadrado do Sol:
Fig.12
4 Para uma explicação mais detalhada indicamos: AGRIPPA, H. C. Três Livros de
Filosofia Oculta. São Paulo, Madras, 2012, p. 938.
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Ou apresentando de outra forma as alterações feitas, para uma
mais objetiva apresentação:
Fig.13
Notemos que o quadrado do Sol agora formado dá como soma
de cada linha, coluna ou diagonal o valor 195 (3/4 da soma 260 de
Mercúrio). O quadrado do Sol padrão dá como soma 111. A grade
agora formada começa no número 10 e vai pulando de seis em seis
números dois números (10, 11, 12, 13, 14, 15, -, - , 18, 19, 20...).
Agora, acerca das três células marcadas em cada canto da grade
de Mercúrio, bem como da cruz formada por doze células ao centro,
podemos perguntar qual a razão disso, haja vista que ao que se sabe
a Mandala tenha sido produzida numa época anterior à colonização
e à cristianização. Nesse sentido, a comunidade que a produziu, em
princípio não tinha a cruz como um símbolo religioso. Suposições
foram levantadas por estudiosos, acadêmicos e não acadêmicos.
Mas a observação atenta das propriedades da Mandala 8x8 resolve
o problema de uma forma que não se exige qualquer interpretação
simbólica que as próprias características matemáticas da grade de
Mercúrio.
Num primeiro passo aproximemos as três células de cada canto
(soma 130 cada conjunto) de tal forma que fechem um quadrado
4x4:
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8 58 63 1
49 56
9 16
64 2 7 57
Fig.14
Temos uma grade 4x4 (Júpiter) que nos falta os valores das
quatro células centrais. Cada diagonal dá como valor 65 (1/4 de
Mercúrio), as duas colunas laterais e a primeira e última linhas,
completas que estão, somam 130 (1/2 de Mercúrio). Somos de
imediato tentados a colocar nas quatro células centrais os valores
das centrais de Mercúrio e ao fazermos obtemos:
130
8 58 63 1 130
49 29 28 56 162 260
9 37 36 16 98
64 2 7 57 130
130 126 134 130 130
260 Fig.15
A soma da segunda e terceira linhas não dá 130, mas a soma das
duas dá 260, assim como a segunda e terceira colunas somadas
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também dá 260. E se substituímos as quatro células centrais pelos
valores adjacentes a elas nas diagonais da grande de Mercúrio
mantemos o mesmo padrão, até se alcançar os cantos:
130
8 58 63 1 130
49 22 19 56 146 260
9 46 43 16 114
64 2 7 57 130
130 128 132 130 130
260
130
8 58 63 1 130
49 15 10 56 130 260
9 55 50 16 130
64 2 7 57 130
130 130 130 130 130
260 Fig.16
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Quanto à figura da cruz central, se agora, substituímos
as quatro células centrais pelos números situados acima e abaixo
das células centrais e, depois, pelos números situados à direita e
esquerda destas células temos o mesmo padrão:
130 120
8 58 63 1 130 8 58 63 1 130
49 44 45 56 194 260 49 35 38 56 168 260
9 20 21 16 66 9 27 30 16 82
64 2 7 57 130 64 2 7 57 130
130 124 136 130 130 130 122 128 130 130
260 260 Fig.17
Desse modo, surge a figura da cruz, pois se referem aos
números que completam essa grade 4x4. Bem como a marcação dos
números dos cantos da grade 8x8. Os produtores dessa figura
observaram uma propriedade intrínseca à grade. Para melhor
visualização do que foi feito, vejamos a grade esquematizada a
seguir:
Fig.18
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Agora observando a figura da Mandala de Nazca de outro
ângulo, notemos que sob a grade de Mercúrio está uma outra, que
com ela se localiza a 45.° no sentido NE-SO (fig.4). A grade que
agora se apresenta é formada pelo quadrado mágico de ordem
12x12, contendo assim 144 células. Destas são facilmente
observáveis, pois estão mais destacadas uma parte central,
formando um novo quadrado de Júpiter (4x4) e na parte externa,
contíguo a esta grade 12x12, localizado no âmbito das duas linhas
e colunas centrais, duas células, formando assim uma espécie de
cruz. Este quadrado mágico de Júpiter encontra-se totalmente
inserido na área do quadrado mágico de Júpiter anterior, uma vez
que a dimensão de suas células é menor. O quadrado mágico de
Júpiter maior, cuja soma dá 130, em termos de ordem numérica
crescente, começa pela célula de número 19, e a cada quatro
números, salta outros quatro, daí recomeçando a contagem
(19,20,21,22, -, -, -, -, 27,28,29,30...) terminando no número 46. Um
quadrado mágico com ordem regular que some 130 começaria pelo
número 30 e terminaria em 45. Observemos que 45 é número de
graus da inclinação deste segundo quadrado de Júpiter. Vejamos
qual é a numeração regular de um quadrado de ordem 12x12:
Fig.19
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A soma de cada linha, coluna ou diagonal principal dá 870. Na
figura acima já dividimos a grade 12x12 em 9 quadrados de Júpiter
(4x4), sendo que o centro dá 290 para cada linha, coluna ou
diagonal principal. Os demais embora tenham sempre o mesmo
valor (290) para linha ou coluna, variam o valor das diagonais
principais, para menos, ou para mais do valor 290. Ocorre que se
somamos e tiramos a média de 2 quadrados de Júpiter opostos
(p.ex., o azul claro do canto superior direito da figura e o branco do
canto inferior esquerdo) temos como média o valor 290. Por isso,
nos parece, o destaque dado ao quadrado 4x4 central.
Observemos agora, as duas células acrescidas nas colunas e nas
linhas centrais exteriores à grade 12x12 (fig.5). O que nos parece
sugerir os acréscimos é análogo ao que ocorre com a grade 8x8 e as
células dos quatro cantos. Aqui, porém, invertendo-se a proposição,
não são os cantos, mas as linhas e colunas centrais.
91 90 181
80 66 67 77 290
68 78 79 65 290 290
55 54 109
148 290 290 142 290
290 290
Fig.20
A partir das células centrais, somando-se as células que se
colocam adjacentes das colunas e linhas centrais, obtém-se
somando-se linhas e colunas o valor de 290. E, mais, somando-se
lateralmente estas células adjacentes (as quatro das colunas ou as
quatro das linhas), temos também 290 (1/3 da soma da grade
12x12).
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Desse modo, temos exposto aqui neste texto como as grades da
Mandala de Nazca parecem ser produzidas a partir de um profundo
conhecimento das propriedades dos quadrados mágicos.
O último ponto que abordaremos neste texto, refere-se ao
círculo duplo circunscrito na grade de 8x8, conforme se pode
observar na figura a seguir:
Fig.21
O círculo, ou roda, como podemos chamá-la, pode ser
representada por uma sequência de doze células da grade 8x8, a
saber:
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Fig.22
As doze células selecionadas se inscrevem na roda, a soma delas
dá 390 (ou 260 +130) e se quisermos soma-las em grupos de 4,
alternando a sequência, obteremos 130 para cada grupo. Outras
opções de formação das células que compõem a roda podem ser
tentadas, mas obteremos resultados condizentes com estes valores
(130, 260, 390).
Temos ainda muito a falar sobre a Mandala de Nazca, por
exemplo, sobre as várias linhas que saem do centro, inclusive e
principalmente as linhas curvas que formam rosáceas, velica pisces,
estrelas e que a partir da análise de células das duas grandes grades
superpostas (Mercúrio – 8x8 e a de 12x12) podemos definir sua
origem com relação às mesmas grades.
E, ainda, todas as figuras antropomórficas e zoomórficas do
platô de Nazca (incluindo Palpa) podem ser entendidas a partir da
formulação de grifos circunscritos à Mandala. Neste sentido,
supomos que a Mandala tenha sido a primeira figura a ser
construída no local, ou pelo menos a primeira a ser planejada. Mas
isto é assunto para outros textos.
8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 3 61 60 6 7 57
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4. Referências:
FARRAR, Mark S. Magic Square. USA, ed. Author, 2007
MASON, Joseph E. The Nazca Sun-Star as the Magic Square of
Mercury. Disponível em:
http://www.greatdreams.com/numbers/nazca/nazca.htm
LUNA, Jayro. “Alguns Apontamentos Semióticos Breves Sobre a
Obra Esotérica de Raji Guenol: Selos de Planetas e Quadrados
Mágicos” em: Revista Diálogos, Garanhuns (PE), n.° 10, nov. 2013,
p. 119-144. Disponível em:
http://www.revistadialogos.com.br/Dialogos_10/Luna_Guenol_Se
los.pdf
NETTESHEIM, Cornelio Agrippa de. Três Livros de Filosofia
Oculta. São Paulo, Madras, 2012
PASLES, Paul C. Benjamin Franklin's Numbers: An Unsung
Mathematical Odyssey. New Jersey, Princeton University Press,
2003.