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CARLOS HENRIQUE RODRIGUES BATISTA DA SILVA
ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS
DE PILAR-PAREDE PELO MEF
NATAL-RN
2019
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva
Análise de modelos matemáticos
de pilar-parede pelo MEF
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia,
submetido ao Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos
requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientadora: Profª. Drª. Selma H. Shimura da Nóbrega
Coorientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio B. da Nóbrega
Natal-RN
2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Silva, Carlos Henrique Rodrigues Batista da.
Análise de modelos matemáticos de pilar-parede pelo MEF / Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva. - 2019.
74f.: il.
Monografia (Graduação)- Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil,
Natal, 2019.
Orientadora: Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega.
Coorientador: Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega.
1. Pilar-parede - Monografia. 2. Núcleo estrutural -
Monografia. 3. Modelos matemáticos - Monografia. 4. Método dos
Elementos Finitos - Monografia. I. Nóbrega, Selma Hissae Shimura
da. II. Nóbrega, Petrus Gorgônio Bulhões da. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624
Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva
Análise de modelos matemáticos
de pilar-parede pelo MEF
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Aprovado em 31 de maio de 2019:
___________________________________________________
Profª. Drª. Selma Hissae Shimura da Nóbrega – Orientador
___________________________________________________
Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Coorientador
___________________________________________________
Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno
___________________________________________________
Eng. Me. Raul Omar de Oliveira Dantas – Examinador externo
Natal-RN
2019
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, cujo amor, dedicação e apoio
estiveram sempre presentes.
À minha avó, Chaguinha (in memoriam), por
todo o cuidado, amor e carinho que recebi.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me guiar e permitir que chegasse até aqui. Toda honra e toda glória sejam
dadas a Ele para todo o sempre.
À minha família, Carlos, Suedy, Maria Clara e tia Luzinete, que sempre me apoiaram e
acreditaram no meu potencial, não medindo esforços para me ajudar a superar as barreiras que
surgiram ao longo do caminho.
A Mariana, minha amada, por seu apoio incondicional em todos os momentos, pela
paciência nos dias difíceis e por compreender minhas necessidades.
A Fernanda e Stênio, por contribuírem decisivamente para o sucesso dessa jornada.
Aos meus orientadores, Prof.ª Selma Nóbrega e Prof. Petrus Nóbrega, pelo empenho,
paciência e disponibilidade em me orientar, solucionando minhas dúvidas ao longo das
disciplinas da graduação e do desenvolvimento deste trabalho, contribuindo indubitavelmente
para o meu desenvolvimento acadêmico.
A todos os professores que me acompanharam durante a graduação, em especial ao Prof.
Roberto Medeiros por tamanha dedicação ao exercício do magistério, e à Prof.ª Juliana Tinôco
pela ajuda concedida no momento de necessidade. A contribuição de cada um é imensurável.
Aos colegas de turma que estiveram comigo ao longo desses anos tornando o caminho
menos árduo e mais prazeroso.
Por último, mas não menos importante, aos amigos: Daniel Alves, Danilo Barbosa e
Rafael Victor pela amizade, companhia e camaradagem, presentes até nas disciplinas mais
sofridas (e como foram)!
Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva
RESUMO
ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE PELO MEF
Neste trabalho, foram estudados modelos matemáticos com grau de complexidade crescente
para representar os pilares-parede com seção transversal em formato U, U enrijecido e E, tendo
sido utilizado para as análises o código comercial ADINA, baseado no Método dos Elementos
Finitos. Foram propostos quatro modelos: o primeiro, caracterizado pela utilização de um
elemento unidimensional regido pela teoria de Euler-Bernoulli; o segundo, caracterizado
também por um elemento unidimensional, mas regido pela teoria de Timoshenko; o terceiro,
consistindo de uma malha de elementos de viga dispostos verticalmente e representando cada
uma das superfícies do pilar-parede em estudo; o quarto modelo, formado por uma malha de
elementos de casca. Os resultados foram comparados, a depender do modelo matemático, às
soluções analíticas disponíveis na literatura técnica e/ou àqueles obtidos a partir da avaliação
de um modelo considerado mais complexo e cujas respostas se aproximam mais da realidade,
denominado modelo matemático abrangente. Constatou-se que a modelagem por elemento
unidimensional considerando a deformação por cisalhamento conduz a resultados satisfatórios
reforçando as imposições da NBR 6118:2014 e Eurocode 2 (2004) quanto à sua consideração.
Entretanto, o modelo matemático discretizado por uma malha de elementos de viga ainda requer
ajustes a fim de melhorar sua capacidade em representar adequadamente o comportamento do
pilar-parede.
Palavras-chave: Pilar-parede. Núcleo estrutural. Modelos matemáticos. Método dos Elementos
Finitos.
ABSTRACT
ANALYSIS OF SHEAR-WALLS MATHEMATICAL MODELS USING FEM
In this work, mathematical models with increasing degree of complexity were used to idealize
shear wall structures with U, C and E cross section, using the commercial code ADINA, based
on the Finite Element Method. Four models were proposed: the first one, featured by a one-
dimensional element governed by the Euler-Bernoulli’s theory; the second one, also featured
by a one-dimensional element, but governed by Timoshenko’s theory; the third, consisting of
beam elements in vertical arrangement; the fourth, described by a mesh of shell elements. The
results were compared, depending on the mathematical model, to the analytical solutions
available in the technical literature and/or those obtained from the analysis of a more complex
mathematical model and whose outcome is closer to reality, identified as comprehensive
mathematical model. It was verified that the one-dimensional modeling considering shear
deformation leads to satisfactory results asserting the impositions of NBR 6118:2014 and
Eurocode 2 (2004) regarding its consideration. However, the mathematical model consisting of
vertical beam arrangement still requires adjustments in order to adequately represent the
behavior of the shear wall.
Keywords: Shear wall. Core wall. Mathematical models. Finite Element Method.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Modelo proposto por Yagui (1971) .......................................................................... 16
Figura 2: Elemento de núcleo utilizado por Mori (1992) e Matias Jr. (1997) .......................... 17
Figura 3: Modelo estrutural de um sistema de contraventamento misto .................................. 21
Figura 4: Modelo estrutural e diagramas em função da rigidez do pórtico .............................. 22
Figura 5: Centro geométrico de pilar-parede de seção aberta .................................................. 23
Figura 6: Decomposição do pilar-parede em faixas verticais................................................... 23
Figura 7: Deformada de viga conforme modelo de Euler-Bernoulli ........................................ 27
Figura 8: Deformação de viga conforme modelo de Timoshenko ........................................... 29
Figura 9: Sequência de modelos matemáticos .......................................................................... 32
Figura 10: Modelos matemáticos para análise de edificações .................................................. 33
Figura 11: Exemplo de cobertura curva – sistema físico.......................................................... 34
Figura 12: Sequência de modelos matemáticos em elementos finitos para análise de uma laje
de cobertura curva submetida a carregamento vertical ............................................................ 35
Figura 13: Cobertura curva – modelagem unidimensional ...................................................... 35
Figura 14: Cobertura curva – modelagem por elementos bidimensionais (EPD) .................... 36
Figura 15: Cobertura curva – modelagem por elementos de casca .......................................... 37
Figura 16: Cobertura curva – modelagem por elementos tridimensionais ............................... 37
Figura 17: Processo de análise por elementos finitos ............................................................... 40
Figura 18: Planta de forma do pavimento-tipo ......................................................................... 43
Figura 19: Seções transversais com geometria (a) U, (b) U enrijecido e (c) E ........................ 43
Figura 20: Modelos matemáticos hierárquicos para o pilar-parede com seção transversal U –
(a) viga de Euler; (b) viga de Timoshenko; (c) malha de elementos de viga; (d) casca ........... 45
Figura 21: Rigid link – ampliação da Figura 20c...................................................................... 47
Figura 22: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U .......................... 50
Figura 23: Decomposição da seção transversal em alinhamentos verticais no pilar-parede em
formato U .................................................................................................................................. 51
Figura 24: Modelo 3 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;
(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos ..................................................... 52
Figura 25: Modelo 4 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;
(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos ..................................................... 53
Figura 26: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 7 pavimentos e pilar-
parede com seção transversal U................................................................................................ 54
Figura 27: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U enrijecido ......... 57
Figura 28: Decomposição da seção transversal em alinhamentos verticais no pilar-parede em
formato U enrijecido ................................................................................................................. 58
Figura 29: Modelo 3 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7
pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos................................. 59
Figura 30: Modelo 4 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7
pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos................................. 60
Figura 31: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 14 pavimentos e pilar-
parede com seção transversal U enrijecido............................................................................... 60
Figura 32: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção E........................... 63
Figura 33: Decomposição da seção transversal em alinhamentos verticais no pilar-parede em
formato E .................................................................................................................................. 65
Figura 34: Modelo 3 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;
(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos ..................................................... 66
Figura 35: Detalhe das condições de contorno – ampliação da Figura 34a ............................. 66
Figura 36: Modelo 4 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;
(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos ..................................................... 67
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Coeficientes de arrasto em vento de baixa turbulência ............................................ 48
Tabela 2: Forças horizontais resultantes nas lajes dos pavimentos [kN] ................................. 48
Tabela 3: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U ............................................... 49
Tabela 4: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal U .. 54
Tabela 5: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U – edifício com 7
pavimentos ................................................................................................................................ 55
Tabela 6: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U – edifício com 14
pavimentos ................................................................................................................................ 55
Tabela 7: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U enrijecido .............................. 57
Tabela 8: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal U
enrijecido .................................................................................................................................. 61
Tabela 9: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U enrijecido – edifício
com 7 pavimentos ..................................................................................................................... 61
Tabela 10: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U enrijecido – edifício
com 14 pavimentos ................................................................................................................... 62
Tabela 11: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em E ............................................. 64
Tabela 12: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal E . 67
Tabela 13: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E para – edifício com
7 pavimentos ............................................................................................................................. 68
Tabela 14: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E para – edifício com
14 pavimentos ........................................................................................................................... 68
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................. 12
1.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 12
1.2. OBJETIVOS .............................................................................................................. 14
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ......................................................................... 15
1.4. RETROSPECTIVA HISTÓRICA ............................................................................. 16
CAPÍTULO 2 – PILAR-PAREDE ........................................................................................ 20
CAPÍTULO 3 – TEORIA DE FLEXÃO DE VIGAS .......................................................... 25
3.1. BREVE RELATO HISTÓRICO ............................................................................... 25
3.2. EULER-BERNOULLI ............................................................................................... 26
3.3. TIMOSHENKO ......................................................................................................... 28
CAPÍTULO 4 - OS MODELOS MATEMÁTICOS HIERÁRQUICOS ........................... 31
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE ESTRUTURAL PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS .................................................................................................................................. 38
5.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 38
5.2. PROCESSO DE MODELAGEM .............................................................................. 39
CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE 42
6.1. MODELOS MATEMÁTICOS .................................................................................. 44
6.2. AÇÕES HORIZONTAIS .......................................................................................... 47
6.3. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ........................................................................... 49
6.4. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ENRIJECIDO ................................................... 56
6.5. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO E ........................................................................... 63
CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................... 70
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 72
12
CAPÍTULO 1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
1.1. INTRODUÇÃO
A competição por uma fração de espaço nas capitais e regiões metropolitanas do Brasil
e do mundo tem impulsionado o fenômeno da verticalização nos grandes centros urbanos. No
Brasil, esse efeito fica evidente a partir da década de 80 com a concepção e o desenvolvimento
de edificações cada vez mais elevadas. Aliado a isso, há o avanço da ciência e tecnologia,
atuando no desenvolvimento de materiais diversos, como ligas metálicas, compósitos mais
resistentes e materiais leves, permitindo a execução de estruturas mais esbeltas e com maior
capacidade resistente.
O projeto de estruturas esbeltas exige maior nível de cuidado dos profissionais
envolvidos na concepção estrutural dada a possibilidade de instabilidade global por se tratar de
uma estrutura mais propensa a deslocamentos horizontais. Os efeitos de instabilidade surgem à
medida que esses deslocamentos se constituem em excentricidades para o carregamento vertical
ocasionando acréscimos de esforços secundários na estrutura, os chamados efeitos de segunda
ordem.
Dessa forma, em se tratando de ações horizontais, os sistemas de contraventamento
tornaram-se indispensáveis à estabilidade dessas edificações, e sua escolha constitui uma etapa
decisiva durante a elaboração do projeto estrutural. Dada sua importância, esses sistemas
passaram a ser amplamente utilizados, sendo os responsáveis por resistir às diversas solicitações
horizontais, como a ação do vento, ou mesmo aquelas oriundas de abalos sísmicos.
Os sistemas de contraventamento podem ser compostos por grupos de pórticos, por
pilares-parede, ou ainda por um sistema misto, no qual tem-se conjuntos de pórticos trabalhando
solidariamente a pilares-paredes.
Em um sistema estrutural, as cargas tendem a se direcionar aos elementos de maior
rigidez, destacando-se assim a importância dos pilares-parede como elementos de
contraventamento. O pilar-parede, assim como os pórticos, contribui com a estabilidade global
da edificação à medida que confere à estrutura considerável acréscimo de rigidez lateral,
reduzindo os deslocamentos laterais e, consequentemente, os efeitos de segunda ordem.
13
De acordo com a norma brasileira para projeto de estruturas em concreto armado, NBR
6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, em seu item 14.4.2.4, pilares-
parede são definidos como elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente
dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão, podendo ser compostos
por uma ou mais superfícies associadas. Além disso, para que se tenha um pilar-parede, em
alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser, obrigatoriamente, menor que 1/5 da
maior, sendo ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural.
Ainda segundo a mesma norma, conforme descrito no item 14.8.1, permite-se
representar o pilar-parede por um elemento linear, desde que seja considerada a deformação
por cisalhamento e o ajuste de sua rigidez à flexão para o comportamento real. Há também, no
item 15.9.1, um adendo para a consideração dos pilares-paredes como elementos lineares no
conjunto resistente da estrutura: sua seção transversal deve ter a forma mantida por travamentos
adequados em todos os pavimentos e deve-se proceder a avaliação dos efeitos de 2ª ordem
locais e localizados. Para avaliação desses efeitos, permite-se dividir o pilar-parede em faixas
verticais, conforme trata o item 15.9.3, que deverão ser analisadas como pilares isolados. Esse
procedimento será mais bem detalhado no capítulo 2.
Destaca-se que essas considerações estão presentes na norma brasileira para projeto de
estruturas em concreto armado desde a sua primeira edição em 2003, e não passou por
modificações significativas desde então.
Semelhante à NBR 6118:2014, tem-se o ACI 318-14 e o Eurocode 2 (2004), que
normatizam os projetos de estruturas em concreto armado nos Estados Unidos e nos países que
compõem a União Europeia, respectivamente.
O ACI 318-14 não traz ressalvas quanto à análise estrutural de pilares-parede. Já o
Eurocode 2 (2004), conforme item 6.3.3, indica que para seções abertas pode ser necessário
considerar a torção causada pelo empenamento, e no caso de seções muito esbeltas a análise
deve ser conduzida utilizando um modelo constituído por uma malha de elementos de vigas.
Além disso, no anexo I, item I.2 (7), estabelece que se o sistema de contraventamento for
composto pela combinação de pórticos e pilares-parede, devem ser consideradas as
deformações tanto por efeito de flexão quanto por cisalhamento.
Dessa forma, considerando o avanço da tecnologia pelo desenvolvimento dos hardwares
e das ferramentas computacionais disponíveis, bem como as prescrições apresentadas pelo
Eurocode 2 (2004), percebe-se que a sugestão da NBR 6118:2014no item 14.8.1, a qual permite
14
a representação de uma superfície por um elemento linear, é um procedimento simplificado
que pode conduzir resultados insatisfatórios por não ser possível representar adequadamente o
comportamento do elemento estrutural.
Portanto, este trabalho se justifica pela necessidade de se obter um modelo para análise
computacional, também conhecido como modelo matemático, mais representativo e fiel ao
comportamento estrutural de pilares-parede, uma vez que muito se avançou na análise de
estruturas com o uso de métodos numéricos.
Neste trabalho foram considerados modelos matemáticos com grau de complexidade
crescente para representar os pilares-parede com geometria em formato U, U enrijecido e E,
tendo sido utilizado na análise o código comercial ADINA – Automatic Dynamic Incremental
Nonlinear Analysis –, baseado no Método dos Elementos Finitos.
Os resultados foram comparados, a depender do modelo matemático, às soluções
analíticas disponíveis na literatura técnica e/ou àqueles obtidos a partir da avaliação de um
modelo considerado mais complexo e cujas respostas se aproximam mais da realidade,
denominado modelo matemático abrangente. Além disso, adicionalmente, foi utilizado o
Sistema CAD/TQS para comparação dos resultados considerando uma modelagem
tridimensional. Destaca-se que este sistema possui parâmetros internos de flexibilização das
ligações, e diversos outros critérios aplicados ao concreto armado, que produzem respostas as
quais sabe-se de antemão, não serem exatamente iguais àquelas decorrentes das análises pelo
Método dos Elementos Finitos. Todavia, o CAD/TQS é utilizado para que se possa avaliar a
ordem de grandeza das respostas.
Em se tratando de um trabalho em nível de graduação, convém destacar que não serão
considerados os efeitos de não-linearidade (física ou geométrica), haja vista a complexidade
envolvida para tal, restringindo-se, portanto, a análises em regime elástico e teoria de primeira
ordem.
1.2. OBJETIVOS
Geral
O trabalho tem como objetivo geral estudar o comportamento de pilares-parede com
vistas a obter um modelo matemático eficiente para a análise estrutural desse elemento com
seção transversal em formato U, U enrijecido, e E.
15
Específicos
• Avaliar modelos matemáticos adequados à análise estrutural de pilares-parede
compostos por mais de uma superfície;
• Avaliar o comportamento dos pilares-parede utilizando modelos matemáticos
discretizados por elementos de viga e de casca;
• Compreender o comportamento desse elemento estrutural.
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O presente estudo é organizado em sete capítulos, a saber:
O primeiro capítulo consiste na apresentação das considerações iniciais sobre o tema,
incluindo a motivação do trabalho e seus objetivos, e uma sucinta retrospectiva histórica dos
estudos já desenvolvidos sobre pilares-parede com a finalidade de contextualizar o trabalho
para o leitor.
O segundo capítulo direciona a atenção para o elemento estrutural pilar-parede. Nele,
são abordadas as recomendações normativas para a análise estrutural desse elemento, o conceito
de sistemas de contraventamento, sua função e composição, além dos comportamentos
característicos de pilares-parede, pórticos e suas interações.
O terceiro capítulo apresenta a teoria envolvida no estudo dos elementos lineares
submetidos à flexão, também conhecida como teoria de vigas. Nesse capítulo, há um breve
relato histórico sobre a evolução do estudo das vigas e os estudiosos envolvidos, com destaque
para a família Bernoulli, Leonhard Euler e Stephen Timoshenko. Em seguida, são apresentados
os modelos teóricos utilizados nesse trabalho e suas peculiaridades.
O quarto capítulo trata da análise estrutural e os modelos matemáticos, abordando de
forma introdutória as definições de modelo matemático e modelagem hierárquica, destacando
sua importância e outros conceitos relevantes envolvidos.
O quinto capítulo é dedicado à apresentação do Método dos Elementos Finitos
abordando suas características e evidenciando as etapas do processo de análise.
O sexto capítulo apresenta as geometrias de pilares-parede analisadas, os modelos
matemáticos propostos e suas características, e as ferramentas computacionais utilizadas. Os
16
resultados obtidos pela análise dos modelos através do Método dos Elementos Finitos são
apresentados e comparados aos valores de referência.
O sétimo capítulo consiste de comentários gerais sobre os modelos matemáticos
analisados, bem como das conclusões sobre o estudo desenvolvido.
Por fim, são apresentadas as referências utilizadas para o desenvolvimento dessa
monografia.
1.4. RETROSPECTIVA HISTÓRICA
O objetivo desta seção é apresentar brevemente, com auxílio de uma contextualização
histórica, como tem se desenvolvido os estudos sobre pilares-parede e sua interação com outros
componentes da estrutura.
Yagui (1971) desenvolveu um modelo de análise para pilares-parede que consiste na
substituição de cada superfície do pilar-parede por um elemento linear vertical posicionado no
ponto médio da lâmina com suas respectivas características de rigidez, representando o pilar, e
um elemento linear disposto horizontalmente, elemento de viga, engastado no pilar ao nível de
cada pavimento com as extremidades em balanço e rigidez infinita à flexão no plano da
superfície que representa, sendo o comprimento deste igual à largura do pilar-parede. O referido
conjunto pilar-viga é denominado “pórtico plano equivalente”, ilustrado na Figura 1. No caso
de um núcleo rígido esse modelo permite considerar a interação das forças de cisalhamento
através das vigas concorrentes entre os painéis constituintes do elemento estrutural.
Figura 1: Modelo proposto por Yagui (1971)
Fonte: Adaptado de Pereira, A. (2000)
17
Mori (1992) avaliou a interação tridimensional entre os núcleos estruturais e os demais
componentes do sistema estrutural (pórticos, pilares isolados e vigas horizontais). As análises
foram conduzidas em regime elástico e baseadas em teoria de segunda ordem desprezando os
efeitos de deformação por cisalhamento, resultando no desenvolvimento de um código
denominado CEASO (sigla para Cálculo de Edifícios Altos em teoria de Segunda Ordem). A
modelagem do núcleo se deu por um elemento linear com 7 deslocabilidades por extremidade
(ver Figura 2), considerando o empenamento, posicionado no centro de cisalhamento da seção
transversal. Verificou que os resultados fornecidos pelo modelo de Yagui (1971) são
praticamente coincidentes com os obtidos em suas análises.
Matias Jr. (1997) estudou a interação entre os núcleos rígidos e os demais componentes
das estruturas de contraventamento (pórticos e pilares isolados) de uma edificação considerando
a influência da rigidez de suas ligações às fundações e a não linearidade geométrica. Para isso,
com base no CEASO desenvolvido por Mori (1992), desenvolveu o programa CEASO 01
regido pela teoria de Euler-Bernoulli. Modelou o núcleo estrutural a partir de um elemento
linear com sete deslocabilidades por extremidade, posicionado no centro de cisalhamento da
seção. Constatou que a rigidez ao empenamento do núcleo não tem influência significativa na
resistência à torção do sistema, pois sua contribuição é ínfima quando comparada à obtida pela
rigidez lateral dos demais elementos de contraventamento.
Figura 2: Elemento de núcleo utilizado por
Mori (1992) e Matias Jr. (1997)
Fonte: Matias Jr. (1997).
18
Pereira, G. (1997), efetuou quatro análises comparativas considerando diferentes
modelagens para o núcleo estrutural, sendo elas: pórtico plano equivalente proposto por Yagui
(1971); processo proposto por B. S. Taranath, em 1968, baseado na teoria de flexo-torção;
processo simplificado, no qual os trechos do núcleo localizados entre travamentos consecutivos
são substituídos por elementos de barra simples posicionados no centro de torção do núcleo; e
o processo prático (pilar-parede isolado), no qual não são consideradas as forças de interação
entre os painéis que compõem o núcleo. Concluiu que o processo simplificado não representa
adequadamente o núcleo estrutural submetido à torção por não considerar as tensões
suplementares decorrentes do empenamento, ao passo que o modelo proposto por Yagui, por
considerar as forças de interação entre os painéis, representa satisfatoriamente, isto é, com
pequenas divergências comparado ao modelo de referência, o comportamento do elemento
estrutural em análise.
Torres (1999) analisou o efeito da deformação por esforço cortante nas estruturas de
contraventamento de edifícios com múltiplos andares em teoria de primeira ordem. Para tal,
implementou modificações no programa elaborado por Matias Jr. (1997), o CEASO 01, de
modo que a deformação por cortante fosse considerada durante a análise linear. Concluiu que
a modelagem por barras regidas pela teoria de Timoshenko conduz à redução da rigidez das
estruturas à torção e favorece a redistribuição de esforços cortantes entre o núcleo e os pilares,
com maior efeito nos pavimentos inferiores.
Pereira, A. (2000) realizou análises semelhantes às efetuadas por Pereira, G. (1997)
utilizando o processo dos deslocamentos e o Método dos Elementos Finitos, concluindo que o
processo simplificado e o modelo considerando a teoria de flexo-torção só apresentam grandes
discrepâncias entre si quando a estrutura analisada apresenta rotações elevadas. Além disso,
verificou que a utilização da modelagem proposta por Yagui (1971) quando comparada a
modelos que consideram o empenamento do núcleo pode resultar em esforços solicitantes
inferiores aos que realmente atuam sobre os demais elementos de contraventamento, deixando
seu dimensionamento contra a segurança.
Silva (2014) desenvolveu um modelo para análise tridimensional não linear geométrica
de edifícios considerando o empenamento dos núcleos estruturais e a interação solo-estrutura.
Para tal, foi considerada a influência de todos os componentes do sistema estrutural, com o
núcleo sendo modelado por um elemento finito de viga com sete deslocabilidades e aprimorado
de modo a considerar a presença dos diafragmas rígidos. Com base nas análises realizadas,
19
concluiu que as lajes agregam considerável rigidez ao núcleo estrutural, sendo este efeito mais
evidente quando a estrutura trabalha submetida à torção.
Batista (2014) estudou o comportamento de um pilar-parede com seção transversal
retangular mediante a utilização de modelos matemáticos discretos regidos pelas teorias de
Euller-Bernoulli e Timoshenko, e utilizou um modelo discretizado por elementos de casca para
validação dos resultados. Concluiu que a modelagem do pilar-parede por meio de uma malha
de elementos de viga dispostos na vertical e travados horizontalmente ao nível dos pavimentos
também por elementos de viga, mas com rigidez infinita, conduz a resultados satisfatórios e a
interação entre o pilar-parede e os demais elementos constituintes da superestrutura pode ser
feita de modo simplificado através de uma mola linear com rigidez equivalente.
Medeiros (2014), por meio do Método dos Elementos Finitos, desenvolveu um estudo
voltado à viabilidade do emprego de malhas de elementos de viga na discretização de núcleos
estruturais comparando seus resultados com os obtidos através de modelagens mais refinadas
utilizando elementos de casca. Além disso, procedeu também com a análise modal dos
diferentes modelos, obtendo resultados consistentes dos modos de vibração e frequências
naturais tanto para o núcleo isolado quanto para o pavimento como um todo. Concluiu que os
modelos utilizando essas malhas possuem potencial para fornecer bons resultados em
comparação a modelos mais complexos com elementos finitos de casca, principalmente quando
o elemento é submetido apenas aos efeitos de flexão.
Por fim, este trabalho dá continuidade ao estudo desenvolvido por Batista (2014) e busca
a determinação de um modelo matemático eficiente para a análise de pilares-parede de seção
delgada aberta como alternativa à análise simplificada por barra isolada sugerida pela NBR
6118:2014.
20
CAPÍTULO 2 – PILAR-PAREDE
O pilar-parede se constitui em um elemento de extrema importância para uma
edificação, pois compõe o sistema de contraventamento da estrutura e tem a capacidade de
conferir ao conjunto a rigidez lateral suficiente para minimizar os deslocamentos horizontais,
permitindo assim a redução dos efeitos de segunda ordem globais.
Os sistemas de contraventamento são conjuntos de elementos responsáveis por garantir
a estabilidade lateral da estrutura: seja por redução do comprimento de flambagem das peças,
seja por acréscimo de rigidez lateral ocasionando a redução dos deslocamentos horizontais.
Esses sistemas podem apresentar comportamentos distintos quando de sua solicitação por ações
externas. O desempenho e a configuração deformada de um contraventamento composto apenas
por pórticos são diferentes dos apresentados por um sistema composto somente por pilares-
parede. Para compreender esse fato é preciso ter em mente como esses elementos estruturais se
comportam isoladamente.
Os pórticos se caracterizam pela associação de pilares e vigas trabalhando em conjunto
para resistir às solicitações horizontais e trabalham submetidos preponderantemente aos efeitos
de flexão. Por aspectos econômicos e construtivos, as características geométricas desses
elementos estruturais são replicadas ao longo dos pavimentos-tipos adotando seções que
atendam às situações mais críticas para o dimensionamento. Por isso, verifica-se que os pórticos
de pavimentos próximos ao topo são geometricamente superdimensionados, de modo que os
deslocamentos relativos no topo são menores que os verificados nos pavimentos iniciais e
intermediários da edificação.
Por sua vez, os pilares-parede podem trabalhar submetidos predominantemente aos
efeitos de esforço cortante ou de momento fletor, a depender de sua classificação quanto à
esbeltez. Wight e MacGregor (2009), ao tratar sobre pilares-parede com seção transversal
retangular, afirmam que os efeitos de cisalhamento são predominantes em elementos curtos,
com relação altura/comprimento inferior a 2. Quando essa relação é superior a 3, o elemento
estrutural é classificado como esbelto, ou delgado, e predominam os efeitos de flexão. Para o
caso de pilares-parede com razão altura/comprimento variando entre 2 e 3 o comportamento
apresentado é uma combinação de efeitos de flexão e cisalhamento.
É válido destacar que o pilar-parede esbelto, isolado e submetido aos efeitos de flexão
se comporta de modo análogo a uma viga perfeitamente engastada e em balanço. Assim, em
21
oposição ao que se constata para o caso dos pórticos, os maiores deslocamentos relativos se
verificam na região de topo do elemento estrutural.
De acordo com Araújo (2014), em um sistema de contraventamento misto (ver Figura
3), o comportamento do conjunto é fortemente influenciado pelas forças de interação
decorrentes da compatibilização dos deslocamentos, haja vista que o topo do pilar-parede
apresenta maiores deslocamentos que os sofridos pelo pórtico. Desse modo, segundo Wight e
MacGregor (2009), o pórtico poderá ou não constituir um impedimento à deformação do pilar-
parede a depender de sua rigidez.
Figura 3: Modelo estrutural de um sistema de
contraventamento misto
Fonte: Adaptado de Wight e MacGregor (2009).
Para os casos em que o pórtico seja muito rígido, sua representação no modelo estrutural,
ver Figura 4a, pode ser feita por meio de um apoio no topo do pilar-parede. Caso contrário, o
sistema pode ser modelado como uma viga perfeitamente engastada e em balanço.
À medida que a rigidez lateral do pórtico diminui em comparação com a rigidez lateral
do pilar-parede, a restrição ao deslocamento no topo desse último também diminui, com o
22
módulo da reação horizontal tendendo a zero para o caso de o pórtico associado à parede
estrutural ser muito flexível (WIGHT; MACGREGOR, 2009).
Assim, em função da rigidez dos pórticos e, consequentemente, da intensidade de
restrição ao deslocamento do topo do pilar-parede, os diagramas de esforço cortante e momento
fletor podem variar conforme ilustrado na Figura 4b e c, respectivamente.
Figura 4: Modelo estrutural e diagramas em função da rigidez do pórtico
Fonte: Adaptado de Wight e MacGregor (2009).
Relativamente à NBR 6118:2014, define-se, de acordo com o item 14.4.2.4, pilar-parede
como um elemento de superfície, usualmente posicionado na vertical, sobre o qual prevalecem
esforços de compressão e cuja maior dimensão, no contexto da seção transversal, não exceda
cinco vezes a menor dimensão. Mais adiante, no item 14.8.1, permite-se a representação do
pilar-parede de forma simplificada como elemento linear posicionado no centro geométrico
(CG) da respectiva seção transversal do elemento estrutural, ver Figura 5, devendo ser
considerado o efeito de deformação por cisalhamento e o ajuste da rigidez à flexão.
Além disso, a NBR 6118 permite, no item 15.9.3, a consideração do efeito localizado
de segunda ordem através de um processo aproximado no qual o pilar-parede é subdividido em
faixas verticais (ver Figura 6), de modo que cada faixa é analisada como pilar isolado.
23
Figura 5: Centro geométrico de pilar-
parede de seção aberta
Fonte: Autor (2019).
Figura 6: Decomposição do pilar-parede
em faixas verticais
Fonte: Adaptado da NBR 6118:2014.
É preciso destacar que para aplicação desse processo a esbeltez de cada superfície que
compõe o pilar-parede deve ser inferior a 90, e a largura de cada faixa vertical deve respeitar a
seguinte relação:
ai = 3 h ≤ 100 cm
Sendo,
ai a largura da faixa i;
h a espessura da lâmina do pilar-parede.
24
Medeiros (2014) relata que em casos onde a presença do núcleo de rigidez provoca
assimetria na estrutura do edifício, pela não coincidência do centro de rigidez com o centro de
massa do pavimento, a sua representação por um único elemento conduz a modelos que não
representam de maneira adequada o real comportamento da estrutura.
Por fim, neste trabalho são realizados estudos sobre o comportamento dos pilares-parede
e a adequação de sua idealização para análise computacional por meio de vigas dispostas
verticalmente, isoladas ou posicionadas nos CG de faixas verticais, com o intuito de avaliar as
considerações para sua análise.
25
CAPÍTULO 3 – TEORIA DE FLEXÃO DE VIGAS
Neste capítulo será apresentada uma contextualização histórica acerca da evolução do
estudo de vigas submetidas à flexão e a contribuição de alguns estudiosos. Em seguida, serão
apresentados os dois principais modelos clássicos para análises de vigas: o modelo de Euler-
Bernoulli; e o modelo de Timoshenko.
O conhecimento sobre as teorias abordadas neste capítulo para análise estrutural de
elementos lineares submetidos à flexão é essencial à boa compreensão deste trabalho, pois, na
construção dos modelos matemáticos, são aplicados modelos teóricos diferentes para que seja
possível avaliar a influência dos efeitos inclusos em cada um na simulação do comportamento
do elemento estrutural.
3.1. BREVE RELATO HISTÓRICO
O estudo acerca do comportamento de vigas teve início há muitos séculos. De acordo
com Troyano (2003), o primeiro pesquisador a estudar o fenômeno de flexão foi Leonardo da
Vinci, sendo responsável por descrever os efeitos da flexão no Códice de Madrid, seguido por
Galileu Galilei que conduziu análises de vigas simplesmente apoiadas e em balanço.
Ainda segundo Troyano (2003), no século XVII, Edme Mariotte conduziu estudos em
vigas de madeira observando a distribuição de tensões ao longo da seção transversal, e
identificou a presença de tensões de tração em uma borda da seção e de compressão na borda
oposta. No mesmo período, Jacob Bernoulli iniciou os estudos sobre a curvatura elástica das
vigas aplicando conceitos de cálculo diferencial, e concluiu que o momento fletor em cada
seção é proporcional à curvatura da viga nessa respectiva seção. Essa informação seria base
para o estudo de outros estudiosos, como Euler, mais adiante no século XVIII.
De acordo com Timoshenko (1983), o trabalho de Jacob Bernoulli seguiu pelo século
XVIII através de seus orientados: o sobrinho, Daniel Bernoulli; e seu aluno, Leonhard Euler.
Daniel Bernoulli derivou a equação diferencial da vibração lateral de barras prismáticas e se
dedicou ao estudo desses modos de vibração. Leonhard Euler, por sua vez, interessou-se pela
geometria das curvas elásticas, sendo o responsável por resolver a equação diferencial da curva
elástica estabelecida décadas antes por seu orientador, Jacob Bernoulli. Euler também
26
desenvolveu o estudo acerca da flambagem de colunas que resultou na equação de determinação
da carga crítica de flambagem, também conhecida como carga crítica de Euler. Trabalhando
em conjunto, Daniel Bernoulli e Leonhard Euler desenvolveram o modelo que ficou conhecido
como teoria de viga de Euler-Bernoulli, baseada nos resultados obtidos anteriormente pelos
estudos de Jacob Bernoulli. Essa teoria será abordada em maiores detalhes na seção 3.2.
Já no século XIX, Henri Navier ao estudar o fenômeno da flexão em barras prismáticas
estabeleceu que seções transversais inicialmente planas permanecem planas e perpendiculares
ao eixo longitudinal do elemento em sua configuração deformada. Essa consideração ficou
conhecida como Hipótese de Navier; e com base nela e fazendo uso da Lei de Hooke concluiu
que a linha neutra de uma viga submetida exclusivamente aos efeitos de flexão contém
obrigatoriamente o centro de gravidade da seção transversal.
Por fim, no início do século XX, Timoshenko avançou com estudos acerca da influência
das tensões cisalhantes nas deformações das vigas submetidas à flexão simples, de modo que
em 1921 introduziu a teoria que ficou conhecida como teoria de viga de Timoshenko. Essa
teoria será abordada em maiores detalhes na seção 3.3.
Atualmente, existem diversos modelos teóricos aplicáveis a elementos estruturais, tais
como: Euler-Bernoulli; Timoshenko; Kirchhoff-Love; Reissner-Mindlin; Koiter; e Naghdi. Os
dois primeiros se aplicam a vigas – elementos lineares, que apresentam uma das dimensões com
ordem de grandeza bem superior às demais –, os terceiro e quarto modelos são aplicáveis a
placas, e os dois últimos se destinam a cascas – elementos de superfície, que apresentam duas
dimensões com a mesma ordem de grandeza e a outra com ordem bem inferior.
Essas teorias dialogam entre si, diferindo-se apenas pelo tipo de elemento estrutural
sobre o qual são aplicadas. As teorias de Kirchhoff-Love e Koiter se assemelham à de Euler-
Bernoulli por não considerar os efeitos de deformação por cisalhamento nos elementos de placa
e casca, respectivamente, enquanto que as teorias de Reissner-Mindlin e Naghdi estão próximas
à de Timoshenko por considerar os efeitos de distorção das seções.
3.2. EULER-BERNOULLI
O modelo de viga de Euler-Bernoulli apresenta-se como uma simplificação da Teoria
da Elasticidade, sendo o modelo mais simples para a determinação dos deslocamentos em um
elemento linear. Nele, admite-se que os deslocamentos laterais são nulos; que as seções
27
transversais permanecem planas1 e perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento na
configuração deformada – hipótese de Navier –; e que os pontos contidos numa mesma seção
reta apresentam deslocamentos transversais iguais (ver Figura 7).
Bernoulli percebeu que a curvatura de uma viga é proporcional ao momento fletor e a
partir dessa observação obteve a equação diferencial da Linha Elástica (LE), que mais tarde foi
aprimorada por Euler.
Figura 7: Deformada de viga conforme modelo de Euler-Bernoulli
Fonte: Adaptado de Martha e Burgos (2014).
A equação diferencial da linha elástica de uma viga pela teoria de Euler-Bernoulli tem
a seguinte configuração:
d2w
dx2= −
M
EI (1)
dw
dx= β (2)
1 Rigorosamente, a hipótese das seções planas se verifica nas peças, ou trechos de peças, submetidos à flexão
pura; porém, também se considera a sua validade para as peças, ou trechos de peças, submetidos à flexão
simples.
28
Sendo 𝛽 o ângulo de rotação da seção reta, medido entre as posições na situação inicial
indeformada e na configuração deformada.
Timoshenko e Gere (1984) destacam que esta expressão somente se aplica aos casos em
que o material se comporta em regime elástico linear e as inclinações da LE são pequenas.
A consideração da ortogonalidade das seções na situação deformada, significa que não
há consideração das deformações por efeito de cisalhamento. Isto fica evidenciado pela análise
da Eq. (1), em que se verifica apenas a influência do momento fletor.
Dessa forma, a teoria de Euler-Bernoulli considera apenas as deflexões decorrentes da
flexão pura.
3.3. TIMOSHENKO
A teoria de Timoshenko tem como base a teoria de Euler-Bernoulli, distinguindo-se pela
consideração adicional das deflexões decorrentes do cisalhamento. Assim, o modelo de
Timoshenko considera os efeitos do esforço cortante, momento fletor e inércia à rotação.
Sabe-se que os efeitos oriundos das tensões de cisalhamento se tornam mais evidentes
em peças pouco esbeltas, também classificadas como curtas. Nessas peças, os efeitos de flexão
não se sobrepõem aos de cisalhamento, de modo que não é possível desprezar as deformações
decorrentes por atuação de esforço cortante.
No entanto, não há consenso sobre critérios objetivos para determinar quando seria
possível desprezar as deflexões ocasionadas por tensões cisalhantes. Porém, há relatos na
literatura sobre a razão altura/comprimento, como afirmam Wight e MacGregor (2009, p. 937,
tradução nossa) que “a resistência e o comportamento de paredes de cisalhamento curtas
[relação altura/comprimento menor ou igual a 2, conforme apresentando no capítulo 2 do
presente trabalho], de um ou dois pavimentos, geralmente são comandados pelo cisalhamento.”
O esforço cortante se propaga sobre os pontos da seção transversal do elemento sob a
forma de tensões cisalhantes cuja distribuição varia ao longo da altura, sendo máxima nos
pontos situados sobre a linha neutra e nula nos pontos pertencentes às extremidades.
De acordo com Timoshenko e Gere (1984), a referida variação de tensões provoca
distorções angulares na seção reta, dando origem a um acréscimo nas deflexões. Esse acréscimo
29
se evidencia pelo surgimento de rotações, que são associadas à derivada do deslocamento
transversal (ver Figura 8).
Figura 8: Deformação de viga conforme modelo de Timoshenko
Fonte: Adaptado de Martha e Burgos (2014).
É importante destacar que essa distorção invalida a hipótese das seções perpendiculares
ao eixo longitudinal do elemento. Pela teoria de Timoshenko, admite-se que as seções
transversais permanecem planas, mas não necessariamente ortogonais ao eixo da peça.
A equação diferencial da linha elástica de uma viga pela teoria de Timoshenko tem a
seguinte configuração:
d2w
dx2= −
M
EI−
V
G∙fsA (3)
dw
dx− γ = β (4)
Na qual o segundo termo do lado direito da Eq. (3) representa a deformação provocada
pela distorção da seção, sendo fs o fator de forma para cisalhamento, também denominado fator
de cisalhamento, ou ainda fator para efeito do cortante. Esse fator é definido por Timoshenko e
30
Gere (1984, p. 348) como “[...] uma quantidade adimensional que pode ser calculada para cada
uma das formas de vigas [...]”.
O fator de cisalhamento surge na expressão multiplicando o valor da área em virtude da
variação da tensão cisalhante sobre a seção, conforme discutido anteriormente. O produto fsA
representa a área efetiva de cisalhamento, isto é, um valor de área para o qual a tensão de
cisalhamento pode, por aproximação, ser considerada constante em toda sua superfície.
31
CAPÍTULO 4 - OS MODELOS MATEMÁTICOS HIERÁRQUICOS
A etapa de análise estrutural computacional consiste na idealização da estrutura real em
um modelo matemático de modo a permitir sua resolução, culminando na obtenção de
parâmetros inerentes ao tipo de elemento utilizado (esforços internos, deslocamentos, tensões,
deformações, reações de apoio, gradientes de temperaturas, etc.) para compreensão de seu
comportamento e eventual dimensionamento.
A análise estrutural [...] é a etapa do projeto na qual é realizada uma previsão
do comportamento da estrutura. Nela são utilizadas todas as teorias físicas e
matemáticas resultantes da formalização da engenharia estrutural como
ciência. (MARTHA, 2010, p. 3)
Assim, um modelo matemático, também denominado modelo estrutural, é a idealização
de uma estrutura real (problema físico) pela adoção de hipóteses simplificadoras viabilizando
sua resolução, de modo que seu comportamento seja representado adequadamente.
A modelagem hierárquica aplicada à análise de estruturas revolucionou a forma como
se conduzem os projetos, pois, conforme relatam Bucalem e Bathe (2011), seus conceitos
básicos podem ser aplicados em análises diversas, como o estudo de sólidos ou fluidos, ou ainda
em problemas extremamente complexos.
O princípio da utilização de modelos hierárquicos é construir uma sequência de modelos
matemáticos em ordem crescente de complexidade (ver Figura 9); com o primeiro modelo
sendo o mais simples e com menor quantidade de variáveis envolvidas, e o último, denominado
“modelo abrangente”, capaz de considerar todos os efeitos os quais submetem o problema real.
É importante deixar claro que a escolha da sequência de modelos é fortemente
influenciada pela experiência do analista e pelo conhecimento acerca do problema em estudo,
uma vez que esta ordem deixa implícito quais aspectos são mais preponderantes no
comportamento do problema real.
O modelo abrangente não deve necessariamente ser resolvido, ele tem a função
meramente de atuar como referência teórica para os demais. Isso se deve ao fato de este modelo
incluir todas as variáveis envolvidas no fenômeno analisado, sendo muitas delas de difícil
obtenção, inviabilizando sua análise.
32
Figura 9: Sequência de modelos matemáticos
Fonte: Adaptado de Bucalem e Bathe (2011).
Todavia, é preciso destacar que não há um modelo matemático capaz de representar
com perfeição, por mais refinado que seja, o comportamento real do elemento em análise tendo
em vista a quantidade de variáveis presentes na natureza, de modo que a escolha do modelo é
fortemente influenciada pelo conhecimento e experiência do engenheiro (BATHE, 2010;
SORIANO, 2009).
Convém ainda destacar a definição de “modelo matemático confiável”: trata-se de
qualquer modelo capaz de fornecer resultados com a precisão requerida pelo analista. Outro
conceito importante é o de “modelo matemático mais eficiente”, que diz respeito ao modelo
matemático confiável de menor ordem hierárquica.
Bucalem e Bathe (2011) destacam que iniciar as análises partindo de modelos
demasiadamente complexos não é adequado, uma vez que modelos dessa natureza tendem a
dificultar a identificação de quais efeitos são mais preponderantes na determinação do
comportamento do elemento estrutural; efeitos estes facilmente identificados quando da análise
de modelos mais simples. Além disso, a solução de modelos muito elaborados é mais complexa
e tende a ser inviabilizada pelo custo computacional envolvido, além de produzir uma
quantidade exacerbada de resultados, que podem ser inclusive de difícil interpretação. Não há,
portanto, benefício em trabalhar com modelos de ordem superior à do modelo matemático mais
eficiente.
Assim, em consequência da modelagem hierárquica, é possível convergir para um
modelo matemático capaz de representar o comportamento de um elemento ou sistema
estrutural de forma mais simples e confiável, pela redução da quantidade de variáveis a serem
consideradas durante o processo, sem que haja prejuízo dos resultados que se deseja avaliar.
33
Dessa forma, tem-se conhecimento de quais efeitos são preponderantes para a representação do
fenômeno em estudo e quais podem ser desconsiderados.
Utilizando os conceitos de modelos matemáticos hierárquicos, é possível estudar e
prever o comportamento de estruturas diversas, descartando, em alguns casos, a necessidade da
construção de modelos em escala reduzida para realização de ensaios físicos em laboratório.
No âmbito do projeto de estruturas, há alguns modelos matemáticos possíveis para
análises dos elementos estruturais que compõem os edifícios. Os modelos mais conhecidos são
apresentados a seguir (ver Figura 10).
Figura 10: Modelos matemáticos para análise de edificações
Fonte: Kimura (2007).
34
Como se pode verificar, há diferentes modelos matemáticos para análise dos elementos
estruturais em uma edificação, dentre eles: viga contínua, grelha e pórtico. É preciso identificar
qual representa satisfatoriamente as condições a serem avaliadas.
No processo de análise da edificação, por exemplo, as lajes, vigas e pilares podem ser
estudados isoladamente utilizando-se de modelos simples. Nessa situação, para as lajes são
utilizados os métodos aproximados (Marcus, Bares, Czerny, entre outros) e a distribuição do
carregamento para as vigas é realizada com auxílio das áreas de influência definidas pelas linhas
de ruptura dos painéis. Então, é aplicado o modelo de vigas contínuas para análises desses
elementos estruturais, com os pilares representados por apoios simples. Por fim, as reações de
apoio são aplicadas aos pilares como carga concentrada, não havendo transferência de
momentos fletores.
Kimura (2007) aponta as limitações da análise isolada de elementos estruturais
destacando a não consideração do trabalho conjunto da estrutura: ligação viga-pilar articulada
impedindo a transferência de momento fletor entre esses elementos; a impossibilidade de
avaliação dos efeitos decorrentes de ações horizontais; dentre outros.
Considerando a análise estrutural pelo Método dos Elementos Finitos, deve-se idealizar
a representação do meio contínuo (problema real) em um meio discreto formado por elementos
conectados por nós (modelo discreto). Como exemplo, considera-se uma laje de cobertura curva
apoiada em pilares (ver Figura 11). A sequência de modelos hierárquicos pode ser organizada
conforme apresentado na Figura 12.
Figura 11: Exemplo de cobertura curva – sistema físico
Fonte: Autor (2019).
35
Figura 12: Sequência de modelos matemáticos em elementos finitos para análise de uma laje
de cobertura curva submetida a carregamento vertical
Fonte: Autor (2019).
Na primeira modelagem (ver Figura 13), são considerados elementos finitos
unidimensionais de viga, posicionados ao longo do eixo longitudinal. A partir da análise desse
modelo matemático é possível a determinação, por exemplo, dos diagramas de esforços
internos, das reações de apoio (vínculos externos) e dos deslocamentos relativos ao eixo
longitudinal.
Figura 13: Cobertura curva – modelagem unidimensional
Fonte: Autor (2019).
Avançando, tem-se a modelagem a partir de elementos bidimensionais em Estado Plano
de Deformações (EPD) no plano vertical, ver Figura 14, agregando mais uma dimensão à
análise. O EPD se configura quando uma das tensões (sigma z) é não nula, o que implica que
as deformações transversais ao plano de análise são nulas. Através da análise desse modelo
matemático é possível determinar a distribuição de tensões na seção transversal, bem como as
deformações e os deslocamentos decorrentes da ação de forças externas. É interessante observar
36
que a determinação dos diagramas de esforços internos através da análise desse modelo não é
possível.
Figura 14: Cobertura curva – modelagem por elementos bidimensionais (EPD)
Fonte: Autor (2019).
Em seguida, tem-se o modelo constituído por elementos bidimensionais de casca (ver
Figura 15), sendo a representação do elemento estrutural a partir de sua superfície média.
Evidencia-se a capacidade desses elementos em reproduzir a curvatura do elemento estrutural,
característica que não é encontrada nos modelos anteriores. Os resultados da análise desse
modelo se traduzem em termos de deslocamentos, deformações e em distribuição de tensões ao
longo da superfície média da estrutura idealizada. A vantagem na utilização destes elementos
de casca consiste no fato de que permitem a representação da estrutura com sua curvatura
original, e não facetada, como no caso dos elementos bidimensionais de placas (que seria uma
outra opção de modelo matemático), fornecendo respostas requeridas mais satisfatórias.
Por fim, tem-se a modelagem por elementos tridimensionais (ver Figura 16),
caracterizada pelo acréscimo da terceira dimensão, tornando possível a representação das
características volumétricas do elemento estrutural conforme a situação real. A partir da análise
desse modelo matemático obtém-se os parâmetros de deslocamentos e deformações, sendo
possível avaliar também, simultaneamente, a distribuição de tensões ao longo da altura e na
superfície média do elemento estrutural. Em consequência disso, essa modelagem é capaz de
reproduzir a ocorrência de concentração de tensões, por exemplo, nas três dimensões, o que não
seria possível com o modelo matemático contendo elementos do EPD ou elementos de casca.
Pode-se afirmar que, por ocasião específica desse exemplo, o modelo tridimensional, em
decorrência de suas características, é classificado como abrangente.
37
Figura 15: Cobertura curva – modelagem por
elementos de casca
Fonte: Autor (2019).
Figura 16: Cobertura curva – modelagem por
elementos tridimensionais
Fonte: Autor (2019).
É oportuno ressaltar a possibilidade de identificação, mesmo que de forma limitada, de
regiões sujeitas à ocorrência de concentração de tensões através, também, da análise dos
modelos bidimensionais (EPD e casca).
38
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE ESTRUTURAL PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS
5.1. INTRODUÇÃO
Ao longo do tempo, desenvolveram-se diversos métodos aplicáveis à análise de
estruturas, tais como os métodos analíticos, os métodos energéticos e os métodos numéricos.
Os métodos analíticos se caracterizam pelo emprego de equações diferenciais ordinárias
ou parciais para descrever o comportamento do elemento estrutural baseadas em hipóteses
simplificadoras. Todavia, convém destacar que a solução por esse método nem sempre é
possível, uma vez que poucas equações diferenciais possuem solução analítica. Essa solução só
é viável para situações nas quais o elemento estrutural está submetido a carregamentos simples
e possui geometria e vínculos externos bem definidos.
Já os métodos energéticos são fundamentados no conceito de equilíbrio entre a energia
potencial das ações externas e a energia de deformação, e se constituem em aplicações dos
teoremas energéticos. Dentre eles, destacam-se: Método da Energia de Deformação, Método da
Carga Unitária, Método da Flexibilidade, Método da Rigidez.
Por fim, tem-se os métodos numéricos, que utilizam hipóteses simplificadoras para
estabelecer equações que representem o comportamento do elemento estrutural. Esses métodos
surgiram com o intuito de viabilizar a solução das equações diferenciais e caracterizam-se pelo
emprego de sistemas computacionais; dentre eles, destacam-se: o Método das Diferenças
Finitas, o Método dos Elementos Finitos, e o Método dos Elementos de Contorno.
O desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos (MEF) ocorreu durante a década
de 1950 como fruto dos estudos desenvolvidos pelos engenheiros Turner, Clough, Martin,
Argyris, Topp e Kelsey, baseado nos conceitos do Método dos Deslocamentos e auxiliado pelo
advento dos computadores.
Essa ferramenta, antes utilizada apenas para resolução de problemas da mecânica dos
sólidos, foi aperfeiçoada ao longo dos anos, com aplicações nas mais diversas áreas da
engenharia. Todavia, a disseminação do MEF somente ocorreu na década de 90, graças à
evolução do poder de processamento dos computadores e seus programas. Atualmente, é o
método mais utilizado para solução de problemas na área da engenharia de estruturas.
39
5.2. PROCESSO DE MODELAGEM
O Método dos Elementos Finitos é um método aproximado e, de acordo com Soriano
(2009), sua essência é a substituição de leis complexas, que representam o modelo matemático
e que por vezes são desconhecidas, por leis simples, mas que garantam a convergência da
solução através de duas maneiras: uma delas ocorre à medida que se reduz o tamanho dos
elementos, reduzindo assim as eventuais distorções entre os comportamentos real e teórico; a
outra se dá pelo acréscimo do número de nós em cada elemento, resultando em polinômios de
ordem superior com capacidade de representar o comportamento de forma mais adequada.
As etapas do processo de análise estrutural pelo MEF estão apresentadas na Figura 17.
A análise estrutural utilizando elementos finitos envolve a transformação do problema
real em um modelo matemático pela adoção de hipóteses simplificadoras para representar o
comportamento do elemento estrutural por meio de equações diferenciais.
A construção do modelo matemático é caracterizada pela idealização do problema
físico. É fundamental definir quais as hipóteses a serem admitidas sobre o comportamento da
estrutura, de modo a simplificar o problema e facilitar o processo de solução. Conforme
indicado na Figura 17, essas hipóteses incluem: geometria, que diz respeito à configuração
adotada para o elemento estrutural em análise; o comportamento cinemático do modelo
estrutural; as propriedades dos materiais, módulo de elasticidade, regime de comportamento
elástico ou plástico; identificação do carregamento; e, por fim, as condições de vinculação dos
elementos componentes da estrutura e o meio externo.
O modelo matemático em elementos finitos constitui um modelo discreto. Nele, os
infinitos pontos constituintes do modelo contínuo são representados por uma quantidade finita
de pontos (denominados nós).
A etapa que sucede a construção do modelo discreto é a análise da solução numérica.
Bucalem e Bathe (2011) afirmam que, a partir das respostas obtidas, o analista poderá avaliar
se os resultados obtidos atendem aos do modelo matemático de referência (abrangente) com
adequada precisão. Caso a solução não seja satisfatória, é possível refinar o modelo discreto a
partir de modificações na malha de elementos finitos, ou na quantidade de nós presentes no
elemento de modo a melhorar a função aproximadora.
40
Figura 17: Processo de análise por elementos finitos
Fonte: Adaptado de Bathe (2010).
Para verificação da convergência quando a solução é desconhecida, é usual comparar os
resultados do modelo discreto com os obtidos mediante análise desse mesmo modelo com
discretização maior da malha de elementos, ou ainda com os resultados obtidos por análises de
modelos mais abrangentes.
41
O passo seguinte se caracteriza pela avaliação do modelo matemático já calibrado, e
validado por resultados experimentais ou modelos analíticos. Deve-se verificar se as hipóteses
adotadas para o modelo em estudo são capazes de representar adequadamente os efeitos
considerados importantes e desejados pelo engenheiro. Caso não sejam, é necessário aprimorar
as hipóteses adotadas na definição do modelo matemático e refazer as análises.
Por fim, e com base nos resultados obtidos, pode-se optar pela otimização do projeto
através da alteração de alguns parâmetros, como modificações na geometria, condições de
contorno, dentre outros. Em consequência disso, obtém-se um novo sistema físico, o qual deve,
mais uma vez, ser submetido ao processo de análise.
42
CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE
Este capítulo tem por finalidade apresentar a metodologia utilizada no desenvolvimento
do trabalho, isto é, os modelos matemáticos propostos, os programas computacionais e análises
realizadas, bem como seus respectivos resultados.
Diferentes modelos matemáticos foram estudados com o intuito de avaliar
comparativamente os resultados obtidos, oferecendo alternativas à modelagem de pilares-
parede. Foram consideradas apenas ações horizontais decorrentes da incidência de vento sobre
a edificação, e com intensidades compatíveis com as verificadas nos projetos de edifícios na
cidade de Natal.
A configuração de pavimento-tipo adotada como base foi o exemplo proposto por
Araújo (2014) e ilustrado na Figura 18, considerando o pé esquerdo de 3,00 metros e edifícios
com 7 e 14 pavimentos. Destaca-se que estes últimos foram definidos em função do
comportamento conjunto do pilar-parede e pórticos (Figura 4), ou seja, os pórticos atuam de
forma flexível na situação de 7 pavimentos, ou de forma rígida impondo restrições ao
movimento do pilar-parede, no caso de 14 pavimentos. As vigas possuem seção retangular de
20 x 60 cm, os pilares 20 x 50 cm e a parede estrutural (P6), 20 x 300 cm.
O módulo de deformação secante do concreto (Ecs) foi calculado conforme preconiza a
NBR 6118:2014, considerando concreto pertencente à classe C30, resultando 26.838,400 MPa.
O módulo de elasticidade transversal (G) foi igualmente obtido conforme recomendação da
mesma norma no item 8.2.9, Gc = Ecs 2,4⁄ , resultando G = 11.182,667 MPa.
O pilar-parede (P5) presente na Figura 18 tem caráter meramente ilustrativo, uma vez
que também foram analisadas configurações com seção transversal em U enrijecido e seção E
(ver Figura 19). Em todos os casos, a espessura das lâminas é constante e igual a 15 cm.
Optou-se por utilizar pilares-parede com essa geometria por sua frequente aplicação em
situações reais, desconsiderando o caso de seção retangular tendo em vista o estudo
desenvolvido por Batista (2014) acerca dessa configuração de elemento estrutural.
Valendo-se do conceito de modelos matemáticos hierárquicos, foram propostos, à
semelhança do realizado por Batista (2014), quatro modelos estruturais para análise do
comportamento estrutural do pilar-parede com diferentes geometrias.
43
Figura 18: Planta de forma do pavimento-tipo
Fonte: Adaptado de Araújo (2014).
Sendo,
Pn o enésimo pilar da edificação;
r o centro de cisalhamento do pilar-parede;
c o centro geométrico do pilar-parede;
M o centro de massa do pavimento;
FX a resultante da força de vento no pavimento.
Figura 19: Seções transversais com geometria (a) U, (b) U enrijecido e (c) E
Fonte: Autor (2019).
44
As análises aqui discutidas foram realizadas com auxílio do código computacional
ADINA v. 9.4, baseado no Método dos Elementos Finitos, para a avaliação comportamental
dos pilares-parede como elementos isolados da edificação. Para a validação das respostas
aproximadas foram usados códigos computacionais que consideram o comportamento
tridimensional da edificação: o programa implementado por Stabile et al. (2017) e o Sistema
CAD/TQS v. 18.
O ADINA – Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis – é um código
comercial desenvolvido por ADINA R&D, Inc. e reconhecido mundialmente por sua
capacidade de processamento e análises pelo MEF. Trata-se de um código bem consolidado,
empregado em análises de diversas áreas, tais como: acadêmica, indústria aeroespacial,
automotiva, biomédica, mecânica, nuclear, etc.
O programa de Stabile et al. (2017) tem por base o processo rigoroso, descrito por
Araújo (2014), para a determinação das frações das forças horizontais atuantes em cada uma
das estruturas de contraventamento (pórticos, paredes estruturais e pórticos) e os deslocamentos
ao nível dos pavimentos. Por considerar todos os elementos estruturais, sua resposta pode ser
interpretada como resultado do comportamento tridimensional da edificação.
Por fim, o sistema CAD/TQS é um código comercial desenvolvido pela TQS
Informática Ltda. e consolidado no mercado por seus mais de 20 anos de existência. Tem como
finalidade o desenvolvimento (análise estrutural, dimensionamento e detalhamento) de projetos
de estruturas de concreto armado ou protendido e alvenaria estrutural.
6.1. MODELOS MATEMÁTICOS
Os modelos matemáticos utilizados especificamente para análise do pilar-parede isolado
com geometria U estão apresentados na Figura 20. Entretanto, destaca-se que as diretrizes
utilizadas na construção desses modelos foram igualmente aplicadas às demais configurações
(seção U enrijecido e seção E) de pilar-parede analisadas nesse estudo.
O primeiro modelo matemático, Modelo 1, apresentado na Figura 20a, é caracterizado
por um elemento linear vertical posicionado no centro geométrico (CG) do pilar-parede,
discretizado por elementos do tipo Beam com 2 nós e regido pela teoria de Euler-Bernoulli, na
qual a deformação por cisalhamento não é levada em consideração. Assim, em sua configuração
deformada, as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da peça.
45
Figura 20: Modelos matemáticos hierárquicos para o pilar-parede com seção transversal U –
(a) viga de Euler; (b) viga de Timoshenko; (c) malha de elementos de viga; (d) casca
Fonte: Autor (2019).
O Modelo 2, apresentado na Figura 20b, sugerido pela NBR 6118:2014 como alternativa
a análises mais complexas, também é caracterizado por um elemento linear vertical situado no
centro geométrico do pilar. De forma análoga ao primeiro, é discretizado por elementos do tipo
Beam com 2 nós cada. Porém, esse modelo é baseado na teoria de Timoshenko, na qual as
seções permanecem planas após sua deformação, mas não necessariamente perpendiculares ao
eixo longitudinal do elemento, devido à deformação por cisalhamento2.
O Modelo 3, apresentado na Figura 20c, tem nível de complexidade mais elevado
quando comparado aos anteriores. Neste modelo, são dispostos 5 alinhamentos verticais na
linha média de cada mesa e outros 7 na linha média da alma, representando seções transversais
2 Conforme visto no item 3.3 deste trabalho, o fator de forma para cisalhamento é função da geometria da seção
transversal e sua determinação pode ser complexa a depender da configuração analisada. Por isso, os fatores de
cisalhamento para as seções utilizadas nesse trabalho foram obtidos com auxílio do programa SHAPE-THIN,
especializado na determinação de parâmetros de seções transversais com paredes finas.
46
com dimensões de 15 x 37 cm e de 15 x 42,86 cm, respectivamente. Essa divisão foi adotada
com base na recomendação da norma NBR 6118: 2014, item 15.9.3, quanto à largura das faixas
verticais (ver Figura 6). Cada um desses alinhamentos é discretizado por elementos do tipo
Beam com 2 nós, conectados entre si por elementos de viga dispostos horizontalmente, com
seção transversal 20 x 60 cm, simulando a presença da laje como diafragma rígido.
Por fim, o Modelo 4, apresentado na Figura 20d, se caracteriza pela utilização de
elementos de casca com 16 nós. Como no modelo anterior, foram adicionados elementos de
viga, com seção transversal 20 x 60 cm, dispostos na horizontal ao nível dos pavimentos
simulando o diafragma rígido. Após análises de modelos matemáticos com diferentes graus de
discretização e verificação da convergência dos resultados, constatou-se que a utilização de
malha com 21 x 8 elementos na superfície da alma, e malhas com 21 x 5 elementos nas
superfícies das mesas, para a configuração de 7 pavimentos, é satisfatória. Já para a
configuração de 14 pavimentos, foi utilizada malha de 42 x 8 e 42 x 5 elementos para as
superfícies da alma e das mesas, respectivamente.
Por ser, ao menos em tese, o mais complexo e, portanto, que mais se aproxima da
realidade, o modelo discretizado por elementos do tipo Shell foi adotado como referência para
efeito de comparação dos resultados.
É importante destacar que nos modelos tridimensionais (Modelo 3 e Modelo 4) os
carregamentos foram aplicados no centro de cisalhamento da seção, pelo fato de que as frações
de carga, obtidas mediante utilização de programa de Stabile et al. (2017) específico para esta
finalidade, estão atreladas a esse ponto. Assim, utilizou-se do artifício de conectar o centro de
cisalhamento à alma da seção por meio de Rigid links, conforme apresentado na Figura 21. Nos
Modelos 1 e 2, a utilização desse recurso não foi necessária.
Os Rigid links são elementos de ligação rígida entre nós que estabelecem uma relação
de comando de um, o nó mestre, sobre o outro, o nó escravo. Essa relação de dependência é
consolidada por meio de equações especiais de restrição. Assim, quando o nó classificado como
mestre sofrer deslocamento, seja por translação ou rotação, o nó escravo será submetido às
mesmas condições, de modo que a distância entre ambos permaneça constante.
47
Figura 21: Rigid link – ampliação da Figura 20c
Fonte: Autor (2019).
6.2. AÇÕES HORIZONTAIS
As forças de vento foram calculadas conforme preconiza a NBR 6123:1988 – Forças
devidas ao vento em edificações. Para a análise desenvolvida, foram utilizados somente os
dados de força a 90º, uma vez que essa se constitui a direção de maior inércia do elemento
estrutural ora em análise, o pilar-parede. Devido à variação do fator S2, o vento foi considerado
como uma ação variável ao longo da altura da edificação, porém, linearmente variável ao longo
de um mesmo pavimento. Os parâmetros empregados na determinação das intensidades da
referida ação estão apresentados a seguir:
⎯ Terreno plano: fator topográfico (S1) igual a 1,0;
⎯ Edificação residencial: fator estatístico (S3) igual a 1,0;
⎯ Localização: Natal. Velocidade básica do vento (V0) igual a 30 m/s;
⎯ Rugosidade do terreno: zona urbanizada. Categoria IV;
O edifício, tanto em sua configuração com 7 quanto com 14 pavimentos, pertence à
classe B, uma vez que a maior dimensão de sua superfície frontal, que para estes casos é a altura
e está compreendida entre 20,00 e 50,00 metros.
Os coeficientes de arrasto (Ca) para edificações paralelepipédicas em vento de baixa
turbulência foram extraídos da NBR 6123:1988 e estão apresentados na Tabela 1 em função
48
das características geométricas das edificações analisadas. Os módulos das forças horizontais
em cada nível de laje são apresentados na Tabela 2.
Tabela 1: Coeficientes de arrasto em vento de baixa turbulência
Edificação 𝐋𝟏
𝐋𝟐⁄ 𝐇
𝐋𝟏⁄ Ca
7 pavimentos 1,4 1,4 1,27
14 pavimentos 1,4 2,8 1,38
Fonte: Autor (2019).
Tabela 2: Forças horizontais resultantes nas lajes dos pavimentos [kN]
Pav. Altura (m) Quant. de pavimentos
7 14
1 3,00 14,5 15,6
2 6,00 19,4 21,1
3 9,00 21,5 23,4
4 12,00 23,1 25,2
5 15,00 24,6 26,7
6 18,00 25,8 27,9
7 21,00 13,2 29,1
8 24,00 - 30,0
9 27,00 - 30,9
10 30,00 - 31,8
11 33,00 - 32,4
12 36,00 - 33,3
13 39,00 - 33,9
14 42,00 - 17,2
Fonte: Autor (2019).
A força resultante nas lajes dos pavimentos foi determinada com base na altura de
influência de cada pavimento. Isso explica o fato de o módulo da força aplicada às lajes de
cobertura ser sempre inferior à verificada no pavimento subjacente, já que sua altura de
influência é metade do pé esquerdo, logo, 1,50 m.
49
Para melhor apresentação dos resultados, os tópicos subsequentes estão divididos em
função da geometria do pilar-parede em análise.
6.3. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U
• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal U
A distribuição das ações laterais, determinadas por meio do código computacional
desenvolvido por Stabile et al. (2017) com a aplicação das ações de vento FX, indicadas na
Tabela 2, na fachada do edifício, resultou na seguinte configuração de carregamento para o
pilar-parede:
Tabela 3: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U
Pav. Altura (m) 7 pavimentos 14 pavimentos
Força Torsor Força Torsor
1 3,00 9.702,8 1.046,4 17.683,5 2.524,4
2 6,00 12.993,0 1.013,9 22.256,5 2.235,3
3 9,00 14.085,3 816,4 22.603,7 1.578,2
4 12,00 14.506,5 696,3 21.828,1 1.083,9
5 15,00 14.558,8 652,7 20.461,6 763,5
6 18,00 13.649,9 578,4 19.591,3 613,7
7 21,00 343,0 -661,4 18.219,5 475,3
8 24,00 - - 17.190,4 434,2
9 27,00 - - 15.834,8 391,4
10 30,00 - - 14.973,0 434,7
11 33,00 - - 13.074,8 409,1
12 36,00 - - 10.372,7 349,9
13 39,00 - - 5.637,2 129,7
14 42,00 - - -12.478,2 -910,6
Fonte: Autor (2019).
Observa-se que para o edifício com 7 pavimentos, as forças horizontais são todas
positivas, agindo no mesmo sentido, enquanto que para o edifício com 14 pavimentos, somente
a força no último pavimento apresenta mudança de sinal, indicando que os pórticos passaram a
atuar na restrição ao deslocamento lateral.
50
• Parâmetros geométricos do pavimento-tipo
Os parâmetros geométricos do pavimento-tipo para o caso de pilar-parede com
geometria U estão apresentados na Figura 22.
Figura 22: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U
Fonte: Adaptado de Araújo (2014).
• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal U
O resultado analítico baseado na teoria de Euler-Bernoulli foi obtido em Timoshenko e
Gere (1984). O deslocamento no topo do elemento estrutural é dado pela seguinte expressão:
δ =P x2
6 EI(3L − x) (5)
Sendo,
P a força concentrada aplicada no pilar-parede;
51
L a altura total do pilar-parede;
EI o módulo de rigidez à flexão; E = 26.838,400 MPa; I = 1,4655 m4;
X a distância entre o ponto de aplicação da força concentrada e a base do pilar-parede.
Convém destacar que todas as menções a deslocamento se referem aos deslocamentos
horizontais no topo do pilar-parede na direção das forças solicitantes, FX.
As forças consideradas para cálculo do deslocamento no topo do pilar-parede são as da
Tabela 3. Utilizando-se do Princípio da Superposição dos Efeitos, o resultado analítico para o
deslocamento horizontal provocado pelas forças horizontais atuantes (FX) nos níveis das lajes
para o edifício com 7 pavimentos foi 0,238 cm; para o edifício de 14 pavimentos o deslocamento
calculado foi 3,223 cm.
A distribuição dos alinhamentos verticais na seção transversal do pilar-parede pode ser
observada na Figura 23.
Figura 23: Decomposição da seção transversal em
alinhamentos verticais no pilar-parede em formato U
Fonte: Autor (2019).
A Figura 24 apresenta o Modelo 3 para o pilar-parede com geometria U e configuração
de 7 e 14 pavimentos, tanto na situação inicial indeformada quanto na situação deformada de
pós-processamento.
52
Figura 24: Modelo 3 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7
pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
As condições de contorno aplicadas na base do edifício indicam impedimentos aos
deslocamentos lineares e rotacionais nas três direções; e restrições ao deslocamento vertical e
às rotações geradas por torção ao nível dos pavimentos.
A Figura 25 apresenta o Modelo 4 para o pilar-parede com geometria U e configuração
de 7 e 14 pavimentos.
A Figura 26 exibe o modelo tridimensional do edifício de 7 pavimentos com pilar-
parede de seção transversal U analisado por meio do sistema TQS.
53
Figura 25: Modelo 4 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7
pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
Para fins de comparação, os deslocamentos obtidos pelo processamento dos modelos
são apresentados sob a forma de tabelas, com a indicação do erro conforme a Eq. (6).
Convém destacar que o erro aqui tratado diz respeito à diferença entre os valores de
deslocamentos avaliados para os modelos matemáticos 1 e 2, e a resposta analítica.
Erro =Deslocamentomod. i−Deslocamentoreferência
Deslocamentoreferência× 100 (6)
Os resultados dos modelos unidimensionais (Modelo 1 e Modelo 2) são validados pela
solução analítica (conforme mostra a Tabela 4) e, assim como os resultados do Modelo 3, são
também comparados ao obtido pelo modelo abrangente (Modelo 4).
54
Figura 26: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 7 pavimentos
e pilar-parede com seção transversal U
Fonte: Autor (2019).
Analisando a Tabela 4, verifica-se que os resultados do Modelo 1, obtidos por
processamento via MEF, como esperado, coincidem com as respostas analíticas desenvolvidas
com base na teoria de Euler-Bernoulli. Pelo mesmo motivo, os erros indicados para os
resultados do Modelo 2, considerando as deformações por cisalhamento, são justificados.
Atesta-se, portanto, a validade dos modelos unidimensionais.
Tabela 4: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção
transversal U
Modelo Mod. Mat. 7 pav. 14 pav.
Desloc. (cm) Erro Desloc. (cm) Erro
Analítico 0,238 3,223
MEF 1 0,238 0,00% 3,223 0,00%
2 0,258 8,24% 3,301 2,41%
Fonte: Autor (2019).
55
As tabelas 5 e 6 indicam os deslocamentos horizontais no topo do edifício obtidos para
cada um dos modelos via MEF para 7 e 14 pavimentos, respectivamente. Os erros calculados
segundo a Eq. (6), em relação aos modelos 1, 2 e 3, foram determinados tendo por base a
resposta do Modelo 4 (abrangente). Os valores destacados em verde representam, por sua vez,
o erro da resposta aproximada do Modelo 4 com a obtida pelo código de Stabile et al. (2017).
Tabela 5: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U –
edifício com 7 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 0,238 -10,19%
2 0,258 -2,64%
3 0,312 17,74%
4 0,265 -19,70%
Cód. Stabile et al. (2017) 0,330
Fonte: Autor (2019).
Tabela 6: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U –
edifício com 14 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 3,223 -3,36%
2 3,301 -1,02%
3 1,246 -62,64%
4 3,335 -10,40%
Cód. Stabile et al. (2017) 3,722
Fonte: Autor (2019).
Sabe-se que para o edifício com menor relação altura/comprimento, a deformação por
efeito de cisalhamento é mais significativa que na situação do edifício mais esbelto (maior
relação altura/comprimento), no qual predomina a flexão. Isto pode ser verificado para o
Modelo 1, sem a consideração de cisalhamento, que a resposta mais satisfatória corresponde ao
do edifício com 14 pavimentos (erro de 3,36%). Para avaliar a resposta com influência do
cisalhamento, basta comparar as diferenças entre a resposta do Modelo 1 e a do Modelo 2
mostradas nas Tabelas 5 e 6. Verifica-se que há uma redução maior na diferença da estrutura
com 7 pavimentos (passando de 10,19% para 2,64%), o que indica que a resposta mais
satisfatória é a que considera o efeito de cisalhamento. Comportamento semelhante pôde ser
56
observado quando se tem 14 pavimentos (decaimento de 3,36% para 1,02%, porém, menos
significativo).
Destaca-se que o Modelo 3 fornece resultados insatisfatórios, evidenciados por sua
configuração deformada, ver Figura 24, e pela discrepância nos valores de deslocamentos em
comparação ao modelo abrangente. Portanto, conclui-se que ainda necessita de melhorias.
Os erros calculados pela comparação entre os resultados dos modelos de casca e os
obtidos pela aplicação do código de Stabile et al. (2017) indicam uma resposta mais próxima
desse último. Esse comportamento se justifica pela contribuição dos pórticos e da parede
estrutural na rigidez do sistema que está sendo considerado no Modelo 4.
Finalmente, a título de avaliação da ordem de grandeza dos deslocamentos no topo do
edifício, apresenta-se o deslocamento resultante no topo do pilar-parede fornecido pela
modelagem no TQS, Figura 26, que foi de 0,262 cm para o edifício de 7 pavimentos e 2,362
cm para a configuração de 14 pavimentos.
Neste caso, a comparação entre os resultados do Modelo 4, da estrutura com 7 e 14
pavimentos e o TQS, mostra que o mais satisfatório foi o comportamento do edifício com 7
pavimentos que produziu um erro de 1,15% em detrimento daquele obtido para 14 pavimentos
(41,19% de diferença).
6.4. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ENRIJECIDO
• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal U enrijecido
A distribuição das ações laterais nos elementos de contraventamento resultou na
configuração de carregamento para o pilar-parede apresentada na Tabela 7.
Semelhantemente ao observado para o pilar-parede U, a força atuante no 14o pavimento
do edifício teve seu sentido alterado, indicando o trabalho dos pórticos e parede estrutural na
restrição ao deslocamento lateral da estrutura.
57
Tabela 7: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U enrijecido
Pav. Altura (m) 7 pavimentos 14 pavimentos
Força Torsor Força Torsor
1 3,00 9.177,2 2.050,5 16.052,0 5.022,2
2 6,00 12.556,6 1.932,3 20.894,1 4.334,3
3 9,00 13.807,5 1.532,9 21.718,8 3.021,9
4 12,00 14.350,8 1.291,1 21.355,2 2.040,3
5 15,00 14.489,4 1.202,7 20.296,9 1.401,2
6 18,00 13.709,6 1.067,5 19.612,4 1.092,1
7 21,00 1.373,7 -1.380,3 18.401,5 816,9
8 24,00 - - 17.449,2 730,3
9 27,00 - - 16.158,2 647,4
10 30,00 - - 15.291,7 730,4
11 33,00 - - 13.435,9 689,6
12 36,00 - - 10.810,7 590,0
13 39,00 - - 6.284,9 189,7
14 42,00 - - -11.157,7 -1.801,7
Fonte: Autor (2019).
• Parâmetros geométricos do pavimento-tipo
Os parâmetros geométricos do pavimento-tipo para o caso de pilar-parede com
geometria U enrijecido estão apresentados na Figura 27.
Figura 27: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-
parede de seção U enrijecido
Fonte: Autor (2019).
58
• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal U enrijecido
Novamente, o resultado analítico baseado na teoria de Euler-Bernoulli foi obtido em
Timoshenko e Gere (1984), valendo-se do Princípio da Superposição dos Efeitos, a partir da
Eq. 5. Para este caso, tem-se: E = 26.838,400 MPa; I = 1,6116 m4.
As forças consideradas para cálculo do deslocamento no topo do pilar-parede são as da
Tabela 7. Novamente, utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos, o deslocamento
horizontal analítico produzido pelas forças horizontais atuantes nos níveis das lajes para o
edifício com 7 pavimentos foi 0,223 cm; para o edifício de 14 pavimentos o deslocamento
calculado foi 3,091 cm.
A distribuição dos alinhamentos verticais na seção transversal do pilar-parede pode ser
observada na Figura 28.
Figura 28: Decomposição da seção transversal em alinhamentos
verticais no pilar-parede em formato U enrijecido
Fonte: Autor (2019).
O Modelo 3, de vigas verticais, para o pilar-parede com seção U enrijecido, nas
configurações de 7 e 14 pavimentos, pode ser observado na Figura 29.
59
Figura 29: Modelo 3 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada
de 7 pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
As condições de contorno impostas na base e ao nível dos pavimentos são iguais às
descritas para o pilar-parede U.
A Figura 30 apresenta o Modelo 4 (modelo de casca) para o pilar-parede com seção
transversal U enrijecido.
A Figura 31 mostra o modelo do edifício tridimensional analisado por meio do sistema
TQS e cujas respostas fornecem a ordem de grandeza dos deslocamentos horizontais no topo
dos edifícios em estudo.
Os resultados das análises são apresentados sob a forma de tabelas com indicação do
erro calculado a partir da Eq. (6).
A Tabela 8 apresenta o comparativo entre os deslocamentos obtidos mediante
processamento dos modelos unidimensionais em elementos finitos e as respostas analíticas pelo
modelo teórico de Euler-Bernoulli.
60
Figura 30: Modelo 4 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada
de 7 pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
Figura 31: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 14
pavimentos e pilar-parede com seção transversal U enrijecido
Fonte: Autor (2019).
61
Tabela 8: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção
transversal U enrijecido
Modelo Mod. Mat. 7 pav. 14 pav.
Desloc. (cm) Erro Desloc. (cm) Erro
Analítico 0,223 3,091
MEF 1 0,223 0,00% 3,091 0,00%
2 0,249 11,76% 3,197 3,41%
Fonte: Autor (2019).
Avaliando os resultados apresentados na Tabela 8, nota-se que os valores de
deslocamentos do Modelo 1 coincidem com as respostas analíticas conforme era esperado, uma
vez que compartilham as mesmas hipóteses. Quanto ao Modelo 2, comparando-se os valores
de erro verificados para essa configuração com os obtidos para a seção U (8,24% e 2,41% para
7 e 14 pavimentos, respectivamente), percebe-se que a deformação por cisalhamento no caso
de seção U enrijecido é ainda mais significativa.
As tabelas 9 e 10 contêm os resultados de deslocamentos no topo do pilar-parede com
seção U enrijecido para as configurações de 7 e 14 pavimentos, respectivamente. Para os
modelos 1, 2 e 3, o erro foi calculado com base nos resultados fornecidos pelo Modelo 4. Para
esse último, o erro foi calculado com base na resposta fornecida pelo código de Stabile et al.
(2017).
Tabela 9: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U
enrijecido – edifício com 7 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 0,223 -11,51%
2 0,249 -1,19%
3 0,282 11,90%
4 0,252 -23,87%
Cód. Stabile et al. (2017) 0,331
Fonte: Autor (2019).
62
Tabela 10: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U
enrijecido – edifício com 14 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 3,091 -4,10%
2 3,197 -0,81%
3 1,130 -64,94%
4 3,223 -12,75%
Cód. Stabile et al. (2017) 3,694
Fonte: Autor (2019).
Percebe-se, com base nas tabelas 9 e 10, que os resultados do Modelo 1 mostram melhor
aproximação para o edifício com 14 pavimentos (4,10%), indicando que a influência da flexão
é mais significativa do que para o edifício com 7 pavimentos (11,51%). O Modelo 2,
considerando a teoria de Timoshenko, apresenta valores próximos aos de referência com baixo
erro relativo, o que pode ser considerado satisfatório, principalmente, porque a diferença mais
relevante ocorreu entre o Modelo1 e o Modelo 2 para a estrutura com 7 pavimentos (passando
de 11,51% a 1,19%, respectivamente), ou seja, o comportamento governado pelo cisalhamento
é mais expressivo para esta situação. Essa característica se verifica, de forma semelhante, para
o caso de pilar-parede com seção U.
O Modelo 3 para essa configuração de pilar-parede também fornece resultados
insatisfatórios, sendo observadas as mesmas características descritas no modelo matemático
análogo para o caso de pilar-parede com seção transversal U. Sendo assim, conclui-se que essa
modelagem demanda aprimoramentos.
Nota-se, no erro relativo indicado para o Modelo 4, e calculado em comparação ao
resultado de Stabile et al. (2017), comportamento semelhante ao observado para o caso de pilar-
parede com seção em formato U. A diferença relativa se mantém na ordem de 24% para a
configuração de 7 pavimentos e 13% para a de 14 pavimentos. A melhor aproximação neste
último caso, ocorre porque tanto o código de Stabile et al. (2017), quanto o Modelo 4
consideram as rigidezes dos pórticos e paredes estruturais em suas as respostas.
Por fim, apresenta-se o deslocamento resultante no topo do pilar-parede fornecido pela
modelagem no TQS, Figura 31, que foi de 0,117 cm para o edifício de 7 pavimentos e 0,923
cm para a configuração de 14 pavimentos.
63
A comparação entre os resultados do Modelo 4 (da estrutura com 7 e 14 pavimentos) e
o TQS, demonstra que os efeitos tridimensionais tornam-se mais significativos na resposta do
TQS e que o Modelo 4 considerando o pilar-parede isolado, mesmo com as forças atuantes
indicando uma possível restrição ao deslocamento no topo do edifício gerada pelos elementos
de contraventamento, não consegue reproduzir.
6.5. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO E
• Parâmetros geométricos do pavimento-tipo
Os parâmetros geométricos do pavimento-tipo para o caso de pilar-parede com
geometria E enrijecido estão apresentados na Figura 32.
Figura 32: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção E
Fonte: Autor (2019).
64
• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal E
A distribuição das ações laterais nos elementos de contraventamento resultou, para o
pilar-parede com seção transversal E, na configuração apresentada na Tabela 11.
Tabela 11: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em E
Pav. Altura (m) 7 pavimentos 14 pavimentos
Força Torsor Força Torsor
1 3,00 9.693,0 959,7 17.655,3 2.270,3
2 6,00 12.988,5 965,6 22.241,8 2.083,2
3 9,00 14.084,3 796,7 22.598,4 1.505,3
4 12,00 14.507,3 691,9 21.828,2 1.062,4
5 15,00 14.559,8 652,4 20.464,5 773,5
6 18,00 13.649,8 575,3 19.595,5 641,1
7 21,00 350,6 -567,6 18.224,2 513,4
8 24,00 - - 17.195,2 476,0
9 27,00 - - 15.839,5 433,4
10 30,00 - - 14.976,9 471,8
11 33,00 - - 13.077,8 439,7
12 36,00 - - 10.374,3 371,3
13 39,00 - - 5.636,9 143,6
14 42,00 - - -12.473,3 -828,0
Fonte: Autor (2019).
Observação semelhante às que foram efetuadas em relação às forças atuantes nos
pilares-parede U e U enrijecido pode ser feita para o pilar-parede em formato E.
• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal E
Como mencionado anteriormente, o resultado analítico baseado na teoria de Euler-
Bernoulli foi obtido em Timoshenko e Gere (1984), valendo-se do Princípio da Superposição
dos Efeitos, a partir da Eq. 5. Para este caso, tem-se: E = 26.838,400 MPa; I = 1,4661 m4.
As forças consideradas para cálculo do deslocamento no topo do pilar-parede são as da
Tabela 11. O deslocamento horizontal analítico produzido pelas forças horizontais atuantes nos
níveis das lajes para o edifício com 7 pavimentos foi 0,238 cm; para o edifício de 14 pavimentos
o deslocamento calculado foi 3,223 cm.
65
A decomposição da seção transversal do pilar-parede em regiões de influência dos
alinhamentos verticais pode ser observada na Figura 33.
Figura 33: Decomposição da seção transversal em
alinhamentos verticais no pilar-parede em formato E
Fonte: Autor (2019).
O Modelo 3 para o pilar-parede com seção transversal E, nas configurações de 7 e 14
pavimentos, pode ser observado na Figura 34.
Em consequência de as condições de contorno impostas ao modelo matemático estarem
pouco legíveis, essas informações podem ser verificadas no detalhe apresentado na Figura 35,
que ilustra a região de apoio do pilar-parede e o nível do primeiro pavimento. Destaca-se que
as restrições de deslocamentos impostas são as mesmas descritas para o pilar-parede U e U
enrijecido.
A Figura 36 apresenta o Modelo 4 para o pilar-parede com seção transversal E nas
configurações de 7 e 14 pavimentos.
Os deslocamentos obtidos pelo processamento dos modelos são apresentados sob a
forma de tabelas, e o erro foi calculado com base na Eq. (6).
66
A Tabela 12 contém os deslocamentos horizontais dos modelos unidimensionais e exibe
o resultado comparativo desses valores com as respostas analíticas, calculadas a partir da Eq. (5)
considerando o modelo teórico de Euler-Bernoulli.
Figura 34: Modelo 3 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada
de 7 pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
Figura 35: Detalhe das condições de contorno – ampliação da Figura 34a
Fonte: Autor (2019).
67
Figura 36: Modelo 4 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;
(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos
Fonte: Autor (2019).
Tabela 12: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção
transversal E
Modelo Mod. Mat. 7 pav. 14 pav.
Desloc. (cm) Erro Desloc. (cm) Erro
Analítico 0,238 3,223
MEF 1 0,238 0,00% 3,223 0,00%
2 0,262 9,97% 3,317 2,92%
Fonte: Autor (2019).
Como observado nos casos anteriores, os resultados obtidos pela análise do Modelo 1
coincidem com as respostas analíticas, conforme era de se esperar. A redução do erro indicado
para a resposta do Modelo 2 na configuração de 14 pavimentos em relação à de 7 se justifica
68
pela atenuação dos efeitos de cisalhamento em comparação aos de flexão no comportamento
estrutural do pilar-parede.
As tabelas 13 e 14 exibem os valores dos deslocamentos horizontais no topo do pilar-
parede obtidos por cada modelo matemático, e o comparativo desses resultados com a resposta
do Modelo 4 (abrangente). O erro indicado para o Modelo 4 foi calculado adotando-se como
valor de referência a resposta fornecida pelo código de Stabile et al. (2017).
Tabela 13: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E
para – edifício com 7 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 0,238 -10,19%
2 0,262 -1,13%
3 0,297 12,08%
4 0,265 -19,70%
Cód. Stabile et al. (2017) 0,330
Fonte: Autor (2019).
Tabela 14: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E
para – edifício com 14 pavimentos
Modelo Deslocamento (cm) Erro
1 3,223 -3,27%
2 3,317 -0,45%
3 1,176 -64,71%
4 3,332 -10,45%
Cód. Stabile et al. (2017) 3,721
Fonte: Autor (2019).
Nota-se que os valores dos deslocamentos horizontais dos modelos 1 e 4, e os fornecidos
pelo código de Stabile et al. (2017) se assemelham aos apresentados para o caso de pilar-parede
com seção transversal U. Isso se justifica pelos valores dos momentos de inércia da seção U e
da seção E na direção do eixo paralelo às mesas serem próximos (1,4655 m4 e 1,4661 m4,
respectivamente). Assim, a diferença entre os valores de deslocamento, principalmente na
configuração de 7 pavimentos, se torna imperceptível em virtude do truncamento da resposta
em 3 casas decimais.
69
Em razão da semelhança de comportamento dos resultados ora apresentados com os
verificados anteriormente para os casos de pilar-parede com seção transversal em formato U e
U enrijecido, os comentários são semelhantes aos apresentados, não havendo, portanto,
necessidade de destaques adicionais. Contudo, em relação ao sistema TQS, observou-se para o
pilar-parede U enrijecido que as respostas estavam distantes das obtidas pelo código de Stabile
et al. (2017); portanto, para o pilar-parede em formato E, tais resultados não serão apresentados.
70
CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os deslocamentos obtidos a partir dos modelos unidimensionais, para todas as
configurações geométricas de seções transversais estudadas, apresentaram concordância
satisfatória com os oriundos do processamento do modelo de casca e, como já discutido
anteriormente, com as respostas analíticas.
Em todas as análises foi constatado que o Modelo 2, considerando a teoria de
Timoshenko, fornece resultados com pequeno erro relativo em comparação aos do modelo
abrangente, comportamento esse que já era previsto e reforça as imposições da NBR 6118:2014
e Eurocode 2 (2004) quanto à sua consideração.
Os resultados apresentados neste trabalho indicam que as deformações por efeito de
cisalhamento são tão significativas quanto mais curto/robusto for o elemento estrutural. Assim,
conclui-se que o comportamento do pilar parede, elemento estrutural que se destaca por seu
elevado módulo de rigidez à flexão e por ser submetido a forças cortantes de elevada
intensidade, na condição de ser robusto será representado adequadamente pelo modelo teórico
de Timoshenko.
Observa-se que o Modelo 3 apresentou resultados mais flexíveis em relação ao modelo
abrangente para todas as geometrias de seção transversal do pilar-parede com 7 pavimentos.
No entanto, nas configurações com 14 pavimentos, verificaram-se resultados demasiadamente
rígidos quando comparados aos do modelo abrangente. Portanto, conclui-se que o Modelo 3,
principal proposta de estudo deste trabalho, ainda requer ajustes a fim de melhorar sua
capacidade em representar adequadamente o comportamento do pilar-parede.
Por fim, é possível observar a influência da rigidez dos pórticos no comportamento do
pilar-parede conforme descrevem Wight e MacGregor (2009). Nas configurações de 14
pavimentos, há mudança no sentido de atuação da força horizontal solicitante no pilar-parede
ao nível do último pavimento (ver Tabela 3), indicando que os pórticos situados próximos ao
topo da edificação possuem rigidez suficiente para se constituírem um impedimento ao
deslocamento do pilar-parede. Assim, caracteriza-se, para representação do pilar-parede, o
modelo matemático de elemento viga engastada em uma extremidade e apoiada na outra.
Todavia, esse fenômeno não se verifica para os casos de 7 pavimentos, de modo que o modelo
matemático para esses casos é o de viga perfeitamente engastada e em balanço.
71
• Sugestões para trabalhos futuros
Como sugestão para trabalhos futuros, sugere-se:
⎯ Aperfeiçoar a modelagem a partir de uma malha de elementos unidimensionais;
⎯ Avaliar o comportamento do pilar-parede em edificações com diferentes alturas;
⎯ Avaliar a distribuição de esforços nos diversos elementos unidimensionais que
discretizam as lâminas do pilar-parede.
72
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