Prof. Daniel C. Zanotta

ANÁLISE POR COMPONENTES PRINCIPAIS (PCA) AULA 15

Daniel C. Zanotta

12/09/2017

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Conceitos básicos Espalhamento bi-dimensional: Indica o grau de correlação e a qualidade da informação associada entre duas bandas.

Scatterplot - Gráfico de Espalhamento

Conceitos básicos Espalhamento bi-dimensional para Bandas correlacionadas

Banda A

Ban

da

B

Imagens totalmente correlacionadas

Banda A

Ban

da

B

Imagens correlacionadas

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

255

255

255

255

Conceitos básicos Cálculo do índice de correlação:

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

cov( , ) cov( , )

var( ) var( )xy

x y

x y x y

x y

ρ = 1 Correlação positiva total ρ = -1 Correlação negativa total ρ = 0 Sem correlação entre as variáveis

2Var

2

1

( )

1

n

i

i

x

n

σ = desvio padrão

µ = média da distribuição

n = número total de termos

xi = elemento em questão

1

cov( , )n

i x i y

i

x y x y

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Banda 1 e 2

Banda 1 e 3

Banda 2 e 3 Landsat Cultivo RS 2009

Alguns exemplos de scatterplots entre bandas:

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Alguns exemplos de scatterplots entre bandas:

Banda 1 e 2

Banda 1 e 3

Banda 2 e 3 Landsat Cultivo RS 2009

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Alguns exemplos de scatterplots multitemporais:

Banda 1a e 1b

Banda 2a e 2b

Banda 3a e 3b

Landsat Cultivo RS 2009

Img

2

Img

1

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Componentes Principais Graficamente:

CP1

CP2

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Componentes Principais Graficamente:

CP1

CP2

CP3

AutoVetores

v1

v3

v2

BA

BB

Bc

Transformação por Principais Componentes

Imagem 1

Imagem

2

Rotação do eixo original de coordenadas para coincidir com as direções de máxima e mínima variância dos dados;

NCs nos eixos Imagem 1 e Imagem 2 são redistribuídos sobre um novo sistema de eixos PC1 e PC2

0 255

255

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES P

C2

PC1

Cálculo dos novos valores para cada CP:

Banda1

Ba

nd

a 2

0 255

255

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES P

C2

PC1

Os novos pontos são um por um rebatidos nos eixos correspondentes a cada uma das componentes principais.

CPs resultantes:

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

CP1 CP2

CP3 CP4

Auto vetores

Auto valores

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Objetivo: Produzir novas imagens que agreguem mais informações em um menor volume de dados (menor dimensionalidade)

Bandas Originais Principais Componentes

Análise por Componentes

Principais

Conceitos básicos A correlação entre as bandas de uma imagem gera redundância de informação; Prováveis causas da correlação

Sombreamento topográfico (afetas todas as bandas da mesma maneira);

Comportamento espectral de alguns alvos é similar entre as bandas (ex. Água).

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Transformação por Principais Componentes Reduz a informação redundante entre as bandas; Gera novas imagens descorrelacionadas (sem redundância de informação); Baseia-se nas propriedades estatísticas da imagem.

Imagem A

Imag

em B

Imagens não correlacionadas

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Imagem A

Imag

em B

Propriedades estatísticas das imagens Variância (²): Quadrado do desvio padrão. Grau de espalhamento dos NCs, define o contraste da imagem;

Covariância: Grau de correlação entre as bandas.

Matrizes de Co-variâncias

Cxy

²11

Grau de correlação entre duas bandas distintas

Variância

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Matriz de covariância da imagem original (exemplo Matlab):

Landsat Cultivo RS 2009 Imagem com 4 bandas

Variâncias por banda

B4 B3 B2 B1

B4

B3

B2

B1

Covariâncias

Covariâncias

Grau de correlação entre duas bandas distintas

M = cov(img_e74); *

* Utilizar a função e74 fornecida para passar os dados para o formato com bandas por coluna.

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Auto vetores V (exemplo Matlab):

Landsat Cultivo RS 2009 Imagem com 4 bandas

Coordenadas dos versores (vetores unitários)

VCP4 VCP3 VCP2 VCP1

B4

B3

B2

B1

[V , D] = eig(cov(img_e74));

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Alguns exemplos de matriz de covariância (auto valores): (exemplo Matlab)

Landsat Cultivo RS 2009 Imagem com 4 bandas

Variâncias por CP

CP4 CP3 CP2 CP1

CP4

CP3

CP2

CP1

Covariâncias

Covariâncias

As covariâncias são nulas porque não existe correlação entre as CPs (são ortogonais).

Cálculo dos novos valores para cada CP: Exemplo e-book. Tabela de Autovetores*:

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

* Tabela de valores invertidos em relação ao exemplo do Matlab. No Matlab os autovetores são representados na vertical em ordem contrária.

Observações importantes: A TCP é derivada da matriz de covariância entre as bandas;

O número de CPs é igual ao número de bandas espectrais utilizadas e são ordenadas de acordo com o decréscimo da variância;

A soma das variâncias das CPs é igual a soma das variâncias das bandas originais;

As imagens obtidas por TCP não podem ser interpretadas em termos de comportamento espectral de alvos;

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Observações importantes: A primeira CP (CP1) é uma imagem semelhante a uma vista pancromática da cena;

Ruído é uma informação não correlacionada, portanto, irá concentra-se nas últimas CPs;

Geração de uma composição colorida, geralmente, das CPs 1, 2 e 3;

Técnicas de realce (ampliação linear de contraste, equalização de histogramas, etc...) são aplicadas nas CPs para que a informação seja visualizada com o máximo de contraste.

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Aplicações:

Redução da dimensionalidade dos dados, as informações podem ser representadas em número menor de componentes; Pré-processamento para classificação; Pansharpenning

ANÁLISE POR PRINCIPAIS COMPONENTES

Construir scatterplots (diagramas de dispersão) para as 3 primeiras bandas do sensor TM usando a função “plot” : plot (img(:,:,1),img(:,:,2) ,'b.');

Criar uma função no Matlab para calcular as componentes principais de uma imagem qualquer;

Realizar a Transformação por Componentes Principais, utilizando as 3 bandas;

Visualizar as 3 CPs geradas e comentar suas características;

Gerar composição colorida RGB com as CPs 1,2,3;

Comparar a composição colorida CP1,CP2,CP3 com composições coloridas das bandas originais e relatar as diferenças da análise visual; Construir scatterplots (diagramas de correlação) entre as CPs e analisar;

Atividade: