Aplicação de Métodos Geoestatísticos Univariados e...

Aplicacao de Metodos Geoestatısticos

Univariados e Multivariados emProblemas de Mapeamento de Variaveis

de Solo e Plantas

Edson Antonio A. SilvaProf. PhD. Paulo J. Ribeiro Jr.

Universidade Federal do ParanaPrograma de Pos-Graduacao em Metodos Numericos em Engenharia

12 de marco de 2007

Edson Antonio A. Silva Prof. PhD. Paulo J. Ribeiro Jr. Aplicacao de Metodos Geoestatısticos Univariados e Multivariados

Geoestatıstica

A definicao exata da palavra nao consta dos dicionarios dalıngua portuguesa;

Muitos autores dao definicoes proprias. A nossa e: Conjuntode metodos relacionados a modelagem de fenomenosespacialmente contınuos.

Fazenda Mobasa

Area de reflorestamento com estudo em parcelas de inventariosflorestais contınuos, com plantio de Pinus da especie P.Taeda L.,localizada no municıpio de Rio Negrinho-SC, com area de 2.252hectares, onde foram levantados dados pedologicos, amostras paraanalises fısicas e quımicas do solo e dados relacionados aorendimento produtivo.

Problema Geoestatıstico

635000 636000 637000 638000 639000 640000 641000

63 pontos de analises Fısico-hıdricas e Quımicas, 18 pontos de analises Quımicas, 555 pontos de analise Fısica.

Tipos de Variaveis Agrıcolas

Propriedades Fısicas e Quımicas do solo;

Propriedades ambientais e regionais;

Propriedades das plantas;

Rendimento agrıcola.

Principais Aplicacoes Agrıcolas

Caracterizacao das correlacoes espaciais entre as variaveis;

Identificacao de diferentes areas de manejo;

Elaboracao de mapas de informacoes dos recursos naturaisdisponıveis, priorizando um conteudo tematico;

Elaboracao de mapas de previsao de rendimento agrıcola.

Geometria do Espaco Geoestatıstico

(xi ; yi ) : x ∈ R2, y ∈ R, i = 1, 2, . . . , n

xi : Localizacao espacial de uma coordenada (geo)referenciada

yi : Medida escalar ou vetorial de uma variavel, em uma coordenada.

Premissas

Definimos o processo estocastico S como um conjunto infinitoda variaveis aleatorias que descrevem um fenomeno em umaregiao do espaco. Esse processo e desconhecido.

Y e um conjunto finito de observacoes nessa regiao do espacoe corresponde a uma realizacao parcial do processo S .

Para os propositos desse trabalho Y e uma v. a. contınua.

As observacoes da variavel Y sao autocorrelacionadas. Asobservacoes mais proximas sao mais similares entre si do queas observacoes mais distantes, geograficamente;

O conjunto de observacoes yi nas localizacoes xi correspondea uma unica observacao do processo estocastico Y .

Como o processo estocastico Y envolve um conjunto devariaveis da mesma natureza, dizemos que o processo eunivariado.

Modelo Geoestatıstico Univariado

Y (xi) = µ(xi ) + S(xi ) + δi i = 1, 2, . . . , n.

Y (xi ) e uma v. a. com distribuicao normal.

E [Y (xi )|S(xi )] = µ(xi ) + S(xi )Var [Y (xi )|S(xi )] = τ2

µ(xi ) = α + β1d1(xi ) + β2d2(xi) + . . . + βpdp(xi ) e umatendencia espacial associada as variaveis externas dk(xi);{

S(xi ) : xi ∈ R2}

e um processo gaussiano multivariado commedia zero, variancia σ2 e funcao de correlacao ρ(·);

δi sao erros aleatorios i.i.d. tal que δi ∼ N(0; τ2).

Representacao Matricial do ModeloGeoestatıstico Basico

Para um modelo geoestatıstico basico temos:

Y ∼ MVN(Dβ, σ2R(φ) + τ2I)

Dβ e a representacao matricial de µ(xi );

σ2 e a variancia (constante no processo);

Rn x n e uma matriz de correlacao onde os elementos[rij ]n x n = ρ(‖xi − xj‖) = ρ(uij);

τ2 e a variancia do erro aleatorio δi .

Se Dβ = µ1 dizemos que o processo e estacionario no sentidoamplo

Quantificando a Dependencia Espacial

A VARIANCIA mede, de certa maneira, o quao diferentessao essas duas medidas.

(Y (xi ) − Y (xj)) da a diferenca de duas observacoes separadaspor uma distancia uij = ‖xi − xj‖

A variancia da diferenca das medidas ira descrever assimilaridades e dissimilaridades entre variaveis tomadas emlocalizacoes diferentes separadas por certa distancia.

Vamos as Contas

Var(Y (xi ) − Y (xj )) =Var(Y (xi )) + Var(Y (xj )) − 2 Cov(Y (xi );Y (xj))

Var(Y (xi )) = Var(µi + S(xi ) + δi ) = σ2 + τ2

Cov(Y (xi ); Y (xj)) = σ2ρ(uij)

..... substituindo .....

Var(Y (xi ) − Y (xj )) = 2(τ2 + σ2(1 − ρ(uij)))

2Var(Y (xi ) − Y (xj)) = τ2 + σ2(1 − ρ(uij))

γ(uij) = τ2 + σ2(1 − ρ(uij)) SEMIVARIANCIA

Semivariancia e Semivariograma

0 1 2 3 4 5

distancia (u)

− ρ(u)

1 − ρ(u)

τ + σ(1 − ρ(u))

τ + σ

γ(uij) = τ2 + σ2(1 − ρ(uij))

A Funcao de Correlacao

No modelo Y (xi ) = µi + S(xi ) + δi , a funcao de correlacao e a LEI

que estabelece a associabilidade entre os pares observacoesgeograficas do processo em estudo. Os principais aspectos dessafuncao sao:

CONTINUIDADE

DIFERENCIABILIDADE

ρ(0) ≤ 1 e limu→∞

ρ(u) = 0, tipicamente

Diferenciabilidade da Funcao de Correlacao

−2 −1 0 1 2

A forma da funcao de correlacao determina o quao suave pode sera variacao da informacao ao se dela afastar.

Efeito da diferenciabilidade: Um exemplo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Exemplo unidimensional simulado

FAMILIASPARAMETRICAS DE

FUNCOES DECORRELACAO

Famılia Matern

ρ(u, φ, κ) =1

2κ−1Γ(κ)

onde Kκ e a funcao modificada de Bessel (ver Abramowitz, 1965)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

distancia

κ = 0.5κ = 1.0κ = 2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

distanciaρ(

φ = 0.250φ = 0.188φ = 0.140

κ e um parametro de diferenciabilidade da funcao;

φ e um parametro de alcance pratico para a funcao.

Metodos de Estimacao dos Parametros doModelo

EXPLORATORIO:Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;

MINIMOS QUADRADOS:Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;

MAXIMA VEROSSIMILHANCA:Feito sobre o conjunto de observacoes;

BAYESIANO:Metodo computacionalmente intensivo;

Metodo da Maxima Verossimilhanca

O metodo consiste em maximizar a funcao de log-verossimilhancapara a funcao distribuicao conjunta fY (y1, y2, . . . , yn)

l(β, τ2, σ2, φ) ∝ −n2 log(σ2R(φ) + τ2I)−

−12(y − Dβ)T (σ2R(φ) + τ2I)−1(y − Dβ)

Y ∼ MVN(Dβ, σ2R(φ) + τ2I)Processo gaussiano multivariado.

Predicao Linear Espacial (Krigagem)

Suposicao ou conjectura sobre um resultado geo-localizado Y,desconhecido, que podera ou nao ocorrer conforme o valorpredito;

Prever um resultado em uma localizacao, com base em umnumero discreto (normalmente pequeno) de observacoesobtidas dispersamente na area (Krige, 1951);

Estimar, por regressao linear, baseado naquele modeloproposto inicialmente (Goovaerts, 1997).

Preditores por Mınimos Quadrados

Y (x0) =

ωiY (xi ) onde ωnx1 = C−1n x nDn x 1

C : matriz de autocorrelacao baseada nos pontos conhecidosdo processo Y;

D: vetor de correlacoes entre os pontos conhecidos e umponto x0 onde se deseja ser estimado Y (x0);

ω: peso aplicado a cada ponto Y (x0) tal que∑n

i=1 ωi = 1.

Journel & Huijbregts (1978) e Isaaks & Srivastava (1989)

Preditores Baseados em Modelos

E (Y (x0)|Y ) = µ + r′(τ2I + σ2R(φ))−1(y − µ1)

µ: media dos valores observados;

r: vetor de correlacoes entre os pontos conhecidos e um pontox0 onde se deseja que seja estimado y(x0);

y: valores observados do processo Y

Stein (1999); Schabenberger & Gotway (2005) e Diggle & Ribeiro Jr. (2006)

Mapa de Predicao (MOBASA)

635000 636000 637000 638000 639000 640000 641000

Mapa de predicao por krigagem ordinaria em 7176 coordenadas a partir de 18

locais observados.

Geoestatıstica Multivariada

Principais aplicacoes ...Associar a variacao espacial de uma variavel primaria com umconjunto de variaveis secundarias, nao necessariamenteposicionadas nas mesmas coordenadas;

Util para ampliar a quantidade de informacoes de uma variavelprimaria de difıcil medicao com informacoes de variaveis”baratas”que sejam correlacionadas com ela.

Premissa

Dados geoestatısticos multivariados nao precisam estar localizadosnas mesmas coordenadas para todas as variaveis.

Pontos azuis representam locais onde foi medida a variavel Y1 ;

Pontos vermelhos representam locais onde foi medida a variavel Y2 ;

Pontos pretos representam locais onde foram medidas as variaveis Y1 e Y2;

Modelo de Corregionalizacao

Para Journel e Huijbregts (1978) um fenomeno regionalizado porser representado atraves de algumas variaveis intercorrelacionadas,estudando-as simultaneamente.Sob a hipotese de estacionariedade, define a covariancia cruzada eo variograma cruzado como:

Ckk′(h) = E {Zk′(x + h) Zk(x)} − µk′µk

2γkk′ = E {[Zk′(x + h) − Zk′(x)][Zk(x + h) − Zk(x)]}

Estimadores da Corregionalizacao

Para Isaaks e Srivastava (1989) e Goovaerts (1997) a covarianciacruzada e a funcao de correlacao cruzada descrevem a relacaoespacial entre duas variaveis. Seus estimadores sao:

Cuv (h) = 1N(h)

(ij)|hij=h

uivj − mu(−h)mv(+h)

mu(−h)= 1

i |hij=h

ui e mv(+h)= 1

j |hij=h

γuv (h) = 12N(h)

(ij)|hij=h

(ui − uj)(vi − vj)

Corregionalizacao (Induzida por um modelo)

Para Diggle e Ribeiro Jr (2007)

Y1: Processo gaussiano estacionario primario.

Y2: Processo gaussiano estacionario secundario.

Modelo Bivariado plausıvel

Y1i = µ1 + σ01R0(φa) + σ1R1(φb) + τ1 i = 1, 2, . . . ,mY2i = µ2 + σ02R0(φa) + σ2R2(φc ) + τ2 j = 1, 2, . . . , n

Matriz de Covariancia

Cov(Y1;Y1) Cov(Y1;Y2)

Cov(Y2;Y1) Cov(Y2;Y2)

Predicao Espacial Bivariada

Predicao de uma variavel Y1 com o “apoio” de uma segundavariavel Y2 (co-variavel) tomada nas mesmas coordenadas naprimeira (Krigagem com co-variavel);

Predicao de uma variavel de interesse primario Y1 emcoordenadas de uma segunda variavel Y2, sabidamentecorrelacionada com a primeira (Co-Krigagem).

Co-Kigagem

Estimar a funcao de correlacao e os parametros de um modelobivariado (likBGCC) – Bivariate Gaussian Common

Componente Model (no geoR);

Predizer valores da variavel primaria nas coordenadas davariavel secundaria (ampliacao);

Predizer valores da variavel primaria em coordenadascompatıveis com a producao de um mapa.

Mapa de Predicao (MOBASA)

635000 636000 637000 638000 639000 640000 641000

Mapa de predicao por krigagem ordinaria em 7176 coordenadas a partir de 18

locais observados (esquerda) e por co-krigagem, a partir de 555 locais da

segunda variavel.

Objetivos

Ampliar a revisao bibliografica;

Focar propostas que adotem um conjunto de processosestocasticos gaussianos multivariados{S1(xi ),S2(xj), . . . Sp(xk) : i 6= j 6= . . . 6= k; p ∈ Z

+} nemtodos independentes;

Avaliar metodos multivariados (analise de componentesprincipais e analise fatorial) para a reducao no numero deprocessos.

Implementar computacionalmente a funcao MGCCM -Multivariate Gaussian Common Component Model;

Objetivos

Aplicar e comparar o metodo multivariado em estudo de caso;

Avaliar criticamente as estrategias de aplicacao de modelosmultivariados tomando como base dados simulados.

Estudo de Caso #2

COODETEC: Dados de pesquisa da Unioeste financiada peloCNPq em area de agricultura de precisao com 1,33 ha, localizadano Centro de Pesquisa Eloy Gomes da Cooperativa CentralAgropecuaria de Desenvolvimento Tecnologico e Economico Ltda,no municıpio de Cascavel-PR, cultivada com soja na safra 1998,onde foram coletadas 256 amostras de solo em grid semi-regular,para analise de atributos quımicos e dados de produtividade.

Fazenda COODETEC

Toolbox

Linguagem e ambiente operacional R;

Pacote geoestatıstico geoR;

Sistema operacional GNU/Linux.

Recursos computacionais sob licenca GPL (General Public Licence)

Referencias

ABRAMOWITZ, M. & STEGUN I., Handbook of

Mathematical Functions. 9.ed., New York: Dover, 1965.

DIGGLE, P. J. & RIBEIRO Jr P. J., Model-based Geostatistics.USA: Springer Series in Statistics, 2006.

GOOVAERTS, P., Geostatistics for Natural Resources

Evaluation. Oxford:, Oxford University Press, 1997.

ISAAKS, E. H. & R. SRIVASTAVE, M., Applied GEostatistics.New York: Oxford University, 1989.

JOURNEL A. G. & HUIJBREGTS Ch. J., Mining

Geostatistics. London: Academic Press, 1978.

KRIGE D. G., A Statistical Approach to Some Mine

Valuations and Allied Problems at Witwatersrand. Universityof Witwatersrand, 1951. Master’s thesis.

Referencias

R: A Language and Environment for Statistical Computing, RFoundation for Statistical Computing, Vienna:, 2006,http://www.R-project.org.

RIBEIRO Jr, P. J. & DIGGLE P. J., geoR: A package forgeostatistical analysis, R-NEWS, v01, n2, 2001,http://cran.r-project.org/doc/Rnews.

SCHABENBERGER O. & GOTWAY, A., Statistical Methods

for Spatial Data Analysis, New York: Chapman-Hall, 2005.

STEIN, M. L. Interpolation of Spatial Data: Some Theory for

Kriging. New York: Springer series in statistics. 1999.

WAKERNAGEL, H., Multivariate geostatistics: an

introduction with applications, 3.ed., Germany: Springer seriesin statistics, 2003.

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