Aplicações da

Gravitação

Aplicações da

GravitaçãoR. Boczko

IAG - USP

310105

Lançamento vertical

Lançamento vertical(nas proximidades do solo)

h0

h

h

v0

v

Plano de referência

Plano de lançamento

Plano de destinoh = h0 + v0 . t + g . t2 / 2

v = v0 + g . t

v2 = v02 + 2 . g . h

t = ( v - v0 ) / g

h = h - h0

+

gg - 9,8 m/s2 + g

Altura máxima no lançamento vertical

h0

hmáx

h

v0

Plano de referência

Plano de lançamento

Plano de destino

g - 9,8 m/s2

v = 0

g

+

Altura máxima

hmáx = h0 + v0 . t + g . t2 / 2

v = v0 + g . t

t = ( 0 - v0 ) / g

t = - v0 / g

v2 = v02 + 2 . g . h

02 = v02 + 2 . g . h

v02 = - 2 . g . h

v0 = - g . t

0 = v0 + g . tv = 0

h = hmáx - h0

Espaço percorrido

t = ( v - v0 ) / g

Tempo de subida

Princípio da inércia de Galileu

Princípio da Inércia( Galileu, 1564 - 1642 )

Um corpo abandonadotende a voltar à mesma

altura da qual foi abandonado.

Princípio da Inércia

Um corpo, sobre o qual nãoage nenhuma força, tende a

manter seu estado demovimento ou de repouso.

V VXForça Movimentoretilíneouniforme

Lançamento vertical desde uma plataforma móvel

v0

vH

v=0

vH- v

vH

v

vH

-v0

vH

Lançamento balístico

Lançamento balístico

v=0

vH- v

vH

v

vH

-v0

vH

v0

vH

Aceleração da gravidade é

constante com a altura?

A aceleração da gravidade e a altura

Será que no topo eu pesaria o mesmo que

aqui em baixo?

A aceleração da gravidade e a altura

g

g0

0 h

Chão Bem alto Muito alto

No topo deuma montanha

Princípios da Mecânica

Newton

Princípio da Inércia( Newton, 1642- 1727 )

V VXForça Movimentoretilíneouniforme

Qualquer corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme a menos que seja

compelido a mudar seu estado por meio de uma força externa.

F

0

Princípio fundamental da dinâmica

A força agente sobre um corpo é

proporcional à aceleração que o corpo

adquire.

F = m

Força

m

Princípio da ação e da reação

A cada ação corresponde uma reação de mesma intensidade e

de sentido oposto.

"Peso" de um corpo

O peso de um corpo é proporcional à

aceleração gravitacional que age

sobre o corpo.

P = m . g

mP

0 g

P

g

Solo

Por que a Lua gira em volta da Terra?

Newton, a Lua e a maçã

Por que a maçã cai e a Lua não?

Lua e Terra

Velocidade

Lua

Terra

Gravitação universal

Lei da atração gravitacional

F Fd

M m

F = G M m / d2

G = constante universal da gravitação = 6,67x10-11 m3.kg-1.s-2

M,m = massas dos corpos envolvidosd = distância entre as massasF = força de atração gravitacional

Aceleração gravitacional

Aceleração gravitacional

F Fd

M m

F = G M m / d2

gM = F / M

gM = [G M m / d2] / M

gM = G m / d2

gm = F / m

gm = [G M m / d2] / m

gm = G M / d2

Aceleração sobre o corpo M

Aceleração sobre o corpo m

Aceleração gravitacional em função da altura

Terra

h

R

g

d =

R +

h

M

gm = G M / d2

gm = G M / d2

gm = G M / (R + h)2

g0 = G M / (R + 0)2

Aceleração gravitacional na superfície da Terra

h = 0

g0 = G M / R2

Aceleração gravitacional na superfície da Terra

Terra

h

R

g

d =

R +

h

M

gm = G M / (R + h)2

g0 = G M / (R + 0)2

Aceleração gravitacional na superfície da Terra

h = 0

g0 = G M / R2

Relacionar g numa dada altura com o g0 na superfície

gm = G M / (R + h)2

g0 = G M / R2

g / g0 = [ R / (R + h) ]2

g / g0 = R2 / (R + h)2

Dividindo membro a membro:

‘Forças’ agentes num corpo orbitando outro

Força Centrípeta

Fc

Velocidade

Força Centrípeta e força gravitacional

Fc

Velocidade

C

Mm

A atração gravitacional!

Quem exerce a força centrípeta?

Força Centrípeta sobre a Lua

Fc

Velocidade

Lua

Terra

Acelerações atuantes sobre a Lua

Fc

Velocidade

Lua

Terra

g = GM/d2 c = v2 / d

Aceleração gravitacional

Aceleração centrípeta

"Prova" da Lei da Gravitação Universal

Relacionar aceleração gravitacional e centrípeta agentes

sobre a Luag = GM/d2 c = v2 / d

G = ?M = ?

g / g0 = [ GM/d2 ] / [ G M / R2 ]

g = g0 [ R / d ] 2

v = . d

= 2 / T

T = período de revolução da Lua em torno da Terra

v = d . 2 / T

c = (d . 2 / T)2 / d

c = 4 . 2. d / T2

g0 = 9,8 m/s2

R = 6.378 km

d = 384.000 km

g = 0,0027 m/s2

T 27,3 dias

c = 0,0027 m/s2

g0 = G M / R2 Na superfície da Terra

Velocidade circular

Fc

Velocidade

Lua

Terra

g = GM/d2

c = v2 / dvcirc = GM/d

g0 = G M / R2

vcirc = R g0 / d

c = g

v2 / d = GM/d2

Lançamento de foguetes

Tiro de Canhão

Velocidade

Loooonnngo tiro de canhão!

PN

Lançamento de foguetes

v = 0

v

v

vvertical = 0

vmáxFim docombustível

Per

íod

o a

cele

rad

o

Per

íod

o d

esac

eler

ado

Lançamento de satélites

v = 0

v

v

vvertical = 0vhorizontal

vmáxFim docombustível

Formas das órbitas de

corpos sujeitos à gravitação

Cônicas

Geratriz

Eix

o

Superfície cônica

Superfície cônica

Secções Cônicas

Ponto

Circunferência

Elipse

RetaReta

Parábola

Retasconcorrentes

Retasconcorrentes

GeratrizE

ixo

Hip

érb

ole

Trajetórias de um foguete

PN

Direção da velocidade de lançamento

Elípticav < vcirc

Circular

v = vcirc

Elípticavcirc < v < vparab

Hiperbólica

v > vparabParabólica

vparab = v = vparab = 2 vcirc

v

vc = GM/d

Aproveitando a rotação da Terra

Velocidade relativa

Varrasto

Vbola

Vbola

V0bserv = Vbola

V0bserv = Varrasto + Vbola

Freios

Impulso gratuito no foguete

PN

Varratro

Vfoguete

Varratro 0,5 km/s

Velocidade derotação da Terrano seu equador:

Velocidade de rotação da Terra

R

r

PN

PS

No equador:v = R

v

0 +90

Numa latitude v = R cos

R

rPN

Ve

qu

ad

or

Vla

titu

de

Satélites artificiais da Terra

A Terra e sua atmosfera

PN

Raio = 6.378 km

Altura da atmosfera~300 km

Atmosfera

Órbitas de satélites

Atmosfera300 km

6.378 km

Satélite debaixa altitude

400 km

Satélite de alta altitude

600 km

Altura = 36.800 km

Período = 23h 56m

Satélitegeoestacionário

Satélite/sondainterplanetário(a)

Órbita equatorial ou

polar

Órbita equatorial

Órbita polar

Órbita inclinada

Estação Internacional

Órbita de transferência

PN

v = 0

PN

v1 = vcirc

Órbitabaixa

Órbita de transferênciade mínima energia

(transferência de Hohmann)

v12 = velíptica

Órbitaalta

v2 = v’circ

Viagem interplanetária

Terra

Marte

Qual o melhor

caminho?

Trajetória mais curta

O caminho mais curto, caso os planetas permanecessem imóveis no momento da oposição.

Isso não existe!

T0M0

M1 T1

O caminho mais curto exigiria uma velocidade extremamente

elevada, para compensar a velocidade orbital da Terra.

Órbita mais curta, mas muito cara...

Marte0

$$$$$$$$$$$$$$$$$

T0M1

T1

A trajetória de uma astronave, dotada de altíssima velocidade inicial, poderia ser coberta em apenas dois meses.

Se combustível não fosse problema...

$$$$$$$$$$$M0

T0

M1 T1

Viagem econômica!Viagem econômica!

T0

Sol

M1

M0

T1

Órbita de transferência de

Hohmann:órbita mais econômica

entre duas órbitaselípticas

A astronave chegará em Marte 258 dias após seu lançamento.

Viagem econômica de ida a Marte

M0 T0

M2

T2

M1

T1

Em Marte, os astronautas deverão permanecer 454 dias,

aguardando outra janela para o vôo de regresso.

Permanência em Marte

M0

T1

M1

T0

Na viagem de volta, mais 258 dias para chegar na Terra.

Viagem econômica de retorno à Terra

M0

T0

M2

T2

T1

M1

Observando a maré

A maré!!!

Observando o nível do mar

Maré baixa

Maré altaNível do mar

Desnível entre as marés alta e baixa

Baixa-mar

Preamar

DesnívelNível médioAmplitude

Amplitude

Desnível = 2 * Amplitude

Períodos envolvidos com a maré

Intervalo de tempo entre marés

Baixa-mar

Preamar00h00m

03h06m

06h12m

09h19m

12h25m

15h31m

00h50m

03h56m

18h27m

21h44m

12h25m 12h25m

12h25m

Relação entre marés e posição da Lua no céu

Zênite

Meio-dialunar

PS

N S

E

W

Meia-noitelunar

Maréalta

Maréalta

Marébaixa

Marébaixa

Dia Solar e Dia LunarDia 1Meio-dia solar Meio-dia lunar

PS

Dia Solar e Dia Lunar

Dia Solar24h00m00s

Dia 2Meio-dia solar Meio-dia lunar

PS

Dia Solar e Dia Lunar

Dia Solar24h00m00s

Dia Lunar24h50m28s

Dia 2Meio-dia solar Meio-dia lunar

PS

Mudança diária no nível da maré

Baixa-mar

Preamar

Dia 1 2 3 4 5 6 7

Influência da fase da Lua sobre a altura da maré

Baixa-mar

Preamar

Dia 1 7 14 22 29

Luacheia

Luanova

Quartominguante

QuartoCrescente

Luacheia

Causa da maré

Atração Gravitacional( Newton )

F F

d

M m

F = G.m.M / d2

Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra

F

d

mM

F = G.m.M / d2

f m

D

f = G.m.M / D2

Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra elástica

Terra Lua

LuaTerra

d

F = G.m.M / d2

D

f = G.m.M / D2

Forças causadoras das Marés

PCD

F = G.M.m/d2

FPFCFD

M

Configuração instantânea das marés na superfície da Terra

Alta

Baixa

Alta

Baixa

Movimento diurno aparente da Lua

PS

Sentido da

rotação da Terra

Sentido da revolução

da Lua

LW

Seqüênciada Maré

1PS

2

PS

3

Glub-glub...

PS

4

PS

5PS

6

PS

Glub-glub...

7

PS 8

PS

Componentes da maré

Contribuição da maré solar e da

maré lunar

1

Solar

2,5Lunar

Marés marítimas e...

Marés Terrestres !

Marés marítimas

Estrutura Interna da Terra

Núcleo Interno

Núcleo Externo

Manto inferior

Manto superior

Crosta

Marés Terrestres

Magmapastoso

Placa

Lua

~ 15 cm

Magmapastoso

Placa

Placa

Placa

Placa

Efeitos das marés a longo prazo

A Terra estáA Terra estáparandoparandode girar !de girar !

Gravidade Marés

Rotaçãoda Terra

Ciclicidadedas marés

Atrito

Cal

or

Perda deenergia cinética

de rotação

TempoVel

oci

dad

e d

e ro

taçã

o

Per

íod

o d

e ro

taçã

o

+1s/ano

Translação da Terra daqui a ... muitos anos !

Sol

Translação atual da Lua

Quebra de satélites pelas marés

Deformação e/ou desmembramento

de Satélite Satélite

Satélite deformadopelas forças demarés

Satélitedesmembrado

M >>D <<

CometaShoemaker-Levy

Choque Shoemaker-Levy e Júpiter

Como se formam as Como se formam as estrelas?estrelas?

Pressão gravitacional

Existindo massa,existe atraçãogravitacional

Contração gravitacionalde uma nebulosa

Contração gravitacionalde uma nebulosa

F Fd

m m’

F = G m m’ / d2

Lei da atraçãogravitacional

A forma geométricade menor energia é a

esfera.

GásHidrogênio

De proto-estrela à estrela

Gestação de umaestrela

?

Nebulosainicial

Aquecimento da proto-estrela

Excitação

Ionização

Desexcitação

Fusãonuclear Energia

Elemento mais pesado

GásHidrogênio

Nascimento de umaestrela

Início dasreações de

Fusão Nuclear

Nasceu a estrela !

Nebulosainicial

Porque a estrelaPorque a estrelanão colapsa?não colapsa?

?

Temperatura

Frio

Quente

A Temperatura deum corpo mede ograu de agitaçãocaótica de suas

partículas.

Pressão Térmica

Arfrio

Balão commecha apagada

Devido à temperatura,existe a pressão térmica.

Mecha acesa

Pressões atuantes numa estrela

Partícula

Contraçãogravitacional

Vem...Expansão

térmicaVai...

(Des)equilíbrioEstático

PT < PG

Contração

PT = PG

Equlíbrio

PT > PG

Expansão

PT = Pressão Térmica PG = Pressão Gravitacional

Como são escobertos os planetas e os

buracos negros?

Evolução de estrelas dependendo de suas massas

Massas solares0,08 4 8

Tempode

Vida

PesoLeve

AnãBranca

(Planeta)PesoPena

PesoMédio

Estrela denêutrons

EstrelaSupernova

PesoPesado

BuracoNegro

Lançamento de corpos num campo gravitacional

Luz

Estrela Colapsada

BuracoNegro

BuracoNegro

Foto de um Buraco Negro

?

Representação geométrica de um

Buraco Negro

Geodésicas num espaço vazio

Geodésicas nasproximidades deum Buraco Negro

‘Massa’ de um fóton

Fóton E = mc2

fc

E = hfmc2 = hf

m = hf / c2

Horizonte de eventos

Geodésica

Horizonte de eventos:

Superfície que delimita a região do espaço em torno de um buraco

negro de modo que qualquer corpo (ou mesmo a Luz) que nele penetre,

não pode mais dele sair .

Forças de maré num Buraco Negro

gcabeça

gpé

BuracoNegro

Leis de

Kepler

Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

Um corpo ligado a outro, gravitacionalmente,gira em torno dele numa órbita elíptica.

Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

Um corpo ligado a outro gravitacionalmentegira em torno dele, com seu raio vetor

varrendo áreas iguais em tempos iguais.

Foco

AA tt

Movimento em torno do Centro de Massa Comum

1 1

2

2

3

3

44 CM

M m

dD

M d = m D

Sistema Binário de estrelas

CM

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Terceira Lei de Kepler

T’

m’r’

M

m

r

T

( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2

r 3 = [G/(42)] ( M + m ) T 2

Expressão correta:

( r / r’ )3 = ( T / T’ )2

r 3 = k T 2

Determinação das Massas das estrelas de um Sistema

Binário

r 3 = [G/(42)] ( M + m ) T 2

M d = m D

M , m

r = d + D

Voltando à descoberta dos planetas extra-

solares e dos buracos negros ...

Sistema Planetário

CM

12

3 4

5

1

3 4

52

m <<< mSol Planeta !

Sistema Binário de estrelas

?

3 4

1 2 5

12

3 4

5

m >>> mSol Buraco Negro !

Prova da Teoria da relatividade

através de um eclipse solar total

Geodésica

É a trajetóriapercorrida pela luz

Curvatura do UniversoUniverso

Vazio

Geodésicasretilíneas

m

Universonão vazio

Geodésicascurvas

Lente Gravitacional

Buraconegro

Foto departe do céu

Lentes gravitacionais

Deflexão da luz

Sol

Deflexão da luz

Sol

Lua

Comprovação:Eclipse Solar Total

de 29 mai 1919no Brasil

(por britânicos!)

Posição de uma estrela

Sol visto no céu

00:00

Início do Eclipse Solar Parcial

00:10

Eclipse Solar Parcial

00:20

Eclipse Solar Parcial

00:30

Eclipse Solar Parcial

00:40

Eclipse Solar Total

00:50

Posição desviada de uma estrela durante um

eclipse solar totalSolLua

Alguns eclipses importantes

28 mai 585 a.C. Primeiro eclipse previsto

18 jul 1860 Primeiro a ser fotografado

18 ago 1868 Primeira análise da composiçãoquímica dos gases das proeminências

07 ago 1869 Primeira foto e análise espectroscópicada coroa solar

29 mai 1919 Confirmação experimental da deflexão (1,75”) da luz num campo gravitacional, conforme previsto por Einstein.Observado em Sobral, Ceará, Brasil

Deflexão da luz nas

proximidades do Sol

Real Observada

E

d

d = 0,00407” / tan( E / 2 )

E ( o ) 0,25 0,5 1 2 5 10 20 50 90

d ( “ ) 1,866 0,933 0,466 0,233 0,093 0,047 0,023 0,009 0,004

Alguns valores de deflexão da luz

E = elongação da estrelad = deflexão da luz

Sol

Nossa Galáxia

Esquema da Galáxia

Aglomerado Globular

M 13

Diâmetro = 2000 ALEstrelas = 1.000.000

Galáxias

Andrômeda

Galáxia espiral

Galáxia Espiral Sb Diâmetro = 150.000 a.l. Distância = 2.000.000 a.l. 150 bilhões de estrelas Magnitude aparente = 3,5

AglomeradosAglomerados

de galáxias

Região central do Aglomerado de

Virgo

Distância = 40 milhões de AL(o mais próximo de nós)

Número de Galáxias = 2250

M86(elíptica)

M84(elíptica)

Aglomerado de Galáxias

Evidências de que o Universo não é

estático

Lei de Hubble (1929)V

elo

cid

ad

e R

adia

l da

ga

láx

ia

Distância até a galáxia

v

D

Observacional:As galáxias estão

se afastando de nós.

v = H D

50 < H < 100 (km/s)/Mpc

?c

Universo em Expansão

Passado

Presente

Futuro

Evoluçãodo

Universo

Origem (?) e Evolução do Universo

Big-bang

Ocorreu?

Como evoluiu?Como será o futuro?

Pré-big-bang (!?!) Pós-big-bang

Existia?Havia matéria?Havia energia?

Como era?Óvulo

primordial

“Big-bang”

Óvuloprimordial

Big-bang

Universoem

expansão

Como se comportao Universo?

Tipos de Universo em Expansão

Tempo

Rai

o d

o U

niv

erso Expansão

acelerada

Expansãofreada

Expansãolimitada

Expansãolinear

Pulsação

Comportamento do Universo

Expansãoindefinida

Expansão seguidapor contração

Velocidade

Determinante = massa do Universo

Universo Cíclico

Passado Presente

Futuro

Universo Pulsante

Big Bang

Rai

o d

o U

niv

erso

Tempo

Cicloatual

Big Bang Big Bang

Ciclofuturo

Big Bang

Cicloanterior

Hoje

Qual a causa dobig-bang?

Diferença entre Matéria e Anti-matéria

n0

p+

e-

(Koyno-)Matéria Anti-matéria

n0

p-

e+

Interconversão entre matéria e energia

m

aE

E E

m

a

E = (m+a) c2

Explicação para o Big Bang

Koino-matériaAnti-matériaLuz

Tempo

Rai

o d

o U

niv

erso

Hoje

m + a E E = m c2

Será que o Universo pode se comportar como um buraco

negro?

Fabricar um Buraco Negro !

?

BuracoNegroTerra

Para se tornar um Buraco Negro

Raio

Massa ? Raio de Schwarzschild:

R = ( 2GM ) / c2

Massa Raio Densid.Terra 6x1024 1 cm 1027

Sol M = 2x1030 3 km 1016

Estrela Pesada 10 M 30 km 1014

Galáxia 1011 M 0,03 AL 10-6

Universo ? ? ?

R=?

Relação entre tamanho e massa

R =

2G

M/c

2

Universo

Galáxia

Anã branca

Pulsar

Sol

Planetas

Asteróides

ÁtomosMoléculas

Núcleos atômicos Massa da estrutura

Tam

anh

o d

a es

tru

tura

Região decolapso

gravitacional

Buraco Negro

Estrela

Conclusão

Pode ser que Nosso Universose comporte como um

Buraco Negro

• Nada do que está dentro pode sair;• Para “outro” Universo, somos invisíveis.

Fim