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Matemtica
Financeira e
Comercial
Carlos Eduardo Epprecht; Roberto
Minello
CopyMarket.com Matemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht i
CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida sem a autorizao da Editora.
Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
Matemtica Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Contedo Programtico
Captulo 1 - Razo 1 - Introduo 2 - Razo
2.1 - Razes inversas.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 2 - Proporo 1 - Introduo 2 - Proporo
2.1 - Definio 2.2 - Propriedade fundamental das propores 2.3 - Outras propriedades das propores 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporo contnua 2.6 - Terceira Proporcional.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 3 - Grandezas proporcionais e Diviso proporcional. 1 - Introduo2 - Grandezas diretamente proporcionais.3 - Grandezas inversamente proporcionais.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introduo 2 - Casos de Regra de Sociedade.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
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Captulo 5 - Regra de trs simples 1 - Introduo 2 - Tipos de grandezas
2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 6 - Regra de trs composta 1 - Introduo
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 7 - Mdias 1 - Introduo 2 - Tipos de Mdias.
2.1 - Mdia Aritmtica 2.2 - Mdia Geomtrica 2.3 - Mdia ponderada 2.4 - Mdia harmnica
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 8 - Porcentagem. 1 - Introduo 2 - Elementos de clculo percentual.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 9 - Operaes sobre mercadorias 1 - Introduo 2 - Vendas com lucro
2.1 - Sobre o preo de custo 2.2 - Sobre o preo de venda
3 - Vendas com prejuzo3.1 - Sobre o preo de custo 3.2 - Sobre o preo de venda.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 10 - Juros Simples. 1 - Introduo 2 - Regime de capitalizao
2.1 - Regime de capitalizao simples. 3 - Clculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais
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5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo mdio. 7 -Taxa Mdia
x Exerccios de fixaox Exerccios propostos.
Captulo 11 - Descontos Simples 1 - Introduo 2 - Tipos de descontos
2.1 - Descontos comercial, bancrio ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relao entre desconto comercial e o desconto racional.
3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples
4 - Fluxo de caixa e Equivalncia de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalncia de capitais.
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 12 - Logaritmos. 1 - Introduo 2 - Definio 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudana de base 5 - Funo logartmica 6 - Logaritmos decimais
6.1 - Caracterstica 6.2 - Mantissa
x Exerccios de fixaox Exerccios propostos.
Captulo 13 - Juros compostos. 1 - Introduo2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal
3.1 - Taxa nominal 3.2 - Clculo de taxa efetiva
x Exerccio de fixao x Exerccio propostos.
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Captulo 14 - Desconto Composto 1 - Introduo 2 - Desconto racional composto
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 15 - Capitalizao e Amortizao 1 - Introduo 2 - Capitalizao Composta
2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Frmula do montante de uma renda imediata
2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Frmula de um montante de uma renda antecipada.
3 - Amortizao Composta 3.1 - Renda imediata
3.1.1 - Frmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada
3.2.1 - Frmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas
x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.
Captulo 16 - Emprstimos. 1 - Introduo 2 - Sistema Francs
2.1 - Montagem de uma planilha de amortizao 2.1.1 - Tabela Price
2.2 - Sistema de amortizao constante 2.2.1- Clculo do saldo devedor
2.3 - Sistema de amortizao misto
x Exerccios de fixaox Exerccios propostos.
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1. Razo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.
Esporte No de alunos Jud 50 Futebol 150 Natao 200 Handebol 50 Basquete 60 Nenhum esporte 90
Vamos analisar os dados da tabela acima atravs de alguns quocientes:
a) nmero de alunos que praticam natao nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natao.
b) nmero de alunos que praticam judnmero de alunos que jogam futebol Significado: O nmero de alunos que jogam futebol triplo do nmero de alunos que praticam jud.
c) nmero de alunos que praticam esporte nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.
2. Razo
Dados dois nmeros racionais a e b, com b 0, chamamos de razo ao quociente de a para b.Indicamos razo por
b
a ou a : b, onde a o antecedente e b o conseqente.
2.1. Razes inversas
Duas razes so denominadas de inversas, quando o produto entre elas igual a um.
3
1
600
200
3
1
150
50
20
17
600
510
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Exemplo: 12
1
1
2
2
1e
1
2 x
Exerccios resolvidos
1) Estabelea as razes entre os nmeros abaixo:
2 e 10; 0,1 e 0,01; 4
3e
2
1
Soluo:
A razo entre 2 e 10 5
1
10
2
A razo entre 0,1 e 0,01 1001,0
1,0
A razo entre3
2
6
4
3
4
2
1
4
32
1
4
3e
2
1 x
2) Calcule a velocidade mdia de um trem que percorre 120km em 3h.
Soluo:
Chamamos de velocidade mdia ao quociente entre a variao de espao e a variao de tempo.
hKmVmt
Sm /40
3
120V '
'
Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.
4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala Medida do desenho Medida real 1:250 10cm 25m 1:400 25cm x 1:600 y 75m
As medidas x e y so respectivamente:
Soluo:
Escala = comprimento no desenho
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comprimento real
x
25
400
1
x = 25 x 400 x = 10.000cm ou x = 100m
75600
1 y
600y = 75
ou125,0600
75myy
cmy 5,12
5) O estado de Gois tem uma rea aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma populao, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual a densidade demogrfica desse estado?
Soluo:
densidade demogrfica = nmero de habitantes rea
densidade demogrfica 2
76,11289.341
562.012.4
km
hab
Exerccios de fixao
1) Calcule a razo entre os nmeros:
a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 3
1e
2
1
2) Determine a razo entre a tera parte de 0,12 e o dobro de 0,1.
3) Determinar a razo entre 4cm2 e 2dm2.
4) (Unifor-CE) Se a razo entre dois nmeros 5
3 , a razo entre o quntuplo do primeiro e a tera
parte do segundo igual a:
a)9
1 b)
3
1 c) 1 d) 9 e) n.r.a.
5) Calcule a razo entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.
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6) (UDF) Um estado brasileiro tem a populao de 10 milhes de habitantes e uma mdia de 40 hab/km2. Qual a sua superfcie? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.
7) (TRF) Uma estrada est representada por 15 cm num mapa de escala 000.20
1 . O comprimento real
dessa estrada : a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam
8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distncia em 3,5h. Nas mesmas condies com a velocidade de 60km/h, quanto gastar para percorrer a mesma distncia?
9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de permetro. Se a razo entre as medidas 0,7, ento a rea desse terreno, em metros quadrados, igual a:
10) (IBGE) Observe o mapa de um stio na escala 1:10.000
O proprietrio do stio pretende cerc-lo com trs voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar igual a:
a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m
Exerccios propostos
1) Determine a razo entre os nmeros.
a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 3
5e
3
1
2) (E.E.Aer) O produto de duas razes inversas igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a.
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3) Num concurso pblico, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razo entre o nmero de reprovados e o nmero de candidatos de:
4) Multipliquei o antecedente de uma razo por 5 e dividi seu conseqente por 2. A razo ficou:
a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 b) multiplicada por 5 e) n.r.a. c) dividida por 10
5) (EPCAR) Chama-se densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea da mesma. Assim sendo, se a rea do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demogrfica for de 203 hab/km2, ento o nmero de habitantes dever ser:
a) superior a 1,5 x 106 d) exatamente a 1,3 x 106b) inferior a 1,1 x 106 e) aproximadamente 1,2 x 106c) superior a 1,3 x 106
6) (TTN) Num mapa, cuja escala 000.000.3
1 , a estrada Belm-Braslia tem 67cm. Calcular, em km, a
distncia real.
7) (TTN) Um automvel percorre a distncia de Braslia a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade mdia?
8) (UFMG) Dois caminhes-tanque carregam o mesmo volume de misturas de lcool e gasolina. A mistura de um contm 3% de lcool, e a do outro, 5% de lcool. Os dois caminhes descarregam suas cargas em um reservatrio que estava vazio. A razo do volume de lcool para o de gasolina na mistura formada no reservatrio, aps os caminhes terem descarregado:
a)25
1 b)
24
1 c)
16
1 d)
12
1 e) n.r.a.
9) O proprietrio de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que frao do terreno corresponde a rea total ocupada pela horta?
a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a.
400 500 50 40
10) Dois nmeros inteiros so tais que um deles igual quarta parte do outro. A razo entre o menor desses nmeros e a soma dos dois nmeros pode ser expressa pela frao:
a)5
1 b)
3
1 c)
4
3 d)
3
2 e) n.r.a.
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RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS
1) a) 31
62
b) 602
10100.
10
612
1002
1012
0,021,2
c)21
23
31
3231
9693
0,666...0,333... x
d)51
53
31
3531
x
2) b
3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O nmero de reprovados ser:
6000 1200 = 4800, logo a razo ser:
54k
60004800k
4) 1025
2
5.
bak
bakb
akbak xx x a alternativa correta a d
5)
x
eacorretaaalternativa
1.177.400habitantesde2035800habitantesde
5800
habitantesdenmero203
rea
habitantesdenmeroademogrficdensidade
oo nn
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6)
o
x
km010.2xou
cm000.000.201x
000.000.367xx
67
000.000.3
1
realocompriment
desenhonoocomprimentescala
7)h
km20,97mV
15
2729mV
2
15
729mV
t
smV x '
'
8) caminho A: 3% de lcool e 97% de gasolina
caminho B: 5% de lcool e 95% de gasolina
8% de lcool e 192% de gasolina
24
1k
%192
%8k
b
ak
a alternativa correta a b
9) 1000 m2 = 100.000 dm2500
1k
000.100
200k
000.100
504k x
a alternativa correta a b
10)
aacorretaaalternativ
5
1
5
1
4
44
1
a
ka
ak
aa
ak
ba
ak
abba
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Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
2. Proporo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
A proporo assunto de muita importncia na matemtica, como tambm, na vida.
Todo o estudo de aritmtica que fazemos tem por base a razo e a proporo, mostrando ao aluno suas aplicaes prticas.
2. Proporo
2.1. Definio
Chama-se de proporo a toda sentena que indica uma igualdade entre duas razes.
Podemos representar as propores das seguintes maneiras:
com (a, b, c, d racionais, no nulos).
L-se: a est para b assim como c est para d
2.2. Propriedade fundamental das propores
Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa.
d
c
b
a )0;;;( zx x dcbadacb
Numa proporo os termos so a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c so os meios e a e dso os extremos.
Exemplo:6
4
3
2 3 x 4 = 2 x 6 produto produto dos meios dos extremos
ou a : b = c : d ou a : b :: c : dd
c
b
a
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Exerccios resolvidos
1) Calcular o valor de x na proporo:10
12
5 x
Soluo: 610
6012510 x x xxx
Resposta: 6 x
2) Determinar o valor de y na igualdade: 6
5
2
3 y
Soluo 142
28y822y10182y1810-2y635)-2(y: x y
Resposta: 14 y
3) Obter o valor de x na proporo:x
2
3
1
2
1
3
Soluo:
9
5
18
10
3
1
6
10
1
36
10
6
103
6
523
2
6
5
32
6
23
3 x xx x xxxxxxxx
Exerccios de fixao
1) (ETAM-81) A proporo d
c
b
a pode tambm ser escrita:
a)d
b
c
a b) c
d
b
a c) d
c
a
b d) b
a
c
d e) n.r.a.
2) Calcule o valor de x na proporo:
a)3
1
2 x b)
x
1
2
5,0 c) x
4
3
12
1
d) 4
12
3
1
2
1
x
3) O valor de x na proporo
2
54
13
3
12
x
?
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Exerccios propostos
1) (PUC) Qual das seguintes equivalncias verdadeira:
a)c
dc
a
ba
d
c
b
a
b) bdacd
c
b
a
c) dbcad
c
b
a
d)cd
dc
db
ca
d
c
b
a
2) Calcule o termo desconhecido nas propores abaixo:
a)25,25
1 x
b)x
4
2
1
2
11 y
c)3
12
3
2
12
x
3) Determinar valor de M na proporo:
12 (0,25)1/2 M 0,666...
=
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2.3. Outras propriedades das propores:
P1 - Em toda proporo, a soma ou a diferena dos antecedentes est para a soma ou a diferena dos conseqentes, assim como um antecedente qualquer est para o respectivo conseqente.
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
aou 0;;; zdcba
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
aou 0;;; zdcba
P2 - Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois ltimos termos est para o 3o ou 4o termo.
0;;;ou z
dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
0;;;ou z
dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
P3 - Em toda proporo, o produto dos antecedentes est para o produto dos conseqentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer est para o quadrado do respectivo conseqente.
0;;;ou2
2
2
2
z
dcba
d
c
bd
ac
b
a
bd
ac
d
c
b
a
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Propores mltiplas:
Quando temos uma igualdade de trs ou mais razes, dizemos que se trata de uma proporo mltipla. Consideremos a srie de razes iguais:
,/ h
g
f
e
d
c
b
aento temos que: /
// hfdb
geca
h
g
f
e
d
c
b
a
Exemplo:
9
6
6
4
3
2 uma proporo mltipla pois:
9
6
6
4
3
2
963
642
ou
ou
De fato
9
6
18
12
6
4
18
12
3
2
18
12
e18
12
963
642
ou
ou
Generalizando, dada a srie de razes iguais:
f
e
d
c
b
a e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:
1)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
2)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
3)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
4)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
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Exerccios resolvidos
1) Calcule x e y na proporo 32
yx , sabendo que x + y = 15. Soluo:
Aplicando a propriedade P1, temos:
9455
35
15
332
630525
15
232
32yy
yyyx
xxxxyx
yx
Resposta: x = 6 e y = 9
2) Calcule o valor de x e de y na proporo 27
yx , onde x - y = 40.
Soluo:Pela propriedade P1, temos que:
16805
25
40
227
56280575
40
727
27yy
yyyx
xxxxyx
yx
Resposta: x = 56 e y = 16.
3) Determine os valores de p e q na proporo 3
8 q
p , onde p + q = 132.
Soluo:Observe que as incgnitas agora so antecedente e conseqente (e no antecedentes, como nos exerccios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.
3639611
3
11132
3
38
961056118
11132
8
38
3
8
qqqq
qp
pppp
qp
q
p
Resposta: p = 96 e q = 36.
4) Obter os valores de a e b na proporo 4
5 b
a , sabendo que a - b = 12.
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Soluo:
Aplicando a propriedade P2, temos:
48
4
112
4
45
605
112
5
45
4
5
bbb
ba
aaa
ba
b
a
Resposta: a = 60 e b = 48.
5) Uma substncia qumica composta de ouro e ferro na proporo 2 partes de ouro para cada 3 de ferro.Para fabricar 30g dessa substncia, quantos gramas de ouro e de ferro sero necessrios?
Soluo:Aplicando a propriedade P1, temos:
30
32
yx
e
yx
18905
35
30
332
1260525
30
232
yyyyyx
xxxxyx
Resposta: A substncia qumica formada por 12g de ouro e 18g de ferro.
6) Calcule os valores desconhecidos.
8
125
cba
cba
Soluo:Aplicando a propriedade das propores mltiplas, teremos:
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8
125
cba
e
cba
28414
8
1125
416424
8
2125
1040454
8
5125
cccccba
bbbbcba
aaaacba
Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.
7) Calcule os valores de x e y na proporo abaixo:
42
yx e xy = 96
Soluo:Aplicando a propriedade P3, teremos:
96
42
xy
e
yx
x x x x x
x
x x xx
381612
16128
169616968
168
96
442
34
48488
9649648
48
96
242
2222
2
2
2222
2
2
yy
yyyyyyx
x
xxxxxxyx
Resposta: 3834 yx e
Exerccios de fixao
4) Encontre o valor de a e b, onde 2e26
baba
5) Calcular x e y na proporo 23
yx , sabendo-se que x + y = 30.
6) Calcule o valor de x e y na proporo 3
2 y
x, sabendo-se que x + y = 15.
7) Calcule dois nmeros positivos cujo produto 24 e a razo entre eles 2 : 3.
8) A razo entre a idade do filho e a do pai de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades 72 anos, calcule a idade do filho.
9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente ser:
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10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 432
zyx , o valor de x :
11) Calcule o valor de x, y e z onde: 125
zyx e x - y - z = 6.
12) (E.E.Aer) O denominador de uma frao supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os
termos da frao de 1, a frao obtida resulta igual a 3
2 . Calcule o numerador da frao.
13) As dimenses de um terreno retangular esto na razo 8
5. Se a rea do terreno de 1000m2, ento
sua maior dimenso, em metros, mede:
14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e gua na proporo de uma parte de suco para trs de gua, fizemos 24 litros de refresco. Se tivssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporo de 2 partes de suco para 5 de gua, quantos litros de refresco teramos conseguido?
Exerccios propostos
4) (TCF) Sendo 52
ba , ento :
a)72
baa b) 25
bab c) 52
baa d) 105
bab e) n.r.a
5) Calcular x e y na proporo 23
yx , sabendo que x - y = 5.
6) Calcular x e y na proporo 3
2 y
x , sabendo que x + y = 10.
7) Se 189e37
xyyx , ento x - y vale:
8) Qual a frao equivalente a 2
3 cuja diferena entre seus termos 10?
9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contm lcool e gua na razo 14 : 5, ento o nmero de litros de lcool na mistura :
10) O nmero que diminudo de 3 unidades est para o seu consecutivo assim como 5 est para 6 :
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11) O complemento de um ngulo est para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ngulo.
12) A razo entre os dois nmeros 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor 42, o maior deles :
13) Determinar os valores de a, b e c, onde 257
cba e a + b - c = 60.
14) (Banco do Brasil) Uma herana de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre trs pessoas, de modo que
a parte da primeira corresponda aos 5
2 da parte da segunda e aos
4
3 da parte da terceira. Quanto
tocar a cada uma das trs pessoas?
2.4. Quarta proporcional
Sendo a, b e c trs nmeros racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses
nmeros um nmero x, tal que: x
c
b
a
Exemplo:Calcular a quarta proporcional dos nmeros 2; 5 e 8.
Soluo:
Temos: 204028
5
2 xxx
2.5. Proporo contnua
toda proporo cujos meios so iguais.
Exemplo:9
3
3
1
2.6. Terceira proporcional
uma proporo contnua.
Sendo a e b dois nmeros racionais, no nulos, denomina-se de terceira proporcional desses nmeros um nmero x tal que:
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Exemplo:x
b
b
a
Obter a terceira proporcional dos nmeros 2 e 4.
Soluo:
82
16162
4
4
2 xxxx
Exerccios resolvidos
1) Calcular a quarta proporcional dos nmeros 6; 5 e 9.
Resoluo:
x
9
5
6 6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5
2) Determinar a terceira proporcional dos nmeros 2 e 12:
Soluo:
x
12
12
2 2x = 12 x 12 2x = 144 x = 72
Exerccios de fixao
15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12
a) 20 b)2
5 c)
2
35 d) 320 e) 340
16) A terceira proporcional entre 2 e 7 :
a)3
49 b)
2
49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a.
17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os nmeros 5 e 6 :
a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a.
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Exerccios propostos
15) Calcule a quarta proporcional entre os nmeros:
a) 1; 2 e 5 b) 4
1e
3
1;
2
1 c)
2
1e2;1,0
16) Calcule a terceira proporcional entre os nmeros:
a) 2 e 3 b) 2
1e2 c)
5
1e
2
1
RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS
CAPTULO 2 Propores
1) a
2) a) 45,0x5
25,2x25,2x5
25,2
x
5
1
b)3
4x
3
22x
2
3
2x2x
2
3
2
14x
2
3
x
4
2
12
3
x
4
2
1:
2
11 x xx x
c)
x xx x
7,2x1027
x53
29
x
3529
x29
x35
233x
35
353
23x
312
3
212
x
3)
x x xx x
16M28M
2
1
8M8M
2
1
9
7225,0M
9
61225,0M
9
6
25,0
M
12
666,0
2/125,0
M
12
/
4) a
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5)
10y2
y
1
5
2
y
23
yx
15x3
x
1
5
3
x
23
yx
6)
xx x xx x
6y5
30y30y5310y5
3
5
y
10
3
32
y
yx
4x5
20x20x5210x5
2
5
x
10
2
32
x
yx
7)
x x x xx
x x x xx
x
129-21y- xde valor O
9y812y812y
21
18992y18992y219
2y
21
189
23
2y
37
yx
21x4412x4412x
21
189492x189492x2149
2x
21
189
27
2x
37
yx
189y xe3
y
7
x
8)
20
30eequivalentfraoA:R
02b2
1
b
10
2
23
b
ba
30a3
1
a
10
3
23
a
ba
10b-ae2
3
b
a
9)
xx x xx x
oo
litros.560delcooldelitrosdenmeroO:R
20019
800.3800.319576019
5
19
y
760
5
514
y
yx
56019
640.10640.10191476019
14
19
x
760
14
514
x
yx
5
14
y
x760y xyguaxlcool
yyyy
xxxx
10) 23x185x5x65x518x61x53x66
5
1x
3x
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11)
q Dq
Dq Dqq DD
Dq Dq
Dqx
Dqx
DqDq
DqoDqo
Do
452
909021802703
3270180903180131
18090
180lementosup
90ocomplement
nguloum
12)
x x
x
x xx
x
24nmeromaiorO:R
98
7224
8
3
8
3
247
1681687
4
168
4
34
1
42
4
3
1
428
64242
8
32422
8
3
8
3
aaaba
bbbbb
bb
bbbbbab
bab
a
13)
x x
x x
x x
1210
1201201026010
210
60
2257
3010
3003001056010
510
60
5257
4210
4204201076010
710
60
7257
cccccccba
bbbbbbcba
aaaaaacba
14)
x x
x x
x
x x
x x
000.28000.213
4
3
4
500.52000.212
5
2
5
000.2129
000.609000.60929
6
500.1016
6
8156500.101
3
4
2
5
3
4
4
3
2
5
5
2
500.101
zzxz
yyxy
xxx
xxxxxx
xzzx
xyyx
zyx
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15) a) 10xx
5
2
1
b)6
1x
1
2
12
1x
2
112
1
x12
1x
2
1
4
1
3
1x
2
1
x
4
1
3
12
1
x xx x
c) 1010
1
11
10
1
2
12102
1
2
10 xx x xxxx,x
,
16) a) 2
9x9x2
x
3
3
2
b)8
1x
2
1
4
1x
2
4
1
x4
1x2
2
1
2
1x2
x
2
1
2
1
2 x x
c)25
2x
1
2
25
1x
2
125
1
x25
1x
2
1
5
1
5
1x
2
1
x
5
1
5
12
1
x xx x
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Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
3. Grandezas Proporcionais e Diviso Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
Ocorrem no dia-a-dia situaes que envolvem nmeros tais como: tempo; espao; velocidade; presso; massa; volume; salrio; horas de trabalho; nmero de empregados etc. A cada uma dessas situaes mencionadas acima chamamos de grandeza.
Assim, o nmero de horas de viagem realizado por um automvel depende da sua velocidade e do espao a ser percorrido.
As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
2.1. Definio
Uma grandeza A proporcional a uma grandeza B, quando as razes entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto , sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;b3;...; bn), ento:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
a....
b
a
b
a
b
aK
K denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;
Exemplo:
Sejam as sucesses de nmeros (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)
2
1
6
3K
2
1
8
4K
2
1
10
5K
2
1
12
6K
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 2
1.
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3. Grandezas inversamente proporcionais
3.1. Definio
Uma grandeza A inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto , se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), ento:
K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bnExemplo:
1) Sejam as sucesses de nmeros (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):
K = 1 20 = 20 K = 2 10 = 20 K = 4 5 = 20 K = 5 4 = 20 Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 20.
Exerccios resolvidos
1) Verifique se as seqncias de nmeros abaixo so diretamente ou inversamente proporcionais.
a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)
Soluo:Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razo uma constante.
3
1
15
5
12
4
6
2 K
Logo, so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 3
1.
b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)
Soluo:
K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20 Logo, so inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade 20.
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2) Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Soluo:
32
60
yx
yx
361805
35
60
332
24120525
60
232
yyyyyx
xxxxyx
3) Divida o nmero 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Soluo:
3
1
2
1
20
yx
yx
8
3
243243
5
620
3
1
6
23
20
3
1
3
1
2
1
1222425
620
2
1
6
5
20
2
1
6
23
20
2
1
3
1
2
1
yyyyyyyx
xxxxxxyx
4) Divida o nmero 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.
Soluo:
4814
1256125614
1214
56
12122
814
11225614
214
56
2122
56
122
1243
212
x x
x
x x
yyyy
yyx
xxxx
xyx
yx
yx
x
x
5) Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4.
Soluo :
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2
1
4
12
3
1
3
11
x
x
y
x
2
1
3
1
60
yx
yx
Exerccios de fixao
1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma mquina em dlares com o tempo decorrido, em anos, aps sua fabricao:
Tempo aps a fabricao (anos)
0 1 2 3 4
Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500
De acordo com a tabela, verdade que: a) O tempo decorrido de fabricao diretamente proporcional ao valor; b) O valor inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a sua fabricao. c) O tempo de fabricao e o valor so duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decrscimo anual do valor da mquina inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a
sua fabricao. e) n.r.a.;
2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) so duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2
3) Duas grandezas, velocidade e tempo, esto relacionadas conforme a tabela:
Vm (m/s) 10 20 25 40
t (s) 20 10 8 5
a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Construir o grfico da velocidade em funo do tempo.
x
x
36
2
722722
5
3602
5
660
2
1
6
32
60
2
1
2
1
3
1
243
723723
5
660
3
1
6
5
60
3
1
2
1
3
1
yyyyyyyyx
xxxxxxyx
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4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas pores proporcionais aos nmeros 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m
5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126
6) Dividir o nmero 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 4
5 e 4
3 .
8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus trs scios, na proporo de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo scio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos scios.
9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razo direta de 8 e na razo inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razo direta de 9 e na razo inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?
10) (Banco do Brasil) A importncia de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razo direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razo direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.
11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianas, em partes que sejam ao mesmo
tempo diretamente proporcionais a 3
2e7
4 e inversamente a
9
4 e 21
2. Quantas balinhas cada
criana receber?
12) Dados os grficos cartesianos:
I) II) III)
Aqueles que indicam, respectivamente, que y diretamente proporcional a x; que y inversamente proporcional a x; e que s a variao de y proporcional a variao de x so:
a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. b) II; III; I d) III; II; I
y
x x
y
x
y
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Exerccios propostos
1) (PUC) Para que as sucesses (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto , para que se
verifiquem a igualdade 20
5
8
9 xy
, os valores de x e y devem ser respectivamente:
a) 2 e 36 b) 5
1
4
1e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a.
2) (F. Carlos Chagas) Se as seqncias (a; 2; 5) e (3; 6; b) so de nmeros inversamente proporcionais e
a + m b = 10, ento m igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0
3) Duas grandezas, espao e tempo, esto relacionados conforme a tabela abaixo:
s (m) 40 60 80 100
t (s) 2 3 4 5
Responda as perguntas abaixo:
a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboar o grfico do espao em funo do tempo.
4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos nmeros 6
1
3
1,2
1e , obtm-se
respectivamente:a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110
5) (Osec) A importncia de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os trs primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que so 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importncia que caber a cada um.
6) Dividir o nmero 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.
8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianas, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira.
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9) Um prmio de R$ 152.000,00 ser distribudo aos cinco participantes de um jogo de futebol de salo, de forma inversamente proporcional s faltas cometidas por cada jogador. Quanto caber a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?
10) Divida o nmero 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.
RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS
1)
xx x
x
acorretaaalternativA
2X2040
x40x2058x20205
8x
36y49y41
y9
205
y9
205
8x
y9
2)
x
x
dacorretaaalternativA
2
5
12
30301250122010
5
12410
5
12512
43
12123
5623
mmmmmmba
bb
aaa
ba
3) a) essas grandezas so diretamente proporcionais
b)h
kmts
mvk 205
100
4
80
3
60
2
40 ''
c)60
40
2 3
s(m)
t(s)
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4)
x
x
dacorretaaalternativA
zzzzzzyx
yyyyzyx
xxxxxzyx
zyxzyx
1106
6606
6
6660
6
1
6
123
660
6
1
6
1
3
1
2
1
2203
6603
6
6
660
3
1
6
1
3
1
2
1
3302
6602
6
66602
6
123
660
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
660
5)
x x
x x
x x
000.222z130
000.78037z000.78037z13037
130000.780
37z
374350zyx
000.258x130
000.78043y000.78043y13043y
130000.780
43y
374350zyx
000.300x130
000.78050x000.78050x130
50x
130000.780
50x
374350zyx
37z
43y
50x
000.780zyx
6)
x x
x x
163
484833683
5
6403
6
23
40
3
1
3
1
2
1
242
484822682
5
6402
6
23
40
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
40
yyyyyyyyx
xxxxxxxyx
yxyx
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7)
x x x
x
2013
102626
10
13
10
13
23
1346
10
13
13
1013
46
13
10
13
10
1
1
2623
1346
1
13
1013
46
1
13
10
1
1
13
10
1
1
31
1
1
1
46
bbbbbbba
aaaaba
ba
,
baba
8)
bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcrianas As:Rddcd
ccbcbbab
aaa
aaaaa
adadcdacacbc
abdcba
63115211
526466
46153115
314
1241244681924
192684192322115
32112111
216156
15
192
x
00012000605
5
1
00020000603
3
1
00030000602
2
1
00030000602
2
1
0006076
30000152
30
610151530
000152
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
000152
.e.eae
.d.dad
.c.cac
.b.bab
.aa.
a.aedcba
edcba.edcba
9)
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10)
x x x xx
x
xo
xo
245
260
2
560
2
5
11
1544
2
5
15
65
44
5
2
5
2
3
1
203
603603
11
15443
15
65
44
3
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
2
5
12
3
1
3
11
44
bbbbbbba
aaaaaaba
ba
b
a
ba
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CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida sem a autorizao da Editora.
Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se renem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um perodo de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuzos.
Os problemas de regra de sociedade sero resolvidos atravs das aplicaes dos casos de divises em partes diretamente proporcionais.
2. Casos de Regra de Sociedade
1o ) Capitais iguais e tempos diferentes
Neste caso, o lucro ou prejuzo da sociedade ser dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanncia dos scios.
Exemplo:
1) Trs pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?
Soluo:
a + b + c = 260.000
6
c
8
b
12
a
Aplicando a propriedade das propores teremos:
6
c
8
b
12
a
6812
cba
6
c
8
b
12
a 26
000.260
120.000a26
260.00012a260.0001226a
12
a
26
260.000
80.000b26
260.0008b260.0001226b
8
b
26
260.000
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.0006c26
260.0006c260.000626c
6
c
26
260.0000
R.: O primeiro scio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.
2o) Tempos iguais e capitais diferentes
O lucro ou prejuzo ser dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos scios:
Exemplo:
1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada scio?
Soluo:
a + b + c + d = 840
25
d
75
c
60
b
50
a
Aplicando a propriedade das propores teremos:
100d210
21.000d21.000210d84025210d
25
d
210
840
300c210
63.000c84075210c
75
c
210
840
240b210
50.400b50.400210b84060210b
60
b
210
840
200a210
42.000a42.000210a84050210a
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
25756050
dcba
x
x
x
x
3o) Tempos diferentes e capitais diferentes
Os lucros ou prejuzos sero divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada scio.
Exemplo:
1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro scio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo scio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro scio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada scio?
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Soluo:
a + b + c = 22.200
121.000
c
18800
b
151.200
a
Aplicando a propriedade das propores teremos:
6.000c2
12.000c12.0002c
12.000
c
2
1
12.000
c
44.400
22.200
7.200b2
14.400b14.4002b
14.400
b
2
1
14.400
b
44.400
22.200
9.000a2
18.000a18.0002a
18.000
a
2
1
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
12.00014.40018.000
cba
Exerccios de fixao
1) Trs pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada scio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.
2) Dois scios ao constiturem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na diviso do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada scio?
3) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro scio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada scio.
4) A, B e C formaram uma sociedade, o scio A entrou com o capital de R$ 2.000,00, scio B com R$ 1.500,00 e o scio C R$ 1.200,00 e tiveram um prejuzo de R$ 12.000,00. Sabendo que A ficou na sociedade 4 meses, B 8 meses, C 6 meses, qual foi o prejuzo de cada um?
5) (Banco do Brasil) Na constituio de uma sociedade, o scio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribudo o lucro final do exerccio, proporcionalmente s cotas do capital de cada scio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.
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6) Trs scios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negcio que deu de lucro R$ 12.000,00. O scio A
entrou2
1 do capital, B entrou com
3
1 do capital e C com o restante.
Determinar a parte do lucro que cabe ao scio B.
Exerccios propostos
1) Uma sociedade constituda por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro scio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo scio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada scio?
2) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuzo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuzo de cada scio.
3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois scios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.
4) (TTN) Dois scios lucraram com a dissoluo da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O scio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o scio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do scio A.
5) Um prmio de R$ 900,00 deve ser distribudo entre trs pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?
6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B esto entre si como 3 est para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuzo de R$ 311.100,00, calcular o prejuzo de cada scio.
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RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS
1)
x
x
200.1b900
000.080.1b000.080.1b900800.1600b900600b
900800.1
600a900
000.540a000.540a900800.1300a900
300a
900800.1
600b
300a
600300ba600b
300a
800.1ba
2)
x x
x x
x x
1955324700
60002000600020004700
20004700
6000
8991414700
60001500600015004700
12004700
6000
9153114700
60001200600012004700
12004700
6000
000250012001200015001200
000250012001
0006
,.accc
,.abbb
,.aaaa
.
c
.
b.
acba.
c
.
b.
a
.cba
3)
x
x
x x
50048
36000600068
60008000
6000
50018
12000200068
20008000
6000
200060002000
600020004150021000
6000
.aabb
.aaaaaba
bababa
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4)
x x
x x
x x
00016315
0001802800018028315
000180315
28
000180000315
00028
00012315
0001352800013528315
000135315
28
000135000315
00028
000135000180000135
0001800001351200015150009
00028
.a.
a.b
.
b.
b.
.
.a.
a.a
.
a
.
a
.
.
.
a
..
ba.
b.
a
.
b.
a
.ba
5)
x
200,00R$recebeupessoasegunda A :Rbbab
aaaaaa
ac
abcba
20010022
1009
900900990062
6
2
900
6)
x
x
x
x
506621161504371941003111
10031150437194110031121
5043719428
5100311
2
2
2
25
8
100311
2
2
225
3
100311
2
2
21
21
2
2
1
1
10031121
25
3
15
2
3
1
5
3
2
1
,.p,..p.,.p.pp
,.p.p
c
p
c
.
c
p
cc
.
c
pcc
ppc
pc
p.pp
cccc
c
c
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5. Regra de Trs Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
So problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para soluo dos mesmos consiste em formar com trs valores conhecidos e a incgnita procurada, uma proporo e dela tiramos o valor desejado.
2. Tipos de grandezas.
2.1. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razo.
Exemplo:
1) Um automvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automvel gastaria para percorrer 200Km?
Distncia litros de gasolina 120 10 200 x
gasolinadelitros66,16x1202000
x2000x12010200x120x
10200120 x
2.2. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razo que a primeira aumentou e vice-versa.
Exemplo:
1) Um nibus com a velocidade 60Km/h percorre a distncia entre duas cidades em 3h. Que tempo levar, se aumentar a velocidade mdia para 90Km/h?
velocidade mdia tempo velocidade mdia tempo 60 3 60 x 90 X 90 3
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h2x90
180x180x90360x90
3x
9060 x
Exerccios resolvidos
1) Se 4 operrios tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecero 6 operrios?
Soluo:Indicando por x a quantidade de metros que tecero os 6 operrios, temos a seguinte disposio prtica:
no de operrios metros de tecido 4 200 6 x
Se 4 operrios tecem 200m, mais a operrios tecero mais metros.
Nesse exemplo as grandezas so: nmero de operrios e metros de tecido, assinalamos essa variao na disposio prtica, atravs de flechas do mesmo sentido. A proporo resultante ser:
m300x4
1200x1200x46200x4
x
20064 x
Resposta: 6 operrios tecero 300 metros de tecido.
2) Seis operrios levam 12 dias para executar uma obra, 4 operrios, em quanto tempo faro o mesmo trabalho?
no de operrios dias 6 12 4 x
bvio que 6 operrios levam 12 dias, menos operrios demoraro mais dias para a execuo da obra. Como o tempo necessrio para realizar o trabalho inversamente proporcional ao nmero de operrios empregados, indicamos essa variao com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razo
6
4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporo:
no de operrios dias 4 12 6 x
dias18x4
72x72x4612x4
x
1264 x
Resposta: 4 operrios executaram a obra em 18 dias
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Exerccios de fixao
1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de gua. Em 15 dias, ingerir: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.
2) Um operrio constri um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operrio para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?
3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, tm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dar a menor, enquanto a maior d 10?
4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de rea, foram empregadas 250 lajotas de cermica. O nmero de lajotas iguais necessrio para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura ? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460
5) (ETF-SP) Num livro de 192 pginas, h 32 linhas em cada pgina. Se houvesse 24 linhas por pgina, o nmero de pginas do livro seria:a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128
6) (ETF-SP) Um piloto d uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levar em mdia: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min.
7) (ESA) Um automvel gasta 10 litros de combustvel para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustvel ser de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400
8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de gua por hora e enche certo reservatrio em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatrio.
9) Um relgio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasar em 2 dias?
10) Uma fbrica tem y de homens para execuo de um trabalho em d dias, tendo contratado mais rhomens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estar executado?
a)y
rd dias b)
ry
rd
dias c) ry
dy
dias d) yrd
dias e) yddy
dias.
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Exerccios propostos
1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessrios para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?
2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condies, executam em 10 dias?
3) Um nibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A at a cidade B em 2h. Nas mesmas condies e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastar para percorrer a mesma distncia?
4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e d 900 voltas, enquanto a roda menor d 1500 voltas. Qual o raio da roda menor?
5) (UDF) Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condies, em quanto tempo limpar uma rea de 11.900m2?
a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a
6) Uma turma de operrios executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?
7) (ETF-SP) A cantina da escola possua um estoque de hamburguer a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metr, alguns alunos faltaram e o estoque de hamburguer se tornou suficiente para mais 5 dias. O nmero de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350
8) (UFB)So necessrios 25 dias para que sejam asfaltados 3
2 de uma determinada estrada . Para se
asfaltarem5
3 dessa mesma estrada, so necessrios:
a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias
9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua
velocidade fosse igual a 5
2 da anterior, faria o mesmo percurso em?
10) Um acampamento com 10 soldados dispem de vveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estar abastecido o acampamento?
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RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) n de toques h
42 2
x 6
1262
25225226422
6
242 x xxxxx
2) horas dias 4 10 2 x
4 x
2 10
202
40402
102
4 xxxx
3) Vm h 80 2 100 x
80 x 100 2
36minhxh,xxx 16116102100
80
4) Raio voltas 75 900 x 1500
x 900 75 1500
45xxxx x x 15
75975915
1500
900
75
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5) rea hora 5100 3 11900 x
hxxxxx.
.
751
35735751119351
3
90011
1005 x
6) coeficiente dias de dificuldade
0,1 10 0,15 x
diasx,
,
x,x,x,
,
1510
150101501010
10
150
10 x x
7) alunos dias 1800 15 x 20
x 15
1800 20
d4501350-1800
50xxxx
x x 13
20
18001518001520
20
15
1800
8) dias asfalto
25 3
2
x 5
3
d12he22dias xoudias5,22x45x215x32
5325x
32
5332
x
25 x
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9) h/km,VmVmVmtsVm 5768
35
2400
60
35
40 ''
Vm tempo
68,5712
7
27,42 x
68,57 x
27,42 12
7
36seg27minhxh,x.
.
x
.x.xxx
,
,
146190432
77747
99947904327685727421212
768572742
12
74227
5768
x xx
10) n de soldados tempo 10 3 30 x
10 x 30 3
msxxx 13030330
10
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6. Regra de Trs Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
Consideremos o problema abaixo
1) Um operrio, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias?
Soluo: Temos a seguinte disposio prtica
(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 3 dias x 100 objetos 4 dias
Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que est o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparao. Nessa comparao devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a varivel x, sem a preocupao com os demais grupos.
a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo
Se 2h um operrio faz 50 objetos x 100 objetos
Portanto, se em 2h um operrio faz 50 objetos, mais objetos para fabricar sero necessrios mais horas. Regra de trs direta flechas com o mesmo sentido
b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo
Se 2h um operrio faz em 3 dias x 4 dias
Ora, se em 2h um operrio leva 3 dias, mais dias menos horas o operrio vai precisar. Regra de trs inversa flechas com sentido contrrios.
Para a resoluo final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporo:
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(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 4 dias x 100 objetos 3 dias
3x26
x6x232
x
2324
21
x
234
10050
x
2 x x
2) Na perfurao de um poo de 160m de profundidade, 40 operrios levaram 21 dias. Quantos dias 30 operrios levariam na perfurao de 200m de um poo igual ?
metros de profundidade no de operrios dias 160 40 21 200 30 x
Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessrios), ento essas grandezas so diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relao a nmero de operrios e dias necessrios, podemos dizer que essas grandezas so inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrrios.
Para resoluo do problema necessrio que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.
160 30 21
200 40 x
dias35x3
105x105x3215x3
x21
53
x
2143
54
x
214030
200160 x x x
Exerccios de fixao
1) Com 16 mquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas mquinas sero necessrias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?
2) Com uma bomba eltrica, eleva-se 2100 litros de gua altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregar essa bomba para elevar 6300 litros altura de 4m?
3) Se 15 operrios fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operrios sero necessrios para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada ser concluda em?
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo servio em 6 dias?
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6) Os 5
2 de um trabalho foram feitos por 24 operrios em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em
quantos dias poder terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operrios, e os restantes trabalham 6h por dia?
7) Seis operrios, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operrios sero necessrios para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?
8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famlias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famlias sero visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?
9) Doze mquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze mquinas, quantas horas sero necessrias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?
10) Dez operrios fazem 150m de uma construo em 18 dias de 8h de servio. Quantos metros 20 operrios faro dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?
Exerccios propostos
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguir extrair 5,6 toneladas de carvo?
2) Uma equipe de 20 operrios escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operrios dever ser acrescida a equipe?
3) Trs mquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 mquinas que operassem 11h por dia?
4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de leo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual ser o consumo do leo?
5) (C.N.) Vinte operrios constrem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operrios sero necessrios para construir a tera parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?
6) Um funcionrio, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatrios em 9 dias. Para que o mesmo funcionrio produza 65 relatrios em 6 dias, necessrio que ele aumente o seu trabalho dirio de um tempo correspondente a:
a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.
7) (CEF-) Numa grfica, 8 mquinas executaram um certo servio em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas mquinas trabalharem 8h por dia, executaro o mesmo servio em?
a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias
8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em mdia 8h/dia. Quantos dias sero necessrios para percorrer 2916km, sabendo-se que a mdia a ser rodada de 9h por dia?
a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias
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9) Vinte operrios, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?
10) Doze pedreiros constrem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operrios, durante 24 dias, para construrem 36m2 do mesmo muro?
RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS
1) homens dias toneladas 15 30 3,6
20 x 5,6
10 x 3,6 30 3 5,6
diasxxxx,
,
x35
72
8430843072
84
7230
65
63
15
2030 x x x
2) operrios m3 hora 20 640 8
x 500 5
20 640 5 x 500 8
252003
000800008032004000203200
4000
320020
8
5
500
64020 x x x.
.
x.xxxx
R: A equipe dever ser acrescida de 5 operrios.
3) mquinas horas parafusos 3 8 4800
7 11 x
4001524
48007748007724
4800
77
244800
11
8
7
3.xxx
xx x x x
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4) litros de leo rpm horas 20 1500 5
x 1800 3
litros,x.
.
x.xxxx
4145007
00010800010875005400207500
5400
750020
3
5
1800
150020 x x
5) n de dias hora operrios 20 45 6
x 15 8
x 45 6 20 15 8
45120
5400540012027020120
120
270
208
6
15
45
20 x x xxxxxx
R: Para construir a tera parte do muro sero necessrios 15 operrios.
6) hora relatrio dias
8 75 9 x 65 6
8 75 6 x 65 9
24min10h xou
h,xx.xxxx
x x 410
450
468068044505858450
585
4508
9
6
65
758
O funcionrio dever trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta a e
7) mquina dias hora
8 5 5 5 x 8
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8 x 5 5 5 8
cacorretaaalternativa5x85
58
5x x
8) distncia dias horas
4320 5 8 2916 x 9
4320 5 9 2916 x 8
bacorretaaalternativa
diasx.
.
x.x..x..
.
xx3
88038
6401166401168803832823588038
32823
880385
8
9
2916
43205 x x
9) operrios horas dias metros
20 8 18 300 16 9 x 225
16 9 18 300 20 8 x 225
diasx.
.
xx..
.
xx15
00036
0003618360001820043
00036
2004318
225
300
8
9
20
1618 x x xx
10) pedreiros m2 dias hora
12 27 30 8 16 36 24 x
16 27 24 8
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12 36 30 x
hx.
.
x.x..
.
xx10
36810
96012896012836810
96012
368108
30
24
36
27
12
168 x x xx
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7. Mdias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
Muitas vezes os professores utilizam a mdia para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatstica a mdia utilizada como medida de posio central destacando a mdia aritmtica como uma das medidas de tendncia central.
2. Tipos de Mdias
2.1. Mdia Aritmtica
A mdia aritmtica de vrios nmeros igual ao quociente da soma desses nmeros pelo nmero de parcelas.
Exemplo:
Calcular a mdia aritmtica dos nmeros de 2; 4 e 6 :
43
642 am
2.1. Mdia Geomtrica
A mdia geomtrica de vrios nmeros a raiz, de ndice igual ao nmero de fatores, do produto desses nmeros.
Exemplo:
Calcular a mdia geomtrica dos nmeros 4 e 25.
10100254 x gm
2.3. Mdia Ponderada
A mdia ponderada igual ao quociente da soma dos produtos de cada nmero pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.
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Exemplo:
Calcule a mdia ponderada dos nmeros 3; 4 e 5 cujo pesos so respectivamente 1; 2 e 2.
2,4521
51083
221 x252 x 41 x 3
pm
2.4. Mdia Harmnica
A mdia harmnica de vrios nmeros igual ao inverso da mdia aritmtica dos inversos desses nmeros.
Exemplo:
Calcular a mdia harmnica dos nmeros 2 e 4.
38
831
21
43
1
12431
124
121
241
21
1hm
x
Exerccios resolvidos
1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros abaixo:
a) 1; 2 e 3 b) 3
1;2
1 c) 0,1 e 2
Soluo:
23
6
3
321) ama
12
5
2
1
65
1
26
5
1
26
23
2
3
1
2
1
) x
amb
20
21
2
1
10
21
1
210
21
1
210
21
2
1
2
10
1
2
21,0) x
amc
2) Calcular a mdia ponderada dos nmeros abaixo:
2 e 3 cujos respectivos pesos so 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos so 1; 1 e 2
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Soluo:
a)3
8
3
62
21
2312 xx pm
b)4
13
4
832
211
241312 xxx pm
3) Calculando a mdia geomtrica dos nmeros abaixo:
a) 0,01 e 4
b) 254
1e
c) 1; 2 e 4
Soluo:
2,010
2
100
404,0401,0) x gma
5,22
5
4
2525
4
1) x gmb
228421) 3 333 xx gmc
4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros:
a) 2 e 3
b) 4; 5 e 6
Soluo:
4,25
12
12
5
1
2
1
6
5
1
1
26
5
1
1
26
23
1
2
3
1
2
1
1)
x
hma
4,86 x
37
180
180
37
1
3
1
60
37
1
1
360
37
1
1
360
101215
1
3
6
1
5
1
4
1
1) hmb
5) A mdia aritmtica dos 8 nmeros de um conjunto 20. Se o nmero 4 for retirado do conjunto, qual ser a nova mdia aritmtica?
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Soluo
Exerccios de fixao
1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros:
a) 4; 6 e 8
b)
c)
2) Calcule a mdia ponderada dos seguintes nmeros:
a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos so 1; 2 e 2.
b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 4.
c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 3
3) Calcule a mdia geomtrica dos nmeros:
a) 4 e 100
b) 0,45 e 0,05
c)
4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros 4 e 6.
5) (EPCAR) A mdia aritmtica dos nmeros que aparecem no quadro; :
103,4 121,63 41,2 8,75 9,285
a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853
6) Achar as mdias aritmticas e ponderadas entre os nmeros 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos so 1; 2 e 7.
8
208
...21
aaa
160... 821 aaa
28,227
156
7
4160
2;1,0;2
1
9
4;5
2;8
3
28
9
7
4e
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ab
b
a
2
ba
ba
ab
2
7) (Banco do Brasil) A mdia aritmtica dos 40 nmeros de um conjunto 70. Os nmeros 10 e 16 so retirados desse conjunto. A mdia aritmtica dos nmeros restantes ?
a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra.
8) Sabe-se que a mdia aritmtica entre 2 nmeros a e b igual a mdia geomtrica, ento, podemos afirmar que:
a) a e b so primos entre si.
b) os dois nmeros a e b so iguais.
c) a e b so nmeros compostos.
d) a e b so nmeros diferentes.
e) n.r.a..
9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionrios, a disposio dos salrios a seguinte:
nmero de empregados salrio
12 R$ 600,00
5 R$ 700,00
3 R$ 1.000,00
Qual o salrio mdio dos empregados dessa empresa?
Exerccios propostos
1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as frmulas da coluna da direita, sendo a e b nmeros inteiros positivos quaisquer, tem-se:
I - mdia harmnica dos nmeros a e b; a)
II - Mdia ponderada dos nmeros a e b; b)
III - Mdia geomtrica entre os nmeros a e b; c)
lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d)
V - Mdia aritmtica simples entre a e b; e) ba.
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a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e) n.r.a.
2) Sabendo-se que a mdia aritmtica e a mdia harmnica entre dois nmeros naturais valem, respectivamente 10 e pode-se dizer que a mdia geomtrica entre esses nmeros ser igual a:
a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a.
3) Colocar em ordem de grandeza crescente a mdia aritmtica; a mdia geomtrica e a mdia harmnica dos nmeros 6 e 12.
4) A mdia aritmtica de 11 nmeros 40. Se dois nmeros, 4 e 6 forem retirados qual ser a nova mdia?
5) Em um concurso pblico, trs provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual a mdia desse candidato?
6) A mdia harmnica entre os nmeros a; b e c;
7) Calcule a mdia aritmtica;
a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90
8) Calcule a mdia geomtrica.
a) 8; 15; 10; 12
b) 3; 4; 5; 6; 7; 8
9) Encontre a mdia harmnica.
a) 5; 7; 12; 15
10) Em certo ms, um aluno obteve em portugus as trs notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela mdia ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela mdia aritmtica simples, de um valor igual a:
ba
abca 2)
ba
abcb )
c
bac2
)
abacbc
abcd
3)
arne ..)
5
32
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a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a.
RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) c
2)
864
645
32
10
5
32
20
22
20102
gm
abab
abba
abhm
baba
3)
xx
x
amgmhmba
abhm
,gm
am
818
144
18
12622
4682672126
92
126
4)
9
43010440
4401121
4011
1121
aaa
aaa
/
/
5) 0710
70
10
401812
523
582934,pm
xxx
6)
dacorretaaalternativa
abacbcabc3
abc3abacbc
1
13
abcabacbc
1
3c
1b1
a
11
hm
7) a) 1646
656143,am
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b) 95
1210887 am
c) 9625
754132750423,
,,,,
am
d) 42797
90838280767570,am
8) a) 95,104 400.144 1210158gm xxx
b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm xx xxxxx
9) 118207
6801
6801
207
1
4
1
420
207
1
1
4
420
207
1
4
420
28356084
1
4
15
1
12
1
7
1
5
1
1,
.
.
hm x
10) a alternativa correta a e
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Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introduo
muito comum os veculos de comunicao apresentarem as seguintes expresses:
x a cesta bsica teve um reajuste de 2,1%; x os rendimentos da caderneta de poupana para este ms foi de 1,21%. x 10% da populao brasileira so fumantes. Todos os enunciados acima podem ser expressos atravs de uma razo a qual denominamos de
porcentagem.
2. Elementos do clculo percentual
Nos problemas de porcentagem, trs elementos so importantes: O principal, que o nmero sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que o nmero de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que total das taxas.
Exemplo:
1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas so as meninas dessa sala?
Principal (c) = 35
taxa (i) = 20%
porcentagem (P)
Exerccios resolvidos:
1) Calcular
a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)3
1% de 30
7100
700
100
2035
100
x
x
P
P
icP
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Soluo:
a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 4,2100
240120
100
2 x
Resposta: 2% de 120 2,4.
b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 25,2150100
5,1 x
Resposta: 1,5% de 150 2,25.
c) 30%3
1de
Principal = 30
taxa3
1%
Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 1,0100
1030
100
31
x
Resposta:3
1 % de 30 0,1.
2) Num concurso pblico compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o nmero total de candidatos inscritos?
Soluo:
Consideramos x, o nmero de candidatos participantes do concurso e 80% a porcentagem de comparecimento.
X 100 1.500 80
875.180
00.15000.15080
80
100
500.1 xxx
Resposta: O nmero de candidatos 1.875.
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3) O preo de um aparelho de som de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?
Soluo:
taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 138000,500.1100
92