Post on 05-Jun-2020
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda.perticarrari@unesp.br
MATEMÁTICA II
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
A integração das funções racionais fracionárias
poderá recair em integrais do tipo:
𝑢′
𝑢= ln 𝑢 + 𝐶
1
𝑢2+𝑎2 𝑑𝑢 =1
𝑎arctg
𝑢
𝑎+ 𝐶, (𝑎 ≠ 0) .
1
𝑢2−𝑎2 𝑑𝑢 =1
2𝑎ln
𝑢−𝑎
𝑢+𝑎+ 𝐶, (𝑢2 > 𝑎2) .
1
𝑎2−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑢
𝑎+ 𝐶, (𝑢2 < 𝑎2);
𝑔 𝑥
ℎ 𝑥𝑑𝑥 = integral de soma de funções
𝑔 𝑥
ℎ 𝑥𝑑𝑥 = integral de soma de funções
São integrais cujos resultados são alcançados mediante a decomposição
da fração integrando numa soma de outras frações;
A decomposição de frações em parcelas é utilizada sempre que:
Caso 1. O grau do numerador é maior que o grau do denominador;
Exemplo: 𝑥2−1
𝑥+1𝑑𝑥, note que 𝑥2 − 1 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1
Caso 2. O grau do numerador é menor que o grau do denominador,
mas o denominador é fatorável:
Exemplo: 2
𝑥2−9𝑑𝑥, note que 𝑥2 − 9 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 .
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
CASO 1. “O grau do numerador é maior que o grau do denominador”
Exemplo: Considere a fração 𝑥4−3𝑥2+𝑥+2
𝑥2−2
Trata-se de uma função racional, em que:
o grau do numerador: 𝑚 = 4
o grau do denominador: 𝑝 = 2
Sempre que 𝑚 > 𝑝 ou 𝑚 = 𝑝, efetuamos a divisão.
𝒙𝟒− 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐
−𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏
− 𝒙𝟐 +𝒙 + 𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐
𝒙
𝑚 > 𝑝, admite divisão.
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
Assim,
𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥2 − 2=
𝑥2 − 2 𝑥2 − 1 + 𝑥
𝑥2 − 2= 𝑥2 − 1 +
𝑥
𝑥2 − 2
Então
𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥2 − 2 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 1 +
𝑥
𝑥2 − 2𝑑𝑥
Utilizando as Regras de Integração Imediata, temos que:
𝐼 = 𝑥2 𝑑𝑥 − 1𝑑𝑥 + 𝑥
𝑥2−2𝑑𝑥
𝐼 =𝑥3
3− 𝑥 + 𝐶1 +
𝟏
𝟐
𝟐𝑥
𝑥2 − 2𝑑𝑥
𝐼 =𝑥3
3− 𝑥 +
𝟏
𝟐𝑙𝑛 𝑥2 − 2 + 𝐶
𝑢 = 𝑥2 − 2
𝑢′ = 2𝑥
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
𝑢 = 𝑥 𝑛 = 2
𝑢 = 𝑥 𝑛 = 0
CASO 2. “O grau do numerador é menor que o grau do denominador”
2.1. Os fatores do denominador são todos distintos e do 1º. grau
Exemplo: Considere a fração 6
𝑥2−4𝑥−5
Grau do numerador: 𝑚 = 0
Grau do denominador: 𝑝 = 2
Vamos fatorar o denominador
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 5,
então:
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 + 1 𝑥 − 5 .
O denominador se decompõe em dois fatores diferentes, ambos do
primeiro grau, então:
6
𝑥2 − 4𝑥 − 5=
6
𝑥 + 1 𝑥 − 5=
𝑨
𝑥 + 1+
𝑩
𝑥 − 5
𝑚 < 𝑝, não admite divisão
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
6
𝑥2−4𝑥−5=
6
𝑥+1 𝑥−5=
𝑨
𝑥+1+
𝑩
𝑥−5=
𝑨 𝑥−5 +𝑩 𝑥+1
𝑥+1 𝑥−5
Note que o mmc é 𝑥 + 1 𝑥 − 5 , então
6 = 𝑨 𝑥 − 5 + 𝑩 𝑥 + 1
6 = 𝑨𝑥 − 5𝑨 + 𝑩𝑥 + 𝑩
0𝑥 + 6 = 𝑨 + 𝑩 𝒙 + −5𝑨 + 𝑩
Da identidade dos dois membros
𝑨 + 𝑩 = 0−5𝑨 + 𝑩 = 6
⟹ 𝑨 = −1𝑩 = 1
Assim,
6
𝑥2−4𝑥−5=
−𝟏
𝑥+1+
𝟏
𝑥−5
então:
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝟏
𝑥+1𝑑𝑥 +
𝟏
𝑥−5𝑑𝑥
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝟏
𝑥+1𝑑𝑥 +
𝟏
𝑥−5𝑑𝑥
(I) Vamos determinar 𝟏
𝑥+1𝑑𝑥
Note que se 𝑢 = 𝑥 + 1 então 𝑢′ = 1, assim:
𝟏
𝑥+1𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝐶1
(II) Vamos determinar 𝟏
𝑥−5𝑑𝑥
Note que se 𝑢 = 𝑥 − 5 então 𝑢′ = 1, assim:
𝟏
𝑥−5𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 5 + 𝐶2
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝟏
𝑥+1𝑑𝑥 +
𝟏
𝑥−5𝑑𝑥
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = − ln 𝑥 + 1 + 𝐶1 + ln 𝑥 − 5 + 𝐶2
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 5 − ln 𝑥 + 1 + 𝐶, sendo 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = ln
𝑥−5
𝑥+1+ 𝐶
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
CASO 2. “O grau do numerador é menor que o grau do denominador”
2.2.“Os fatores do denominador são todos do 1º. grau mas com repetição”
Exemplo: Seja a fração 6𝑥2−1
𝑥4+2𝑥3+𝑥2
Grau do numerador: 𝑚 = 2
Grau do denominador: 𝑝 = 4
• Vamos fatorar o denominador
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 = 𝑥2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 𝑥 + 1 2.
• Todos os fatores são do 1º. Grau, pois temos
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 + 1 ,
então:
6𝑥2 − 1
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 =6𝑥2 − 1
𝑥2 𝑥 + 1 2 =𝑨
𝑥2 +𝑩
𝑥+
𝑪
𝑥 + 1 2 +𝑫
𝑥 + 1
𝑚 < 𝑝, não admite divisão.
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
6𝑥2−1
𝑥4+2𝑥3+𝑥2 =6𝑥2−1
𝑥2 𝑥+1 2 =𝑨
𝑥2 +𝑩
𝑥+
𝑪
𝑥+1 2 +𝑫
𝑥+1=
𝑨 𝑥+1 2+𝑩 𝑥 𝑥+1 2+𝑪𝑥2+𝑫𝑥2 𝑥+1
𝑥2 𝑥+1 2
Note que o mmc é 𝑥2 𝑥 + 1 2, então
6𝑥2 − 1 = 𝑨 𝑥 + 1 2 + 𝑩 𝑥 𝑥 + 1 2 + 𝑪𝑥2 + 𝑫𝑥2 𝑥 + 1
6𝑥2 − 1 = 𝑨𝑥2 + 2𝑨𝑥 + 𝑨 + 𝑩𝑥3 + 2𝑩𝑥2 + 𝑩𝑥 + 𝑪𝑥2 + 𝑫𝑥3 + 𝑫𝒙𝟐
0𝑥3 + 6𝑥2 + 0𝑥 − 1 = 𝑩 + 𝑫 𝑥3 + 𝑨 + 2𝑩 + 𝑪 + 𝑫 𝑥2 + 2𝑨 + 𝑩 𝑥 + 𝑨
Da identidade dos membros obtemos
𝑩 + 𝑫 = 0𝑨 + 2𝑩 + 𝑪 + 𝑫 = 6
2𝑨 + 𝑩 = 0𝑨 = −1
⟹
𝑨 = −1𝑩 = 2𝑪 = 5𝑫 = −2
Assim:
6𝑥2−1
𝑥4+2𝑥3+𝑥2 =−𝟏
𝑥2 +𝟐
𝑥+
𝟓
𝑥+1 2 +−𝟐
𝑥+1
e
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝟏
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝟐
𝑥𝑑𝑥 +
𝟓
𝑥+1 2 𝑑𝑥 − 𝟐
𝑥+1𝑑𝑥
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝟏
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝟐
𝑥𝑑𝑥 +
𝟓
𝑥+1 2 𝑑𝑥 − 𝟐
𝑥+1𝑑𝑥
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = − 𝑥−2 𝑑𝑥 + 𝟐
𝟏
𝑥𝑑𝑥 + 𝟓 𝑥 + 1 −2 𝑑𝑥 − 𝟐
𝟏
𝑥+1𝑑𝑥
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝑥−2+1
−2+1+ 𝟐 ln 𝑥 + 𝟓
𝑥+1 −2+1
−2+1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −
𝑥−1
−1+ 𝟐 ln 𝑥 + 𝟓
𝑥+1 −1
−1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 =
1
𝑥+ 𝟐 ln 𝑥 − 𝟓
1
𝑥+1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶
6
𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 =
1
𝑥−
5
𝑥+1+ 𝟐 ln
𝑥
𝑥+1+ 𝐶
𝑢 = 𝑥 + 1, 𝑛 = −2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥
𝑢′ = 1 𝑢 = 𝑥, 𝑛 = −2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 + 1
𝑢′ = 1
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS