Tânia Tomé - Din Est - 2016 1

Dinâmica Estocástica

Segunda aula

Ifusp, agosto de 2016

Segunda aula

1. Variável aleatória e distribuição de probabilidades

2. Médias de grandezas sobres distribuições de probabilidades; Momentos de uma distribuição

3. Função característica: a partir da qual nos podemos obter os momentos da distribuição de probabilidades

4. Cumulantesde uma distribuição (estão relacionados com os momentos da distribuição). Esses são obtidos também por meio da função característica

5. Função geratriz

Bibliografia básica para essa aula:Tânia Tomé & MJO, Cap. 1Van Kampen, Cap. 1Gardiner, Cap. 2

2Tânia Tomé - Din Est - 2016

Variável aleatória

(i) Valores discretos

Variável aleatória discreta

Exemplos: número de indivíduos infectados por uma doença em uma certa população número de moléculas em uma reação química

Variável aleatória contínua

Exemplo: valores assumidos por uma das componentes cartesianas do momento linear associado às moléculas de um gás ideal.

3Tânia Tomé - Din Est - 2016

(ii) Valores contínuos

Variável aleatória discreta

Associa-seum número

4Tânia Tomé - Din Est - 2016

A cada valor de n

Variável: n

(1)

normalização

distribuição de probabilidadesassociada a

0nP

1 n

n

P

nP

n

Exemplo de distribuição de probabilidades associada a variável aleatória discreta

5Tânia Tomé - Din Est - 2016

Distribuição binomialnNn

n qpn

NP

1 qp

10 p

)!(!

!

nNn

N

n

N

Essa distribuição normalizada, isto é: 10

n

N

n

P

De fato:nNnN

n

n qpn

Nqp

0

)(

expansão binomial

n variável aleatória discreta

(*)

(2)

(3)

(4)

Variável aleatória contínua

( ) 0x

x

6Tânia Tomé - Din Est - 2016

],[ 10 xx

dxx

x

x

)(1

0

( )x dx probabilidade de encontrar com valores

entre dxxex

( )x

x

(6)

probabilidade de que a variável x assumavalores no intervalo

x assume valores sobre a reta real

1)(

dxx

normalização

( )x densidade de probabilidade

(5)

)2/exp(2/)(2

mpmp xx

Densidade de probabilidade associada a uma das componentes cartesianas do momento linear de uma molécula:

Gás ideal clássico de moléculas monoatômicas contido em um recipiente. Cada molécula tem massa e o sistema está a uma temperatura

7Tânia Tomé - Din Est - 2016

Exemplo – variável aleatória contínua & distribuição de probabilidades

m

T

p

),,( zyx pppp

TkB/1

Essa é umadistribuição gaussiana!

Bk constante de Boltzmannn

(7)

Vamos ver a seguirdistribuições gaussianas

Distribuição gaussiana

Tânia Tomé - Din Est - 2016 8

Distribuição gaussiana

)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx

2 é a variância

Distribuição de probabilidades gaussiana centrada no zero, média =0

9Tânia Tomé - Din Est - 2016

(8)

(9)

(a definição de variância vai a ser vista nessa aula)

Exemplo de distribuição gaussiana

)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx 12

FIGURA

com

Tânia Tomé - Din Est - 2016 10

Momentos de uma distribuição

Tânia Tomé - Din Est - 2016 11

Valor médio ou médiaDefinição

Valor médio de uma função da variável

Caso especial:

12Tânia Tomé - Din Est - 2016

(10)dxxxfxf )()()(

dxxxx )((11)

xxf )(

)(xf x

momento de ordem 1

1,2,3,...m

Momentos de uma distribuição

Momento de ordem 1

Momento de ordem 2

Momento de ordem definição:m

(valor médio)

13Tânia Tomé - Din Est - 2016

m

dxxxx mm

m )(

dxxxx )(1

dxxxx )(22

2

(12)

(13)

(14)

Variância

Tânia Tomé - Din Est - 2016 14

Variância(A variância também é chamada de dispersão )

Definição

Pois:

15Tânia Tomé - Din Est - 2016

222 xx

22 )( xx

ou,

)2( 222 xxxx

22 2 xxxx

22 xx

(15)

(16)

Dedução da expressão (16) a partir da expressão (15)

12

2

2 variância em termos dos momentosde segunda ordem e de primeira ordem.

2

é uma medida do grau em que os valores de x estão afastados de seu valor médio.

Variância (continuação)

16Tânia Tomé - Din Est - 2016

222 xx

Desvio padrão

(17)

(18)

isto é,

Exemplo: momentos da distribuição gaussiana:

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

(19)

Momento de ordem 1 da distribuição gaussiana

2 2

12

1( ) exp( /2 ) 0

2x x dx x x dx

(20)

17Tânia Tomé - Din Est - 2016

Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana

18Tânia Tomé - Din Est - 2016

dxxx )/2exp(2

1 222

22

Integral gaussiana (*)

Derivando ambos os lados da Eq. (22) com relação a temos:

2)/2exp( 2

dxx 0

(21)

(22)

2

2

1)/2exp()

2( 2

2

dxxx

21)/2exp( 22

dxxx (23)

(*) ver apêndice no final dessa apresentação

Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana (continuação)

19Tânia Tomé - Din Est - 2016

)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx

Portanto, o momento de ordem 2 da distribuição gaussiana é dado por:

(*) Estamos calculando o momento de ordem 2 para a distribuição gaussiana:

portanto:

dxxx )/2exp(2

1 222

22

2)2(

2

1 2/12/32

2

2

2

(23)

2

1

(24)

(25)2)2(

2

1 2/132/3

2/12/1

(26)

2)/2exp( 2/322

d

ddxxx

d

d 2/524 22

3)/2exp(

dxxx

2/524

2

13)/2exp(

2

1

dxxx

2/1

2/5224

24 )(

13)/2exp(

2

1

dxxx

424

24 3)/2exp(

2

1

dxxx

Momento de ordem 4 da distribuição gaussiana 4224

24 3)/2exp(

2

1

dxxx

Demonstração

(23) 2)/2exp( 2/322

dxxx (24)2/1

Portanto:

(27)

Tânia Tomé - Din Est - 201620

Outros momentos da distribuição gaussiana

Momentos de ordem par podem ser obtidos por derivação da

integral gaussiana com relação a

21Tânia Tomé - Din Est - 2016

Momentos de ordem ímpar nulos

2)/2exp( 2

dxx

0)/2exp(2

1 22

21

dxxxx

Por exemplo: (20-a)

0)/2exp(32

13 22

23

dxxxx

(20-b)

todos os momentos de ordem par podem ser escritos em termos de potências da variância EXERCÍCIO

= variância (para o caso <x>=0)

22Tânia Tomé - Din Est - 2016

Resumo: momentos da distribuição gaussiana

)/2exp(2

1)( 22

2

xx

OBTER!

2

2

4

4 3

6

6 15

8

8 105

(26)

(27)

Função característica - definição

Função característica & Momentos

Tânia Tomé - Din Est - 2016 23

Função característica

( ) exp( ) exp( ) ( )g k ikx ikx x dx

Definição:

)(kg = função geradora dos momentos

Os coeficientes da expansão em série de Taylor de g(k) (quando é possível fazer a expansão) são os momentos

24Tânia Tomé - Din Est - 2016

(28)

(29)

0

( )exp( )

!

m

m

ixkikx

m

0

( )( ) exp( ) ( )

!

mm

m

ikg k ikx x

m

1 !

)(1)(

m

m

m

m

ikkg

25Tânia Tomé - Din Est - 2016

(momento de ordem n) e, portanto, m

n x

Portanto, podemos escrever a seguinte expressão para a função característica :

Função característicaExpansão em série de Taylor:

ikxekg )(

Mas,

(30)

(31)

(32)

Função característica - Exemplo

Utilizando a definição de função característica:

26Tânia Tomé - Din Est - 2016

distribuição gaussiana (33)

dxxikxkg )()exp()(

e a expressão (33) temos:

(28)

dxikxxkg )/2exp(2

1)( 22

2

(34)

)/2exp(2

1)( 22

2

xx

Função característica de uma gaussiana - continuação

27Tânia Tomé - Din Est - 2016

dxikxxkg )/2(exp2

1)( 22

2

22222 /2)2()/2( ikxxikxx

2/2/)(}2{2

1 22222424222

2

kikxkkikxx

dxikxk

kg )/2)(exp(2

)2/exp()( 222

2

22

(34)

(35)

Função característica de uma gaussiana - continuação

28

Tânia Tomé - Din Est - 2016

(36)

axikxz 2

complexa

dxzk

kg )/2exp(2

)2/exp()( 22

2

22

integral no plano complexo

Avaliar a integral no plano complexo! EXERCÍCIO da lista.

(35)

Depois de fazer a integral no plano complexo chega-se a:

)2/exp()( 22kkg

Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica

(36))2/exp()( 22kkg

...!2.4/2/1)( 4422 kkkg

...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg (37)

Tânia Tomé - Din Est - 2016 29

Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica

Mas, a partir da expressão (32) temos:

...!4/!3/2/1!

)(1)( 4

4

3

3

2

2

1

1

kikkikn

ikkg

n

n

n

(38)

n

n x momento de ordem n

...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg(37)

Comparando as expressões (37) e (38) temos:

01 2

2 03 ....3 4

4 (39)

Que são idênticos aos resultados obtidas por outro método: (20), (26) e (27).

Tânia Tomé - Din Est - 201630

Cumulantes

Tânia Tomé - Din Est - 2016 31

Cumulantes de uma distribuiçãoDefinição:

Tomando-se o logaritmo de g(k) e expandindo-o em série de Taylor (quando é possível fazer essa

expansão) obtemos os cumulantes da distribuição.

Os cumulantes são definidos por:

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ikg k

n

n = cumulante de ordem n

32Tânia Tomé - Din Est - 2016

(40)

Expandindo em série de Taylor o logaritmo da expressão para a função característica definida na Eq. (32) (quando a expansão puder ser feita) e comparando com a definição de g(k) em termos dos cumulantes (Eq. (33)) obtém-se os cumulantes em termos dos momentos (*):

11 13

1233 23

14

12

222

1344 61234 2

2 2 1

E assim por diante podemos escrever os cumulantes de ordem n como combinações de momentos de ordem igual a n e menor que n.

n cumulante de ordem n

Cumulantes de uma distribuição

33Tânia Tomé - Din Est - 2016

1 !

)()(ln

n

n

n

n

ikxkg (41)

(*) Exercício da lista 1: por meio da procedimento explicado acima obter as expressões (42-1) e (42-2).

(42-1)

(43-2)

(42-3)

(42-4)

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

2

2

34Tânia Tomé - Din Est - 2016

Exemplo: cumulantes de uma gaussiana

OBTER! Lista de exercícios 1.

)2/exp()( 22kkg n

m

n n

ikkg

!

)()(ln

1

01

0........43 n todos os cumulantes de ordem superior a 2 de uma distribuição gaussiana são nulos

(43-3)

(43-1) (43-2)

Função Geratriz

Tânia Tomé - Din Est - 2016 35

Variáveis aleatórias discretas

36

As derivadas da função geratriz estão relacionadas com os momentos da distribuição

0,1,2,...n

Tânia Tomé - Din Est - 2016

Função geratriz

Função Geratriz

0)(

n

n

n zPzG (44)

0nP distribuição de probabilidades

nP

37

3 2'''(1) 3 2G n n n

4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n

Tânia Tomé - Din Est - 2016

Derivadas da função geratriz

(45)

(46)

1

1)('n

n

n znPzG

nnPG

n n1)1('

2

2)1()(''n

n

n zPnnzG

nnG 2)1(''

Solução de equações mestras. Muitas vezes é mais conveniente obter a função geratriz e em seguida a distribuição de probabilidades (solução da equação mestra).

Função Geratriz: aplicação importante

A partir da equação mestra encontra-se uma equação para a função geratriz

Essa equação é em geral mais fácil de ser resolvida do que a equação mestra (quando essa tem solução exata)

),( tzGObtém-se a distribuição de probabilidades )(tPn

Tânia Tomé - Din Est - 2016 38

),( tzGfunçãogeratriz

(*) (vamos ver esse método quando estudarmos o tópico:equação mestra)

FIM

Tânia Tomé - Din Est - 2016 39

Tânia Tomé - Din Est - 2016 40

Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração

2)/2exp( 2

dxx 0

dxx )(exp 2

ou:

Tânia Tomé - Din Est - 201641

Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração

dxxA )(exp 2

ou,

dxdyyxA )exp()(exp 222

dxdyyxA )(exp 222

Utilizando coordenadas polares:

r

y

x

elemento de área

rdrd

0

2

2

0

2 )(exp

rdrdrA

20 ),( r

0

22 )(exp2 rdrrA

Tânia Tomé - Din Est - 201642

Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração

0

22 )(exp2 rdrrA

2ry rdrdy 2

0

22 )(exp dyyA

0

2 )exp( yA

A

dxx )(exp 2