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x2 y2yy1x1
NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO
x
elementos
IMAGENS
A função é como uma máquina onde entram
que são transformados e saem suas
Matematicamente...
Entra o “x”...... E sai o “y”.
O domínio é o
conjunto de todas as
entradas, enquanto a
imagem é o conjunto
de todas as saídas.
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NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO
Considere os seguintes conjuntos A e B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A Bf
Definição de Função:
Dados dois conjuntos A e B, se para cada valorde “x” (x Є A) existir, em correspondência, umúnico valor de “y” (y Є B), então dizemos que “y”está em função de “x”.
Conjunto IMAGEM
NOTAÇÃO: f (x) = y
Observe que aqui:
f (x) = x + 4
“A” é o
Conjunto
DOMÍNIO
“B” é o Conjunto
CONTRADOMÍNIO
f (1) = 1 + 4
f (2) = 2 + 4
f (3) = 3 + 4
f (4) = 4 + 4
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
8 – O diagrama ao lado representa uma função?E agora? Temos uma função?
9 – (UFRJ) Considere a
relação de M em N,
representada no diagrama
abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta:
A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;
B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;
C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;
D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.
10 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode
representar uma função?
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Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa cidade,de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturasem função da hora do dia.
Horas
Temperaturaº CIndique:
1º) o domínio;
2º) o contradomínio;3º) Quais as horas do dia em que
se registou a temperatura 3ºC ?
4º) Este gráfico representa uma
função? Justifique.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
Como verificar se um gráfico determina uma função?
Não se trata de
uma
representação
de uma função
Trata-se de uma
representação de
uma função
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
11 – Determine o domínio das funções definidas por:
a) f (x) = ( x – 7) -1 b) f (x) = ( 3x – 1) 1/2
12 –
13 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é
kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para
meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em
cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h.
Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e
obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e
que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de
acordo com a fórmula, em kcal, é:
A) 2970. B) 2875. C) 2770. D) 2601.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
14 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a
quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar
em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.
O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que
pesa 85kgf receberá em cada dose:
A) 7 mB) 9 mC) 8 mD) 10 m
15 – (UFRN) Determine o valor da expressão
para a = – 1.
a2
a319.
a2
a31 2
5
3
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FUNÇÃO COMPOSTA
Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x ∈ A.
AB C
x f(x) g(f(x))
Ex: f(x) = x+2 e g(x) = x2, então g(f(x)) = ?
x = 5
Mais exemplos: Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))
16 – Determine as funções compostas de
f(x)=√x e g(x)=√(2 – x)
a) f(g(3)) b) g(f(5))c) f(f(9)) d) g(g(7))
17 – (IFRN) Se f(g(x)) = 4x2 – 8x + 6 e
g(x)=2x–1 , então f (2) é igual a:
A) –2 B) –1 C) 3 D) 5 E) 6
18 – (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x+4 e f(g(x))=x – 5, então g(–3) é igual a:
A) –4 B) –3 C) 3 D) 4 E) 5
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FUNÇÃO INVERSA
Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos importantes:
FUNÇÃO INJETORA
É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm
imagens diferentes no conjunto B.
FUNÇÃO SOBREJETORA
É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto
contradomínio. ( Im = CD ).
FUNÇÃO BIJETORA
É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.
EXEMPLO:
Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda
nenhuma delas:
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
3
4
5
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FUNÇÃO INVERSA
Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora.
x y
D Rf(x)
f -1(x)
OBS: O símbolo “–1” em f –
1(x) não é um expoente. f –1(x) não significa 1/f(x).
A função inversa f –1(x)
“desfaz” o que a função
f(x) faz. Observe:
f(x) = 2x + 1; f –1(x) = ?
EXEMPLO: (UFSE) Considere a função bijetora
y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é:
A) (x + 3) : ( 3x – 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 – x)
C) ( 2x – 1) : (x + 1) D) ( 3x – 1) : (x + 3)
EXEMPLO: Se f (1) = 5 e f (8) = -10,
determine f –1(5) e f –1(-10).
OBS: Os gráficos de f(x) e
f –1(x) são simétricos em
relação a função y = x.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
19 – (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o
conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a
cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f :
A) é injetora e não é sobrejetora.
B) é injetora e é sobrejetora.
C) não é injetora e é sobrejetora.
D) não é injetora e não é sobrejetora.
20 – (UFRN) Sejam E o conjunto formado
por todas as escolas de ensino médio
de Natal e P o conjunto formado pelos
números que representam a
quantidade de professores de cada
escola do conjunto E. Se f: E → P é a
função que a cada escola de E associa
seu número de professores, então:
A) f é uma função sobrejetora.
B) f não pode ser uma função bijetora.
C) f não pode ser uma função injetora.
D) f é necessariamente uma função
injetora.
21 –Dadas as funções ƒ(x) = 5x+1
e g(x) = 6x – 4, resolva a equação
ƒ -1(g(x)) = 7, seguindo o
procedimento em cada item:
1º) Determine ƒ -1(x);
2º) Na função ƒ -1(x) obtida no
item (1º), substitua “x” por “g(x)”,
em seguida, iguale a 7 e resolva a
equação;
GABARITO: 11) x = 20/3
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FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)
FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = - f(-x)
Uma função é PAR quando ela é simétrica em
relação ao eixo y.
Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.
y
x
f(x) = x²
y
x
f(x) = x³
22 – a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:
b) Mostre que f(x) = 3x² é par:23 – Sendo o gráfico ao
lado de f(x), o gráfico
de f(– x) será :
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
24 – Determine a função inversa das seguintes funções:
a) f(x) = 4 – 3x b) f(x) = x/2 c) f(x) = x/(x –2)
25 – Dada a função f(x) = 2x + 5.
a) Classifique-a; b) Determine f –1(x); c) f(f –1(x)) e f –
1(f(x))
26 – Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função f(x)
= x, g(x) = 2 – 3x e g –1(x). O que você pode observar?
27 – Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda
nenhuma delas:
a) f(x) = 2x – 1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x3
28 – (UFCE) Seja f: R ⟶ R a função tal que f(1) = 4 e f(x+1) = 4.f(x) para
todo x real. Nessas condições, f(10) é igual a:
A) 2–10 B) 4–10 C) 210 D) 410