Disciplina: Fundamentos de Física

Prof. Dr. Fábio de Camargo

Forças e Equilíbrio Estático I

Plano de Ensino

Unidade Conteúdo Programático Concluído

1 Medidas Físicas 100%

2 Sistema Internacional 100%

3 Cinemática Retilínea

4 Leis de Newton

5 Aplicações das Leis de Newton

A Física é a ciência que estuda a natureza e os fenômenos naturais do

Universo.

Mecânica... Estuda o quê?

A física pode ser dividida em algumas áreas:

Mecânica: Estuda o movimento e suas

causas e consequências

Termologia: Estuda o calor

Acústica: Estuda o som

Óptica: Estuda a luz

Eletricidade: Estuda a eletricidade

Física Moderna: Estuda a física após 1900

Física Nuclear: Propriedades básicas dos

núcleos e da também da matéria nuclear

Mecânica:dos corpos rígidos

dos corpos deformáveis

dos fluidos

estática

dinâmica

Princípios da estática: Medições de força

e geometria

• Princípio da alavanca• Estudos de polias• Plano Inclinado• Reações de Apoio e

etc.

Leis de Newton

1ª Lei Inércia (Repouso ou MRU)

3ª Lei Ação e Reação

2ª Lei 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹

Mecânica Clássica

Conceitos Fundamentais

1ª Lei de Newton Lei da Inércia

Definição: “Todo corpo continua no estado de repouso ou de movimento

retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças a ele

aplicadas”

tradução do Princípia

Exemplos do Princípio da Inércia no Cotidiano

2ª Lei de Newton

Um ponto material de massa “m” sob a ação de uma força

“F” sofre uma aceleração “a” que tem a mesma direção da

força.

𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹

𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +⋯

𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥 𝑖 + 𝐹𝑅𝑦 𝑗

𝐹1

𝐹2𝐹𝑅

Força Gravitacional (𝑭𝒈): é a força que

um corpo exerce sobre outro.

Força Peso (𝑷):

𝐹𝐺 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2

Força que a Terra exerce sobre os corpos

“terrestres” sempre orientada para baixo,

em direção ao centro da Terra.

Forças Especiais

𝑭𝑮

𝑴

𝒎

𝒓

𝑃 = 𝑚. 𝑔

onde 𝑔 =𝐺𝑀

𝑟2é a aceleração da gravidade (≅ 9,81 𝑚/𝑠2) e𝑚 a massa do corpo

𝐹𝐺 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2→

onde 𝐺 = 6,67 × 10−11𝑁𝑚2

𝑘𝑔2é a constante da

gravitação universal.

𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5,97 × 1024𝑘𝑔

𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6,38 × 106 𝑚

Força Normal (𝑵 ou 𝑭𝑵): Força exercida pela superfície sobre

um corpo na qual ele está apoiado.

A força normal é sempre perpendicular a superfície.

Forças Especiais

Força de Tensão ou Tração: (𝑻): força que atua em cordas e

fios, quando submetidos a uma força externa.

Forças Especiais

Força de Atrito (𝑭𝒂𝒕): força exercida sobre um corpo quando ele

desliza ou tenta deslizar sobre uma superfície.

A força é sempre paralela à superfície e tem o sentido oposto

ao deslizamento.

Força de atrito nula ou

desprezível

Superfície Ideal

Forças Especiais

𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝑁

onde 𝜇 é o coeficiente de atrito e 𝑁 força normal.

Módulo da Força de Atrito:

Força Elástica (𝑭𝒆 ): força exercida por uma mola quando

comprimida ou estendida em relação ao ponto de equilíbrio.

A força elástica sempre será na mesma direção do

deslocamento e porém em sentido contrario.

Forças Especiais

𝐹 = − 𝑘∆𝑥

onde 𝑘 é a constante

elástica da mola e ∆𝑥 o

deslocamento em relação

ao ponto de equilíbrio.

Módulo da Força Elástica:

3ª Lei de Newton Lei da Ação e Reação

Definição: A toda ação existe uma reação com a

mesma intensidade, direção e sentido oposto. As forças atuam em corpos separados

𝑓𝑎𝑡

𝑃

− 𝑃

−𝑓𝑎𝑡

Exemplos

Quando aplica-se uma força sobre um corpo um dos efeitos é

alterar suas dimensões ou sua forma; outro é modificar seu

estado de movimento.

Movimento

Rotação

Translação

+

Uma única força pode

alterar tanto o movimento

de translação quanto de

rotação.

Força Aplicada ao Corpo

Quando várias forças são aplicadas simultaneamente, seus efeitos podem ser

cancelados não ocorrendo mudança nem na translação nem na rotação.

EQUILÍBRIO

Corpo em equilíbrio

Estático (corpo em repouso, parado)

Dinâmico (corpo em movimento, MRU v = constante)

Ponto encontra-se em

equilíbrio estático

satisfaz a equação:

𝑅23𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 0

Diversas Forças Aplicadas

Translação + Rotação:

↓

Se o corpo se movia, haverá

alteração no movimento de

translação (em módulo) ou

direção (ou ambas)

↓

Aumento ou diminuição no

movimento de rotação

𝐹1

ACM

Movimentos: Translação e Rotação

𝐹1

𝐹2

A

C

Linhas de ação não coincidem↓

Equilíbrio translacional mas não rotacional

Mesma linha de ação:

↓

Equilíbrio pode ser mantido

↓

Se 𝐹2 = − 𝐹1

𝐹1 + 𝐹2 = 0

↓

𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹1- 𝐹1 = 0

𝐹𝑅 = 0

𝐹1

𝐹2

Translação e Rotação

Generalizando:

A afirmação de que um corpo está em equilíbrio completo, quando ambas

condições são satisfeitas constitui a essência da 1ª Lei de Newton (Inércia)

2ª condição de equilíbrio forças não podem tender a

girar o corpo

𝐹𝑅 = 𝐹 = 0

1ª condição de equilíbrio representada por:

𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 𝑖+ 𝐹𝑦 𝑗

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑦 = 0

As componentes

devem ser nulas

Equilíbrio

Exemplo: Forças aplicadas

B

A

𝐹

A

𝐹𝑇

𝑃𝐴

𝑁𝐴𝐵

𝑃𝐵

𝑁𝐵𝐴𝑁𝐵

𝑇 𝑓𝑎𝑡𝐵𝐴

𝑓𝑎𝑡𝐴𝐵

𝑓𝑎𝑡𝐵

B−𝑁𝐵

− 𝑓𝑎𝑡𝐵

𝐹𝑃

𝐹1

𝑁

𝑓𝑎𝑡

𝑃𝐴

Condição de Equilíbrio:↓

Em y (vertical):𝑁 − 𝑃𝐴 = 0

𝑁 = 𝑃𝐴

Em x (horizontal):F1 – fat = 0

F1 = fat

Força Peso 𝑃 = 𝑚. 𝑔, onde g = 9,8 m/s2

Força Normal sempre normal a superfície!!!!

Força de atrito 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇 .𝑁 Coeficiente de atrito

estático

dinâmico

Exemplo: Condição Equilíbrio

Condição Equilíbrio

Equilíbrio de uma Partícula:

Regras (ou “Receita de Bolo”):

1-) Fazer esquema do aparelho ou estrutura analisado, mostrando

dimensões e ângulos.

2-) Selecionar um corpo como a partícula em equilíbrio, traçar um diagrama

separadamente (DCL – diagrama de corpo livre), onde todas as forças

aplicadas ao corpo são representadas por meio de setas (vetores).

3-) Traçar um sistema de eixos retangulares (cartesiano) e decompor

quaisquer forças inclinadas em suas componentes retangulares.

4-) Realizar a soma algébrica (separadamente) de todas as componentes

em x e em y, anulando as forças quando possível.

5-) Cálculo de forças, ângulos, distâncias etc.

1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é

presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio.

Considere g = 9,8 m/s2.

Exemplo:

𝑇1

𝑃1

−𝑇2

−𝑇1

𝑇2

Exemplo: Resolução

1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é

presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio.

Considere g = 9,8 m/s2.

T1 = P1

P1 = 100 N

T1 = 100 N

T2 -T1 = 0

T2 = 100 N−𝑇1

𝑇2

Exemplo: Resolução

𝑇1

𝑃1

2-) Uma placa de peso P está pendurado por uma corda amarrada em O a duas

outras: uma presa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as tensões

nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível.

Exemplo:

Loja

60o

𝑇1

𝑇3

𝑇2O

𝑇2

𝑇1

𝑇3𝑥

𝑇3𝑦

𝑇2 = 𝑇3𝑥

𝑇1 = 𝑇3𝑦

Loja

𝑃

𝑇1

𝑇1+ −𝑃 = 0

𝑇1 = 𝑃

Exemplo: Resolução

2-) Uma placa de massa 70 kg está pendurada por uma corda amarrada em O a

duas outras: uma presa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as

tensões nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível.

Loja

60o

𝑇1

𝑇3

𝑇2O

Mplaca = 70 kg

𝑇3𝑥

𝑇3𝑦𝑇3

60o

Em x:

𝑇3𝑥 = 𝑇2

𝑇3𝑥 − 𝑇2 = 0

𝑇3 cos 60º - 𝑇2 = 0

Em y:

𝑇3 sen 60º - 𝑇1 = 0

Fx = 0

Fy = 0

Seja g = 9,8m/s2 e mplaca = 70 kg, determine os valores de todas as

variáveis para que o sistema continue em equilíbrio.

Resp.: T1 = 686 N, T2 = 396,06N, T3 = 792,12 N, P = 686N

Exemplo: Resolução

3-) O bloco A de massa m1 = 61,22 kg repousa sobre um plano inclinado

de ângulo = 30o, sem atrito. Uma corda flexível é presa ao centro da face

esquerda do corpo, passa por uma roldana também sem atrito e é ligada a

um segundo bloco de massa m2. Determine a massa do bloco B e a força

normal atuante no sistema, para que o sistema mantenha-se em equilíbrio.

Adote: g = 9,8 m/s2.

m1

m2

Exemplo:

Resp.: N1 = 519,58 N, m2 = 30,61 kg

4-) Determine as intensidades de F1 e F2 de modo que o ponto material P

esteja em equilíbrio.

𝐹1 𝐹2

𝐹3 (400 N)

30o

60o

30oP

Exemplo:

Resp.: F1 = 461,88 N, F2 = 230,94 N

5-) Determine a tensão nos cabos AB e AD para que ocorra o equilíbrio do

motor de 250 kg mostrado abaixo. Adote: g = 9,8 m/s2.

𝐷

𝐶

𝐵

𝐴 42o

Exemplo:

Resp.: TAB = 3661,47 N, TAD = 2721,00 N

6-) Determine a intensidade e o ângulo de F de modo que o ponto

material esteja em equilíbrio.

F

7,5 kN

30o

60o

2,0 kN

4,5 kN

Resp.: F 10,97 kN e 48,6o

Exemplo:

7-) Determine a força necessária na corda AB para suportar os livros cuja

massa é de 5 kg, sabendo que = 30º e que a força F aplicada sobre a

corda BC = 16N.

B

𝐶𝐴

Exemplo:

Resp.: TAB 43,28 kN e 71,33o

8-) Determine o valor da força T3 e o ângulo que ela forma em relação a y

de modo que o sistema permaneça em equilíbrio.

200 𝑁

30o

T3

150 𝑁

Exemplo:

Resp.: T3 104,67 N e 44,2o

9-) A obra de arte de um artista plástico, que busca conscientizar a

população da importância do uso da bicicleta como meio de transporte e o

respeito à vida, será exposto no Museu de Arte Moderna de São Paulo

empregando cabos de aço, conforme mostra o diagrama abaixo.

Considerando estes cabos ideais e sabendo-se que a massa da obra de

arte é de 25 kg qual será a tensão que cada cabo

suportará? Use g = 9,8 m/s2.

Exemplo:

Resp.: T1 104 N e T2 231 N

10-) Veja o esquema abaixo e calcule as trações em cada fio.

Considerando g = 9,8 m/s2 pode-se afirmar que as tensões T1, T2 e T3 em

cada fio e a massa m que mantém o sistema em equilíbrio são

respectivamente:

a-) 33,9 N, 58,8 N, 33,9 N e 3,5 kg.

b-) 33,9 N, 33,9 N, 58,8 N e 3,2 kg.

c-) 58,8 N, 33,9 N, 33,9 N e 3,2 kg.

d-) 30,1 N, 60,2 N, 30,1 N e 3,4 kg.

Resp: a

Exemplo:

11-) Dois blocos com massas m1 = 15 kg e m2 = 30 kg encontram-se um

sobre o outro e o conjunto formado pelos dois blocos está apoiado sobre

uma mesa, conforme mostra a figura abaixo. Nesta situação e

considerando g = 9,8 m/s2, os módulos das reações normais a superfícies

dos blocos 1 e 2 são respectivamente:

a-) 147 N e 294 N.

b-) 300 N e 150 N.

c-) 147 N e 441 N.

d-) 150 N e 450 N.

Resp: c

Exemplo:

Exemplo:

12-) Os blocos de pesos P = 30 N e Q encontram-se em equilíbrio com a

ajuda de fios e polia ideais. É conhecido o ângulo = 30º.

Pedem-se:

a-) o peso Q;

b-) a tração no fio AB.

Exemplo: Resolução

12-) Resolução:Equilíbrio dos Blocos:

P

𝑇1

𝑃𝑃

Bloco P:

T1 - PP = 0

T1 = PP

T1 = 30 N

Bloco Q:

T2 - PQ = 0

T2 = PQ (I)

Q

𝑇2

𝑃𝑄

Dados:

= 30o

PP = 30 N

PQ = ?

Equilíbrio do Nó:

Em x:

T2 – Tx = 0

T2 = Tx

T2 = T cos 30º

T2 = T . 0,866 (II)

Exemplo: Resolução

Equilíbrio do Nó:

Em y:

Ty – T1 = 0

Ty = T1

T sen 30º = T1

T . 0,5 = T1

mas = T1 = 30 N

1,22 T2 (I)

T . 0,5 = 30

T = 30 / 0,5

T = 60 N

Retomando a eq. (II):

T2 = T . 0,866

T2 = 60 . 0,866

T2 = 51,96 N

Retomando a eq. (I):

T2 = PQ

PQ = 51,96 N

Exemplo:

13-) Os blocos de pesos P e Q = 100 N estão em equilíbrio conforme figura

anexa. Os ângulos são conhecidos: = 45º e = 60º. Pedem-se:

a-) o peso de P;

b-) a tração no fio AC.

Exemplo: Resolução

13-) Resolução:

Bloco P:

T - PP = 0

T = PP

P

𝑇

𝑃𝑃

Dados:

= 60o

= 45o

PQ = 100 N

PP = ?

Bloco Q:

T2 - PQ = 0

T2 = PQ

T2 = 100 N

Q

𝑇2

𝑃𝑄

Equilíbrio do Nó:

Em x:

T2x – T1x = 0

T2x = T1x

T1 cos 45º = T2 cos 30º

T1 0,707 = T2 0,866

T1 1,22 T2

Sabe-se que T2 = 100N

Logo: T1 = 1,22 . 100

T1 122 N

Equilíbrio dos Blocos:

𝑇2𝑦

𝑇

𝑇1𝑥 𝑇2𝑥c

𝑇1𝑦

𝑇1 𝑇2

Exemplo: Resolução

Equilíbrio do Nó:

Em y:

T1y + T2y – T = 0

T1y + T2y = T

T1 sen 45º + T2 sen 30º = T

T1 0,707 + T2 0,5 = T

mas T1 = 122 N e T2 = 100 N

122 . 0,707 + 100 0,5 = T

86,62 + 50 = T

T = 136,62 N

Exemplo:

14-) O bloco de peso P = 50 N, é sustentado por dois outros blocos de

pesos iguais Q = 29 N, através de fios e polias ideais.

Observe a figura que representa o diagrama deste esquema e determine:

a-) as trações nos fios;

b-) a altura y;

c-) o ângulo

Exemplo: Resolução

14-) Resolução: Equilíbrio dos Blocos:

Dados:

PQ = 29 N Trações ?

PP = 50 N y (altura) = ?

= ?

Q

𝑇1

𝑃𝑞

Q

𝑇2

𝑃𝑄

P

𝑇

𝑃𝑃

Bloco Q:

T1 - Pq = 0

T1 = Pq

T1 = 29 N

Bloco Q:

T2 - Pq = 0

T2 = Pq

T2 = 29 N

Bloco P:

T - PP = 0

T = PP

T = 50 N

Exemplo: Resolução

Equilíbrio do Nó:

Em y:

T1y + T2y – PP = 0

T1y + T2y = PP

T1 sen + T2 sen = PP

29 sen + 29 sen = PP

2 . 29 sen = 50

58 sen = 50

sen =50

58

sen = 0,862

= arc sen 0,862

= 59,55o

Cálculo da altura (y):

tg = 𝑐𝑜

𝑐𝑎

tg = 𝑦

2,0

tg 59,55o =𝑦

2,0

Y = 2,0 . tg 59,54º

Y = 2,0 . 1,7

Y = 3,4 m

y

2,0 m

Exemplo:

15-) Três corpos, em equilíbrio estático, sustentam-se mutuamente,

interligados através de três fios amarrados entre si pelo nó A. Sabe-se o

peso do corpo 1, P1 = 500 N.

Considere o sistema de polias e fios como ideais. Calcule o peso dos outros

dois corpos.

Exemplo: Resolução

15-) Resolução:

Dados:

P1 = 500 N

P2 = ?

P3 ? 1

𝑇2

𝑃1

Bloco 1:

T2 – P1 = 0

T2 = P1

T2 = 500 N

Equilíbrio dos Blocos:

2

𝑇1

𝑃2

Bloco 2:

T1 – P2 = 0

T1 = P2

3

𝑇3

𝑃3

Bloco 3:

T3 – P3 = 0

T3 = P3

Exemplo: Resolução

Equilíbrio do Nó:

Em x:

T3x – T1x = 0

T3 cos 37 - T1 cos 53 = 0

T3 0,8 - T1 0,6 = 0

T3 0,8 = T1 0,6

T3 = T1 0,75

Em y:

T3y + T1y – T2 = 0

T3 cos 53 + T1 cos 37 - T2 = 0

T3 cos 53 + T1 cos 37 = T2

T3 0,6 + T1 . 0,8 = T2

mas T3 = T1 0,75

T2 = 500 N

(T1 0,75 ) 0,6 + T1 . 0,8 = 500

1,25 T1 = 500

T1 = 400 N

mas como: T3 = T1 0,75

T3 = 400 . 0,75

T3 = 300 N

Como T1 = P2

P2 = 400 N

T3 = P3

P3 = 300 N

Exemplo:

16-) O cilindro de peso P = 400 N, está apoiado em uma superfície

horizontal, lisa, sendo mantido em equilíbrio com a ajuda de dois blocos de

pesos M = 200 N e Q = 400 N.

Determine o ângulo e a reação do apoio horizontal.

Exemplo: Resolução

Dados:

PQ = 400 N

PP = 400 N

M = 200 N

= ?

N = ?

16-) Resolução:

𝑃𝑃

𝑇2

𝑇2𝑥

𝑁 𝑇2𝑦

Equilíbrio dos Blocos:

M

𝑇1

𝑃𝑀

Bloco M:

T1 - PM = 0

T1 = PM

T1 = 200 N

Q

𝑇2

𝑃𝑄

𝑇1

Bloco M:

T2 - PQ = 0

T2 = PQ

T2 = 400 N

Exemplo: Resolução

Equilíbrio do Nó:

Em x:

T2x - T1 = 0

T2x = T1

T2x = 200 N

mas T2x = T2 cos

200 = T2 cos

mas T2 = 400

200 = 400 cos

cos =200

400

cos = 0,5

= arc cos 0,5

= 60o

T2y

T2x

Em y:

T2y + N - PP = 0

T2y + N = PP

T2 sen 60 + N = 400

400 0,866 + N = 400

346,41 + N = 400

N = 400 – 346,41

N =53,59 N

Exemplo:

17-) A esfera de peso P = 50 N encontra-se em equilíbrio, apoiada numa

superfície vertical lisa e sustentada por um fio que forma um ângulo

= 30º com a vertical. Analise a figura e determine a tração do fio e a

reação da parede.

Exemplo: Resolução

Dados:

P = 50 N

= 30o

T = ?

N = ?

17-) Resolução:

𝑇1𝑦

𝑇1𝑥

1

𝑁

𝑃

Em y:

T1y – P = 0

T1y = P

T1 sen 60 = P

T1 0,866 = P

T1 0,866 = 50

T1 = 57,74 N

Em x:

N - T1x = 0

N = T1x

N = T1 cos 60o

N = T1 . 0,5

N = 57,74 . 0,5

N = 28,87 N

30o

60o