AULA COMPUTACIONALAULA COMPUTACIONAL

- Otimização Paramétrica (Cap. 5)Otimização Paramétrica (Cap. 5)

15 DE SETEMBRO DE 2008

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Os métodos podem ser:

- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.

- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).

São métodos de busca por tentativas.

Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:

- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.

- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis

Método da Seção Áurea

Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:

(a) simetria em relação aos limites do intervalo

(b) fração eliminada constante

Método da Seção Áurea

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)

1

1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,

resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original

618,0011

1 2

Razão Áurea

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Problema de Mínimo

Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

Li Lsxs

Fs

xi

Fi

Li Lxs xi

Fs

Fi

s

0,618

Li xs

Fs

xi LsLsxs xi

Fi

Li

Li Lsxs xi

Fs

Fi

= L s - Li

xi = Lixs = Ls - 0,618

+ 0,618

Inicialização

0,618

IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis

Exemplo: dimensionamento do extrator

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Seqüência de Cálculo

Restrições de Igualdade !!!

x y W

1 * * *2 * *

x y W

1 x x o2 x o

Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

= + =a Q p xp

kAB oB( ) 105

= =b p QAB 4000

= =cp Qx

kB o ,0 5

L = a - b x - c/x

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

L

C

R

xo =0, 01118

Lo = 15,6

Busca do ponto estacionário:

yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h

Solução completa do problema:

L = a - b x - c/x

x b

dL

dxb

cx

co= - + = || = =2

0 0 01118,

o

2

2 o 3

x

d L c= -2 < 0

dx (x )

Máximo!

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Procedimento Geral:

(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).

Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves

5.6.2 Problemas Multivariáveis

(d) finalização

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma Base

Repetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (proximidade do ótimo):

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

Exploração

Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.

Base?- 1

?

- 2

?+ 1

?

+ 2

A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

S: SucessoI: Insucesso

buscando máximo

Sucesso

desnecessário

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.

x1

x2

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão

15+110

Base

+ 2

18

+ 2 2

+2 1

25

+ 2 2

+2 1

22

Resultado da Exploração

Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?

Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar

Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.

Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

x1

x2

1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2

Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

9

- 1

7

- 2

+1

10Base

+ 2

5

8

+ 1- 1

+ 2

- 2

x1

x2

1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

8- 1

7

- 2

+110

Base

+ 2

9

5

+ 1- 2

+ 2

- 2

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o

Modelo Matemático2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L

Buscando o ponto estacionário:

Solução completa:y1

o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h

y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2

o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)

2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25

Analisando o ponto estacionário:

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

o

2 2

o 3 o 22 5 51 21 2 1o o

1 2 o 5 52 21

o 2 o 322 21 2 2 x

b dL L2

(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =

d d x 2,95 10 8,69 10L L2

(x ) (x )x x x

Máximo!

det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106

1 2

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.184 kgB/h

W2 = 1.184 kgB/h

x1 = 0,01357 kgAB/kgA

x2 = 0,00921 kgAB/kgA

y1 = 0,05428 kgAB/kgA

y2 = 0,03824 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

19,5

0,01357

0,00921

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

- 1

18

15

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Unimodalidade: dispensa + 1

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 2

- 115

12

- 2

x1

x2

+ 2

18

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanece na Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 1

- 115

- 2

x1

x2

+ 2 Sucesso: deslocar a Base

12 Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 1

13 Insucesso: permanecer na Base

- 17

18

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

15+1

10

Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 2

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a BaseInsucesso:

permanecer na Base

Direção provável do ótimo

15+1

12

10

Base

18 Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

+ 2

Direção x1

Direção x2

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base Direção provável

do ótimo

15+1

10

Base

Insucesso: permanecer na Base

+ 2

Direção x1

Direção x2

12

11Insucesso: permanecer na Base

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

15

Unimodalidade: dispensa + 2

- 17

- 2

x1

x2

Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

Sucesso: deslocar a Base

15

+ 2

Insucesso: permanecer na Base9

- 17

- 2

x1

x2

Insucesso: permanecer na Base

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

+ 2

Insucesso: permanecer na Base9

Insucesso: permanecer na Base5

A Base deve estar próxima do ótimo !

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direçãoEntão: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

Funções Unimodais

O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.

Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.

Funções Multimodais

(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.

(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes

f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2

2 + x1 – 7)2

6

78

9 1011

12

1 4

5

X2

X1

23

13

Método dos poliedros flexíveis

É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.

xn

x x j nj i j h ji

n

01

111 2, , , , ,

Centróide:

onde xh,j é o pior vértice.

Método dos poliedros flexíveis

O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:

0 0

1 1

( ) , 0

( ) max ( ), , ( )

k k k kR h

k k kh n

x x x x

onde f x f x f x

Reflexão 1 1

0 0

1

1

( ) ( ) min ( ), , ( ) ,

( ) , 1

( ) ( ),

sen

1 ( 1)

k k k kR n

k k k kE R

k k k kE R h E

k kh R

Se f x f x f x f x

então x x x x

Se f x f x então x x

ão x x

k k ir para

onde x k é o melhor vértice.

Expansão

0 0

1

( ) ( ) , ( )

, 0 1

1 ( 1)

k k k k k kR i C h

k kh C

Se f x f x i h então x x x x

x x

k k ir para

Contração

1 1( ) ( ), ( )

21,2, , 1

1 ( 1)

k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x

i n

k k ir para

Redução

Método dos poliedros flexíveis

O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

11 22

01

1( ) ( )

1

nk ki

i

f x f xn

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS

EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS

Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.

Mas exige um procedimento de otimização:

- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas

- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator

T oC

W = 3.750 kgB/h

rafinado

y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60

extrato W = 3.750 kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x* = 0,008 kgAB/kg A

alimentação

solvente

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Normal

Simulações Sucessivas

Exemplo: Extrator

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Simulações Sucessivas

1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0

x = Q xo / (Q + k W )

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TT

TTln

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A T 2* ???

W3

T3* = 15 oC

T4* = ???

T2 = T1 – Q/W1Cp1

T4 = T3 + Q/W3Cp3

Normal

Simulações Sucessivas

Por Hooke&Jeeves ...

0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

FO = (T2 – 25)2 + (T4 – 30)2