Post on 24-Jul-2020
IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Aula de Física III - Circuitos
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
(lafernandes@iprj.uerj.br)
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
6 de outubro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física III - Circuitos
IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Elementos de um CircuitoAs Leis de Kirccho�
Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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Elementos de um Circuito
Resistor:
V = RI ; P = RI 2 (1)
Capacitor:
V =Q
C; U =
1
2CV 2 =
Q2
2C(2)
Indutor:
V = LdI
dt; U =
1
2LI 2 (3)
Gerador:
V = −ξ; P = ξI (4)
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As Leis de Kirccho�
Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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As Leis de Kirccho�
Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:
∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0
=⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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As Leis de Kirccho�
Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒
−2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas.
Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:
∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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As Leis de Kirccho�
Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
Essa a�rmação é conhecida como Lei dos Nós.
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As Leis de Kirccho�
Se tomarmos uma curva fechada Γ onde o campo magnético de um
circuito é nulo, a Lei da Indução �ca:∫Γ
~E ∗ dl = 0 =⇒ −2∫
1
dV = V1 − V2 = −ξ = 0 (5)
ou seja, a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma
malha de um circuito é nula. Essa a�rmação é conhecida como Lei
das Malhas. Agora, supondo uma superfície fechada S em torno de
um nó do circuito, admitindo que o nó não seja fonte nem
servedouro de carga, então sua densidade de corrente é nula:∮S
~j ∗ ~dS = ΣnI = I1 + I2 + . . .+ In = 0 (6)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0
=⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒
dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RC
Por (5), temos:
Rdq(t)
dt− ξ +
q(t)
C= 0 (7)
Derivando (7) em relação a t, temos:
RdI (t)
dt+
I (t)
C= 0 =⇒ dI
I (t)= − dt
τC; τC = RC (8)
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Circuito RCCircuito RL
onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC=⇒ I (t) =
ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC
=⇒ I (t) =ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC=⇒
I (t) =ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC=⇒ I (t) =
ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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Circuito RCCircuito RL
onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC=⇒ I (t) =
ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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Circuito RCCircuito RL
onde τC é dita constante de tempo. Integrando em t = 0 e t,
quando q = 0 e I (0) = ξR, vem:
ln
(I (t)
I (0)
)= − t
τC=⇒ I (t) =
ξ
Rexp
(− t
τC
)(9)
onde a corrente de carga do capacitor decai exponencialmente com
o tempo. Para t >> τC , temos que I (t) = 0 e o capacitor atinge a
carga �nal Q = Cξ.
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RL
Por (5), temos:
RI − ξ + LdI
dt= 0 (10)
e vemos que (10) é semelhante a (7), fazendo as mudanças q → I ,
R → L e 1C→ R . o que implica que τC → τL ≡ L
R. Logo,
integrando (9), com as mesmas condições iniciais do RC, temos:
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RL
Por (5), temos:
RI − ξ + LdI
dt= 0 (10)
e vemos que (10) é semelhante a (7), fazendo as mudanças q → I ,
R → L e 1C→ R . o que implica que τC → τL ≡ L
R. Logo,
integrando (9), com as mesmas condições iniciais do RC, temos:
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RL
Por (5), temos:
RI − ξ + LdI
dt= 0 (10)
e vemos que (10) é semelhante a (7), fazendo as mudanças q → I ,
R → L e 1C→ R . o que implica que τC → τL ≡ L
R. Logo,
integrando (9), com as mesmas condições iniciais do RC, temos:
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Circuito RCCircuito RL
Circuito RL
Por (5), temos:
RI − ξ + LdI
dt= 0 (10)
e vemos que (10) é semelhante a (7), fazendo as mudanças q → I ,
R → L e 1C→ R . o que implica que τC → τL ≡ L
R. Logo,
integrando (9), com as mesmas condições iniciais do RC, temos:
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Circuito RCCircuito RL
q(t) =
t∫0
I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física III - Circuitos
IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Circuito RCCircuito RL
q(t) =
t∫0
I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.
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IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
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Circuito RCCircuito RL
q(t) =
t∫0
I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.
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q(t) =
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I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.
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q(t) =
t∫0
I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.
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q(t) =
t∫0
I (t ′)dt ′ =
t∫0
ξ
Rexp
(− t ′
τC
)dt ′ (11)
onde encontramos:
q(t) =ξτCR
[1− exp
(− t
τC
)]= ξC
[1− exp
(− t
τC
)](12)
Com as mudanças indicadas, temos, para o circuito RL:
I (t) =ξ
R
[1− exp
(− t
τL
)](13)
mostrando que a corrente se aproxima exponencialmente do seu
valor assintótico I (t →∞) = ξR. Na verdade demora tanto mais
quanto maior for L, devido ao efeito de inércia da Lei da Indução,
que se opõe à variação do �uxo, e por conseguinte da corrente.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física III - Circuitos
IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Circuito RCCircuito RL
Os dois efeitos que acabamos de considerar nos circuitos RC e RL
são típicos efeitos transientes ou transitórios, que tendem a sumir
após alcançada as constantes de tempo respectivas. Em geral,
estudamos somente as soluções estacionárias, que são
caracterizadas por t >> τC (ou t >> τL).
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Circuito RCCircuito RL
Os dois efeitos que acabamos de considerar nos circuitos RC e RL
são típicos efeitos transientes ou transitórios, que tendem a sumir
após alcançada as constantes de tempo respectivas. Em geral,
estudamos somente as soluções estacionárias, que são
caracterizadas por t >> τC (ou t >> τL).
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IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Oscilações Livres num Circuito LC
Por (5), temos:Q
C+ L
dI
dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
dI
dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:
Q
C+ L
dI
dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
dI
dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
dI
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Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
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Derivando em relação ao tempo, temos:
I
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dt2= 0
=⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
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dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒
d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Por (5), temos:Q
C+ L
dI
dt= 0 (14)
Derivando em relação ao tempo, temos:
I
C+ L
d2I
dt2= 0 =⇒ d2I
dt2+ ω2
0I = 0; ω0 = (LC )−12 (15)
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Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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onde ω0 é a frequência angular das oscilacões livres deste circuito.
A equação para I é a equação de um oscilador harmônico de
frequência angular ω0. Usando a notação complexa i =√−1,
temos:
I (t) = Re(Ae iϕ ∗ e iω0t) = A cos(ω0t + ϕ) (16)
Integrando (16), temos:
Q(t) =A
ω0sen(ω0t + ϕ) (17)
e com as condições iniciais, obtemos:
{I (0) = A cosϕ = I0
Q(0) = Aω0senϕ = Q0
=⇒
A =√I 20 + ω2
0Q20
ϕ = tg−1(ω0Q0I0
) (18)
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor.
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor.
A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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A energia armazenada no capacitor no instante t é:
UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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UC (t) =Q2(t)
2C=
A2
2ω20C
sen2(ω0t+ϕ) =1
2LA2sen2(ω0t+ϕ) (19)
que é a energia contida no campo elétrico entre as placas do
capacitor. A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL(t) =1
2LI 2(t) =
1
2LA2 cos2(ω0t + ϕ) (20)
que é a energia contida no campo magnético dentro do indutor. A
energia total é:
U = UC + UL =1
2LA2 =
1
2
A2
ω20C
(21)
e se conserva com R = 0.
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Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física III - Circuitos
IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Oscilações Amortecidas - Circuito RLC
Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:
Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0
=⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒
d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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Por (5), temos:Q
C+ RI + L
dI
dt= 0 (22)
Derivando em relação ao tempo, e dividindo por L, obtemos:
d2I
dt2+
R
L
dI
dt+
1
LCI = 0 =⇒ d2I
dt2+ γ
dI
dt+ ω2
0I = 0 (23)
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onde ω0 = 1√LC
e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
4(26)
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onde ω0 = 1√LC
e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
4(26)
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0
=⇒ p± = −γ2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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onde ω0 = 1√LC
e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒
p± = −γ2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0
=⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒
R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒
R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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onde ω0 = 1√LC
e γ = RL≡ 1
τL. A equação (23) representa um
oscilador harmônico amortecido, onde a resistência introduz o
amortecimento. Usando a notação complexa para a solução:
I (t) = Re(Ae iϕept) (24)
obtemos a equação característica:
p2 + γp + ω20 = 0 =⇒ p± = −γ
2±√γ2
4− ω2
0 (25)
Considerando apenas o caso do amortecimento subcrítico, obtemos:
γ
2< ω0 =⇒ R
2L<
1√LC
=⇒ R < 2
√L
C
p± =γ
2± iω1; ω1 ≡
√ω20 −
γ2
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Logo, (24) �ca:
I (t) = Re(Ae−γ2te i(ω1t+ϕ)) (27)
ou seja:
I (t) = Ae−γ2tcos(ω1t + ϕ) (28)
Desta forma, concluímos que a corrente oscila com amortecimento
exponencial de constante de tempo 2γ ≡ 2τL.
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física III - Circuitos
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
(32)
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Fazendo a aproximação ω1 ≈ ω0 (amortecimento fraco), podemos
determinar a energia armazenada no capacitorno instante t,
integrando (28):
Q(t) =A
ω1e−
γ2tcos(ω1t + ϕ) (29)
Assim:
UC =Q2
2C=
A2
2ω21C
e−γ2tsen2(ω1t + ϕ) ≈ LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ)
(30)
A energia armazenada no indutor no instante t é:
UL =1
2LI 2 =
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ) (31)
Logo, a energia total armazenada no circuito é:
U = UC + UL =LA2
2e−
γ2tsen2(ω1t + ϕ) +
LA2
2e−
γ2tcos2(ω1t + ϕ)
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Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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Oscilações Livres num Circuito LCOscilações Amortecidas - Circuito RLC
Ou seja:
U =LA2
2e−
γ2t (33)
Podemos observar a diferença de (21) e (33) pelo fator de
amortecimento exponencial, tal que dUdt
= −γU. A energia
dissipada por Efeito Joule é:
dW
dt= RI 2(t) = RA2e−γtcos2(ω1t + ϕ) (34)
Integrando em um intervalo equivalente à constante de tempo,
temos:
t+τ∫t
dW
dt ′dt ′ ≈ RA2e−γt
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ (35)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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IntroduçãoTransientes Entre Circuitos
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
onde podemos concluir que a condição de amortecimento fraco
equivale a um elevado fator de mérito (κ >> 1)
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onde o fator exponencial saiu da integral por quase não variar em
um ciclo. Logo:
t+ 2πω1∫
t
cos2(ω1t′ + ϕ)dt ′ =
1
2
2π
ω1(36)
E assim, por (34), obtemos a energia dissipada por ciclo:
Udis =1
2RA2e−γt
2π
ω1(37)
e de�nimos o chamado fator de mérito do oscilador a razão:
κ = 2πU
Udis
=2π LA2
2 e−γ2t
12RA
2e−γt 2πω1=ω1L
R=ω1γ≈ ω0
γ(38)
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