Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

6 de fevereiro de 2009

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

SUMARIO

1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

TOPICOS

1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.

2009

-02-

06Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Tangentes

Tangente a uma circunferencia por um ponto dado

Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e acircunferencia que possui apenas um unico ponto em comumcom esta curva.Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a retaque une os seus centros.

Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

α O

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

α O

PDada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia

α O

PDada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

M

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

M

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Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao

α

P

O

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TOPICOS

1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no15 - Circunferencia tangente

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

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Problema no15 - Circunferencia tangente

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

2009

-02-

06Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Tangentes

Circunferencia Tangente

Problema no15 - Circunferencia tangente

Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e acircunferencia que possui apenas um unico ponto em comumcom esta curva.Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a retaque une os seus centros.

Problema no15 - Circunferencia tangente

α O

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

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Problema no15 - Circunferencia tangente

α O

A

Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

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Problema no15 - Circunferencia tangente

α O

A

P Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

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Problema no15 - Circunferencia tangente

α O

A

P Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

M

N

1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

M

N

I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao

α

P

O

A

I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};

4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};

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TOPICOS

1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia

Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia

α O

Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia

α O

α′O′

Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia

α O

α′O′

Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

M N

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

M NI

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

M NI

β1

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

I

β1

β2

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

I

β1

β2

P Q

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

I

β1

β2

P QA D

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

A D

B C

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao

α

O

α′O′

A D

B C

1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;

3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};

OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;

O′C//OD;9 AB;

CD;

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Revisando

α

O

α′

O′

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α

O

α′

O′

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Revisando

α

O

α′

O′

M N

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α

O

α′

O′

M NI

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Revisando

α

O

α′

O′

I

β1

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α

O

α′

O′

I

β1

β2eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

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α

O

α′

O′

I

β1

β2

P Q

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α

O

α′

O′

I

β1

β2

P QA D

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α

O

α′

O′

A D

B C

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α

O

α′

O′

A D

B C

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