Post on 18-Apr-2015
Trigonometria
Autor: José António Fernandes de Freitas
Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011
Aplicações da Trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais
gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí
vem o seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos,
assim através do estudo da Trigonometria podemos
calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e
ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular
distâncias inacessíveis
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que
além do seu uso na Matemática, também é usado no
estudo de fenómenos físicos, Eletricidade, Mecânica,
Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da
trigonometria
Distâncias dentro do sistema
solar Distância de planetas inferiores
Quando o planeta inferior (tem a sua órbita menor que a da terra)
em máxima elongação (emax), o ângulo entre a Terra e o Sol, na
posição do planeta, será 90º. Então, nessa situação Sol, Terra e
planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta
ao sol será:
Distância de planetas superiores
Considerando o triângulo formado pelo sol, Terra e planeta
(SE’P’), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da terra é 90º, e o
ângulo formado entre a Terra e o planeta é α. Então a distância
entre o Sol e o planeta será:
Determinação do raio lunar
Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe
forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua
se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas
utilizando a lei do seno:
substituindo, , o que deduz a fórmula:
Determinação da altura de
casas, montanhas, torres, …
Análise e estudo da frequência
cardíaca.A variação da pressão sanguínea (em mm HG) de uma pessoa, em
função do tempo (em s), é uma função trigonométrica cuja lei é
dada por:
Fenómenos periódicos
Em matemática, as funções trigonométricas são
funções angulares, importantes no estudo dos
triângulos e na modelação de fenómenos
periódicos.
Nós chamamos um fenómeno de periódico
quando este fenómeno se repete após certo
intervalo de tempo (período).
Se um fenómeno é sabidamente periódico,
podemos prever com relativa facilidade o que
ocorre em momentos não observados.
Alguns exemplos de fenómenos periódicos
Movimento das marés
Ciclo menstrual da mulher
As fases da Lua
Movimento de um pêndulo
Ciclo dia e noite (rotação da
Terra)
Função Seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a
relação que associa a cada x ϵ IR, o seno do
ângulo x, definido pelo número real sen(x).
A função é definida por f(x) = sen(x) ou y =
sen(x)Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico
da restrição da função seno ao intervalo [0,
2π].
O traçado representado na figura anterior
corresponde a uma volta no círculo
trigonométrico, de 0 a 2π. Continuando a dar
voltas no círculo, no sentido positivo ou no
sentido negativo, obtém-se o gráfico da função
seno, que pode ser visto como uma sucessão
repetitiva da curva anteriormente apresentada.
A seguir apresenta-se parte da representação
gráfica da função seno, um pouco mais
«estendida» no seu domínio. O gráfico da função
seno é uma curva que se designa por sinusóide.
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha orientada.
A periodicidade das funções trigonométricas permite que
estas sejam frequentemente utilizadas para definir
modelos matemáticos que ajudam à compreensão de
inúmeros fenómenos periódicos, tais como: marés, fases
da lua, ondas sonoras, órbitas de satélites, etc.
Um modelo muito utilizado para este tipo de fenómenos é
definido por f(x) = a.sen(bx + m) + k, onde os parâmetros
reais a, b e m são, em vários contextos, designados como
amplitude, frequência e desfasamento, respectivamente.
Transformações no gráfico da função seno
Situação 1: Consideremos a função cuja expressão é dada
por y = f1 (x) = sen(x) + k, onde k é uma constante real. A
pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante
k no gráfico desta nova função quando comparado ao
gráfico da função inicial y = sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Sugere-se uma pequena investigação sobre esta família de
funções.
Partindo da função seno e recorrendo ao Geogebra, estude a
influência de cada parâmetro no comportamento da função,
nomeadamente em relação ao período, contradomínio, zeros e
extremos.
Situação 2: Ainda podemos pensar numa função seno que
seja dada pela expressão y = f2 (x) = a.sen(x), onde a é
uma constante real, a ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:
“Qual a ação da constante a no gráfico desta nova função
quando comparado ao gráfico da função inicial y =
sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 3: Consideremos agora uma função seno que
seja dada pela expressão y = f3 (x) = sen(x + m), onde m é
uma constante real, m ≠ 0. A pergunta natural a ser feita
é: “Qual a ação da constante m no gráfico desta nova
função quando comparado ao gráfico da função inicial y =
sen(x)?”
Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 4: Consideremos agora uma função seno que seja
dada pela expressão y = f4 (x) = sen(bx), onde b é uma
constante real, b ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:
“Qual a ação da constante b no gráfico desta nova função
quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?”
Agora que já estudou o efeito de cada parâmetro
separadamente, chegou o momento de os colocar a todos em
ação.
O gráfico da função f(x), representado a negro, foi gerado
aleatoriamente.
O seu desafio é encontrar os valores dos coeficientes a, b, c e d
da função g(x) (a vermelho) de modo que o gráfico desta função
seja igual ao gráfico de f(x).
Para resolver o desafio clique aqui.
Função Cosseno
A função cosseno é a correspondência unívoca que associa a
cada número real x o valor do cosseno de x, tal como definido
no círculo trigonométrico.
Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da
função cosseno ao intervalo [0, 2π].
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função
cosseno, um pouco mais «estendida» no seu domínio.
O gráfico da função cosseno é o transformado do gráfico da
função seno pela translação horizontal associada ao vetor
(-π/2 ; 0).
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 14, 15, 16 e 17 da ficha orientada.
Função Tangente
A função tangente é a correspondência unívoca que associa a
cada número real x, que não pertença a
{x ϵ IR : x = (π/2) + k π, k ϵ Z}, o valor da tangente de x, tal
como definido no círculo trigonométrico.Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da
função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a
tangente está definida.
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função
tangente, um pouco mais «estendida» no seu domínio.
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 20, 21, 22 e 23 da ficha orientada.
Observe, agora, como as funções trigonométricas também
podem representar figuras interessantes.
Figura 1 – clique aqui.
Figura 2 – clique aqui.
Figura 3 – clique aqui.
FIM
Ficha técnica
Autor da atividade : José António Fernandes de Freitas
Licença da atividade: Creative Commons da Casa das Ciências