Caminhos mais longos em um grafo - USP · 2016. 2. 18. · Preliminares O problema do caminho mais...

PreliminaresO problema do caminho mais longo

Interseccao de caminhos mais longosUm novo resultado

Conclusoes

Caminhos mais longos em um grafo

Susanna Figueiredo de RezendeOrientadora: Yoshiko Wakabayashi

Instituto de Matematica e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo

15 de novembro de 2011

Susanna Rezende, Yoshiko Wakabayashi Caminhos mais longos em um grafo 1 / 25

Conclusoes

1 Preliminares

2 O problema do caminho mais longo

3 Interseccao de caminhos mais longos

4 Um novo resultado

5 Conclusoes

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

E: Arestas (pares nao ordenados de vertices)

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

Conclusoes

Grafos

G = (V ,E )

V: Vertices

Conclusoes

PlanaridadePlanarNao-planar

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Sequencia de vertices (e arestas) distintosExemplo: C-D-F-BComprimento: 3Nao e caminho: C-D-F-B-A-H-F-E

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Conclusoes

CaminhosP: Caminho

Conclusoes

CaminhoC: Circuito

Sequencia de vertices (e arestas) distintos exceto nasextremidadesExemplo: C-D-F-B-CComprimento: 4

Conclusoes

CaminhoC: Circuito

Conclusoes

CaminhoC: Circuito

Conclusoes

CaminhoC: Circuito

Conclusoes

CaminhoC: Circuito

Conclusoes

Dois problemas relacionados

Encontrar caminho mais curto

Encontrar caminho mais longo

Conclusoes

Grafos conexos

Conclusoes

Grafo nao-conexo:

Conclusoes

Dois problemas relacionadosDificuldade

Encontrar caminho mais curto:

DificuldadeProva

Conclusoes

Encontrar caminho mais curto:

DificuldadeProva

Conclusoes

Encontrar caminho mais longo:

DificuldadeProva

Conclusoes

DificuldadeProva

Conclusoes

DificuldadeProva

Conclusoes

DificuldadeProva

Conclusoes

Mais curto vs. mais longo

DificuldadeProva

Conclusoes

DificuldadeProva

Conclusoes

DificuldadeProva

Conclusoes

Dois problemas relacionadosMotivacao

Caminho HamiltonianoBiologia ComputacionalPERT: Program Evaluation and Review Technique

Conclusoes

www.fmnh.org and www.connect.in.comSusanna Rezende, Yoshiko Wakabayashi Caminhos mais longos em um grafo 9 / 25

Conclusoes

www.rff.comSusanna Rezende, Yoshiko Wakabayashi Caminhos mais longos em um grafo 9 / 25

Conclusoes

O problema do caminho mais longo

Problema

Encontrar um caminho de comprimento maximo em G .

NP-difıcil para grafos arbitrarios.Para algumas classes especıficas de grafos existemalgoritmos polinomiais:

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

NP-difıcil para grafos arbitrarios.Para algumas classes especıficas de grafos existemalgoritmos polinomiais:Arvores (Dijkstra ’60)

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

Conclusoes

Problema

NP-difıcil para grafos arbitrarios.Para algumas classes especıficas de grafos existemalgoritmos polinomiais:Cactus (Uehara e Uno ’05)

Conclusoes

Problema

NP-difıcil para grafos arbitrarios.Para algumas classes especıficas de grafos existemalgoritmos polinomiais:Cactus (Uehara e Uno ’05)

Conclusoes

Problema

NP-difıcil para grafos arbitrarios.Para algumas classes especıficas de grafos existemalgoritmos polinomiais:Grafos de intervalo (Ioannidou e outros ’10)

Conclusoes

Interseccao de 2 caminhos mais longos

Conclusoes

Encontrar caminhos mais longos distintos:

Conclusoes

Sempre acontece?Susanna Rezende, Yoshiko Wakabayashi Caminhos mais longos em um grafo 11 / 25

Conclusoes

Assercao

Quaisquer 2 caminhos mais longos se intersectam.

Conclusoes

Assercao

P1 e P2: caminhos mais longosM : caminho (mınimo) que liga P1 a P2

Conclusoes

Assercao

P1 e P2: caminhos mais longosM : caminho (mınimo) que liga P1 a P2

Conclusoes

Assercao

P ′1: maior segmento de P1

P ′2: maior segmento de P2

Conclusoes

Assercao

P = P ′1 ·M · P ′

‖P‖ ≥ ‖P1‖+ ‖M‖

Conclusoes

Interseccao de caminhos mais longos

Para 2 e verdade.

E para...

Conclusoes

Para 2 e verdade.

E para...

Conclusoes

Para 2 e verdade.

E para...

Fonte: www.lunchoverip.com

Conclusoes

Interseccao de caminhos mais longosGallai (’66):

Problema P∞

Para qualquer grafo G , existe sempre um vertice comum atodos os caminhos mais longos?

Conclusoes

Primeiro exemplo

Walther (’69)

25 vertices

13 caminhos

Conclusoes

Perguntas

Novas perguntas, Zamfirescu (’72):

Este exemplo e minimal?

E com restricoes (planaridade, maior conectividade)?

Para que classes de grafos a propriedade e verdade?

E a interseccao de apenas alguns caminhos mais longos?

Conclusoes

Perguntas

Conclusoes

Perguntas

Conclusoes

Perguntas

Conclusoes

Perguntas

Conclusoes

Exemplo minimal

Walther e Zamfirescu

Apenas 12 vertices

9 caminhos

Conclusoes

Exemplo minimal planar

Schmitz (’75)

17 vertices

Planar

7 caminhos

Conclusoes

Classes especiais de grafos

Arvores

Grafos arco-circulares - Balister e outros ’04

Conclusoes

Arvores

Conclusoes

Arvores

Conclusoes

3 caminhos

Em aberto:

Problema

Existe um vertice comum a quaisquer tres caminhos maislongos em G ?

Conclusoes

3 caminhos

Em aberto:

Problema

Axenovich (’09): Grafos Exoplanares

Conclusoes

3 caminhos

Em aberto:

Problema

Conclusoes

3 caminhos

Em aberto:

Problema

Conclusoes

Um novo resultadoTeorema

Se G e exoplanar, entao existe um vertice comum a todos oscaminhos mais longos.

Conclusoes

ProvaProposicao - Klavzar e Petkovsek (’90)

Existe um vertice comum a todos os caminhos mais longos emG ⇔ para todo bloco B de G , todos os caminhos mais longosque tem pelo menos uma aresta em B tem um vertice emcomum.

Conclusoes

Artigo Axenovich ’09

Resultado mais geral apresentado

Outro resultado mais geral

Problemas em aberto

“Gap” muito grande (2 a 7)

Conclusoes

Problemas em aberto

Conclusoes

Problemas em aberto

Conclusoes

Problemas em aberto

Conclusoes

Problemas em aberto

Conclusoes

Obrigada!

Caminhos mais longos em um grafo - USP · 2016. 2. 18. · Preliminares O problema do caminho mais...

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