CAPACIDADE DE PROCESSO

O QUE É E PARA QUE SERVE

Tópicos

• Revisão de conceitos fundamentais (média, variância, desvio padrão, variável aleatória, distribuição de probabilidades)

• Distribuição normal• Conceito de capacidade do processo• Índices de capacidade Cp e Cpk• Análise da capacidade do processo

Média e...

• A média aritmética simples é uma medida de tendência central dos dados; usa-se:– para a média de uma população – x (X barra) para a média de uma amostra

n

xx

N

x

n

ii

N

ii

1

1onde N = tamanho da população

onde n = tamanho da amostra

... desvio padrão

• O desvio padrão é uma medida de dispersão dos dados; usa-se:– para o d. p. de uma população – Sx para o d. p. de uma amostra

1

)(

)(

1

2

1

2

n

xxS

N

x

n

ii

x

N

ii

O d. p. é a raiz quadrada da variância, que é a média da soma dos desvios quadráticos (em relação à média)

Usando o Excel

• Para ajudar nos cálculos, o Excel tem as funções– MÉDIA– DESVPAD retorna o desvio padrão de uma amostra– DESVPADP retorna o desvio padrão de uma população– VAR retorna a variância de uma amostra– VARP retorna a variância de uma população

• Para todas elas, o argumento é uma faixa de células contendo números

Variáveis aleatórias

• Uma variável aleatória (v. a.) tem o seu valor influenciado pelo acaso

• Exemplos: resultado do lançamento de uma moeda, resultado do lançamento de um dado, carta retirada de um baralho, resultado de uma rodada de roleta

• Todos os exemplos se referem a jogos de azar, nos quais evidentemente o acaso influencia o resultado observado. Mas...

• Estas variáveis também são influenciadas pelo acaso– altura média de um grupo de 300 adultos

escolhidos aleatoriamente no Vale do Anhangabaú– número de clientes que procuraram a agência

3045 do banco Itaú hoje– valor da tensão da rede elétrica– temperatura interna de um forno de refusão– número de falhas em um lote de cartões

• Em geral, o resultado de qualquer processo

Processos

• O resultado de um processo sempre apresenta alguma variabilidade

• Se o processo está no que se denomina “estado de controle estatístico” considera-se que a variabilidade é devida somente ao acaso

• Tem-se um “sistema estável de causas aleatórias” cujo resultado é previsível através de técnicas estatísticas

O que é uma distribuição de probabilidades?

• Parece complicado mas não é... Vejamos– não se sabe exatamente o valor que uma variável

aleatória terá quando for observada– mas muitas vezes se conhece a chance

(=probabilidade) associada aos valores que ela pode assumir

– ou seja, conhecemos a distribuição de probabilidades da variável

O caso de um dado (não viciado!)

• Considere o lançamento de um dado. A variávelx=“número sorteado” é uma variável aleatória.

• É impossível prever o valor de x a cada lançamento, porque não conhecemos todos os fatores que determinam como o dado vai parar

O caso de um dado...

• Mas sabemos que a chance (=probabilidade) de sair o número 1, ou o 2, ou o 3, ou o 4, ou o 5 ou o 6 é a mesma e vale 1/6 = 0,1666666

• P(x=1) = P(x=2) = .... = P(x=6) = 1/6

• Lance um dado 1000 vezes, anote o resultado de cada lançamento, conte quantas vezes saiu cada número e divida por 1000 para encontrar P(x=1), P(x=2), etc

Distribuição teórica

P(x=1) = P(x=2) = P(x=3) = P(x=4) = P(x=5) = P(x=6) = 1/6

Distribuição observada: simulação por computador de 1000 lançamentos

P(x=1) P(x=2) P(x=3) P(x=4) P(x=5) P(x=6) 1/6

O caso de um dado...

• Assim pode-se dizer que a v. a. x tem uma distribuição de probabilidade uniforme, descrita por

• Esta distribuição é discreta, pois a v. a. somente pode assumir determinados valores

• Observe que a soma de todos os P(x) é igual a 1

6;5;4;3;2;10)(

6;5;4;3;2;16

1)(

nnxP

nnxP

Distribuições contínuas

• Imagine o experimento mostrado ao lado

• O ponteiro gira muito rapidamente e para em um ponto qualquer

• Qual a probabilidade que ele pare no ponto x indicado na figura?

x

• O número de pontos na circunferência é infinito– não tem sentido buscar a probabilidade de parar

exatamente no ponto x– mas tem sentido buscar a probabilidades de parar

em um intervalo:• no primeiro quadrante prob. = 25%• entre = 0 e = /4 radianos (45º) prob. = 12,5%

• de maneira geral, a probabilidade de que o ponteiro pare entre os pontos a (angulo 1) e b (ângulo 2) marcados na circunferência, cujo ângulo total é 2 radianos, é

• p representa a área de um retângulo de base 2

- 1 e altura ½

• Isto pode ser escrito como

2)( 1221

p

a

x

b

1)20(

2

1)(

2

121

p

verificaseonde

dp

1 2

½

Distribuição normal

• A distribuição normal é descrita por

onde µ é a média e o desvio padrão• Uma distribuição normal fica perfeitamente

determinada por e ; notação N(; )

2)(

2

1

2

1)(

x

exf p.d.f

Distribuição normal: efeito de e

A área total sob a curva normal é igual a 1, ou seja,

então, a probabilidade até um ponto x qualquer é

esta função se chama cdf.

A distância de x em relação à média, medida em desvios padrão, é

1)( dxxf

xdxxf )(

x

z

Com =0 e =1 tem-se a distribuição normal padrão N(0;1)

Pontos importantes

• A distribuição normal tem ampla aplicação na prática, pois descreve de maneira adequada as distribuições de freqüência observadas em muitos fenômenos naturais.

• Por exemplo, diversas variáveis biométricas, tais como peso e altura, seguem a distribuição normal.

• A distribuição de frequências das médias de amostras extraídas de uma população também segue a distribuição normal, o que é de fundamental importância para a inferência estatística.

Pontos importantes

• Simetria– 50% da área até a média, 50% após a média– área entre –z e a média exatamente igual à área

da média até +z– área de - até –z exatamente igual à área de +z até

+ • Decrescimento rápido: teoricamente vai de -

até +, mas na prática 99,73% da área entre z=-3 e z=+3; 99,9937% entre z=-4 e z=+4; etc.

z = 1 ~68% entre –z e +z

z = 3 ~99,73% entre –z e +z0,135% em cada cauda da distribuição

z = 1,65 ~90% entre –z e +z~5% em cada cauda da distribuição

z = 1,96 ~95% entre –z e +z~2,5% em cada cauda da distribuição

z = 2,33 ~98% entre –z e +z~1% em cada cauda da distribuição

z = 2,58 ~99% entre –z e +z~0,5% em cada cauda da distribuição

Usando o Excel

• Para ajudar nos cálculos, o Excel tem as funções– DIST.NORM(x; ; ; cum)

• se cum=FALSO, retorna o valor da pdf [f(x)]• se cum=VERDADEIRO, retorna a probabilidade até x

– DIST.NORMP(z) – retorna a probabilidade até z– INV.NORM(p; ; ) – retorna o valor de x

• p é a probabilidade desejada

– INV.NORMP(p) – retorna o valor de z

Exemplos DIST.NORM(90; 95; 2,5; VERDADEIRO) = 0,02275INV.NORM(0,02275;95; 2,5) = 90DIST.NORMP(2) – 0,02275INV.NORMP(0,02275)=2

Use DIST.NORM(x; ; ; FALSO) com x variando de -4 a +4 para obter um gráfico da distribuição normal N(; )

-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Series1

Exemplo de cálculo

• O processo de teste de determinado equipamento requer a leitura de uma tensão nos terminais de um componente. Analisando centenas de medidas realizadas, um engenheiro verificou que a distribuição dos valores poderia ser bem aproximada por uma distribuição normal com média 50 V e desvio padrão de 0,85 V. Com base nestes dados, determinar as probabilidades de que uma leitura a) esteja entre 50,5 e 51,5 V b) seja inferior a 49 V c) seja superior a 52 V d) determinar também: os valores da tensão entre os quais se situarão 95% das medidas.

Capacidade de um processo

• Em uma linha de produção é preciso usar um forno que mantenha a temperatura em 200 ± 10ºC.

• Isto é uma especificação, ou seja, uma característica que o equipamento deve ter.

• 200 ºC é o valor nominal da especificação190 ºC é o limite inferior de especificação LIE210 ºC é o limite superior de especificação LSE

• Ao implementar o processo, uma empresa compra / aluga / constrói um forno que deve atender a especificação desejada

• Para verificar se o forno é adequado, são feitas 50 medidas da temperatura, com o resultado sumarizado no próximo slide

Comentários:

O histograma das medições tem o formato que se espera: a maioria dos valores estão mais ou menos próximos do valor nominal e há alguns valores mais afastados,; nota-se que, de modo geral, a quantidade de valores em cada barra diminui à medida que se afastam da média.

Como vimos, este tipo de distribuição de valores, que lembra o formato de um sino (“bell-shaped”) chama-se distribuição normal.

Há vários testes estatísticos que podem determinar se um conjunto de dados pode ter sido gerado a partir de uma distribuição normal. Neste caso, definitivamente SIM.

O processo usando este forno atende a especificação?

• Para responder a esta pergunta, considere o seguinte– um processo “em controle estatístico” opera entre os

limites de -3 e +3– estes limites são chamados de limites naturais de

tolerância: LIT e LST – são inerentes ao processo e não dependem da

especificação– 99,73% dos valores estarão entre o LIT e o LST; 0,135%

abaixo do LIT e 0,135% acima do LST, num total de 0,27% fora dos limites de tolerância

• As medidas realizadas indicam que a temperatura do forno varia de acordo com uma distribuição normal N(200;3,333)

• Logo, temos LIT = 200 -33,33 = 190 LST = 200 + 33,33 = 210

• Os limites naturais de tolerância (observados no processo) e os limites de especificação (desejados pelo projetista) coincidem

Colocando em um gráfico...

Conclusão: a temperatura do forno estará dentro da spec 99,73% do tempo e fora da spec 0,27% do tempo (2700 PPM)

Gráfico normalizado

Seria ainda melhor se...

A temperatura do forno estará dentro da spec 99,9937% do tempo e fora da spec 0,0063% do tempo (63 PPM)

Gráfico normalizado

e péssimo se fosse assim

A temperatura do forno estará dentro da spec 95,50% do tempo e fora da spec 4,50% do tempo (45000 PPM)

Gráfico normalizado

ÍNDICES DE CAPACIDADE

• Para comparar o desempenho de diferentes processos há os índices de capacidade

• Um índice de capacidade é um indicador que mostra quão adequado é o processo para atender as especificações.

• Só tem sentido calcular estes índices quando o processo está “em controle estatístico”

Cp (usado para processos centrados)

• Quando– Cp = 1 processo marginalmente capaz

– Cp > 1 processo capaz

– Cp < 1 processo não capaz

6)3()3(

LIELSELIELSE

LITLST

LIELSEC p

Analisando os três casos: Caso 1

Marginalmente capaz, com Cp = 1 (2700 PPM)

Valores do exemploSpecNominal = 200LSE = 210LIE = 190

ProcessoMédia = 200s= 3,33LST = 210LIT = 190

Cp = 20/20 = 1

Gráfico normalizado

Caso 2

Capaz, com Cp = 1,33 (63 PPM)

Valores do exemploSpecNominal = 200LSE = 210LIE = 190

ProcessoMédia = 200s= 2,50LST = 207,5LIT = 192,5

Cp = 20/15 = 4/3 = 1,33

Gráfico normalizado

Caso 3

Não capaz, com Cp=0,67 (45000 PPM)

Valores do exemploSpecNominal = 200LSE = 210LIE = 190

ProcessoMédia = 200s= 5,0LST = 215LIT = 185

Cp = 20/30 = 4/6 = 0,67

Gráfico normalizado

Cpk (processos não centrados)

3

)( , LHpk

L

H

ZZMinC

LIEZ

LSEZ

Caso 1AValores do exemploSpecNominal = 200LSE = 210LIE = 190

ProcessoMédia = 203,33s= 3,33LST = 213,33LIT = 193,33

ZH = 6,66/3,33 = 2ZL=13,33/3,33 = 4

Cpk = 2/3 = 0,67Não capaz, com Cpk = 0,67 (22750 PPM)

CASO 2AValores do exemploSpecNominal = 200LSE = 210LIE = 190

ProcessoMédia = 197,5s= 2,5LST = 205LIT = 190

ZH = 12,5/2,5 = 5ZL=7,5/2,5 = 3

Cpk = 3/3 = 1Marginalmente capaz, com Cpk = 1 (1350 PPM)

Capacidade de processo x PPM

• A área da distribuição normal que ultrapassa os limites de especificação corresponde a não conformidades.

• Conhecendo o valor de Cp, é possível determinar esta área, que é a soma das áreas nas duas caudas da distribuição

• Conhecendo o valor de Cpk é possível determinar a área na cauda da distribuição no lado correspondente ao deslocamento da média

)(1)()(

,,

,

3||

6||2

66

LIE-LSE

LELE

LE

pp

Pp

zpzpLEdosforap

zsejaoupadrãodesvios

emmedidamédiaaatéLEdodistânciaa

éigualdadedatermoprimeirooMas

CLE

CLE

simetriaàdevido

CLIELSE

C

Nota: para Cpk considera-se somente uma das parcelas da soma!

Tabela de Cp/Cpk e PPM

Cp / Cpk PPM Cp / Cpk PPM Cp / Cpk PPM

1,05 1633 1,55 3,3

1,10 967 1,60 1,6

0,25 453255 1,15 561 1,65 0,74

0,50 133614 1,20 318 1,70 0,34

0,75 24449 1,25 177 1,75 0,15

0,80 16395 1,30 96,2 1,80 0,07

0,85 10772 1,35 51,2 1,85 0,03

0,90 6934 1,40 26,7 1,90 0,01

0,95 4372 1,45 13,6 1,95 0,005

1,00 2700 1,50 6,8 2,00 0,002

Nota: Para Cpk, usar PPM/2

Programa 6-Sigma e PPM

• Os programas de qualidade baseados na metodologia conhecida como 6-Sigma propõe atingir o nível de defeitos de 3,4 PPM em todos os processos

• Este é o nível de qualidade 6-Sigma, que seria atingido quando se tivesse Cp=2

• Porém, verificando a tabela anterior, vê-se que Cp=2 corresponde a 2 partes por bilhão, muito melhor que a proposta do programa

• A razão disto é que a métrica destes programas admite um deslocamento a longo prazo de até 1,5 desvios padrão na média dos processos

• Assim, para calcular o PPM correspondente a um nível de qualidade discutido no contexto destes programas (usaremos a sigla SSQL):– subtrair 1,5 do SSQL (SSQL corresponde a zLE)

– dividir o resultado por 3 (para encontrar Cpk)– olhar o PPM na tabela anterior e dividir por 2, ou usar

o Excel com a fórmula DIST.NORMP(-zLE)

Níveis de Qualidade

• A tabela mostra os níveis de qualidade no contexto de um programa 6-Sigma

Nível de qualidade

Cp Min(zH;zL) Cpk PPM Comentário

6 2,00 4,50 1,50 3,4 Classe Mundial

5 1,67 3,50 1,16 233 Muito acima da média

4,2 1,40 2,70 0,90 3467 Acima da média

4 1,33 2,50 0,83 6210 Média

3 1,00 1,50 0,50 66807 Média

2 0,67 0,50 0,16 308538 Abaixo da média

Análise da capacidade do processo

• A análise da capacidade do processo é um estudo destinado a verificar se o desempenho a longo prazo de um processo atende os requisitos de engenharia e de negócio.

• É importante repetir que é essencial que o processo a ser analisado esteja sob controle estatístico.

• Pysdek (2001) sugere uma abordagem para a realização de uma análise de capacidade do processo a qual contém 10 passos

1. Selecionar um processo para estudoEm geral há vários processos que podem ser objeto de um estudo de capacidade e é necessário selecionar um deles. Há várias técnicas de seleção de projetos que podem ser aplicadas.

2. Definir o processoSignifica definir de maneira formal o processo a ser abordado: entradas, saídas, controles, recursos, operações e responsáveis

3. Obter os recursos para o estudoComo toda iniciativa desta natureza, este estudo requer o dispêndio de recursos materiais e humanos para ser realizado, além de possivelmente causar alguma perturbação na operação dia a dia. Tudo isto precisa ser negociado de antemão.

4. Avaliar o sistema de mediçãoDeterminar as características do sistema de medição, certificando-se de que as medidas requeridas poderão ser realizadas.

5. Preparar um plano de controle Um plano de controle é um documento que descreve em detalhes todos os passos de um processo, em geral usando um formato pré-definido.

6. Selecionar o método de análiseDeterminar as ferramentas que serão usadas para análise da capacidade do processo, tais como histogramas, gráficos de probabilidades, cartas de controle para atributos, cartas de controle para variáveis, etc

7. Coletar e analisar os dadosColetar os dados relevantes e analisar estes dados

8. Determinar e eliminar as causas especiaisSe houver causas especiais de variação atuando sobre o processo, elas devem ser eliminadas.

9. Estimar a capacidade do processoCom base nos dados coletados e tendo confirmado que o processo está sob controle estatístico, é possível estimar sua capacidade.

10. Estabelecer um plano para melhoria contínuaSe o processo não atende os requisitos de engenharia ou de negócio, é necessário definir o que será feito para melhorar seu desempenho. Mesmo se o processo atende tais requisitos, organizações focadas na melhoria contínua irão buscar um desempenho ainda melhor do processo.

Bibliografia1. FREUND, John E. Modern Elementary Statistics. New York: Prentice-Hall,

1988.2. HINES, William W. e MONTGOMERY, Douglas C. Probability and Statistics in

Engineering and Management Science. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1980.

3. KOTZ, Samuel e JOHNSON, Norman L. Process Capability Indexes - A Review, 1992 – 2000. Journal of Quality Technology, Milwaukee: American Society for Quality, vol. 34, n. 1, p. 2–19, Jan. 2002.

4. MONTGOMERY, Douglas C. Introduction to Statistical Quality Control. New York: John Wiley & Sons, 1985.

5. PYZDEK, Thomas. The Six Sigma Handbook. New York: McGraw-Hill, 2001.6. STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. Tradução de

Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil, 1981. Título original: Business Statistics: Concepts and Applications.