Circunferência

Comprimento de um arco de circunferência

70º

O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm.

1.1. Determina o comprimento do arco BC.

x______ º70

52______º360

360

1070 x

cmx 11,6

________x º70

5_______ º360 2

360

570 2 x

Área do Sector circular

O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm.

1.1 Determina a área do sector circular.

70º

227,15 cmx

Circunferência

Na figura:

[EF], [CD] e [GH] são cordas;

[CD] é um diâmetro.

Corda é o segmento de reta que une dois pontos da circunferência

Diâmetro é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência

Arco de circunferência

Os pontos A e B dividem a circunferência em

dois arcos:

• Arco menor AB

• Arco maior AB ou arco ACB

Arco de circunferência - parte de uma circunferência compreendida entre

dois dos seus pontos.

Posição relativa de uma reta e de uma circunferência

Reta tem um ponto

comum com a

circunferência.

Reta tangente à

circunferência.

A reta tem com a

circunferência dois

pontos comuns

Reta secante à

circunferência

A reta não tem pontos

comuns com a

circunferência.

Reta exterior à

circunferência

Propriedades Geométricas em circunferências

Reta tangente a uma circunferência

[DE] é um diâmetro

AE é tangente à circunferência

no ponto E

AÊD=DÊB

AÊD+DÊB=180º

Então, DÊB=90º

Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que

contém o ponto de tangência.

Perpendicular ao ponto médio de uma corda

Desenhamos uma circunferência, uma

corda e a reta perpendicular ao meio

da corda.

Sendo a reta r perpendicular ao meio da

corda, a reta r é a mediatriz do

segmento [AB].

O ponto O dista igualmente de A e

B, o ponto O pertence à recta r.

Numa circunferência, uma reta perpendiculatr a uma corda no seu ponto

médio contém o centro da circunferência..

Retas paralelas e circunferência

[BC] // [DE]

A reta p é perpendicular às

retas r e s e contém o ponto O.

Se dobrares a figura pela reta p. O

segmento [DB] é simétrico do segmento

[CE] relativamente ao eixo de simetria p

Assim, BD= CE e

Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre retas

paralelas são congruentes.

_________

CEDB

Numa circunferência, a arcos congruentes correspondem cordas

congruentes e vice-versa.

Ângulo ao centro

Ângulo ao centro é um ângulo que tem o

vértice no centro da circunferência. arco

∢BOC é um ângulo ao centro na

circunferência de centro O

Amplitude de um ângulo ao centro

Qual é a amplitude do ângulo AOB?

90º [ABCD] é um quadrado.

AÔB=90º

A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido

entre os seus lados.

AÔB=AB=90º

Cordas,arcos e ângulos ao centro

42º

42º

42º

42º

Numa circunferência,a arcos congruentes correspondem cordas e ângulos ao

centro congruentes.

Numa circunferência, a cordas congruentes correspondem arcos e ângulos ao

centro congruentes.

Numa circunferência, a ângulos ao centro

congruentes correspondem cordas e arcos

congruentes.

Observe a figura e determine x

a)

45º x

x 57º

220º

x

b) c)

Ângulo inscrito numa circunferência

Um ângulo inscrito numa circunferência é um

ângulo que tem o vértice na circunferência e

os seus lados contêm cordas

O ∢BCD é um ângulo inscrito numa

circunferência de centro O

Relação entre ângulo ao centro e o correspondente ângulo inscrito

[ABC] é equilátero, tem os ângulos todos

iguais.

22

º120 AÔBBÂC

A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco

compreendido entre os seus lados.

120º 120º

120º

60º

120º

2

BCBÂC

BÂC 2BC

Amplitude de um ângulo inscrito

Observe as figuras e determine x

22º

x

a)

70º

x

b)

Propriedades:

CÊDCÂD

2

CDCÂD

2

CDCÊD

Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma

amplitude.

Propriedade 1

2

BCBÂC

º902

º180BÂC

Os ângulos inscritos numa semicircunferência são

ângulos retos.

Propriedade 2

Propriedade 3

2

BÊD

2

BÂD

BÂDBÊD 22

º360 º18022

Mas,

BÂDBÊD º180

, então

Logo,

A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero, inscrito numa circunferência é

180º.

[ABDE] é um quadrilátero

inscrito numa circunferência

Ângulo com vértice no interior da circunferência

De acordo com os dados da figura, determina

º502

º100m

º302

º60n

º80º30º50

Outro processo:

º802

º160

2

º60º100

Ângulo com vértice no interior da circunferência

∢BPA é um ângulo com vértice no interior da

circunferência

nm

2

DCn e

2

BAm

2

DCBA

22

DCBA

Ângulo com vértice no interior da circunferência é igual a metade da soma

das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus

prolongamentos.

De acordo com os dados da figura, determina

º702

º140m

º152

º30n

º55º15º70º15º70

Outro processo:

º552

º110

2

º30º140

Ângulo com vértice no exterior da circunferência

Ângulo com vértice no exterior da circunferência

De acordo com os dados da figura, determina

nmnm

2

BAm

2

DCn

Ângulo com vértice no exterior da circunferência é igual a metade da

diferença entre as amplitudes dos arcos maior e menor compreendidos

entre os seus lados.

222

DCBADCBA

Ângulo ex-inscrito

222ˆ yxyxACB

CAEAECACB ˆˆˆ

Ângulo ex-inscrito é um ângulo em que tem vértice na circunferência e esta

é intersetada por um dos seus lados e pelo prolongamento do outro lado.

Ângulo de um segmento é um ângulo em que um dos lados é tangente à

circunferência e o outro lado contém o ponto de tangência e outro ponto da

circunferência

Ângulo de um segmento

2

x

paralelos. lados de internos alternos ângulos são porque CAV ˆ CVA

2

xCVA

2

AVCVA , Logo

A amplitude de um ângulo de um segmento é igual a metade da amplitude

do arco compreendido entre os seus lados.

Ângulo de um segmento