Cálculo IIIAula 6 – Método da Redução de Ordem,

Raízes Repetidas da Equação Característica,Equação de Euler e Equações de Ordem Superior.

Marcos Eduardo ValleDepart. Matemática Aplicada

IMECC – Unicamp

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 1 / 19

Introdução

Na aula anterior, estudamos equações lineares de segunda ordemhomogênea

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (1)

em que p e q são ambas funções contínuas em um intervalo I.

Vimos que, se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de(1), então qualquer outra solução da EDO pode ser escrita como

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x),

para c1 e c2 reais.

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Equações Lineares com Coeficientes Constantes

Em particular, a solução geral de uma EDO homogênea de 2a ordemcom coeficientes constantes

a2y′′ + a1y′ + a0y = 0, (2)

é dada pory(x) = c1er1x + c2er2x , (3)

em que r1 e r2 são duas raízes distintas da equação característica

a2r2 + a1r + a0 = 0. (4)

Quando r1 = λ+ iµ e r2 = λ − iµ são raízes complexas de (4), asolução geral de (2) pode ser escrita como

y(x) = eλx (c1cos(µx) + c2 sen(µx)) .

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Contudo, quando r é uma raiz repetida da equação característica,temos apenas

y1(x) = erx ,

como solução da EDO linear homogênea com coeficientes constantese devemos recorrer ao método da redução de ordem para encontraroutra solução linearmente independente.

O método da redução de ordem também pode ser aplicado num casomais geral em que conhecemos uma solução de uma EDO linearhomogênea (não necessariamente com coeficientes constantes) edesejamos encontrar uma segunda solução linearmente independente.

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Método da Redução de Ordem

Suponha que conhecemos uma solução y1 de uma equação linearhomogênea de segunda ordem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (5)

No método da redução de ordem, determinamos uma função u(x) talque

y2(x) = u(x)y1(x),

seja uma nova (e linearmente independente) solução de (5).

Substituindo y2 em (5) e lembrando que y1 é uma solução, obtemos

u(x) =∫

e−P(x)[y1(x)

]2dx, em que P(x) =

∫p(x)dx, (6)

é uma primitiva de p.Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 5 / 19

Exemplo 1

Sabendo que y1(x) = e−2x é uma solução da EDO

y′′ + 4y′ + 4y = 0,

aplique o método da redução de ordem para determinar uma segundasolução y2(x). Verifique se y1 e y2 são linearmente independentes.

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Exemplo 1

Sabendo que y1(x) = e−2x é uma solução da EDO

y′′ + 4y′ + 4y = 0,

aplique o método da redução de ordem para determinar uma segundasolução y2(x). Verifique se y1 e y2 são linearmente independentes.

Resposta: Pelo método da redução de ordem, encontramos u(x) = xe, portanto,

y2(x) = xe−2x .

O wronskiano éW = e−4x , 0,

e, portanto, y1 e y2 são linearmente independentes.

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Raízes Repetidas da Equação Característica

Considere a EDO com coeficientes constantes

ay′′ + by′ + cy = 0,

em que b2 − 4ac = 0.Nesse caso, a única solução da equação característica é

r = −b2a.

Aplicando o método da redução de ordem com y1(x) = erx , obtemos

u(x) = x.

Concluindo, uma segunda solução da EDO é

y2(x) = xerx .

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Exemplo 2

Determine a solução do PVI

y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 5 e y′(0) = −3.

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Exemplo 2

Determine a solução do PVI

y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 5 e y′(0) = −3.

Resposta: A solução do PVI é

y(x) = 5e−x + 2xe−x .

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Equação de Euler

Uma EDO da forma

ax2y′′ + bxy′ + cy = 0, x > 0,

em que a, b e c são constantes é chamada equação de Euler.

Uma equação de Euler pode ser transformada na EDO comcoeficientes constantes

ad2ydv2

+ (b − a)dydv

+ cy = 0.

considerando v = ln x.

Alternativamente, podemos buscar soluções da forma

y(x) = x r , x > 0,

e proceder de forma similar às EDOs com coeficientes constantes.Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 9 / 19

Exemplo 3

Determine a solução geral da equação de Euler

2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0.

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Exemplo 3

Determine a solução geral da equação de Euler

2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0.

Resposta: A solução geral da EDO é

y(x) = c1√

x +c2

x.

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Equações Lineares de Ordem Superior

De um modo geral, uma EDO linear de ordem n ≥ 2 pode ser escritacomo

P0(x)y(n) + P1(x)y(n−1) + . . .+ Pn−1(x)y′ + Pn(x)y = F(x), (7)

ou, equivalentemente,

y(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = f(x). (8)

Teorema 4 (Existência e Unicidade)

Se p1, p2, . . . , pn e f são funções contínuas em um intervalo aberto Icontendo um ponto x0 então, dados y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 , a EDO (8) admite

uma única solução no intervalo I que satisfaz as condições iniciais

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . y(n−1)(x0) = y(n−1)0 .

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Definição 5 (Equação Homogênea)

Uma EDO linear de ordem n ≥ 2 é dita homogênea se pode ser escritacomo

P0(x)y(n) + P1(x)y(n−1) + . . .+ Pn−1(x)y′ + Pn(x)y = 0,

ouy(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0.

Teorema 6 (Princípio da Superposição)

Se y1, y2, . . . , yn são n soluções de uma EDO linear homogênea deordem n ≥ 2, então

y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn,

é também uma solução da EDO.

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Definição 7 (Wronskiano)

O wronskiando de funções y1, y2, . . . , yn, todas n − 1 vezesdiferenciáveis, é o determinante

W =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2 . . . yn

y′1 y′2 . . . y′n...

.... . .

...

y(n−1)1 y(n−1)

2 . . . y(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Observação:

As funções y1, y2, . . . , yn são linearmente independentes em umintervalo I se o wronskiano não se anula nesse intervalo.

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Teorema 8 (Solução Geral)

Se y1, y2, . . . , yn são soluções linearmente independentes da EDOlinear homogênea

y(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0,

em que p1, p2, . . . , pn são funções contínuas em um intervalo I, entãoqualquer outra solução da EDO pode ser escrita como

Y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cny2(x),

para c1, c2, . . . , cn reais.

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Equações com Coeficientes Constantes

Considere uma EDO linear homogênea de ordem n ≥ 2 comcoeficientes constantes:

any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = 0.

Admitindo uma solução não-trivial na forma

y(x) = erx ,

obtemos a chamada equação característica para a EDO:

anrn + an−1rn−1 + . . .+ a1r + a0 = 0.

Se as n raízes r1, r2, . . . , rn da equação característica forem todasdistintas, podemos expressar a solução geral da EDO como

Y(x) = c1er1x + c2er2x + . . .+ cnernx .

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Raízes Repetidas da Equação Característica

De um modo geral, se a equação característica

anrn + an−1rn−1 + . . .+ a2r2 + a1r + a0 = 0,

associada à EDO homogênea com coeficientes constantes

any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a2y′′ + a1y′ + a0y = 0,

tem uma raiz α com multiplicidade k , então

y1(x) = eαx , y2(x) = xeαx , . . . yk (x) = xk−1eαx ,

são soluções linearmente independentes da EDO.

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Exemplo 9

Determine a solução geral da EDO

y(4) + 4y = 0.

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Exemplo 9

Determine a solução geral da EDO

y(4) + 4y = 0.

Resposta: A solução geral é

y(x) = ex(c1 cos x + c2 sen x) + e−x(c3 cos x + c4 sen x).

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Exemplo 10

Encontre a solução geral da EDO

9y(5) − 6y(4) + y(3) = 0.

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Exemplo 10

Encontre a solução geral da EDO

9y(5) − 6y(4) + y(3) = 0.

Resposta: A solução geral da EDO é

y(x) = c1 + c2x + c3x2 + c4ex/3 + c5xex/3.

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Considerações Finais

Na aula de hoje apresentamos o método da redução de ordem.

Vimos como o método da redução de ordem pode ser usado paradeterminar a solução de uma EDO com coeficientes constantes cujaequação característica possui raízes repetidas.

Finalmente, apresentamos as equações de Euler, que podem sertransformadas numa EDO com coeficientes constantes.Alternativamente, elas podem ser resolvidas de forma similar àsequações com coeficientes constantes.

Muito grato pela atenção!

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