Post on 23-Jul-2020
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Solução de equações:
Motivação
Localização gráfica de raízes
ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
� Um número real z é um zero da função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(z)=0.
O que queremos ?
Métodos numéricos para resolver equações da formaf(x) = 0
f(x) é uma função de uma variável real.
Exemplo: ax2 + bx + c = 0Solução: Bashkara.
� mas e se o problema for:h(x)= x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0 ou f(x)=x+ln(x)
Graficamente
Localização gráfica de raízes
� Teorema 3.1- (Franco): Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b], isto é, se f(a).f(b) <0, então existe ao menos um ponto x ∋ ]a,b[, tal que f(x) = 0.
a
f(a)
b
f(b)
x
Exemplos:
f(0.5) < 0f(1.5) > 0
Existe uma raiz no intervalo ]0.5,1.5[(de fato, x* = 1 é a única raiz da equação)
)ln()(,),(: xxfof =ℜ→∞
função nunca toca o eixo dos x.não há raiz real
Exemplos: xexff =ℜ→ℜ )(,:
f(1). f(2) < 0.f(4). f(5) < 0
De fato: raízes em π/2 e 3π/2
Exemplos: )cos()(,)2,0(: xxff =ℜ→π
Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0
� Problema ? � Traçar esse gráfico!
Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0
Qual o valor de x tal que f(x) = 0 ?
14:25
Utilidade
� Podemos fazer uso dos gráficos (traçados na mão ou computacionalmente) para ter uma idéia de onde está a raiz (localização).
� Em seguida, usamos métodos mais elaborados para obter com maior precisão o valor desta raiz (refinamento).
Métodos numéricos
Fase I - Localização
� Localizar a raiz num intervalo [a,b];
Fase II - Refinamento
� Escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.
Localização (relembrando)
Vale parte 2 no intervalo ]a,b[?
Técnica mais simples isolamento
Voltando ao exemplo : f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 4385,5 6,4 -1 -0,9 0,5 65,5 17545,1 Intevalos [-2,-1][0,1]
Exercício
� Dada a função: f(x)=x2 – sen(x)� Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em
intervalos.
14:25
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
yy = x^2y = sin(x)
x -3 -2 -1 0 0,1 0,5 0,7 1 2 3
f(x) 9,14112 4,909297 1,841471 0 -0,08983 -0,22943 -0,15422 0,158529 3,090703 8,85888