Post on 19-Jan-2016
description
Colégio Estadual Figueira - Matemática
Professor: Sulimar Gomes
sexta-feira, 21 de abril de 2023
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 2
Definição de sequência numérica:
Observe a situação a seguir:
Olimpíadas. Os anos em que ocorreram os últimos seis jogos olímpicos formam uma sequência ou sucessão e, assim, podemos escrevê-los as seguinte forma:
(1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008)
Os elementos ou termos desta sequência podem ser representados por uma letra (geralmente a letra a) e um índice
que indica a posição do elemento na sequência. Desta maneira: a1 = 1988 é o primeiro termo da sequência, a2 = 1992 é o segundo
termo, e assim sucessivamente até a6 = 2008
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 3
Para indicar um termo qualquer as sequência, o enésimo termo, escrevemos an.
Se a sequência possuir um último termo n, então dizemos que a sequência é finita.Senão, dizemos que é infinita e a indicamos colocando reticências no final.
Exemplos:• A sequência das estações de um ano é finita, pois tem um último
elemento: (verão, outono, inverno, primavera).
• A sequência dos números primos é infinita, assim escrevemos os seus primeiros elementos e colocamos reticências ao final:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 4
Uma sequência numérica é uma função f cujo domínio está contido em N* e cujo contradomínio é R.
Uma sequência finita de n termos é indicada por (a1, a2, a3,..., an).Uma sequência infinita por (a1, a2, a3,..., an, ...)
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 5
Determinação de uma sequência numérica
Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação que associa a cada número natural n diferente de zero um termo an = f(n). O termo an é chamado também de termo geral da sequência. Exemplos:• A lei de formação da sequência de números ímpares é an =2n – 1, com N , ou seja:
an = 2n – 1
Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 1 = 1Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 1 = 3Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 1 = 5
E assim sucessivamente
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 6
Exemplos:• A lei de formação da sequência de números pares é an =2n – 2,com N , ou seja:
an = 2n – 2
Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 2 = 0Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 2 = 2Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 2 = 4
E assim sucessivamente
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 7
Determinação de uma sequência numérica
As vezes podemos determinar números de uma sequência sem precisar determinar sua lei de formação, usando somente a lógica e pela verificação de alguns termos da sequência.
Exemplos:• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, ___, ___, ...
• 35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 8
Exercícios
1. Obter o décimo segundo termo da sequência em que an = 2n – 6
2. Determine o quarto termo da sequência, em que an = 2. 5n – 1
3. Complete a sequência (12, 7, 2, – 3, __, – 13, __)
4. Analise a seqüência numérica seguinte: 35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___.
Explique seu padrão e descubra os dois números seguintes para os espaços em branco.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 9
Exercícios - Lógica
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 10
Exercícios - Lógica
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 11
Exercícios - Lógica
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 12
Somatório de termos
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 13
Somatório de termos
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 14
Exercícios
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 15
ENEM 2010
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 16
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Vamos considerar as seguintes progressões:a)(2, 4, 6, 8, 10, 12)Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.a2 – a1 = 4 – 2 = 2 a5 – a4 = 10 – 8 = 2a3 – a2 = 6 – 4 = 2 a6 – a5 = 12 – 10 = 2a4 – a3 = 8 – 6 = 2
a) (10, 6, 2, – 2, – 6, – 10)Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo
e o seu antecessor também é constante.a2 – a1 = 6 – 10 = – 4 a5 – a4 = – 6 – (– 2) = – 4a3 – a2 = 2 – 6 = – 4 a6 – a5 = – 10 – (– 6) = –
4a4 – a3 = – 2 – 2 = – 4
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 17
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).
Observações:Quando r = 0 a P.A. é constanteEx: (3, 3, 3, 3, 3); r = 3 – 3 r = 0
Quando r > 0 a P.A. é crescenteEx: (2, 7, 12, 17, 22) r = 7 – 2 = 5 r = 5
Quando r < 0 a P.A. é decrescenteEx: (10, 8, 6, 4, 2, 0, – 2, – 4) r = 8 – 10 = – 2 R = – 5
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 18
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
De um modo geral temos:
Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é:
Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...= an – an – 1 = r
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 19
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Em uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) de razão r, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro.Para isso, basta partirmos da definição de P.A.
a2 = a1 + ra3 = a2 + r a3 = (a1 + r) + r a3 = a1 + 2ra4 = a3 + r a4 = (a1 + 2r) + r a4 = a1 + 3ra5 = a4 + r a5 = (a1 + 3r) + r a5 = a1 + 4r
Logo concluímos que o termo geral que ocupa a enésima posição na P.A é dado por:
an = a1 + (n – 1)r, com n an = a1 + (n – 1)r, com n
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 20
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
an = a1 + (n – 1)r, com n Onde:an = termo geral da P.A.n = número de termos da P.A.a1 = primeiro termo da P.A.r = razão da P.A.
an = a1 + (n – 1)r, com n Onde:an = termo geral da P.A.n = número de termos da P.A.a1 = primeiro termo da P.A.r = razão da P.A.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 21
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Exemplos: Seja a P.A. (8,15, 22, 29, 36, ...)Determinar o termo geral:
an = a1 + (n – 1)ran = a1 + (n – 1)r
an = 8 + (n – 1)7an = 8 + 7n – 7an = 7n + 1
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 22
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Exemplos: Quantos termos compõe a P.A. finita (7, 2, ..., – 38)
an = a1 + (n – 1)ran = a1 + (n – 1)r
– 38 = 7 + (n – 1)(– 5)– 38 = 7 – 5n + 55n = 12 + 385n = 50
n =
n = 10
5
50
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 23
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Exemplos: Sabendo que em uma P.A. o primeiro termo é – 3 e o décimo segundo termo é 41, determine sua razão.
an = a1 + (n – 1)ran = a1 + (n – 1)r
41= – 3 + 11r44= 11r
r =
r = 4
11
44
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 24
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Exemplos: Observe a sequência de figuras cujas quantidades de pontos estão em progressão aritmética.
Continuando essa sequência, quantos pontos formarão a 12ª figura?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 25
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Carl Friedrich Gauus, filho único de pai sem instrução, foi matemático, astrônomo e físico.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) é considerado um dos maiores matemáticos do século XVIII. Conta-se que quando criança, o professor de sua turma pediu aos alunos que calculassem a soma:
1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100
Como são 50 parcelas iguais a 101, a soma dos termos dessa P.A será igual a 50 .101 = 5050
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 26
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Considerando a sequência somada por Gauss:1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 100
100
100
11
n
a
a
n
Generalizando para soma de qualquer P.A.
Onde:
termosdenúmeron
termoúltimoa
termoprimeiroa
n
1
21 n
n
aas
n.
2
1001100
S 100.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 27
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência (7, 11, 15, 19, 23, 27)
2
1 nn
aas
n.
6
27
71
n
a
a
n
2
2776
s 6.
2
346 s 6.
6.176 s
1026 s
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 28
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência de 14 termos (-12,...,40)
2
aas n1n
n.
14
40
121
n
a
a
n
2
40126
s 14.
2
286 s 14.
14.146 s
1966 s
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 29
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Em alguns casos pode não ser informado o primeiro, o último ou o número de termos da P.A., para efetuar a soma teremos que primeiro descobrir esse valor utilizando para isso a fórmula do termo geral da P.A. an = a1 + (n – 1)ran = a1 + (n – 1)r
Exemplo: Calcular a soma dos 80 primeiros termos da P.A. Onde, a1= – 10 e r = 3
Primeiro vamos determinar o 80º termo da P.A.a80 = – 10 + (n – 1). 3a80 = – 10 + 79 . 3a80 = – 10 + 237a80 = 227
2
1 nn
aas
n.
2
2271080
s 80.
868040.21780 s
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 30
Progressão Aritmética – P.A.Progressão Aritmética – P.A.
an = a1 + (n – 1)ran = a1 + (n – 1)r
2
1 nn
aas
n.
RESUMORESUMO
Fórmula do termo geral de uma P.A.Fórmula do termo geral de uma P.A.
Fórmula da soma de uma P.A.Fórmula da soma de uma P.A.
a2 = a1 + ra3 = a1 + 2ra4 = a1 + 3r ...an = a1 + (n – 1)r
a2 = a1 + ra3 = a1 + 2ra4 = a1 + 3r ...an = a1 + (n – 1)r
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 31
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
1. Qual o 10º termo das progressões aritméticas abaixo?a) 1, 4, 7, 10, ...
b) 18, 16, 14, ...
c) 110, 105, 100, ...
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 32
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
2. Em uma P.A. o primeiro termo é – 5 e o quinto termo é 3. Qual a razão desta P.A.?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 33
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
3. Calcule a quantidade de múltiplos de 3 existentes entre 100 e 1000.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 34
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
4. Um nadador estabeleceu que iria nadar 400m a mais que no treino anterior. Sabe-se que no 2º dia ele nadou 1100 m. Quantos metros ele nadará no 10º dia?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 35
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
5. Os dois últimos termos de uma sequência de 13 termos são 35 e 42. Quais são os três primeiros termos dessa sequência?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 36
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
6. Num teatro, a primeira fila tem 24 assentos, a segunda 28, a terceira 32, e assim por diante. Quantos assentos têm a 18ª fila?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 37
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
7. Encontre o 101º termo da P.A. (– 4, 1, 6,...)
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 38
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
8. Em uma estrada são instalados telefones S.O.S a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones instalados no trecho que vai do quilometro 5 ao 61, sabendo que nessas duas marcas existem telefones instalados e considerando inclusive esses dois telefones.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 39
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
9. Calcule a soma dos termos da P.A. (2, 4, 6, 8, 10)
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 40
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
10.Calcule a soma dos termos da P.A. (23, 28, 33, 38, 43)
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 41
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
11.Qual a soma dos trinta primeiros termos da P.A.(4, 9, 14, 19, ...)?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 42
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
12. Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês.
a) Quanto o aluno pagará no 8º mês do plano?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 43
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
12. Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês.
b) Qual o valor total anual pago pelo aluno?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 44
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
13. Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00.
a) Quanto cada filho receberá?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 45
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
13. Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00.
b) Qual é o valor total da herança a ser dividida?
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 46
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
14. Determinar o 10º termo de uma P.A., sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos é igual a 1008 e que a razão é r = 2.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 47
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
15. Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A.
a) ,...)3,27,57(
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 48
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
15. Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A.
b)
,...3
14,3
8,3
2
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 49
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
16.Em uma P.A., sabe-se que a soma dos 20 primeiros termos é igual a 200 e que a soma dos 30 primeiros é zero. Determine o valor do primeiro termo desta P.A.
21/04/23 03:38 PM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar 50
Progressão Aritmética – P.A. - ExercíciosProgressão Aritmética – P.A. - Exercícios
17. Um cinema tem 448 lugares, distribuídos da seguinte maneira: na primeira fila, têm-se 13 poltronas, na segunda, 15, na terceira, 17, e assim sucessivamente, até completar n filas. Determine o número total de filas desse cinema.