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Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição

António Teixeira

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Aula 5• Sistemas

– propriedades

– sistemas lineares e invariantes no tempo

• Sistemas em MATLAB

• Resposta no tempo de sistemas

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Sistemas

Os sinais, que estudamos até agora, são apenas metade da história...

ver capítulo 4 de Rosen & Howell

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O que são sistemas• De uma forma simples:

– algo que executa uma operação ou transformaçãooperação ou transformação de um sinal de entrada para produzir um sinal de saída

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Exemplos de sistemas• Amplificador

– ex: saída(t) = 2 x entrada(t)– Este sistema não tem memória: a saída em cada

instante só depende da entrada nesse instante

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Exemplos de sistemas• Integrador

– Este sistema tem memória: a saída em cada instante depende da entrada nesse instante e do passado

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Propriedades

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Homogeneidade• Se ao sinal de entrada inp(t) corresponde out(t)

– representado por inp(t) out(t)

• entãok x inp(t) k x out(t)

• Se sabemos a saída de um sistema homogéneo a uma sinusóide de amplitude 1 V a 300 Hz também sabemos a resposta a uma sinusóide de 2 V e 300 Hz.– Basta multiplicar a saída do primeiro por 2

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• A homogeneidade implica que a amplitude da saída tem de ser proporcional à da entrada.

entrada

saída

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Exemplos • O sistema que converte a pressão no tímpano e o

movimento do ossículo “stapes” é homogéneo– Medições efectuadas em gatos, sinusóide de 315 Hz

• O movimento da membrana basilar em resposta a alterações de pressão já não é homogéneo

• Na zona de funcionamento normal o gravador de cassetes é linear– A níveis elevados de sinal uma sinusóide não é

posteriormente reproduzida como sinusóide, não existe homogeneidade

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Aditividade

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Aditividade• Se

inp1(t) out1(t)inp2(t) out2(t)

• Então inp1(t) + inp2(t) out1(t) + out2(t)

• Se um sistema é aditivo, conhecendo a saída para dois sinais também se conhece a saída para a soma de ambos, que é a soma das duas saídas

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Linearidade• Linearidade = Homogeneidade + Aditividade

• inp1(t) out1(t)

• inp2(t) out2(t)

• então

a x inp1(t) + b x inp2(t) a x out1(t)+b x out2(t)

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Invariância temporal• Dado

inp(t) out(t)

• Entãoinp(t) atrasado d segundos out(t) atrasado de d

segundos

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• inp(t) out(t)

• inp(t-d) out(t-d)

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Sistemas LTI• LTI = Linear Time Invariant

– sistemas e que se verifica simultaneamente as duas propriedades de linearidade e invariância temporal

– classe de sistemas para os quais existem ferramentas poderosas de análise

– Sistemas não lineares são muitas vezes aproximados por sistemas lineares

– Em certas zonas um sinal não invariante no tempo pode ser considerado como aproximadamente invariante no tempo

• Um exemplo é o sinal de voz que varia continuamente mas que numa escala da ordem das dezenas de milisegundos é considerado geralmente como invariante

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Outras propriedades• Memória

– já vimos no integrador

• Estabilidade– Um sistema é estável se responde a um sinal

limitado em amplitude com um sinal limitado em amplitude.

• Invertibilidade

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Sistemas em MATLAB - funções

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Funções• Corresponde ao conceito de programa ou

subprograma com entradas/saídas definidas formalmente

• Uma função aceita argumentos de entrada e devolve argumentos na saída

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Função como ficheiro “.m” • Um ficheiro “.m” onde se pretende definir uma

função deve obedecer à seguinte organização mínima– Linha de definição– 1ª linha informativa– Texto de help– Corpo da função– Comentários

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Definição de funções• Linha de definição (caso mais simples)

function f = fibo(n)

Argumento de Entrada

Nome da Função

Argumento de Saída

Palavra Chave

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Definição de funções• Linha de definição (caso geral)

function [y w z] = qqcoisa(x,u,v)

Argumentos de Entrada

Nome da Função

Argumentos de Saída

Palavra Chave

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Documentação

Informação sinóptica para o “help”

1ª linha: Informação sumária. Utilizada pelo lookfor

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Corpo da função

Corpo da função

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Exemplos

Objectos privados da função.

Não existem no “workspace” genérico

Invocação deficiente

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Nomes de funções• Os nomes de funções seguem as mesmas regras de

nomeação de variáveis.• Aceitam-se no máximo 31 caracteres incluindo “_”.

O primeiro caracter tem de ser uma letra.• O nome do ficheiro “.m” que contém a função deverá

ser gravado como “nome_da_função.m”Eg. function y = aveg(x)... => ficheiro aveg.m

• Caso assim não seja o nome interno é ignorado.• Esta prática é fortemente desaconselhada

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Caracterização no tempo de sistemas

Da resposta impulsional à convolução

ver capítulo 9 de Rosen & Howell

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Resposta a um impulso• Comecemos assumindo que se conhece a

resposta de um sistema (sistema Z) a um impulso rectangular de amplitude 3 mV e de duração 1 milisegundo– obtido experimentalmente ou dado por alguém

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• Termos a resposta a um sinal em particular não parece levar-nos muito longe !

• Precisamos de uma forma eficiente de caracterizar a resposta de sistemas por forma a “prever” a sua saída para qualquer sinal

• Sendo o sistema LTI a situação não é assim tão má. Vejamos ...

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Utilizando a homogeneidade• Com base na homogeneidade (decorrente da

linearidade) podemos saber a resposta a impulsos de qualquer amplitude

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Usando a invariância temporal• Com base na invariância temporal podemos

saber a resposta a impulsos em qualquer posição temporal

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Usando a aditividade• Conseguimos saber a saída para a soma dos

dois impulsos anteriores

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• Podemos generalizar para a soma de um qualquer número de sinais de entrada

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Problemas !• Infelizmente nem todos os sinais (nem mesmo

a maioria) pode ser perfeitamente aproximado por impulsos de 1/3 ms– por exemplo o sinal triangular seguinte

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Resultado para a onda triangular

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Melhorar o processo ..• Usar impulsos mais estreitos ...

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Melhorar (II)• Ainda mais estreitos ...

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Impulso de duração infinitesimal• Não existe razão para não

continuar o processo

• Chega-se a um impulso tão estreito que não tem duração !! Para ter energia terá de ser de amplitude imfinita !!

• Como não podemos variar a amplitude– já é infinita

• fala-se em variar a área , ou energia– que é o que aparece agora no

eixo dos yy

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O impulso• A este sinal da largura/duração infinitesimal,

inifinito em amplitude e de energia finita chama-se IMPULSO– em Engª é conhecido por delta (de Dirac)

[n] para o caso discreto

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Generalização a outros sinais• Qualquer sinal pode ser

representado como a soma de impulsos adequadamente alterados em termos de amplitude e de posição no tempo.

• Ex: um ciclo de uma sinosóide de 1 kHz

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Convolução• Como qualquer sinal pode ser expresso como a soma

de impulsos, conhecendo a resposta de um sistema LTI a um impulso significa que podemos obter a saída para qualquer sinal.

• Portanto, os sistemas LTI são caracterizados completamente pela sua resposta impulsional

• Não se utiliza a técnica apresentada para obter a saída– como os impulsos são infinitesimais seria necessário um

número infinito deles para representar qualquer sinal– A FORMA DE CALCULAR passa pela utilização de uma

operação designada por CONVOLUÇÃO • Demo

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TPC •

43AT 2004

Aula 6• Convolução

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