Post on 11-Jun-2020
Capítulo 4
Crescimento das gotas por
Colisão e Coalescência
Colisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das
gotículas com as forças gravitacional, elétrica e aerodinâmica.
O efeito gravitacional predomina nas nuvens, ou seja, as gotas
grandes caem mais rápido que as pequenas, logo passando e
capturando uma fração das gotículas que ficam ao longo do seu
caminho. (Velocidade terminal de queda 0,5 a 9 m/s)
O efeito elétrico e turbulento necessário para produzir um número
comparável de colisões, deve ser muito maior do que usualmente
existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos elétricos
intensos (100-300 kV/m) criam efeitos locais significativos
(*aceleração ~10-4 m/s2 ou 0,1 segundos para deslocar 100 mm)
* Jermacans K, Laws K., Coalescence of raindrops in an electrostatic field. The physics teacher, 1999, 37(4):208-211.
Uma vez que a gota cai, ela irá colidir com somente uma fração das
gotículas em seu caminho, porque algumas gotículas serão expelidas
pelo fluxo de ar em volta da gota.
Dessa maneira, podemos definir a eficiência de colisão como sendo a
razão do número de gotículas com raio “r” que serão varridas ao
longo do caminho pela gota coletora que irá colidir com elas.
Neste sentido, temos que a eficiência de colisão depende do tamanho
da gota coletora e do tamanho das gotículas a serem coletadas
Gota coletora Gota coletada Eficiência de Colisão
10 mm 5 mm 1,5%
20 mm 10 mm 15%
30 mm 15 mm 65%
A colisão não garante
coalescência, pois quando um
par de gotas colide várias
interações são possíveis:
1) Rebatem a parte;
2) Coalescem;
3) Coalescem temporariamente
e se separam, aparentemente
retendo suas identidades
inicias;
4) Coalescem temporariamente
e se quebram em várias
gotículas menores
Para gotas com raios menores
que 100 mm as interações (1) e
(2) são as mais importantes
Dessa maneira, podemos definir a Eficiência de Coalescência como
sendo a razão entre o número de gotículas que coalesceram pelo
número de colisões que ocorreram com a gota coletora.
O crescimento de gotas pelo processo de colisão-coalescência é
governado pela eficiência de coleta, que é o produto das eficiências
de colisão e de coalescência.
Observações em laboratório indicam que para gotículas com raios
menores que 100 μm a eficiência de coalescência é ~ 1 e a eficiência
de coleta é igual a de colisão.
Coletora
Coletada
Para entender o mecanismo de colisão, precisamos saber
inicialmente a velocidade de queda das gotas, que é um Balanço
entre as forças gravitacional e aerodinâmica
Para raios menores que 40 mm:
K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.
2
1
2
9
2rKgrV
l
T
m
Para raios no intervalo de: 40 mm à 600 mm: rKVT 3
)(10813
3
sxK
Para raios no intervalo de 0.6 mm à 2 mm
onde é a densidade do ar e
o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e T = 20 oC
2/1
2rKV
T
12/1
2/1
03
2102,2
scmxK
Segundo os dados de Gunn and Kinzer (1949)
Gunn R, Kinzer GD. The terminal velocity of fall for water droplets in
stagnant air. Journal of Meteorology. 1949 Aug;6(4):243-8.
(b) Eficiência de Colisão Xo é a distância da colisão
A eficiência de colisão é
igual a fração das gotículas
com raio “r” que são
varridas pela gota coletora
de raio “R” que colide com
elas.
E(R,r) pode ser
interpretada como sendo a
probabilidade de colisão de
uma gotícula se ela
estivesse em um volume
cheio de gotículas
aglutinadas.
2
2
0
2
2
0,
rR
X
rR
XrRE
Xo é a Área máxima para a colisão
Gota
Cole
tora
Gota coletada
Gota coletada
Gota
Cole
tora
Equação de Crescimento por
Colisão/Coalescência
Suponha uma gota coletora de raio R e
velocidade Terminal V2 caia sob uma
população uniforme de gotículas
menores com raio “r” e velocidade
terminal V1.
Durante uma unidade de tempo, dt, a
gota coletora irá coletar diversas
gotículas de raio “r” em um volume
descrito por:
dtVVrRdV12
2
Vol = Área x Altura
Assumindo que durante esta coleta tenhamos um crescimento
contínuo, a massa da gota coletora irá crescer:
onde Wl é o conteúdo de água líquida (massa de água líquida por
unidade de volume) ou voce pode pensar como sendo a densidade
de gotículas de água presentes
dVWdMl
dtVVrRWdVWdMll 12
2
Entretanto, como a gota coletora coleta somente uma fração das
gotículas dentro do volume, temos que:
onde E(R,r) é a eficiência de coleta que é o produto da eficiência de
colisão pela eficiência de coalescência,
quando as gotículas coletadas são iguais em tamanho e menores que
100 mm, é usualmente assumido que a eficiência de coalescência
= 1, logo eficiência de coleta = eficiência de colisão.
dtrREWVVrRdMl
,12
2
2
2
0,
rR
XrRE
Dessa maneira temos:
mas como a massa da gota coletora pode ser expressa em função
do raio, ou seja:
rREWVVrRdt
dM
l,
12
2
lRM
3
3
4
dRRdRRRddMlll
22343
3
4
3
4
Então
então
rREWVVrRdt
dRR
dt
dM
ll,4
12
22
l
l
WrREVV
R
rR
dt
dR,
4
12
2
2
Assumindo que E(R,r) e Wl são constantes e que V2 >> V1
e
A equação de crescimento pode ser descrita como:
1
2
2
R
rR
2
4V
EW
dt
dR
l
l
MODELO DE BOWEN
Por exemplo, para sabermos como uma gota cresce a partir de
um processo de colisão coalescência, podemos assumir que a
gota coletora segue a lei de Stokes, logo
2
2CRV
2
1
2
2
44RKCR
EWV
EW
dt
dR
l
l
l
l
cteCEW
K
l
l
41
Usando, o modelo de Bowen temos:
Então integrando de um estágio inicial Ro até R(t)
podemos saber qual será o raio da gota no instante t
ttR
Ro
dtKR
dR
0
1
)(
2
tRK
RtR
01
0
1)(
Porém se queremos saber qual é o tamanho da gota quando ela
esta dentro de uma nuvem, podemos analisar a sua variação
com a altura, ou seja, dR/dz
Assumindo que
12
2
R
rR
12
12
2
2
44VV
EWEW
VV
R
rR
dt
dR
l
l
l
l
1
Mas Velocidade é
igual a
Velocidade vertical Vertical na nuvem
menos
A velocidade terminal da gota
Mas
2
Vudz
dR
dt
dR
dt
dz
dz
dR
dt
dR
dz
dz
dt
dR
dt
dR
Integrando de R0 até R(t) a gota sai de uma altura Z0 e chega a Z
)(
4
00 12
2
zfW
onde
dzWdRVV
Vu
E
l
z
z
l
Rf
R
l
122
4VV
EWVu
dz
dR
dt
dR
l
l
Agora se quisermos saber qual é o raio da gota quando ela
emerge da base da nuvem, temos que:
Assumindo que V2 >> V1 e
0
0
0
z
z
ldzW
2
2CRV
,
CR
uR
f
0
o raio final depende somente da velocidade da corrente
ascendente.
1 m/s
0,5 m/s
R0 = 20 um
Wl = 1 g/m3
Gotas
coletadas
r=10 um
Eficiência de
Coalescência= 1
2,5 km
1,1 km
1 m/s
0,5 m/s
2,5 km
1,1 km
R0 = 20 um
Wl = 1 g/m3
Gotas
coletadas
r=10 um
Eficiência de
Coalescência= 12,25 X
Distribuição de Gotículas
S1 = 10 mm S2 = 20 mm
(a) Todas as colisões possíveis
(b) Somente colisões entre a S1
Distribuição de Gotículas
S1 = 10 mm S2 = 20 mm
(c) Somente colisões entre
as goticulas S1 e S2
(d) Somente colisões entre as goticulas S2
Condensação e Coalescência via
processo Estocástico
(a) Sem Condensação
(b) Com Condensação
Fig 8.12. Yau e Rodgers, Adaptado
De Ryan, 1974)
Nc(cm-3)=105 S0.63
Nc(cm-3) = 1450 S0.84.
FIM
Dedução da velocidade terminal
temos que a Força de Fricção em um fluido viscoso pode ser
definida como:
onde é a viscosidade, “r” é o raio da gota e V é a velocidade.
Já a Força gravitacional pode ser definida como:
Sendo l a densidade do liquido e ar a densidade do ar e g a
aceleração da gravidade
mrrVFD
m 50,6
grgrFlarlG
33
44
Quando FD=FG temos que Velocidade da gota (V) atinge a
velocidade terminal, VT
Logo temos que VT pode ser expresso como:
R (mm) VT (cm/s)
1 0,012
10 1,2
30 10,9
50 30,2
grVl
T
2
9
2
Em termos do número de Reynolds
onde m é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynolds, CD é
o coeficiente de arrasto.
Para gotas bem pequenas, a solução de Stokes para um fluxo ao
longo de esferas mostra que:
gRC
rV
eD
l
T
m
24
9
2 2
124
eD
RC
m
24
eDRC
logo, temos que a velocidade terminal pode definida como:
onde K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.
Esta dependência quadrática da velocidade terminal é conhecida
como lei de Stokes e aplica-se para gotículas com raios menores
que 40 mm.
2
1
2
9
2rKgrV
l
T
m
Para raios no intervalo de: 40 mm à 0.6 mm,
, sendo que
rKVT 3
)(,10813
3
sxK
Para gotículas com raios no intervalo de: 0.6 mm à 2 mm, temos
que CD é alto, e torna-se independente do Re e pode ser aproximado
a CD ~ 0.45, logo
, sendo que
onde é a densidade do ar e o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e
T = 20 oC
2/1
2rKV
T
12/1
2/1
03
2102,2
scmxK