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Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia de Estruturas
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
- Resistência
- Plasticidade
-Fratura
-Fadiga
José Elias Laier
São Carlos, dezembro de 2003 reimpressão
Código 01120
INDICE
1 - INTRODUÇÃO 1
2 - CRITÉRIOS DE MOHR-COULOMB 5
3 - CRITÉRIO DE V. MISES 15
4 - CRITÉRIO DA ENVOLT6RIA DE MOHR 17
5 - COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OS CRIT~RIOS 19
6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE 21
6.1- Plasticidade Uniaxial 22
6.2 - Plasticidade dos Materiais Plásticos Perfeitos 25
7 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA 31
8 - FADIGA 38
9 - COMENTÁRIOS GERAIS 42
PREFÁCIO
O presente texto reune um conjunto de conhecimentos
relativos a capacidade resistente dos materiais. Trata-se de uma
abordagem de cunho introdutório, iniciando-se pelo estudo dos
critérios de Resistência, seguindo-se Plasticidade, Mecânica da
Fratura e, finalmente, Fadiga. Uma singela apresentação dos
fenômenos depentes do tempo é colocada no final do texto.
Tendo-se em vista que esta publicação integra o conjunto
referente às disciplinas de Resistência dos Materiais oferecidas
pela Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São
Paulo, a sua leitura pressupoe o domínio dos conhecimentos
básicos tratados anteriormente.
CRITÉRIOS DE RESIST~NCIA
1 - INTRODUÇÃO
o estudo da capacidade resistente dos materiais
constitue, sem dúvida, o tema central da disciplina de
Resistência dos Materiais. Esse assunto, vale registrar, vem
1 sendo, a partir dos trabalhos pioneiros de Galileu, objeto de
contínua investigação, tanto no campo da teoria (formulação de
modelos matemáticos) como no da experimentação. No sentido de
facilitar a exposição, torna-se necessário, de início, esclarecer
I algumas características marcantes do comportamento dos materiais
no tocante à ruptura.
As figuras la} e b) ilustram esquematicamente um ensaio
de tração simples (tração centrada) de uma barra de comprimento i
e area da seção transversal S. A figura lc) exibe o diagrama de
tensão ( a = N/S) contra deformação ( E = 6i /i) típico do aço
comum (aço doce) encontrado naquele ensaio. Um exame desse
diagrama mostra
característicos
claramente
de tensão,
a existência de
ou seja, tensão
três níveis
limite de
proporcionalidade ap tensão de escoamento ae (inicio do
trecho horizontal) e a tensão de ruptura a propriamente dita. ru Para tensões abaixo de a
p a lei de Hooke (proporcionalidade
entre tensão e deformação) é verificada; entre a e a p e a
proporcionalidade deixa de existir. Quando a tensão atinge a
tensão de escoamento a grandes deformações manisfestam-se sem e
aumento de carregamento; ao se atingir a deformação E* o
material, como que "queimando os últimos cartuchos", volta a
apresentar aumento de resistência, culminando finalmente na
ruptura da barra. Para se ter uma ordem de grandeza dos
parâmetros envolvidos, a deformaçãoE* vale de 10 a 20 vezes a
deformação limite de proporcionalidade E , ou seja, o patamar é p
bastante alongado. Além disso, a inclinação verificada no
diagrama para deformações além de E* é da ordem de 20 a 50 vezes
menor que a encontrada no trecho elástico-linear, ou seja, o
1
módulo de elasticidade E = a I E observado no trecho de
proporcionalidade vale de 20 a 50 vezes o módulo de elasticidade
(E = do /dE ) experimentado após a deformação E~
(5 = NIS
e*
a ) Barra em repouso b J Borra tracionado c)Diagramo (5/E;
FIGURA 1 -RUPTURA SOB TRAÇÃO SIMPLES
Um outro fato importante verificado nesse experimento
acha-se ilustrado na figura 2a), ou seja, no descarregamento, se
a tensão máxima ainda se acha no trecho de proporcionalidade
O= N/S < op), a peça recupera a sua forma original (eliminada a
tensão, elimina-se a deformação), tendo-se, pois, comportamento
elástico, no caso linear. Por outro lado, se a tensão promovida
pelo carregamento ultrapassar a tensão limite de proporcionali
dade ( a = N/S > op ) , no descarregamento a peça não mais retorna
a forma original, verificando-se o aparecimento de deformações
residuais Er, ou seja, o comportamento exibido já passa a ser do
tipo plástico. O módulo de elasticidade no descarregamento, as
experiências mostram, e o mesmo verificado no trecho elástico
linear. Examinando-se as energias em jogo, verifica-se, de
imediato, que o trabalho correspondente à área achurada na
2
figura 2a) nao se recupera na transformação realizada ao se
processar o ensaio. Em outras palavras, o material consome parte
da energia de deformação promovendo transformações irreversíveis
no seu estado interno.
a l Descarregamento e deformação plástica (material Dutil)
(j
b) Diagramo 0"/€ de material Fragil ( Descarregamento l
FIGURA 2 - DESCARREGAMENTO E DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
Pois bem, o comportamento do aço comum aqui apresentado
é também observado em outros materiais, principalmente nos outros
metais. Esses materiais são denominados materiais dúteis, tendo
no escoamento a característica comum mais marcante. Na prática,
a ruptura do material já é qualificada na tensão de escoamento,
porquanto as deformações verificadas nesse nível de tensão, em
geral, já podem inutilizar a peça, em face de deslocamentos
excessivos decorrentes, além de promover, no descarregamento,
indesejáveis deformações residuais (mudanças na forma original da
peça) . Urna outra categoria de materiais engloba os chamados
materiais frágeis, como as pedras, vidros, ferros fundido etc.
Esses materiais nao apresentam um escoamento marcante como o
verificado nos metais e, mais que isso, na ruptura ocorre como
que urna espécie de trituração do material (esfarelamento) .O
3
diagrama de tensão contra deformação exibido na figura 2b) e
tipico desses materiais; sendo possível identificar apenas a
tensão limite de proporcionalidade e de ruptura. Além disso, e
usual também a consideração de comportamento linear nos
descarregamento, a exemplo do verificado no materiais dúteis,
incorporando-se eventuais deformações residuais.
Como base no ensaio de tração apresentado e possível
por exemplo, formular prontamente juizos no tocante a segurança
de uma peça tracionada, pela comparação da. tensão atuante ( 0 = N/S) em relação à tensão de ruptura do material (0 ,0 ou outra ru e tensão convencional de ruptura) . Porém, no caso de um estado de
tensão mais complexo, como o que se verifica na alma de seçoes em
duplo T (tensões de tração ou compressão conjugadas com
cisalhamento) etc., nao e conveniente realizar os ensaios
correspondentes, em face do elevado numero de combinações
possiveis. Assim sendo, para se resolver essa questão, lança-se
mao dos chamados critérios de resistência 7 que consistem em
modelos matemáticos baseadas em hipóteses plausíveis quanto ao
fenômeno responsável pela ruptura. Por outro lado, dada a grande
variedade dos materiais (dúteis, frágeis e outros não tão
caracteristicos), é fácil perceber-se nãoser possível encontrar
um único critério válido para todos os materiais. Na formulação
de um critério, além das hipóteses relativas ao fenômeno de
ruptura, é condição essencial, em primeiro lugar, o envolvimento
de um reduzido número de parâmetros do material, de sorte a não
ser necessária a realização de um grande número de ensaios na
busca de tais parâmetros(do contrário, é melhor ensaiar cada caso
em particular). Além disso, o que mais importa, o critério deve
ser comprovado experimentalmente, pelo menos em algumas situações
o bastante para a sua aceitação.
Na verdade, os códigos construtivos atualmente vêm
tomando um rumo diferente. Em lugar de se formular critérios
gerais de resistência, os códigos sugerem procedimentos um tanto
detalhados na verificação da ruptura, mediante parâmetros
impíricos decorrentes de ensaios padronizados. Em parte isso se
explica pelo fato de materiais como o concreto e madeira não se
mostrarem homogêneo, e no caso de madeira nem isótropo (a
4
resistência da madeira depende da orientação considerada: no
sentido das fibras a resistência e bem maior que na direção
normal) . Mais ainda, mesmo no caso no aço, onde a homogeneidade e
bastante pronunciada, dependendo do processo de laminação a
isotropia no tocante a resistência passa também a ser
significativa.
o presente texto apresenta em primeiro lugar os
critérios de resistência mais significativos. Em seguida,
abordam-se, em carater bastante introdutório, as noções básicas
da Teoria da Plasticidade, a qual tem por objetivo descrever,
mediante modelos matemáticos adequados, o comportamento dos
materiais em regime de plastificação (uma espécie de lei de Hooke
para tensões acima do limite de proporcionalidade). A mecânica da
Fratura, que consiste num modelo matemático que descreve a
ruptura de peças a partir da consideração de abertura de fissuras
oriundas de defeitos de fabricação, é também inserida em carater
eminentemente introdutório. Para finalizar, a atenção é voltada
para a questão da fadiga, que consiste no fenômeno responsável
pela ruptura de peças sob o efeito de ação dinâmica.
2 - CRIT~RIOS DE MOHR-COULOMB
O critério de Mohr-Coulomb baseia-se numa
e de uma simplicidade surpreendente, ou seja,
consideração de que a integridade do material e
atrito interno existente
Obviamente, esse critério
entre as partículas que
e formulado tendo-se
inicialmente, materiais pulverulentos como areia,
Antes de se formular o critério propriamente dito,
reportar-se à noção básica do atrito (atrito seco,
Coulomb) .
idéia genial
parte-se da
devida a um
o
em
compõe.
vista,
por exemplo.
é conveniente
ou atrito de
A figura 3a) ilustra um objeto genérico sem peso sobre
uma superfície. Agindo no objeto é suposta uma força normal N e
uma força horizontal F. O objeto permanece em repouso relativo na
seguinte condição:
N lJ a ••• (1)
5
onde Fa é a força de atrito, que, conforme postula-se na Teoria
de Coulornb, mantém urna relação linear com a força normal N. A
constante de proporcionalidade ~a é correntemente denominada
coeficiente de atrito. A figura 3b) ilustra o chamado ângulo de
atrito. É obvio que, para urna força inclinada agindo sobre o
objeto, o equilibrio s6 é possivel quando o ângulo dessa força
com a vertical for menor que o ângulo de atrito:
~a = arc.tg . ~a
porquanto, de (1) decorre:
o que implica em:
ou, em face de (2):
~ ~ are. tg. 11 = ~ ~-'a '~'a
••• ( 2)
••• ( 3)
••• ( 4)
••• ( 5)
em outras palavras, o atrito pode ser caracterizado tanto pela
constante de proporcionalidade ~a corno, em
conveniente, pelo ângulo de atrito. ~a·
Pois bem, dividindo-se todos os termos
geral mais
presentes em
(3) pela area de contato do objeto com a superfície tem-se:
F s =
p s sen ~ :S ~ a
p S cos~ ••• ( 6)
onde S é a area de contato. O expresso em (6) permite, pois, a
seguinte redação:
-r ~ ~ a a
6
••• ( 7)
N l COEFICIENTE
F ::;}/777777/)~ 7~ a ,.:_F~,.::;:;;;:;;:;:;::;::;~..,...,. a= N/S
t l t t t t f ~ 1:: F/S ~__..........,..__,...
/777//777/7/77
a) Atrito b)Ângulo de Atrito c l Tensões em Jogo
FIGURA 3- ATRITO E TENSÕES NO CONTATO
onde T (= F/S) é a tensão cisalhi:mte e 0 {=N/S) a tensão normal
de compressão segundo a superfície de contato; ou ainda: .· ..... }
(8)
sendo que as tensões em jogo acham-se indicadas na figura 3c) .
Tendo-se em vista que o expresso em (8) indica, como
(1), a condição para que não haja movimentação relativa, fica
simples, agora, formular-se o critério de Resistência de MOHR
COULOMB. Imaginando-se que o material e formado por partículas
sólidas soltas e que o atrito é o responsável pela integridade
de conjunto, o estado de tensão suportado pelo material deve, em
todos os planos, atender a condição expressa em (8). t oportuno
assinalar que o contato entre as partículas ocorre
estatísticamente segundo qualquer plano e a movimentação deve ser
evitada em todos eles, de modo a se ter garantida a desejada
integridade de conjunto.
A maneira mais imediata de se representar o critério em
7
questão acha-se ilustrada na figura 4. No plano 0/ T o estado de
tensão e representado pela região achurada na figura 4a) ; ou
seja, a região contida entre os círculos de Mohr das tensões
principais. As tf:msões a e T em qualquer plano considerado, num
dado ponto do material, levam a um ponto no plano a/T contido
naquela região. Por outro lado, é facil perceber-se que o plano
mais crítico em relação ao deslizamento é o correspondente ao par
do ponto T indicado na figura 4b) , ou o simétrico T' , o que vem
dar no mesmo. Assim, a condi'ção para não haver ruptura
(deslizamento relativo entre as partículas)passa a ser dada por:
••• ( 9)
sendo a o ãngulo referente ao ponto T, conforme figura 4b), ou
sen a ~ sen <Pa ••• (lO)
ou, ainda, por considerações geométricas (fig.4b);
a3 al <Pa sen < sen a ' a3 + al
... ( 11)
o que leva a: 0
1 <Pa 1 - sen
03 ~ 1 + <Pa sen ••• (12)
que consiste numa maneira mais cômoda de se expressar o critério.
Contudo cabe assinalar que, ao se formular (11), e necessário
ter-se em mente o seguinte: em sendo a um ângulo em primeira
determinação e que as tensões a1 e a 3 sao de compressão, ou seja,
negativas, o sinal do primeiro membro de ( 11) deve resultar
positivo; assim, procede-se a operaçao 03 -al, e não al-a3
como se e, a primeira vista, de se esperar.
Cabe agora alguns comentários sobre o critério
apresentado (expressão (12), por exemplo). Em primeiro lugar, em
sendo o atrito o único fenômeno responsável pela integridade do
material, é óbvio que tal material não suporta tensões de tração.
Além disso, a tensão principal intermediária a 2 não interfere na
8
resistência; o que, ~ primeira vista, parece ser um defeito do
critério. Contudo, experiências comprovam a validade desse
critério para materiais pulverulentos.
o l Cfrculos de Mohr b l Estado mais critico de tensão
FIGURA 4- CRITERIO DE MOHR- COULOMB {MAT. PULVERULENTO)
o critério expresso em ( 12) pode ser facilmente
extendido para atender materiais frágeis coesivos, ou seja,
materiais que resistem um pouco de tração. Partindo-se do
princípio que o fenômeno responsável pela capacidade resistente
a tração decorre de uma espécie de atração existente entre as
partículas (por exemplo, partículas atrídas por fenômenos
elétricos, magnéticos, etc.), a compressão efetiva verificada na
superfície
daquela
de contato passa a ser a
atração, que corresponde
aplicada mais a decorrente
a um estado de tensão
hidrostático de compressão. Assim, para tais materiais o expresso
em (12) passa a ter a seguinte redação:
01 - o* 1 sen cpa ~ ... (13) 03 - o* 1 + sen cpa
9
onde a* representa a contribuição hidrostática decorrente da
atração mencionada. A figura 5a) ilustra, no plano a/T. o
eixo T.
critério
critério em questão, evidenciando-se a translação do
verificada em relação ao ilustrado na figura 4. No
anterior o ângulo de atrito ~a é o único parâmetro necessário
para a definição do critério; no critério em questão já
~a
sao
necessários dois parâmetros,
contribuição hidrostática a* .
ou seja,
Todavia,
ângulo de atrito e a
é também bastante comum
referir-se à tensão de cisalhamento Te, conforme indicado na
figura 5a), correntemente denominada tensão de coesão, em lugar
da contribuição hidrostática a* . A figura Sb) ilustra outros
dois parâmetros mais sugestivos para a definição do critério, ou
seja, a tensão de ruptura a tração simples at, e à compressão
simples ac (no caso de ensaio de tração simplestem-se a3 = a2 = O e al = at' e na compressão a 1 = a
2 = O e a
3 = ac} .A propósito
dos parâmetros mencionados, e útil as seguintes relações entre
eles:
Te = a* I tg ~a
2T C cos ~a at =
1 + sen ~a
••• ( 14)
2 Te c os ~a I acl =
1 - sen ~a
sen ~a =
onde toma-se a tensão de ruptura a compressão em módulo
(compressão, na convenção seguida, apresenta sinal algébrico
10
negativo) .
<r*
a)Translação do Eixo "t
t"t I I l I
b l Círculos de Mo h r de Tração e Compressão
FIGURA 5- CRITERIO DE MOHR- COULOMB (MAT. COESIVO)
Tendo-se em vista que na prática o estado plano de
tensão é o mais frequentemente encontrado, é interessante buscar
uma representação do critério ainda mais cômoda. De fato, como no
caso plano uma das tensões principais é nula, chamando-se de o 1 e
02 as componentes não nulas,e deixando-se de lado a convenção
01 > o 2 > ~ , chega-se a representação mostrada na figura 6a), no
plano o 1 I o 2 . A explicação é simples. No caso de se ter o1 e
a2
de tração, tendo-se em vista que o 3 e nulo o par o1 e o 2 deve
estar contido na região o 2 ~ ot e o1 ~ ot, pois o maior circulo
de Mohr possível não pode superar o correspondente ao do ensaio
de tração simples,conforme ilustra-se na figura 6b). O mesmo fato
repete-se quando o 1 e o 2 são de compressão, e nesse caso tem
se: I o 1 I ::'S I o c I e I o 2 I ::'S lo c 1. Em sendo, por exemplo, o 1 de
tração e o 2 de compressão tem-se conforme ( 13) :
11
1 - sen cpa
1 + sen cpa
2 sen 4la 0 2 + a* ( l+sen cp )
a ••• (15)
onde a 2 toma o lugar de o3
,admitido nulo (vide fig. 6b)).
Obviamente a reta limitante obtem-se promov~ndo uma igualdade em
(15). Situação análoga sucede no caso inverso, ou seja, o1 de
compressão e a 2 de tração,
oposto.
o) Critério de Mohr-Coulomb no plano o- 1 10"2
fornecendo-se a reta do quadrante
b l Posição Relativo dos C i rculos de Mohr
FIGURA 6- CRITÉRIO DE MOHR COULOMB PARA ESTADO PLANO
Pois bem, em verdade, a representação exibida na figura
6a), nada mais e que o traço no plano a1 !a 2 de uma pirâmide no
espaço a1 1a 2 !a 3 conforme mostra -se na figura 7, com apce no
ponto o1= a 2= o 3=o*,tendo por eixo a bissetriz do triedro contido
entre os eixos a 1 , a 2 e 03 • É facil verificar-se que aquela
pirâmide representa o critério em apreço no espaço o1
I a2
! a3
,
12
porquanto os traços dessa pirâmide em planos horizontais
correspondentes a valores de o 3 não nulo obtem-se de maneira
análoga. Em suma, a expressao (13), no caso de igualdade,
constitue a equação algébrica da pirâmide indicada (é oportuno
mais uma vez assinalar que a convenção o 1 > o 2 > 03 foi
abandonada). Por outro lado, o expresso em (12) leva a essa mesma
pirâmide, porém com apce na origem dos eixos.
Uma
PIRÂMIDE
TRAÇO DA PIRAM IDE NO
PLANO 0"1 /0"2
BISSETRIZ DO
TRIEDRO
FIGLRA 7- REPRESENTAÇÃO DO CRITÉRIO DE MOHR- COULOMB
NO ESPAÇO Ci 1 /Ci2 /cr3
extensão desse critério, que foi útil para
interpretar, no passado, a ruptura dos materiais dúteis, é
particularmente denominada critério de Tresca. A idéia básica é a
seguinte: Considere-se um material desprovido de atrito interno,
13
porem apresentando uma coesao Te f ou, em outras palavras,
considere-se um material com atrito despresível e com uma atração
entre as partículas elevada o bastante tal que:o*/t ~ g a
= o* I ~a = Te A representação nesse caso e a indicada nas
figuras 8a) e b). Em face das considerações levantadas, verifica
se sem dificuldade, que o material em questão é, na verdade, uma
espécie de fluido com uma coe-sao que permite resistir estados de
tensão nao s6 hidrostãtico (o1 = a2
= o 3 ) como outros estados
nao hidrostãticos, porém respeitando-se uma certa tolerância.
A expressão analítica dese critério é um tanto imediata
examinando-se o retratado na figura 8a), ou seja:
Por outro lado, a coesao
tensão de ruptura a tração,
à compressão, ou seja:
••• ( 16)
Te mantém a seguinte relação com a
que é, em m6dulo, igual à de ruptura
••• ( 17)
sendo oportuno registrar que o expresso em (16) f na condição de
igualdade, constitue a equação do prisma representado na figura
8b), em se abandonando a convensão o1 > o 3 > o 3 .
EIXO
HIOROSTATICO -:.J"------
( cri= CTz =os l
a) Critério de Tresca (Plano crrt:l b) Cilindro Hexagonal de Tresco ( cr, lcrz ;cr3 l
FIGURA 8 - CRITERIO DE TRESCA ( "f' a =O l
14
3 - CRITÉRIO DE V. MISES
O critério de Mohr-Coulomb, como já assinalado, nao
envolve, na definição da ruptura do material, a tensão principal
intermediária; além disso estabelecer em decorrência da
consideração do atrito como o único responsável pela integridade
do material, uma relação linear entre os componentes máxima e
mínima do estado de tensão. Por outro lado, as experiências com
materiais dúteis indicavam claramente a influência da tensão
intermediária na ruptura, e mais que isso, os resultados
sinalizavam relações não lineares entre os componentes principais
do estado de tensão. Assim sendo, como todo levava a crer, HUBER
e v. MISES propuseram uma superfície cilíndrica circular no lugar
da superfície cilíndrica hexagonal de TRESCA; atendendo,
obviamente, a simetria indicada pelos ensaios. A figura 9a) exibe
a superfície cilíndrica circular proposta, e a figura 9b) indica
o traço elítico daquela superfície no plano
equaçao da superfície em questão é dada por:
a1
Ja2 (a 3 = O). A
(o 1 a ) 2 (02 2
(03 2 2 2 ... ( 18) - + - 03) + - 01) = ot 2
sendo ot a tensão de ruptura a tração simples, suposta igual em
módulo a tensão de ruptura a compressão (para os materiais
dúteis, em geral, esse fato encontra respaldo nos resultados de
ensaio). A expressão (18) é facilmente obtida tendo-se em vista
que o versor correspondente ao eixo do cilíndrico tem as
seguintes componente segundo os eixos o1 I a 2Ja 3 : ( l:r/3; V3/3;
13/3) .Assim, o produto vetorial de um vetor correspondente a um
ponto da superfície { o 1 ; a 2 ; a 2 ) por aquele versor resulta, em
módulo, no raio do círculo do cilíndrico, ou seja:
1 j k
r módulo 01 V3J 2 2 02 03 i= 3 (o2-o3) + (o3-ol) + (ol-o2)
I V3;3 VJ/3 V3!3
... ( 19)
15
2
sendo r o raio mencionado. Por outro lado, tomando-se o ponto
correspondente ao ensaio de tração simples tem-se 0 1=at,a2=0 e a3 = o) :
r ••• ( 2 o)
encerrando-se, assim, a questão (a expressão (18) consiste na
igualdade do raio ao quadrado conforme (18) e (20)).
EIXO HIDROSTÁTICO
ccr, =cr2=cr3 l
o) C i I índro Circular de Huber- Von Mises.
b) Troço Elítico no
Plano o-1 1 o-2
FIGURA 9 - CRITÉRIO DE VON MJSES (ENERGIA DE DISTORÇÃO)
A verificação da ruptura no critério em apreço é mais
convenientemente formulada definindo-se o parâmetro:
••• ( 21)
chamado de tensão ideal; e assim, a nao ruptura passa a ser dada
pela seguinte condição:
() . .:S l
••• ( 2 2)
O caso particular mais frequente de verificação é o encontrado na
16
flexão de vigas, no qual as componentes do estado de tensão nao
nulas são a tensão normal de flexão o (de tração ou compressão)
e a tensão cisalhante L • Nesse caso as tensões principais sao
dadas por:
01 } v 21
0 (l + l + .!]:__) = 2 02
02 ••• ( 2 3)
0 = 3 o
que levadas em (21) fornece:
=v 02 + 3 2 o. L l
••• ( 2 4)
sendo oportuno assinalar que, no critério de TRESCA, tem-se fator
4 aplicado no lugar de 3 agindo na componente cisalhante (TRESCA
e então um critério mais pessimista).
Para finalizar cumpre assinalar que o criério de V.
MISES e também frequentemente denominado critério da Energia de
Distorção, em virtude do fato de que uma parcela da energia de
deformação chamada de energia de distorção é,
igual ao primeiro membro de (18) (a
a menos de
energia de constante,
deformação se divide em energia de expansão;aumento de volume,
mais a energia de distorsão: sem aumento de volume) Esse
particular vai ser melhor explicado quando da abordagem de
Energia de Deformação.
4 - CRITERIO DA ENVOLT0RIA DE MOHR
Existem materiais como o concreto e certos tipos de solo
que nao seguem, a rigor, os critérios até aqui abordados.
Contudo,
possível
com base em um grande numero de ensaios realizados e
vislumbrar
correspondentes. A
envoltória típica.
uma envoltória dos
figura lO a) ilustra
círculos
no plano
de
0/L
MOHR
uma
Cabe ressaltar que, nesse critério obtido
experimentalmente, a tensão principal intermediária continua,
17
obviamente, nao influindo na ruptura. A figura 16b)
critério, também obtido experimentalmente ,
superfície no espaço
I I
já ilustra um
segundo u1na
o ) Critério da E nvolto.ria de M oh r b l Criterio de superfície no espoj:o Oj , a2 , 0"3
FIGURA 10- CRITERIOS I MPÍRICOS (EXPERIMENTAIS l
Como em geral tais critérios nao comportam uma única
representação analítica, mesmo dentro da gama de valores que
interessam na prática, os códigos construtivos usualmente lançam
mao de uma função analítica para cada região característica da
superfície envoltória; levando-se, então, a um procedimento um
tanto detalhado na verificação da ruptura, como já mencionado na
introdução. Tais funções analíticas normalmente sao obtidas
mediante análise de regressão nos resultados de ensaios (critério
impírico).
18
5 - COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OS CRITÉRIOS
Cabe, em primeiro lugar, chamar a atenção para o fato de
que a ruptura dos materiais, tanto no caso dos frágeis corno no
dos dúteis, corresponde, no fundo, a urna espécie de fluidificação
do material (fluidificação por tensão). A movimentação das
particulas internas, que carateriza a rupturar já sugere tratar
se de um comportamento próprio dos fluidos. Além disso, o
escoamento verificado nos materiais dúteis reforça ainda mais
essa colocação (escoamento é coisa de fluido) . Por outro lado,
todos os critérios indicam que os materiais toleram estados de
tensão numa certa vizinhanha do estado hidrastático ( o1= o 2=o 3 de compressão; no estado hidrostático de tração tem-se urna
condição um tanto limitada no caso dos materiais coesivos e
ilimitada no caso das dúteis. Em resumo, os materiais são levados
a ruptura essencialmente pelo efeito do cisalharnento, ou sejar
pela disparidade eventual entre as magnitudes das tensões
principais (os rnaterias podem ser entendidos corno fluidos que
toleram estaticamente a existência de tensões cisalhantes dentro
de certos limites).
A literatura mais antiga faz referência a dois outros
critérios, cujos resultados foram grandemente contestados nos
ensaios. São eles o da maior tensão principal e o da maior
deformação principal. No primeiro, a ruptura é caracterizada pela
comparaçao da maior tensão principal com a verificada no ensaio
de tração simples, no segundo comparam-se as deformações. é facil
verificar que tais critérios erram para o lado perigoso em
muitos casos práticos (superestimam a resistência).
A figura 11 ilustra o conceito de empuxo ativo e passivo
no solo em relação a um anteparo (muro de arrimo). O conceito em
apreço decorre do critério de MOHR-COULOMB, que, em geral, e
valído para muitos tipos de solo, especialernente os soltos, corno
areia. O empuxo ativo é a pressão exercida pelo solo no anteparo.
Assim sendo, como nesse caso as tensões principais são
11b) ) :
- p a
o - o = - vz 2 - 3 I
19
(fig.
••• ( 2 5)
sendo Y o peso especifico do material e z a profundidade (fig.
lla), tem-se de (12}, que a integridade do material é dada por
(fig. llc)):
-P a -yz
1 -
1 +
sen
sen ••• ( 2 6)
No caso do empuxo passivo, o anteparo movimenta-se no sentido de
comprimir o solo, ou seja, o estado de tensão que não promove a
ruptura é dado por (fig. llc)):
-yz
-p p
1 - sen <Pa
1 + sen tPa ••• ( 2 7)
Exemplificando, no caso de se ter um solo com ângulo de atrito
igual a 30º (areia apresenta tPa entre 3()Q e 33Q} têm-se de (26) e
(27) respectivamente:
••• ( 28)
Pp ~ 3 yz
Por outro lado, é natural que, em nao se sabendo qual a real
pressao no solo, o equilíbrio sem ruptura só é possível com uma
pressao p tal que:
p ~ p ~ p p a ••• ( 2 9)
o que fornece, no caso exemplificado, uma variação de 1 para 9 na
magnitude compativel para a pressao real (de 1/3 até 3 vezes a
pressão yz). No caso de atrito nulo o empuxo ativo e passivo são
iguais a Yz(empuxo hidrostático).
20
MURO DE ARRIMO
o l Muro de Arrimo
p
p
c l Círculos de Ruptura b l E stodo de Tensão
FIGURA 11- EMPUXO ATIVO E PASSIVO DO SOLO
6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE
A Teoria da Plasticidade foi formulada, conforme o
proprio nome sugere, tendo-se em vista os materiais
plastificáveis, ou seja, materiais dúteis. Esses materiais, ao se
atingir a ruptura (escoamento), não se desintegram como ocorre
nos materiais ditos frágeis e, por essa razao, continuam ainda
resistentes. Contudo, mesmo nos materiais frágeis, quando a
situação de ruptura é atingida num dado ponto da estrutura, não
se pode, naturalmente, considerar que a estrutura já se encontra
em regime de colapso, porquanto nas demais partes da estrutura a
condição de ruptura do material ainda não foi atingida. Assim
sendo, algumas questões essenciais entram em cena, quais sejam:
Como as tensões adicionais não suportadas naquele ponto se
redistribuem pelos pontos vizinhos ainda resistentes? Como se
21
comportam em termos de tensão e deformação o material naquele
ponto onde a ruptura foi alcançada, enquanto a estrutura ainda
conserva a sua integridade?
mediante modelo matemático
A Teoria da Plasticidade vem, pois,
consistente, responder a tais
questões.
adequada
obviamente,
tela.
É evidente, por outro lado, que a utilização mais
da capacidade resistente dos materiais exige,
a consideração dos fenômenos abordados na teoria em
Antes de se abordar a Teoria da Plasticidade
propriamente dita, é oportuno esclarecer alguns outros aspectos
fundamentais relacionados às características dos materiais no
tocante à ruptura. Em primeiro lugar, cabe mais uma vez reforçar
que, no regime de ruptura, os materiais se comportam como uma
espécie de fluido. Os materiais dúteis se transformam em uma
massa moldável ("liquido grosso") e os frágeis em uma massa
triturada. Sob esse ponto de vista a Teoria da Plasticidade pode
ser entendida como uma espécie de Mecânica dos fluidos, para
fluidos não muito fluidos ( fluidos que toleram cisalhamento em
condições estáticas).
Dado o carácter introdutório que norteia a apresentação
em curso, aborda-se de inicio o caso dos chamados materiais
plásticos perfeitos e, em seguida, algumas indicações sobre os
materiais plásticos encruáveis, incorpororando-se o chamado
efeito Bauschinger.
6.1 - Plasticidade Uniaxial
Para abreviar a exposição e oportuno retomar o caso do
ensaio de uma barra tracionada apresentado no início deste texto,
aproveitando-se para definir alguns parâmetros chaves dentro da
Teoria de Plasticidadei e, além disso, esclarecer o que se
entende por efeito Bauschinger, e a maneira da tráta-lo nos
modelos de plasticidade.
A figura 12a) ilustra uma barra tracionada, e a figura
12b) mostra esquematicamente o diagrama tensão-deformaçãc ~c c~~c
de um carregamento cíclico, iniciando-se com uma tração, seguida
de descarregamento e compressao; e, finalmente, um novo
22
descarregamento. No ensaio em estudo, conforme a figura 12b)
deixa evidente, a máxima tensão tanto em tração como em
compressao acha-se na região de plastificação do material. Além
disso, e suposto tratar-se de um material dútil, que apresenta
simetria de comportamento em tração e compressão (aço doce, por
exemplo). Pois bem, o efeito Baushinger consiste na translação
verificada no diagrama tensão-deformação, quando se atinge
tensões no regime de plastificação. Tudo se passa como se, em
cada ciclo, o diagrama se transladasse, mantendo-se as distâncias
relativas no eixo das tensões. Em outras palavras, tudo se passa
como se a plastificação introduzisse tensões residuais (a exemplo
daquela verificada no critério de Mohr-Coulomb para materiais
coesivos).
deformação
plástica.
No eixo das deformações a translação corresponde a
residual ou, como é comumente denominada, deformação
....... -./
----
a 1 Efeito Bouschinger b) Parâmetros do Plasticidade
FIGURA 12 -E FEITO BAUSCHI NGER E PARÂMETROS DA PLASTICIDADE
23
Tendo-se em vista que o diagrama tensão-deformação no
trecho de plastificação não se mostra linear, e mais, que a
deformação plástica governa, de certo modo, a translação
mencionada, torna-se necessário, para cada acréscimo diferencial
de tensão, definir o quanto de deformação plástica ocorre. Assim,
conforme ilustra-se na figura 12c) , as seguintes relações
procedem:
ds = ••• ( 3 o)
sendo
d e:e e
de:
a
a deformação promovida pelo acréscimo de tensão dO ,
parcela elástica, ou seja recuperável no
descarregamento, e de:p
lado, chamando-se:
H' = do dE:
p
a parcela plástica (residual) • Por outro
••. ( 31)
onde H' e o comumente denominado parâmetro de encroamento
(strain-hardening), tem-se, em face de (30):
onde:
H' = do
dE: - dE: e
Et = do I d e:
= (32)
••• ( 3 3)
Assim sendo, a equaçao constitutiva no regime de plastificação
assim se escreve:
do E
=E (1- E+H') de: ••• ( 3 4)
em decorrência do expresso em (30), ( 31) 1 (32) e (33). O fator
E/ (E + H'
constitutiva
e,
do
pois,
regime
a modificação introduzida na equação
elástico, de modo a incorporar-se a
parcela plástica. Obviamente, conforme o expresso em (32), o
24
parâmetro de escroamento varia de ponto para ponto no trecho de
plastificação, assumindo valor infinito no trecho elástico, pois,
Et =E, e valor nulo no trecho de escoamento (Et =O).
Para finalizar, vale assinalar que, ao se atingir a
tensão de escoamento (H' = O) a barra tracionada vira um
mecanismo, pois a deformação processa-se sem aumento de tensão
(ou carga). Em outras palavras, não é possível acréscimo de
tensão e a deformação fica indeterminada do ponto de vista
estático (movimento pede as equações da dinâmica). Todavia, as
experiências mostram, essa indeterminação não sucede quando a
estrutura ainda não se encontra numa configuração de mecanismo e
parte do material já se acha até no regime de escoamento. O
material, mesmo no regime de escoamento, continua ainda
resistente, apresentando variações de tensão dentro de um certo
critério, nos estadosbi e tridimencionais de tensão; e mais,
seguindo determinadas equaçoes constitutivas (as deformações
continuam sendo relacionadas com as tensões de certa forma).
Vale assinalar que, em face do comportamento não linear
verificado na plastificação, inclusive pela presença de
deformações residuais, as relações constitutivas não podem mais
ser formuladas em termos de tensão e deformação , e sim de
maneira diferencial, como providenciado, porquanto a história do
carregamento influe no resultado final (relações incrementais).
Esse é o assunto tratado no item que se segue.
6.2 - Plasticidade dos Materiais Plásticos Perfeitos
Em primeiro lugar cabe esclarecer que os chamados
materiais plásticos perfeitos são aqueles que, no ensaio da
tração simples, nao apresentam trecho curvo após atingida a
tensão limite de proporcionalidade, indo-se direto para o patamar
de escoamento, conforme ilustra-se na figura 13a). Todavia, como
em geral, principalmente em metais como o aço por exemplo, o
trecho curvo é muito menor que os demais, ignorar-se esse fato
nao introduz imprecisões aprecíaveis no modelo. Por outro lado,
simplifica-se bastante o entendimento da questão em pauta (esse
material, obviamente, não apresenta efeito Bauschinger).
25
Pois bem, considere-se, por exemplo, o caso de um ponto
de uma estrutura, cuja história do estado de tensão, para um
carregamento crescente, segue a linha cheia indicada na
figura 13b),no espaço o1; a2
; a3
• Ao se atingir a superfície do
critério de resistência,o material plastifica-se. Por outro lado,
aumentando-se o carregamento na estrutura, o que pode, em
princípio, acontecer com o material ali já em regime de
escoamento? Essa questão é respondida pela Teoria da Plasticidade
da seguinte maneira:
a) O estado de tensão, em nao se podendo corresponder a um
ponto externo à superfície, aqui chamada de superfície de
plastificação, deve se deslocar ao longo da superficíe,
ou então, em eventual descarregamento retornar para o
interior de modo elástico, incorporando-se eventuais
deformações plásticas ocorridas.
b) Uma equação constitutiva é proposta, tomando-se por base
uma lei de fluência, ou seja, uma lei de rege o andamento
das deformações plásticas (em verdade uma lei de fluxo
para esse fluido especial) .
Evidências experimentais indicavam, no caso do aço, que
as deformações plásticas ocorriam obedecendo a uma lei do tipo:
dE . =À oF ... (35) P1 ao.
1
sendo i as direções principais 1, 2 e 3, ou, no caso de não se
estar lidando com as direções principais, qualquer uma das
componentes do estado de tensão, À uma constante de
proporcionalidade e F uma função dada pela expressão homogênea da
superfície referente ao critério de resistência. No caso de
critério de V. Mises, por exemplo, tem-se (vide (21) e (22)):
... (36)
26
I
/ I
I
I I
e:
a l Comportamento Plástico Perfeito
b) Trajetõria do EstadO de Tensão
FIGURA 13 -MATERIAL PLÁSTICO PERFEITO
considerando-se, obviamente, 0t nao variável (a tensão de
ruptura é suposta sempre a mesma, independentemente da história
do carregamento; se houvesse efeito BAUSCHINGER isso já não seria
verdade). B facil verificar que:
F {0 0 0 ) = o = 1' 2' 3 ••• ( 3 7)
significa um ponto na superfície (escoamento) , e
••• ( 3 8)
um ponto dentro, ou seja, em regime elástico; e
(39)
um ponto nao permitido pelo material (ponto do lado de fora da
superfície de escoamento).
A propósito de (35), é interessante observar-se uma
certa analogia com leis da mecânica dos fluidos. Por exemplo:
27
vazão e proporcional ao diferencial de pressao; em (35) a
deformação plástica e proporcional ao diferencial de F. Além
disso, os diferenciais de deformações plásticas (d€p)apresentam
direções principais coincidentes com as do estado de tensão
provocante(doi). A constante À vai ser abordada em mais detalhes
no que se segue.
Retomando-se agora a expressao (30), ou seja:
d€· = ds . + ds . 1 e1 pl • e • { 4 Ü)
onde se considera cada uma das componentes i do estado de
deformação (i = 1, 2 e 3 em se referindo as direções
principais). Por outro lado, tendo-se em vista a lei de Hooke e o
expresso em ( 35) , a expressao (40) permite escrever-se a
expresssao matricial:
ds = [n] -l {do} + À { ~~} ••• ( 41)
onde [D] vetor { ds}
e a conhecida matriz de constantes elásticas. No
as componentes são os diferenciais da deformação
total verificada pela ação das componentes de tensão presentes no
vetor {do}, e no vetor {8F/ao} as componentes são as derivadas
correspondentes. Na condição F < O, o material encontra-se
em regime elástico; assim, a segunda parcela do segundo membro de
{41) se anula. Todavia, em tendo havido deformações plásticas na
história passada do carregamento 1 elas, por serem residuais,
permanecem; porem, nesse caso, nao variam com a variação do
estado de tensão. Por outro lado, na condição F= O o material
acha-se em regime de escoamento. Assim, qualquer acrescimo de
tensão do deve respeitar a superfície do critério, ou seja:
dF ••• ( 4 2)
pois F deve permanecer constante e nulo, a nao ser quando o
acréscimo de tensão leve a um ponto no interior (comportamento aí
28
elástico). Em verdade o material plástico parfeito impõe a
seguinte condição:F = O. Agrupando-se, agora~ as equações (41) e
(42) tem-se o seguinte sistema:
{dE} lnl-1 {8F/8a} [da}
••• { 4 3)
{8F/8a} T o À o
que, mediante manipulações matriciais, permite, finalmente,
explicitar a equação constitutiva da plasticidade:
{da} = [Depl
onde:
IDepl = In! - { 8F I { 8F} In! · ao}- ao
sendo eliminada a constante À •
matriz !DI do regime elástico
{dE} ••• ( 4 4)
T lnl. [{~~}
T lnl. {~~}}-l ••• ( 4 5)
A matriz IDepl ocupa o lugar da
e, como se percebe, depende da
posição do ponto na superfície do critério.
Cabem agora alguns comentários. A lei de fluência (35) é
comomente denominada lei da normalidade, em vista do vetor
{8F/8a} ser normal à superfície do critério. A figura 14 ilustra
esse fato no plano a 1 I a 2 . No sentido de tornar esse modelo de
plasticidade mais abrangente, sugere-se na expressão (35) uma
função mais geral, chamada potencial plástico, no lugar da função
F, ou seja:
dE . pl = À 8Q a a.
l
... ( 35 ' )
sendo que essa nova função Q01 , a 2 , a 3 ) deve ser investigada
para cada material. Quando Q coincide com F, o modelo decorrente
chama-se plasticidade associada, em caso contrário plasticidade
nao associada. Nas aplicações práticas tem-se optado
frequentemente pelo modelo da plasticidade associada (investigar
experimentalmente uma função Q não é coisa muito fácil).
29
FIGURA 14- NORMALIDADE
No sentido de facilitar as operações envolvidas em (45),
muitos autores têm dado preferência, ao se explicitar
algebricamente a superfície do critério,
invariantes do estado de tensão que
principais, ou seja, mudam-se as variáveis
por
as
01'
outros parâmetros
próprias tensões
o 2 e o3 para:
onde
1 J2 2
1 J3 = 3
3 L:
i=l
3 L:
o. l
i=l
3 L:
i=l
3 L: o. o.)
j=l l J
3 3 L: L: o. o. ok)
j=l k=l l J
é i, j e k cobrem as componentes do estado de tensão (F{
o 3 ) = F (J1 , J 2 , J 3 )). Algorítimos cômodos, nessas
variáveis, podem ser encontrados em vários textos
especializados para explicitar as derivadas presentes em (35).
30
Finalizando, é oportuno assinalar que existem alguns
modelos para a abordagem da plasticidade em materiais
encruáveis, inclusive incorporando-se o efeito Bauschinger. Para
tanto considera-se, na função F, ou Q, a existência de mais uma
variável; por exemplo, no caso do critério de V. Mises,
considera-se 0t variável, conforme sugere o comportamento
retratado na figura 12b). Assim, no lugar de (42) tem-se:
= o ••• ( 4 7}
onde a variável k toma o lugar de 0t
Pois bem, deixando-se de lado os aspectos matemáticos
envolvidos, a figura 15 exibe dois modelos de encroamento. Na
figura 15a) exibe-se o modelo cinemático, que corresponde à uma
translação de superfície, vista no plano 01 /0 2 , e na figura
15b) exibe-se o chamado modelo isotrópico, que consiste numa
expansao da superfície. Maiores detalhes sobre os critérios
seguidos na definição do parâmetro que define as modificações
experimentadas pela superfície (dk} podem ser encontrados em
vários textos especializados.
a) Modelo Cinemático b) Modelo Isotrópico
FIGURA 15- MODELOS PLASTICOS PARA MATERIAIS ENCRUÁVEIS
7 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA
31
Até aqui foi estudada a ruptura dos materiais.
Todaviarna ruptura de uma peça estrutural,especialmente no caso
de se empregar materiais do tipo frágil, a explicação mais
completa envolve outras considerações,
resistente do material.
que somente a capacidade
A questão que se coloca logo no início é a seguinte: Por
que razao, nos ensaios realizados, as resistências encontradas são
bem menores que aquelas teoricamente esperadas, tendo-se em
conta as forças moleculares? Por exemplo 1 para um certo tipo de
vidro com resistência teórica da ordem de 1,1 107 N/m2 , os
ensaios indicam resistência muito menor, ou seja, da ordem de 1,8
105 N/m2 . A resposta foi encontrada por Griffths. Sucede que na
fabricação do vidro, por várias razoesr formam-se micro-fissuras
e outros defeitos microscópicos no interior do material. Assim
sendo, quando a peça é solicitada, ocorre uma grande concentração
de tensão na redondeza de cada micro-fissura; e essa concentração
de tensão e, então, a responsável pela ruptura da peça. A partir
de um certo nível de tensão, as micro-fissuras se propagam, e é
esse nivel de tensão que é o verificado nos ensaios comuns. Esse
fato observado com o vidro é também exibido por outros materiais
frágeis, como o aço, que, em baixas temperaturas, passa a ser
membro dessa categoria de materiais.
O modelo matemático proposto por Griffths para descrever
o fenômeno mencionado toma por base um balanço das energias em
jogo, ou seja, energia de deformação e uma outra manifestação de
energia chamada energia superficial. Sucede que nos sólidos, como
nos líquidos, existe uma tensão superficial aglutinadora. Assim,
qualquer alteração de superfície envolve uma variação da energia
superficial (trabalho daquelas tensões) . Para aquele vidro
mencionado a energia superficial por unidade de área encontrada
assume o valor T = O, 55 Nm/m 2 .
Pos bem, para haver propagação de uma micro-fissura é
necessário que a energia de deformação liberada no aumento da
fissura supere a energia superficial (aglutinadora)
correspondente. No sentido de se quantificar as energias em jogo,
considere-se o caso da chapa uniformemente tracionada exibida na
32
figura 16a). A figura 16b) exibe a mesma chapa, porem com um
orifício elítico alongado (o comprimento L é mantido constante
nos dois casos). Obviamente, a energia de deformações no segundo
caso e menor que no primeiro (existe menos material trabalhando -
aqueles na borda do orifício estão livres de tensão normal no
sentido transversal do orifício). Com os resultados obtidos na
Teoria da elasticidade, a diferença verificada na energia de
deformação e dada por (supondo-se chapa de espessura unitária):
u = TI 9,2 02
4E ••• ( 4 8)
onde E e o módulo de elasticidade e 0 a tensão aplicada (a
energia de deformação da chapa sem orifício é elementar~ no caso
da com orifício elítico já torna-se necessário lançar mao de
soluções obtidas em coordenadas curvilineas elíticas). Para haver
aumento da fissura é, então, necessário que a diminuição da
energia de deformação, ou seja:
dU d~ d~ = ••• { 4 9)
seja maior ou igual ao aumento da energia superficial, ou seja:
••• (5o) 2E
onde T e a energia por unidade de superfície o fator 2d9- é
imediato, pois o acréscimo da fissura aumenta a superfície nessa
proporçao, uma vez que se admite espessura unitária). De (50)
decorre:
0 > 0 c r ••• (51)
onde:
0 = v4ET, ••• (52) c r TI9,
para que a fissura propague-se. A tensão 0 cr e dita tensão
33
crítica de abertura de fissura.
ti ti t t t t t t te;
L
a l Chapa sem Orifício
t t t i t t t t t i f to-CONCENTRAÇÃO DE TENsÃO
(I ) l· ! pl
b) Chapa com Orifício Ell.tico Alongado
FIGURA 16 - FRATURA SEGUNDO OR!F(C!O ELÍTICO ALONGADO
Mediante processos de fabricação mais requintados e
possível reduzir bastante aquelas imperfeições, aumentando-se
significativamente aresistência das peças. Griffths em suas
experiências já tinha conseguido hastes de vidro com resistência
da ordem de 0,62 107 N/m2 (mais da metade do valor teórico
esperado).
O modelo de Griffths nao se mostram muito adequado no
tratamento da fratura de aço, pois nas extremidades da fissura, ;
região mais tencionada, o material ja mostra-se emregime de
plastificação. Para atender melhor tais situações Irwin propos um
critério que toma por base, não mais um balanço das energias em
jogo, mas um estado de tensão de referência. Mais ainda, o
critério abrange outros tipos de fissuração que o até aqui
considerado. A figura 17 exibe os tipos clássicos de fratura. No
34
primeiro caso, fratura normal,o campo de tensão na extremidade da
fissura ~ dado por (solução obtida na Teoria da Elasticidade):
o X
L xy
o y
1 - sen(el2) sen(38/2)
KI cos (el2) sen(812) cos (3el2)
y2nr'
1 + sen {e I 2) sen ( 3 e I 2 J
••• (53)
onde K1 ~ um fator denominado fator de intensidade de tensão. O
ângulo e e o raio r são medidos conforme indicado na figura 17a).
O correspondente estado de deslocamento ~ dado por:
u cos (e 12)
= ••• {54)
v sen (e I 2) [B + 1 - 2 cos 2 (el2) J
sendo u e v os deslocamento segundo Ox e Oy, respectivamente,1J o
no estado plano de coeficiente de Poisson, e B = 3-4 11
deformação; no estado plano de tensão S = (3-1.1)1(1 + 1-lJ. No
segundo tipo de fratura(fig.l7b)) os estados de tensão e
deslocamento são dados por:
o X
KII L = --xy V 2nr' o y
:} =
-sen(el2) 2 + cos(el2) cos (3e 12) 1
cos(el2) 1 sen(el2) sen(3el2)]
sen(el2) cos(el2) cos (3e/2)
[
sen(el2) [B + 1- 2cos 2 (el2)]
-cos(812) [B- 1 + 2 sen 2 (el2)]
••• (55)
e na fratura indicada na figura 17c) (fratura de anti-plano),
35
tem-se:
1" yz
w
) =
= 2
-sen(8/2)
cos(8/2) •.. (56)
KIII r;;-' (8/2) 1J V 2TI sen
sendo w o deslocamento segundo o eixo oz. Um exame das expressoes
de {53) a (56) indica que os fatores de intensidade de tensão
K1 , K11 e K111 têm unidade de tensão multiplicada pela raiz de
um comprimento. No caso da fratura exibida na figura 17a), em se
tratando de uma chapa de comprimento infinito uniformemente
tracionada no sentido normal a fissura, tem-se
Elasticidade) :
K =a ~ I
(Teoria da
••• (57)
sendo a a tensão uniforme de tração e ~ o comprimento da
fissura. Além disso, é também evidente que os estados de tensão
apresentados experimentam, na extremidade da fissura (r = O), uma
singularidade do tipo 1/ rr, ou sej.a, as componentes de tensão
vao para o infinito nessa proporçao.
Pois bem, torna-se necessário agora alguns comentários.
Em primeiro lugar, parece estranho, a primeira vista, tomar-se
por referência estados de tensão que apresentam singularidades,
pois os materiais apresentam resistência limitada, mesmo tendo-se
em conta as forças moleculares. Em segundo lugar, os fatores de
intensidade de tensão, a não ser em casos particulares, como o
expresso em (57), não encontram forma explícita. Para esclarecer
tais questões é necessário, de inicio, ter-se em mente que as
tensões, na realizade, nao apresentam singularidade, porém, na
extremidade da fissura são de fato elevadas. Deixando-se de lado
uma estreita vizinhança singular r = O, os estados de tensão
apresentados podem fazer sentido. Além disso, num dado ponto, a
magnitude do estado de tensão depende apenas do fator de
36
y
)(
o ) Modo de Abertura b) Modo de Cisalhamento c)Froturo no Anti-plano
FIGURA 17- TIPOS BÁSICOS DE FRATURA
intensidade de tensão (K1 , K11 ou K111 ) .Assim sendo,ocritério que
define a propagação ou não da fissura pode, então, ser colocado
em termos de tais fatores, , por exemplo, no caso do primeiro tipo
de fratura, a condição:
••• (58 )
onde -e o fator de um dado estado de tensão e Krc o fator
limite correspondente ao inicio de propagação, indica que o
estado de tensão considerado não propicia a propagaçao da fissura
(no caso da fissura não se estabilizar, esse passa a ser o
critério de resistência da peça). Em outras palavras, na Mecânica
de Fratura, o fator de intensidade de tensão toma o lugar tensão
no julgamento da capacidade resistente da peça. Os fatores de
intensidade de tensão limites, para os tres tipos básicos de
fratura, são obtidos em ensaios padronizados. (norma E 399-74 da
37
ASTM, por exemplo). A titulo de mençao, uma junta soldada em aço
A 533-B (ASTM) à soe de temperatura apresenta Kic da ordem de 75 6 \~ 2 10 N vmlm •
Na prática, o estado de tensão na região de uma fissura
pode ser obtido mediante emprego de métodos numéricos (de maneira
aproximada obviamente). De posse do campo de tensão, e possível
estimar-se o valor do fator de intensidade de tensão
correspondente, pela comparação com aqueles de referência ((53},
(55) ou (56)). Dentre os métodos numéricos, o método dos
Elementos Finitos, mediante emprego de elementos especiais de
fratura, vem sendo o mais utilizado; embora, mais recentemente, o
método dos elementos de contorno já venha ganhando terreno também
nesse campo de aplicação.
8 - FADIGA
Os critérios de resistência abordados até aqui nao levam
em conta solicitações de natureza dinâmica. Em verdade, na
maioria dos casos da prática, a variação da solicitação com o
tempo , dada a lentidão com que se processa, não envolve
característica de natureza dinâmica apreciável. Contudo, no
julgamento da resistência de peças de máquinas, a natureza
essencialmente dinâmica das solicitações em jogo, exige a
consideraç~o dos efeitos dinâmicos no. fenõmeno da ruptura. Em
face da complexidade desse assunto e do carater introdutório que
norteia o presente texto, apenas dois casos de solicitação sao
aqui objeto de apreciação, ou seja: a) solicitação por choque; b)
solicitação periódica.
A capacidade de resistência ao choque (impacto) e, em
vários códigos construtivos, levada em consideração mediante
adequados coeficientes de majoração das cargas envolvidas. Tais
coeficientes sao obtidos experimentalmente em ensaios
padronizados. A capacidade da peça, ou da estrutura, acumular
energia de deformação no regime elástico-linear, caraceterística
denominada resiliência, fornece uma primeira indicação sobre a
resistência ao choque. Contudo, as tensões desenvolvidas durante
o impacto, extremamente dificíeis de ser avaliadas, dependem
38
sobremaneira da forma como o choque se processa. Cabe ressaltar
que, dada a importância desse assunto para a engenharia militar,
o comportamento dos materiais nesse caso particular de
solicitação forma como que um ramo específico da engenharia (no
projeto de blindagem a resistência o impacto e uma questão
essencial . Em face do mencionado, nao é nem preciso salientar
que trata-se de um ramo do conhecimento muito pouco divulgado,
devido ao sigilo mantido em torno desse assunto.
A solicitação periódica promove uma variação cíclica das
tensões. No caso de uma máquina 1 o número de cilos pode ser
bastante elevado durante a vida útil do equipamento. ~ bastante
conhecido o fato de se atingir a ruptura de um arame com poucos
ciclos (10 ou 15) de vai-e-vem, provocando escoamento alternado.
Por outro lado, as experiências evidenciam que mesmo para tensões
abaixo da de escoamento esse tipo de ruptura manifesta-se para
alguns milhÕes de ciclos. A ruptura nesses casos é dita provocada
por fadiga (cansaço) do material . Cumpre assinalar, de início,
que interfere nessa ruptura, além de propriedades próprias do
material, fortemente a geometria da peça.
O primeiro investigador que abordou esse assunto de
maneira sistemática foi WOEHLER; por essa razão, em merecida
homenagem, diagramas como o mostrado na figura 18a) levam o seu
nome. Tratam-se de resultados de ensaios padronizados, onde em
ordenada lança-se o nível da tensão alternada máxima e em
abcissa o numero de ciclos necessários para a ruptura.
Irônicamente,esse mesmo diagrama, quando lançado em escala
logarítmica (fig. 18b)), vem sendo referido como diagrama S/N,
onde S e
numero de
o lagarítmo do nível de tensão e N
ciclos (a literatura inglesa nao
o logarítimo do
presta a devida
homenagem ao WOEHLER). Homenagens a parte, esse diagrama
esquematizado decorre de resultados encontrados para o aço
comum; ficando-se evidente que, para tensões alternadas menores
que 190 10 6 N/m2 a ruptura por fadiga não mais ocorre. Todavia,
no caso do alumínio esse patamar não se manifesta,
fadiga vai estar sempre presente.
39
ou seja, a
I,S ..&--+--+---+--+---+-+--1---!!o-2 3 4 5 6 7,0
o) Diagrama de WOEHLER
106 Ciclos
3,2.8
6,54
b) Diagrama s /N
FIGURA 18 - DIAGRAMAS DE FADIGA
Para atender os casos de solicitação com tensão variando
de um limite inferior amim, a um limite superior amax. não
iguais em módulo, como no caso alternado, o critério de fadiga
para os materiais que apresentam patamar (tensões abaixo de um
certo valor nao promovendo fadiga do material) é do tipo
ilustrado na figura 19, denominado Diagrama de SMITH. Em ordenada
lançam-se os valores de a max e a mim,
média, ou seja:
amax + amim a = m 2
e em abcissa a tensão
••• (59)
A propósito desse diagrama, cumpre chamar a atenção para a
facilidade com que pode ser obtido. A região sem ruptura à fadiga
pode ser determinada com praticamente três pontos. No eixo de
ordenadas indicam-se valores decorrentes do diagrama de WOEHLER,
o outro ponto é obtido com o resultado da resistência estática.
40
Por uma questão de prudência, essa região é delimitada na parte
superior pela tensão de escoamento, tendo-se em vista eventual
inutilização da peça por deformações acumuladas excessivas o
diagrama de SMITH é também, em algumas literaturas denominado de
Diagrama de GOODMAN) .
SOLICITAÇÃO PULSANTE
IO"min=Ol
FIGURA 19- DIAGRAMA DE SMITH (GOODMAN)
Em muitos problemas da prática, como, por exemplo, os de
plataforma maritimas, os ciclos de tensão não são de mesmo nivel,
pois os "estados do mar" variam ao longo da vida ütil de tais
estruturas (para cada estado do mar existe uma onda
caracteristica). No sentido de se abordar esses casos, foi
proposto um critério linear, denominado critério de PALMGREN-
MINER, onde a fadiga é agora ditada pela soma ponderada dos
níveis de tensão, ou seja:
L: m n N ~ l ••• ( 6 o)
41
onde n é o numero de ciclos verificado num dado nível de tensão
alternada,
de WOEHLER.
sendo N o numero máximo nesse nível, dado no diagrama
A expressão {60) exprime a condição de nao haver
fadiga quando ocorrem m casos de solicitação alternada.
Para finalizar, cabem alguns comentários. Em primeiro
lugar, vale mais uma vez ressaltar que o fenômeno da fadiga e
extremamente complexo, nao existindo, até o momento,
modelo matemático plenamen-te convincente. Todavia,
nenhum
alguns
"personagens" importantes se destacam: a) Trata-se de um fenômeno
que depende de características mecânicas do material (cada
material apresenta, no tocante à fadiga, um comportamento típico)
b) Interfere marcantemente no fenômeno a forma geométrica da peça
(entalhes, furos e variação brusca de seção concorrem para uma
redução substancial da capacidade resistente da peça, pois
proporcionam concentrações de tensão; que, em decorrência de
plastificações localizadas, dão origem a trincas que se propagam
levando-se a ruína da peça). c) Micro-Fissuras decorrentes do
processo de fabricação também reduzem a capacidade da peça, por
proporcionarem fortes concentrações de tensão. Embora o assunto
mostra-se complexo, algumas orientações no sentido de se avaliar
o problema da fadiga vem sendo apresentadas. Em primeiro lugar,
os entalhes, furos etc. devem ser criteriosamente executados, de
modo a não permitir grandes concentrações de tensão; além disso,
como a região
superfície, um
(bombardeamento
mais tensionada, em geral, encontra-se na
tratamento da superfície com altas pressões
da superfície) melhora substancialmente o
desempenho da peça no tocante à fadiga.
9 - COMENTÁRIOS GERAIS
O presente texto aborda, de início, os critérios de
resistência dos materiais, ou seja, a capacidade resistente dos
materiais. Os demais assuntos já enfocam a resistência do ponto
de vista da peça, e não somente do material. A teoria da
plasticidade explica o comportamento da peça, ou conjunto, desde
42
o inicio da plastificação em um ponto até a formação de um
mecanismo. A mecânica da fratura, por outro lado, explica um tipo
particular de ruptura frágil, que decorre de propagaçao de
fissura, tratando-se de um modelo de ruptura que envolve, alem de
características do material (K1 , K11e~11 ) ,também a geometria da
peça. Finalmente, aborda-se o problema da fadiga, que também
envolve características do material e geometria da peça. Em
resumo,
envolve
a ruptura de uma estrutura é um fenômeno que
características do material empregado e
realmente
também a
geometria das peças componentes. Verificar as condições de
ruptura do material no ponto mais solicitado fornece apenas uma
indicação inicial sobre a capacidade resistente da estrutura. Uma
colocação mais completa desse assunto exige um estudo pela
teoria da plasticidade ou pela mecânica da fratura, se esse for o
caso mais crítico em relação à ruina. Infelizmente, como ainda
nao existe uma modelagem convincente da fadiga, no caso de
solicitação de natureza dinâmica a única indicação ainda e o
diagrama de WOEHLER.Nesse caso, um julgamento mais prudente ainda
parace ser o ensaio de cada peça ou estrutura em particular, ou,
o que e mais vantajoso, ensaios das partes julgadas mais
crÍticas, como juntas etc.
Todososcasos de ruina abordados anteriormente enfocam a
capacidade resistente, quer do material quer da peça ou conjunto.
Contudo, em sendo o deslocamento excessivo uma r~ptura técnica
(a peça passa a nao cumprir à contento a sua finalidade) uma
outra característica do comportamento dos materiais passa a ser
importante. Materiais como o concreto, por exemplo, quando
submetido a um estado de tensão constante exibe urna deformação
inicial do tipo elástico, ou elasto-plástico, e, com o passar do
ternpo,a deformação continua se processando. Esse fenômeno chama
se deformação lenta. No caso de se submeter o material a uma
deformação constante, de inicio processa-se urna tensão elástica,
ou elasto-plástica, e, com o passar do tempo, essa tensão
reduz-se. Esse fenômeno chama-se relaxação. A figura 20 ilustra
os comportamentos mencionados, no caso de uma barra sob tração
simples. Para o estado duplo e triplo de tensão existem modelos
matemáticos, similares ao da Teoria de Plasticidade, para
43
descrever, de maneira consistente, tais comportamentos(modelos
visco-elástico, visco-elasto-plástico, etc.).
H+ a: o
a l Barro Solicitada Estaticamente
d) Barra Alongado
cri= N /S)
cro ~-----------------------
b) Tensão Constante no tempo
O" I : N /S l
t
e: ( = .o..llti}
DEFOIUi!AçÃO !.ENTA
t
cl Andamento do deformação
80~---------------
f) Andamento da Tensão g l Deformação Constante
e) Tensão
FIGURA 20- COMPORTAMENTOS DEPENDENTES DO TEMPO
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