Post on 08-Jan-2017
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIACARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
NOMBRES Y APELLIDOS:
Carmen Alexandra Paneluisa Paredes
CÉDULA: 0603833989ASIGNATURA: Matemática General INIVEL: Tercero MENCIÓN: Educación Básica LUGAR Y FECHA: Riobamba, Octubre de 2016NOMBRE DEL TUTOR: Hugo Bayardo Simaluisa
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TRABAJO AUTÓNOMO A1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.1. Revisión de Conocimientos1.2. Gráficas de Funciones1.3. Álgebra de Funciones1.4. Composición de Funciones1.5. Función Inversa
SEMANA 1
REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS
Función
Definición
Una función es una regla que
Asigna a cada elemento de ,
como máximo un elemento de .
Notación
Se escribe para la única , si es que existe.
De tal modo que esté relacionada con mediante .
Representando el número de salida en el rango de .
REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS
Función
Entrada
Variable Independiente
Toma los valores presentes en el dominio de una
función
Salida
Variable Dependiente
Toma valores presentes en el
rango de .
También se llaman valores funcionales.
REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS
Función
Dominio
El subconjunto de que consiste en todas
las para las cuales está definida.
Rango (Recorrido)
El conjunto de todos los elementos contenidos
en de la forma , para algunas en .
ALGEBRA DE FUNCIONES
Suma
𝑥2+6 𝑥−1
Diferencia
−1−𝑥2
Producto
𝑥3+8 𝑥2−3 𝑥
Cociente
Si
3 𝑥−1𝑥2+3 𝑥
Si y
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Pueden combinarse
dos funciones
Aplicando primero una función a la
entrada.
Y, luego, la otra función al resultado
de la primera.
La salida 6 se convierte en la entrada de .
𝑓 (6 )=(6 )2=36
FUN
CIÓ
N IN
VERS
A Dado que:
es el número para el cual
Para es el número para el cual
Una función .
Puede indagarse
Si existe una función que
satisfaga: = función Identidad.
TRABAJO AUTÓNOMO A2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 2.1 del 5 al 16, 45, 47, 49; • Problemas 2.3 los numerales 3, 7, 20; • Problemas 2.4 los numerales 3, 4 y 6; • Problemas 2.5 los numerales 4, 10, 11, 12, 14 y
18.
PROBLEMAS 2.1 Obtenga el dominio de cada función:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
No es posible dividir entre 0. Así que se iguala el denominador a 0 y se resuelve para . Por lo tanto el dominio de consiste en todos los números reales excepto 1. Es decir,
Cualquier número real puede utilizarse como , de modo que el dominio de son todos los números reales.
EJERCICIO EXPLICACIÓN
es un número real si es mayor o igual a cero. Así el dominio de es el intervalo .
EJERCICIO RESOLUCIÓN EXPLICACIÓN
es un número real si es mayor o igual a cero.
Sin embargo, dado que no es posible dividir entre 0. El dominio de es el intervalo .
EJERCICIO EXPLICACIÓN
El dominio de son todos los números reales. Es decir,
El dominio de consiste en todos los números reales excepto (-3). Es decir,
El dominio de consiste en todos los números reales excepto . Es decir,
EJERCICIO EXPLICACIÓN
es un número real si es mayor o igual a cero. Así el dominio de es el intervalo:
El dominio de consiste en todos los números reales excepto . Es decir,
El dominio de consiste en todos los números reales excepto y . Es decir,
EJERCICIO EXPLICACIÓN
Ya que es un número no real.El dominio de consiste en todos los números reales. Es decir,
EJERCICIO RESOLUCIÓN EXPLICACIÓN
El dominio de consiste en todos los números reales excepto y . Es decir,
45. VALOR DE UN NEGOCIO.
Un negocio con un capital original de $ 50.000 tiene ingresos y gastos semanales por $ 7.200 y $ 4.900, respectivamente. Si todas las utilidades se conservan en el negocio, exprese el valor de del negocio al final de semanas como una función de .
Explicación:
Resolución:
47. FUNCIÓN DE UTILIDAD.
Cuando se venden q unidades de cierto producto (q es no negativa), la utilidad está dada por la ecuación . ¿Es una función de ? ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente?
, por ende sí es una función de .
Explicación: P (utilidad) es la variable dependiente y q (unidades) es la independiente, ya que no se puede determinar la utilidad sin conocer la cantidad de productos vendidos.
49. FUNCIÓN DE OFERTA.
Suponga que la función de oferta semanal por una libra de café casero en un local de venta de café es , donde es el número de libras de café que se ofrecen por semana. ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de $ 8,39 por libra? ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de $ 19,49 por libra? ¿Cómo cambia la cantidad ofrecida conforme se incrementa el precio?
Explicación: En base a esto se puede observar que la cantidad de libras de café ofrecida aumenta conforme se incrementa el precio.
PROBLEMAS 2.3 Si y , encuentre lo siguiente:
RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMAEXPLICACIÓN
(a) En este caso, la suma entre funciones se realiza de igual forma a una suma normal entre polinomios.
(b) La resta entre funciones se realiza de igual forma a una resta normal entre polinomios.
RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMAEXPLICACIÓN
(c) Teniendo en consideración la expresión obtenida en el literal anterior, se sustituye en y se resuelve la ecuación.
La división entre funciones se realiza de igual forma a una división entre polinomios, sin embargo, para un resultado más eficaz es recomendable tener en cuenta reglas de factorización.
RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMAEXPLICACIÓN
(d) La multiplicación entre funciones se realiza de igual forma a una multiplicación entre polinomios.
Teniendo en consideración la expresión obtenida en el inciso e), se sustituye en y se resuelve la ecuación.
RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMAEXPLICACIÓN
(g) En este caso, los valores de la función vienen a sustituir los valores de en la función . En otras palabras, sustituye a en .
(h) En este caso, los valores de la función vienen a sustituir los valores de en la función . En otras palabras, sustituye a en .
RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMAEXPLICACIÓN
(i)
Para resolver este ejercicio, primero, se determina el valor de la función .
Luego, se sustituye el valor obtenido en . Ya que de esta forma la resolución del ejercicio resulta más fácil de comprender.
7.1. Si y . Encuentre:
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EXPLICACIÓN
Los valores de la función sustituyen los valores de en la
función . Es decir, sustituye a
en .
Los valores de la función sustituyen los valores de en la
función . Es decir, sustituye a
en: .
20. SOCIOLOGÍA.
Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre posición social, educación e ingresos de una persona. Sea S un valor numérico de la posición social con base en el ingreso anual I. Para cierto tipo de población suponga: . Además suponga que el ingreso I de una persona es una función del número de años de educación E, donde: . Determine . ¿Qué describe esta función?
EXPLICACIÓN: Si se reemplaza por tenemos que es igual a y por consiguiente a Ya que no podemos dar solución a sin conocer .
DESCRIPCIÓN: Esta función describe o hace referencia a la posición social en la que una persona se encuentre y obviamente en base a esta se podrán conocer tanto los ingresos como los egresos de esta.
PROBLEMAS 2.4 Encuentre la inversa de la función
dada:EJERCICIO EXPLICACIÓN
Ya que , se sustituye por y se despeja
.
Luego, se reemplaza por y por ,
obteniendo como resultado:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
Ya que , se sustituye por y se despeja . Luego, se reemplaza por y por , obteniendo como resultado:
Siempre que no sea un número negativo.
Suponiendo que , se sustituye por y se despeja . Una vez obtenido el resultado, se reemplaza por y por , obteniendo:
PROBLEMAS 2.54. En la figura se muestra la gráfica de :
Estime y ¿Cuál es el dominio de ?¿Cuál es el rango de ?¿Cuál es una intersección de ?
EXPLICACIÓN: Según la gráfica: y . El dominio de son todos los
números reales positivos.
Mientras el rango de consiste en todos los números reales dentro del intervalo . El punto (2, 0) es una intersección x de .
Determine las intersecciones de la gráfica de cada ecuación y bosqueje la gráfica. Con base en la gráfica que realice ¿es una función de x?, si es así, ¿es una función uno a uno?, ¿cuál es su dominio y cuál es su rango?
La intersección es .
Si es una función de x.Es una función uno a
uno.El dominio de son todos
los números reales.Y el rango de también son todos los números
reales. Es decir,
Las intersecciones son:
Si es una función de x.Es una función uno a uno.
El dominio de son todos los números reales.Y el rango de también son todos los números reales.
Es decir,
En este caso no hay intersecciones ya que si x o y son iguales a 0 no
se puede resolver la ecuación.Aunque, si es una función de x.No es una función uno a uno.
El dominio de son todos los números reales, excepto 0.
Y el rango de también son todos los números reales, excepto 0.
Es decir,
Intersecciones:
Si es una función de x. Pero no es una función uno a uno.El dominio de son todos los números reales.
Y el rango de son todos los números reales dentro del rango .
La intersección es .
Si es una función de x, también es una función uno a uno.
El dominio de son todos los números reales.
Y el rango de también son todos los números reales.
Es decir, ..
TRABAJO AUTÓNOMO B1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.6. Funciones Polimoniales1.7. Función Lineal1.8. Ecuaciones de la Recta1.9. Condiciones de paralelismo y
perpendicularidad1.10. Aplicaciones en la Administración
SEMANA 2
FUNCIONES ESPECIALES
Función Constante
Función de la forma ,
= constante
Función Polinomial
Función de la forma
= grado del polinomio,
= constante, = coeficiente
principal,
𝑓 (𝑥 )=3 𝑥2−8 𝑥+9
Función Lineal
Si y solo si puede escribirse en la forma:
Donde y son constantes y .
La gráfica es una recta que
no es vertical ni horizontal.
ECUA
CIO
NES
DE
LA R
ECTA
Forma Punto -
Pendiente
Ecuación de la recta que pasa por y tiene pendiente . 𝑦− 𝑦1=𝑚 (𝑥−𝑥1 )
Forma Pendiente - Intersección
Ecuación de la recta con pendiente e intersección
igual a .
Forma Lineal General
Toda línea recta es la gráfica de una
ecuación la forma:
Donde , y son constantes.
y no son ambas iguales a 0.
Rectas Verticales y Horizontales
Los ejes y son las rectas horizontal
y vertical, respectivamente.
Recta vertical:
Recta horizontal:
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelos si y sólo si tienen la misma pendiente, o si ambas son verticales.
Cualquier recta es paralela a sí misma.
Rectas Perpendiculares
Dos rectas con pendientes y son perpendiculares si y solo si
Cualquier recta vertical y cualquier recta horizontal son
perpendiculares entre sí.
APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN
Ecuación de Demanda
Para cada nivel de precio de un
producto existe una cantidad
correspondiente de ese producto que los
consumidores demandarán
durante algún período.
A mayor precio la cantidad
demandada es menor; cuando el precio baja la
cantidad demandada es
mayor.
Ecuación de Oferta
Como respuesta ante diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de artículos que los productores están dispuestos a suministrar
durante algún periodo.
A mayor precio mayor la cantidad que se dispone surtir;
cuando el precio baja, la cantidad suministrada también.
APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN
Costos
Costo TotalEs la
suma de los
costos totales
variables y los
costos totales fijos.
Costos Fijos
Aquellos que bajo condicione
s normales no
dependen del nivel de producción.
Permanecen
constantes
durante todos los niveles de
producción.
Costos Variables
Aquellos que
varían con el
nivel de producci
ón.
APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN
Utilidad
Diferencia entre el ingreso total recibido por q unidades y el
costo total de q unidades.
La utilidad es igual al ingreso total menos el
costo total. Si la unidad es negativa,
entonces se tendrá pérdida.
Si el ingreso total es mayor al costo total resulta en utilidad, cuando
ambos están relacionados de
forma lineal.
Punto de Equilibrio
Punto donde las curvas de demanda y oferta de un producto
se intersecan, si se representan en el mismo plano de
coordenadas.
En el que el ingreso total es igual al costo
total. Cuando los niveles de producción y de ventas resultan en 0 pérdidas y 0
utilidades.
TRABAJO AUTÓNOMO B2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 2.2: numerales 3, 4, 6, 8, 11, 12, 19, 21, 32;
• Problemas 3.1: numerales 9, 10, 13, 17, 21, 27, 32, 51, 55, 63;
• Problemas 3.2 los numerales 21, 24, 25, 33.
PROBLEMAS 2.2 Determine si la función dada es una
función polinomial:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
No es una función polinomial. Como y el exponente para es un entero negativo, esta función no tiene la forma propia de las funciones polinomiales.
Es un función polinomial de grado 3 con
coeficiente principal 3.
Determine si la función dada es una función racional:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
Es una función racional, ya que el numerador, también puede escribirse como , por lo que tanto el numerador como el denominador son funciones polinomiales. Sin embargo, la función racional no está definida para .
Es una función racional, ya que el numerador, también puede escribirse como . Por lo que, tanto el numerador como el denominador son funciones polinomiales. Aunque la función racional no está definida para .
Determine el dominio de cada función:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
Ya que , el dominio de consiste en todos los números reales. Es decir, .
Ya que , el dominio de consiste en todos los números reales dentro del intervalo .
Determine los valores funcionales de cada función:
EJERCICIO EXPLICACIÓN
EJERCICIO
EXPLICACIÓN
32. INVERSIÓN.
Si un capital se invierte a una tasa de interés simple anual durante años, exprese la cantidad total acumulada del capital y del interés como una función de . ¿Su resultado es una función lineal de .
EXPLICACIÓN:
RESOLUCIÓN: Si es una función lineal de , ya que ambas ecuaciones cumplen con la forma .
9. Pasa por y tiene pendiente
EXPLICACIÓNUtilizando una forma punto-pendiente con
y podemos dar solución a .
PROBLEMAS 3.1 Encuentre una ecuación lineal general de la
recta que tiene las propiedades indicadas y haga el bosquejo de cada resta.
10. Pasa por el origen y tiene pendiente 75
EXPLICACIÓNUtilizando una forma punto-pendiente con y se da
solución a .
x
13. Pasa por y
EXPLICACIÓN
Es este caso, primero se debe determinar la pendiente de la resta a partir de los puntos dados. Para luego sustituir la pendiente y uno de los puntos dados en la forma punto-pendiente:
17. Tiene pendiente 2 y su intersección es 4
EXPLICACIÓN:Utilizando la forma pendiente intersección Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante.
Siendo y .
21. Es horizontal y pasa por
Si
EXPLICACIÓN:Los ejes y son rectas horizontal y vertical, respectiva-mente. Una ecuación de la recta horizontal que pasa por es .
Encuentre, si es posible, la pendiente y la intersección y de la resta determinada por la ecuación y haga el bosquejo de la gráfica.
EXPLICACIÓN:Utilizando la forma pendiente intersección Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante .
Pendiente e intersección
EXPLICACIÓN:
Utilizando la forma pendiente intersección
Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante .
Encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en forma pendiente-intersección.
51. Pasa por y es paralela a
EXPLICACIÓN:La pendiente de es
4. Por lo tanto, la recta que pasa por y que
es paralela a , también tiene pendiente 4.
55. Es perpendicular a y pasa por
EXPLICACIÓN:La pendiente de es 3. la pendiente de la resta perpendicular a esta debe ser (recíproco negativo de 3).
Se emplea la forma punto-pendiente.
63. ACCIONES
En 1996, las acciones de una compañía productora de hardware se cotizaron en $ 37 por acción. Sin embargo, en 2006 la compañía empezó a tener problemas y el precio de las acciones a cayó a $ 8 por acción. Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio por acción y el año en que se comercializó para el intervalo de tiempo [1996 , 2006], con los años en el eje y el precio en el eje . encuentre una interpretación para la pendiente.
EXPLICACIÓN:
Así tenemos la función . Por lo que, sólo queda saber en
cuanto disminuye anualmente el valor de cada acción.
63. ACCIONES
RESOLUCIÓN GRÁFICA
INTERPRETACIÓN: El precio de cada acción disminuye en un promedio de $ 2,90
por año.
(2006 , 8)
(1996 , 37)
𝒚=−𝟐 ,𝟗 𝒙+𝟑𝟕
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
21. TARIFAS DE ELECTRICIDAD
Una compañía de electricidad cobra a clientes residenciales 12,5 centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual. La factura mensual de un cliente asciende a $ 51,65 por 380 kilowatt-hora.
Encuentre una función lineal que describa el monto total por concepto de electricidad si es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.
PROBLEMAS 3.2
21. TARIFAS DE ELECTRICIDAD.
EXPLICACIÓN RESOLUCIÓN
Así tenemos la función .
Por lo que, sólo queda encontrar el valor del cargo base mensual .
24. DEPRECIACIÓN
Una televisión nueva se deprecia $ 120 por año y tiene un valor de $ 340 después de cuatro años. Encuentre una función que describa el valor de esta televisión si es la edad del aparato en años.
EXPLICACIÓN: La valor de depreciación de un televisor es igual al valor original del televisor – (la depreciación anual ($ 120) por el la edad de dicho aparato).
RESOLUCIÓN:
25. APRECIACIÓN
Una casa se vendió en $ 1’183.000 seis años después de que se construyó y compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $ 53.000 por año mientras ellos fueran los propietarios.
Encuentre una función lineal que describa la apreciación del edificio, en miles, si es el número de años de la compra original.
25. APRECIACIÓN
EXPLICACIÓN RESOLUCIÓN
.
Así tenemos la función en miles de dólares.
Por lo que, sólo queda encontrar el valor adicional con que se vendió.
33. PSICOLOGÍA
En cierto experimento de aprendizaje que involucra repetición y memoria, se estimó que la proporción de elementos recordados se relaciona linealmente con un tiempo de estudio efectivo (en segundos) donde está entre 5 y 9. Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos, la proporción de elementos recordados fue de 0,32. Por cada segundo más en el tiempo de estudio, la proporción recordada aumentó en 0,059.
(a)Encuentre una ecuación que dé en términos de .(b)¿Qué proporción de elementos se recordará en 9
segundos de tiempo efectivo de estudio?
33. PSICOLOGÍA
EXPLICACIÓN RESOLUCIÓN
.
Así tenemos la función .
Por lo que, sólo queda encontrar la proporción adicional aprendida .
TRABAJO AUTÓNOMO C1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.11. Sistemas de Ecuaciones Lineales1.12. Métodos de Resolución
SEMANA 3
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS VARIABLES
Conjunto de ecuaciones, un sistema de dos ecuaciones
lineales en las variables y .
El paso de un sistema a otro equivalente se logra mediante:
Intercambio de dos
ecuaciones.
Multiplicación de una ecuación por
una constante distinta a 0.
Reemplazo de una ecuación por sí misma
más un múltiplo de otra ecuación.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR ADICIÓN
Se obtiene un sistema equivalente en el que no aparezca
en una ecuación.
Los coeficientes
de los términos en , sean
iguales salvo por el signo.
Ambos lados de la
ecuación son iguales.
Así cada lado puede
sumarse a su corres-
pondiente.
Esto resulta en una sola
variable.
Al reemplazar
en la ecuación, se obtiene
la variable .
Culminando en un
sistema equivalente al original.
Aunque se eligió
eliminar primero ,
pudo haberse hecho lo mismo para .
Mediante un proceso
similar.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Se despeja una de las
dos variables en una de las ecuaciones.Sustituyen
do dicha ecuación
por el sistema
equivalente
resultante.
Se reemplaza la variable
despejada en la ecuación restante.Y se
despeja la variable restante, obteniend
o una solución para el sistema original.
Si las ecuaciones
tienen pendientes similares
pero interseccione
s distintas.
Podrían ser rectas paralelas
diferentes, pudiendo no existir
una solución para el sistema original.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
CON TRES VARIABLES
Un sistema de ecuación con tres variables x, y, z; es una ecuación que tiene la
forma
Donde A, B, C y D son
constantes, A, B y C no son todas 0.
Representa geográficam
ente un plano en el
espacio.
Una solución a este
sistema es la
intersección de los planos.
Su resolución también
puede darse por los
métodos antes
observados.
FAMILIA DE SOLUCIONES CON UN PARÁMETRO
Cuando una de las ecuaciones solo cuenta con dos de las tres variables, y , siendo
la tercera variable el parámetro.
En esta ecuación, se despeja la variable .
Se sustituye en las
ecuaciones restantes.
De ser iguales, se elimina una
de ellas.
Se obtiene un sistema equivalente
de dos ecuaciones.
Se expresan tanto como en términos
de .
De no haber restricciones
para .
Al ser , donde r es cualquier
número real.
Pueden existir un número
infinito de soluciones.
FAMILIA DE SOLUCIONES CON DOS PARÁMETROS
Este puede ser un sistema de dos ecuaciones con tres variables , y .
Se elimina en una de las
ecuaciones.
Al multiplicarla por una
constante y luego sumarla o restarla con
la otra ecuación.
Si ambas ecuaciones son iguales.
Puede eliminarse
una de ellas.
Se despeja de la
ecuación restante.
Al no haber restriccione
s para o .
Al ser , y , cualquier
número real.
Pueden existir un número infinito de soluciones.
TRABAJO AUTÓNOMO C2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 3.4 los numerales 15,16, 21, 25, 28.
PROBLEMAS 3.4 Resuelva los sistemas
algebraicamente:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNAl despejar en la segunda ecuación, , por lo que si se sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:
Consecuentemente tenemos:
Ahora, si despejamos en la primera ecuación tenemos:
EJERCICIO
Si reemplazamos en la tercera ecuación tenemos:
Una vez obtenido el valor de, podemos encontrar el valor de :
Así, obtenidos los valores de y , podemos regresar a la segunda ecuación y obtener el valor de :
Entonces:
EJERCICIO
EXPLICACIÓN
Al despejar en la primera ecuación, , por lo que si se sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:
Consecuentemente tenemos:
EJERCICIO
Ahora, si despejamos en la segunda ecuación tenemos: Así, obtenidos los valores
de y , podemos regresar a la primera ecuación y obtener el valor de :Si reemplazamos
en la tercera ecuación tenemos:
Una vez obtenido el valor de,
podemos encontrar el valor de :
EJERCICIO
EXPLICACIÓN
Al despejar en la primera ecuación, , por lo que si se
sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:
Consecuentemente tenemos:
Como la segunda y tercera ecuación son iguales, se elimina
una de ellas, quedando un sistema equivalente de dos ecuaciones:
Resolviendo la segunda ecuación para , resulta:
EJERCICIO
Si expresamos a en términos de :
Por lo tanto se tiene:
Como no hay restricciones sobre , podría existir una familia
de soluciones paramétricas.
Haciendo , se tienen la siguiente familia de
soluciones:
Donde r puede ser cualquier número real, dando un número
infinito de soluciones.
25. MEZCLA.
Un fabricante de productos químicos desea surtir un pedido de 800 galones de una solución de ácido al 25%. En existencia tiene soluciones al 20% y 35%. ¿Cuántos galones de cada solución debe mezclar para surtir el pedido?
EXPLICACIÓN Solución Ácida A
Solución Ácida B
Total requerido
Cantidad x y 800% Ácido 20% 35% 25%
25. MEZCLA.
Ya que requerimos 800 galones de solución 25%, pero solo
contamos con soluciones al 20% y 35%, se tiene el siguiente
sistema:
Si multiplicamos la primera ecuación por tenemos:
Dado que las dos ecuaciones poseen componentes similares podemos sumarlas y obtener:
Resultando el sistema equivalente:
25. MEZCLA.
Al reemplazar en la segunda ecuación, se obtiene:
Así el sistema original es equivalente a:
Por lo que, para surtir el pedido se deben mezclar
533,33 galones de solución ácida al 20% y 266,67 galones
de solución ácida al 35%.
28. IMPUESTO
Una compañía tiene ingresos gravables por $ 758.000. El impuesto federal es 35% de la parte restante después que el impuesto estatal ha sido pagado. El impuesto estatal es 15% de la parte restante después que el federal ha sido pagado. Determine los impuestos federal y estatal.
EXPLICACIÓN
En base a lo expresado en el cuadro anterior, se supone:
Si ordenamos los términos queda:
ImpuestoFederal xEstatal y
28. IMPUESTO
Entontes, si multiplicamos la segunda ecuación por :
Como ambas ecuaciones poseen términos semejantes se suma o se
resta quedando:
De donde resulta equivalente:
Al reemplazar en la primera ecuación se obtiene:
Así el sistema original es equivalente a:
Por lo que, el impuesto federal es igual a $ 338 000 y el
impuesto estatal es de $ 78 000.
TRABAJO AUTÓNOMO D1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.13. Matrices1.14. Suma de Matrices1.15. Multiplicación por un escalar1.16. Sustracción de Matrices1.17. Multiplicación de Matrices
SEMANA 4
MATRICES
Definición
Un arreglo rectangular de números que
consiste en renglones y columnas.
[ 𝐴11 ⋯ 𝐴1𝑛
𝐴12⋮
……
𝐴2𝑛⋮
𝐴𝑚1 ⋯ 𝐴𝑚𝑛]
Tamaño
El tamaño de es de x , por lo que se conoce
como: Matriz de x .
Tiene un tamaño de1 x 3.
MATRICES
Construcción
Para la entrada , el subíndice del renglón es y el subíndice de la columna es .
Si es de y , entonces
Vector Renglón
Matriz que tiene exactamente
un renglón.
𝐴= [1 7 12 ]
Vector Columna
Matriz que consiste en una sola columna.
𝐵=[ 15−29 ]
MATRICES
Igualdad
Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo
tamaño:
Transpuesta
La traspuesta de una matriz de , es la matriz de cuyo -ésimo renglón es la -ésima
columna de .
MATRICES ESPECIALES
Matriz Cero
Matriz de m x n cuyas entradas son todas 0,
se denota .
0=[0 0 00 0 0]
Matriz Cuadrada
Matriz que posee igual número de renglones y
columnas, .
Matrices que desempeñan funciones importantes en
la teoría de matrices.
MATRICES ESPECIALES
Diagonal Principal
Se constituye por las entradas que están sobre la diagonal extendida desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.
[1 5 92 6 73 8 4 ]
Matriz Diagonal
Matriz cuadrada donde todas las entradas que se
encuentran fuera de la diagonal principal son 0.
[1 00 1 ][3 0 0
0 7 00 0 5 ]
MATRIZ TRIANGULAR
M. Triangular Superior
Matriz cuadrada donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son 0.
[5 1 30 2 70 0 1]
M. Triangular Inferior
Matriz cuadrado donde todas las entradas arriba de la diagonal principal son 0.
[1 0 02 5 03 6 9]
SUMA DE MATRICES
Definición
es la matriz de que se obtiene al sumar las
entradas correspondientes de y .
Tamaño
Si el tamaño de es diferente al de , entonces
no está definida.
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Definición
Al multiplicar un número real por cada entrada de una matriz se
obtiene una matriz de .
Denominación
se denomina múltiplo
escalar de .
En el contexto de las
matrices, los números
reales suelen denominarse escalares.
𝑘=3 𝐴=[9 62 5 ]𝑘𝐴=[3 (9 ) 3 (6 )
3 (2 ) 3 (5 )]=[27 186 10 ]
SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Definición
En términos de la suma de matrices: Si y
tienen el mismo tamaño, entonces quiere decir
Denominación
Si es cualquier matriz, entonces el múltiplo
escalar se escribe como y se denomina negativo
de .
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Puede definirse el producto de las matrices y bajo ciertas
circunstancias.
1. El número de columnas de debe ser igual al número de renglones de .
De lo contrario no está definida.
2. El producto tendrá tantos
renglones como y tantas
columnas como .
3. El producto hace referencia al factor izquierdo
y al factor derecho , en ese
orden.
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Vector de Costos
Representa los precios
(por unidad) para los
productos (, , ).
𝐴 𝐵 𝐶𝑃= [2 3 4 ]
Si las cantidades (en unidades) de
, , que se compran están dadas por un
vector columna.
𝑄=[ 7511]𝐴𝐵𝐶
Entonces, el costo total de las compras
está dado por la entrada en el
vector de costos.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Propiedad Asociativa
Se puede calcular de dos maneras.
Agrupando BC
Agrupando AB
𝐴 (𝐵𝐶 )= ( 𝐴𝐵)𝐶
Propiedad Distributiva
Si al lado izquierdo tiene .
Y al derecho tiene .
Queda verificar si ambos lados son
iguales.
𝐴 (𝐵+𝐶 )=𝐴𝐵+𝐴𝐶
MATERIA PRIMA Y COSTOS
Si un contratista ha aceptado pedidos de materia prima
para diferentes tipos de casas.
Estos pedidos se pueden representar
en un vector renglón.
𝑅 𝑀 𝐶𝑄=[5 7 12 ]
Si las materias primas (MP) a emplearse son de distintos
tipos. Cada unidad de MP que se utiliza en cada tipo de casa puede representarse en una
matriz.
𝐴𝑐 𝑀𝑎𝑑𝑉𝑖𝑑 𝑃∫¿𝑀𝑂
T=𝑅𝑀𝐶 [5 207 186 25
16 7 1712 9 218 5 13 ]
Renglón: Cantidad de MP
necesaria para un tipo dado de cada.
Columna: Cantidad que se requiere de una
MP dada para cada tipo de casa.
MATERIA PRIMA Y COSTOS
Si el contratista desea saber:
La cantidad de cada MP necesaria para
satisfacer todos sus pedidos.
Deberá obtener el producto .
Los costos que deberá pagar por estos materiales.
Podrá utilizar un vector columna
de costos .
Y obtener el producto .
El costo total de la MP para todas
las casas.
Requerirá el producto
POTENCIA DE UNA MATRIZ
Si es una matriz cuadrada puede hablarse de una potencia de
La -ésima potencia de , , es el producto de
factores de .
𝐴𝑝=𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴⋯ 𝐴
Si es de tamaño , se
define Se hace notar
que .
TRABAJO AUTÓNOMO D2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 6.2 los numerales 41, 42, 46.• Problemas 6.3 los numerales 20, 23, 60, 62, 64.
41. PRODUCCIÓN.
Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y magnetos en dos plantas, I y II. La matriz representa la producción de las dos plantas para el minorista X y la matriz representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total alcanzada en las dos plantas para ambos minoristas, donde:
PROBLEMAS 6.2
41. PRODUCCIÓN.
Para determinar la producción total alcanzada por ambas plantas, se debe sumar la producción total efectuada para ambos minoristas, es decir sumar la matriz y la matriz , con lo que se obtiene:
Equivalente a:
42. VENTAS.
Sea la matriz que representa las ventas (en miles) de una compañía de juguetes para tres ciudades, en 2007, y sea la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en 2009, donde
Si la compañía compra a un competidor y en 2010 duplica las ventas que consiguió en 2009, ¿cuál es el cambio de ventas entre 2007 y 2010?
42. VENTAS.
Para determinar la diferencia de ventas entre 2007 y 2010 debemos conocer cuanto se vendió en 2010, es decir 2B:
Y, luego, restar , así:
Con lo que se observa un incremento de:
Calcule las matrices dadas si:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNPara calcular la expresión dada , primero se reemplazan las matrices por sus valores correspondientes:
EJERCICIO
Primero, se resuelve lo que está dentro del paréntesis empezando por el producto , y luego la suma , obteniendo:
Al multiplicar por el resultado de se tiene:
Para finalizar se suma este resultado a la matriz C, quedando:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNComo la primera matriz es de 3 x 2 y la segunda matriz es de 2 x 2, el producto tendrá un tamaño de 3 x 2. Para lo cual, se desplaza simultáneamente el dedo índice izquierdo a lo largo de los renglones de y el dedo índice derecho a lo largo de las columnas de , determinando las siguientes entradas.
Con esto, se obtiene:
PROBLEMAS 6.3 Realice las operaciones indicadas:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNComo la primera matriz es de 3 x 3 y la segunda matriz es de 3 x 3, el producto tendrá un tamaño de 3 x 3. Así:
Con esto, se obtiene:
Represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices:
EJERCICIO
EXPLICACIÓN: Si suponemos que:
El producto debe tener un tamaño de 3 x 1 , ya que la matriz es de 3 x 3 y la matriz es de
3 x 1. Así, al resolver la operación en base a los términos antes observados, se determina:
Con lo que se comprueba la hipótesis. Entonces, si suponemos
que este producto da como resultado la matriz , se tiene:
EJERCICIO
Así, al resolver la operación en base a los términos antes observados, se determina:
Con lo que se comprueba la hipótesis. Entonces, si suponemos que este producto da como resultado la matriz , se tiene:
62. MENSAJES SECRETOS.
Los mensajes secretos pueden codificarse por medio de un código y una matriz de codificación. Suponga que se tiene el código siguiente:
Sea la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje al tomar cada vez dos letras del mensaje, convertirlas a sus números correspondientes para crear una matriz de y luego multiplicar cada matriz por . Utilice este código para codificar el mensaje en inglés: “play/it/again/ sam”, dejando las diagonales para separar las palabras.
a b c d e f g h i j k l m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
62. MENSAJES SECRETOS.
EXPLICACIÓN:Como cada matriz debe ser de
2 x 1, se determinó que:
A fin de poder separar las palabras codificadas con
diagonales.
Además, si damos a estas matrices el nombre de y tenemos en consideración que para obtener el producto , el número de columnas de debe ser igual al número de renglones de , pero al no ser así, no es posible de obtener, aunque si es posible. Por lo que, como es de 2 x 2 y es de 2 x 1, se obtiene un producto de 2 x 1.
62. MENSAJES SECRETOS.
Entonces,
Por lo que el mensaje codificado sería:
Play / it / again / sam
64. ACCIONES.
Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción A, B, C y D son $ 100, $ 150, $ 200 y $ 300, respectivamente.
• Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo.
• Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo.
• Utilizando la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones.
64. ACCIONES.
Si suponemos que: la matriz representa el número de acciones compradas, la matriz representa el precio de cada acción y el costo total de las acciones, tenemos:
Como es de 1 x 4 y de 4 x 1, será de 1 x 1, así:
Por lo que el valor total de las acciones es de $ 240.000.
TRABAJO AUTÓNOMO E1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.18. Resolución del SEL mediante la reducción de Matrices.
1.19. Determinante de una matriz cuadrada.1.20. Matriz Inversa.
SEMANA 5
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA MEDIANTE LA REDUCCIÓN DE
MATRICES
Al reescribir el sistema de modo que las variables estén alineadas y los
términos constantes aparezcan en los lados derechos de las ecuaciones.Se
escribe el
sistema en
forma de
matriz aumentada.
La cual se
reduce, al
aplicar operaciones elementales.
Donde la
última matriz reduci
da satisface a
todas las
ecuaciones.
De no ser así,
el sistem
a origina
l no tiene
solución.
MATRIZ DE COEFICIENTES AUMENTADA
Matriz de Coeficientes
En la primera
columna, las
entradas correspon-den a
los coeficien
tes de las x en
las ecuacion
es.
En forma análoga,
las entradas
en la segunda columna correspon-den a
los coeficien
tes de las y.
Matriz Aumentada
Las primeras columna
s correspon-den a
las columna
s, respectiva-mente,
de la matriz
de coeficien
tes.
Las entradas
en la tercera
columna correspon-den a
los términos constant
es del sistema.
OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE
RENGLONESAl reemplazar sucesivamente
el sistema original por otro
equivalente.
El cual se obtiene al
realizar una de las tres
operaciones elementales.
Intercambio de dos renglones de
una matriz.
𝑅𝑖↔𝑅 𝑗
Multiplicar un renglón de una matriz por un
número distinto de 0.
𝑘 𝑅𝑖
Sumar un múltiplo de un renglón de una
matriz a un renglón diferente de esta matriz.
𝑘 𝑅𝑖+𝑅 𝑗
MATRIZ REDUCIDA
Cuando una matriz cumple con todas las afirmaciones siguientes:
Todos los renglones 0 están en
la parte inferior de la matriz.
Para cada renglón
diferente de 0, la entrada principal
es 1 y todas las
otras entradas
en la columna donde
aparece la entrada principal
son 0.
La entrada principal en cada renglón está a la derecha
de la entrada principal
de cualquier renglón que este arriba de
él.
𝐸=[1 00 1
::12]
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
De Orden 2
Dado el sistema
{𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦= 𝑓
[𝑎 𝑏𝑐 𝑑] [𝑥𝑦 ]=[𝑒𝑓 ]
División de determinantes
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
De Orden 3
Dado el sistema
{𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧= 𝑗𝑑𝑥+𝑒𝑦+ 𝑓𝑧=𝑘𝑔𝑥+h𝑦+𝑖𝑧=𝑙
[𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 h 𝑖 ] [
𝑥𝑦𝑧 ]=[ 𝑗𝑘𝑙 ]
División de determinantes
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Regla de Cramer
Sea el determinante de la
matriz de coeficientes.
[𝑎11𝑎21⋮𝑎𝑛1
𝑎12𝑎22
⋯…
𝑎1𝑛𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]Todo sistema de Cramer tiene una sola solución.
Dada por las expresiones:
𝑥1=∆1∆
𝑥2=∆2∆
𝑥3=∆3∆
𝑥𝑛=∆𝑛
∆
USO DE LA INVERSA PARA RESOLVER UN SISTEMA
En la forma matricial se tiene
.
= Matriz de coeficientes, = Variables, = Términos constantes.
Se debe cumplir con dos requisitos.
1. El sistema debe tener el mismo
número de ecuaciones que de incógnitas.
2. La matriz de coeficientes, ,
debe ser invertible.
Para resolver el sistema.
Se multiplica la matriz inversa
por las constantes del
sistema, .
𝑋=𝐴−1𝐵
DETERMINACIÓN DE UNA MATRIZ INVERSA
Debe tenerse en consideración los teoremas antes vistos.
A la matriz se le aumentará la
matriz identidad , del tamaño de .
Así si es de e es de , la matriz
será de .
Se aplicarán operaciones
elementales a toda la matriz.
Hasta que las primeras
columnas formen una matriz reducida.
Si el resultado es ,
entonces, es invertible.
Las últimas columnas se transformará
n de a
TRABAJO AUTÓNOMO E2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 6.4 los numerales 23, 31.• Problemas 6.6 los numerales 29, 42.
PROBLEMAS 6.4 Resuelva los sistemas por el método de reducción:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNAl multiplicar la tercera ecuación
por se obtiene Si se suman estos términos a los correspondientes de la segunda ecuación, se obtiene un sistema
equivalente en el que tanto como se eliminan de las
segunda ecuación.
EJERCICIO
Ahora, si dividimos la segunda ecuación para tenemos:
Conocido el valor de , podemos reemplazarlo en la tercera y cuarta ecuación,
con lo que se obtiene:
Si se multiplica por la tercera ecuación queda , que al sumar con la primera, se elimina, quedando el
siguiente sistema :
EJERCICIO
Entonces, al multiplicar la segunda ecuación por y luego sumarla
con la tercera se tiene:
Así, si dividimos la tercera ecuación para 7 tenemos:
De la tercera ecuación sabemos que , por lo tanto, .
Si reemplazamos esto en la segunda ecuación, se tiene:
Por ende, , y .
31. VITAMINAS.
A una persona el doctor le prescribió tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 unidades de vitamina E diariamente. La persona puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E; la marca tiene 1, 3 y 4 unidades, respectivamente; la marca tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 unidad de vitamina E.a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que
proporcionen de manera exacta las cantidades requeridas.b) Si cada píldora de la marca cuesta 1 centavo; de la marca 6
centavos y de la marca 3 centavos, ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día?
c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)?¿La más cara?
31. VITAMINAS.
Para resolver el literal a), hay que considerar que:
Si primero cubrimos la vitamina D, requeriríamos y . Como , se
implementa con Siendo la primera combinación: .
Como , se implementaría con , siendo la segunda combinación: .
Ahora, si se piensa mezclar las tres marcas , y , podemos
considerar y . Como , se puede suma , obteniendo , para luego
implementar con , siendo la tercera combinación: .
Vit. A D EX 2 3 5Y 1 3 4Z 1 0 1
Req. 10 9 19
31. VITAMINAS.
Como , se le puede sumar y siendo la cuarta combinación es: .
Otras combinaciones no son posibles, ya que no cumplen
con los requisitos exactos.
Para resolver el inciso b), debemos considerar que:
, y centavos. Que al ser remplazadas en las combinaciones
del inciso a), dan:
Así, la única combinación que tiene un costo de 15 centavos
al día es .
La más cara es con un precio de 39 centavos.
Y, la más barata es con un precio de 15 centavos.
PROBLEMAS 6.6 Si la matriz de coeficientes del sistema es invertible,
resuelva el ejercicio utilizando la inversa. Si no es así, resuelva por el método de reducción.
EJERCICIO
EXPLICACIÓN: Para determinar si este sistema es invertible, primero lo presentamos en forma matricial.
Entonces, se resuelve a fin de encontrar la inversa de A:
EJERCICIO
Para lo cual, multiplicamos la primera fila por (-1) y la sumamos a la tercera fila, sustituyéndola:
Hacemos lo mismo con la segunda fila:
Se divide tanto la segunda como la tercera fila para (-2) y se intercambian de lugares:
Al multiplicar la segunda fila por y sumarla a primera fila:
EJERCICIO
Luego, al multiplicar la tercera fila por y sumarla a la segunda:
Por lo que la inversa de A es:
Para resolver el sistema, se obtiene el producto .
Como es de 3 x 3 y es de 3 x 1, será de 3 x 1:
Lo que nos da como resultado:
Por lo tanto, , y
42. MENSAJE SECRETO.
Un amigo le ha enviado a usted un mensaje secreto que consiste en tres matrices renglón de números como sigue:
Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para codificar el mensaje)
Descifre el mensaje procediendo de la siguiente forma:(a) Calcule los tres productos matriciales , y (b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los
números del 1 al 26, reemplace los números en estas matrices por letras y determine el mensaje.
42. MENSAJE SECRETO.
Para dar solución al inciso a), primero calculamos por el
método de Gauss:
Sumamos la primera y tercera fila, reemplazando la tercera:
Multiplicamos la primera fila por y la sumamos a la segunda, reemplazando la segunda:
Multiplicamos la segunda ecuación por (-2) y la sumamos a la primera, reemplazándola:
42. MENSAJE SECRETO.
Multiplicamos la tercera fila por 9 y la sumamos a la primera,
reemplazando la primera:
Multiplicamos la tercera fila por y la sumamos a la segunda fila,
reemplazando la segunda:
Por lo que:
Así, al ser una matriz de 3 x 3 y, , y
matrices de 1 x 3, el producto resultante será de 1 x 3.
42. MENSAJE SECRETO.
Dando solución al inciso a):
Si reemplazamos los números por sus correspondientes
letras del alfabeto, se tiene:
Por lo que el mensaje codificado es:
“Just say no”, que quiere decir, “Sólo di no”.
TRABAJO AUTÓNOMO F1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.21. Función Cuadrática.1.22. Sistemas no lineales.
SEMANA 6
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Definición
Una función es cuadrática:
Si y solo si, ) puede escribirse en la forma
𝑓 (𝑥)=𝑎2+𝑏𝑥+𝑐
Función polinomial de grado 2.
Donde , y son
constantes.
Y .
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Vértice
Punto donde el eje
(de simetría) corta la parábola
𝑥=− 𝑏2𝑎 𝑦= 𝑓 (− 𝑏
2𝑎)
Si , el vértice es el punto más bajo de la parábola.
Si , el vértice es el punto más alto de la parábola
Eje de Simetría
Recta vertical,
respecto a la cual cada
parábola es simétrica.
No es parte de la
parábola, pero resulta
útil para bosquejarla.(− 𝑏
2𝑎 ; 𝑓 (− 𝑏2𝑎))
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Gráfica
Es una parábola.
Si , abre hacia arriba
Si , abre hacia abajo
La intersección
es .Vértice
(− 𝑏2𝑎 : 𝑓 (− 𝑏
2𝑎))
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Dominio y Recorrido
Cuando se restringe a
La función restringida pasará
la prueba de la recta horizontal.
Y, por lo tanto, será
de uno a uno.
Existen muchas restricciones
que son uno a uno.
Sus dominios consisten en más de un intervalo.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Maximización
Cuando , la parábola abre
hacia abajo y, por lo tanto, tiene un punto más alto.
De modo que es el valor máximo
de .
Minimización
Cuando , la parábola abre
hacia arriba y, por lo tanto, tiene un punto más bajo.
Es decir, que tiene un valor
mínimo en ese punto.
Al realizarse manipulaciones
algebraicas sobre
Puede determinarse este valor mínimo y, también, dónde
ocurre.
APLICACIONES
Ingresos
Si se usa la ecuación de demanda
puede expresarse en términos de , de modo que será una
función de :
Al graficar la función de ingreso
Sólo se dibuja la parte para la que
y
Puesto que la cantidad y el ingreso no pueden ser negativos.
SISTEMAS NO LINEALES
Sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal.
Con frecuencia, puede
resolverse por sustitución. Como se
hace con los
sistemas lineales.
Si contuviera una ecuación
lineal.Se
despeja una de las variables de
la ecuac
ión lineal.
Y se sustituye esa
variable en
la otra
ecuación.
TRABAJO AUTÓNOMO F2
Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:
• Problemas 3.3 los numerales 11, 19, 23, 24, 34, 40.
• Problemas 3.5 los numerales 12, 13, 17.
PROBLEMAS 3.311. Para la parábola
Encuentre:(a) La intersección ,(b) Las intersecciones , y, (c) El vérticeNo incluya una gráfica.
EXPLICACIÓN:
Inciso a) Como ,la intersección es .
Inciso b) Para encontrar las intersecciones , se iguala a 0
en y se despeja .Si , y . Como , la parábola se abre hacia arriba.
EJERCICIO 11.
Entonces, o . De modo que las
intersecciones son y .
Inciso c).Se deben determinar las
coordenadas y del vértice.
Ya que el vértice es
La coordenada del vértice es
Y la coordenada es:
Así, el vértice es:
Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el rango.
EJERCICIO
EXPLICACIÓN:Si es la función de
una parábola. Tenemos que: , y
. Y como , la parábola se abre
hacia abajo.
Ya que el vértice es
La coordenada del vértice es
Y la coordenada es:
Así, el vértice es:
EJERCICIO
Como , la intersección es . Para encontrar las
intersecciones , se iguala a 0 en
y se despeja .
Dado que, la ecuación no puede factorizarse con
facilidad, se empleará la fórmula cuadrática para
encontrar los valores de :
Como la raíz cuadrada de es un número no real, no podemos determinar
el valor de .
EJERCICIO
Por lo que se entiende que no hay intersecciones .
Así, con base en la gráfica, se ve que el
rango de es toda
Esto es el intervalo
Establezca si tiene un valor máximo o mínimo y encuentre ese valor.
EJERCICIO
EXPLICACIÓN , y .
Como la curva se abre hacia arriba. Y, por lo tanto, tiene un punto más bajo, es decir, tiene un valor mínimo en ese punto.
Por lo que, para determinar dicho punto se debe hallar el
vértice.
Así tenemos que:
El valor mínimo de es: Y el vértice es:
EJERCICIO
EXPLICACIÓN , y .
Como la curva se abre hacia abajo y, por lo tanto, tiene un punto más alto. Es decir que
tiene un valor máximo. La coordenada del vértice es:
La coordenada es:
Así el vértice es
De modo que el valor máximo de es:
34. PSICOLOGÍA. EXPLICACIÓN
Una predicción hecha por la psicología relaciona la magnitud de un estímulo, , con la magnitud de una respuesta, , lo cual se expresa mediante la ecuación , donde es una constante del experimento. En un experimento sobre reconocimiento de patrones, .
Determine el vértice de la función y trace la gráfica de su ecuación (suponga que no hay restricción sobre ).
Si , .Donde:
, y
Por ende:
En consecuencia, el valor mínimo de es 0 y el vértice es
(0 , 0).
34. PSICOLOGÍA.
En este cas, el eje es el eje de simetría, una
parábola que abre hacia arriba con vértice no
puede tener ninguna otra intersección.
De modo que para hacer un buen bosquejo
de esta parábola, se grafica un punto a cada lado del vértice.
Si , .
Así, se obtiene el punto
Y, por simetría el punto .
40. ÁREA.
Exprese el área del rectángulo que se muestra en la figura como una función cuadrática de .
¿Para qué valor de el área será máxima?
EXPLICACIÓN:Como el área de un
rectángulo es igual a la base por la altura.
Donde, , y .
11−𝑥𝑥
40. ÁREA.
Si se emplea la fórmula para determinar la coordenada del
vértice de la parábola:
Siendo, el área:
Por ende, si el área del rectángulo será de 30,25.
Donde es un valor intermedio entre 11 y 0, pues, si o el
área sería 0.
Por otro lado, si fuera mayor a 11 o menor a 0 el resultado sería negativo y las áreas de
cualquier figura, sin importar cual sea, no pueden ser negativas.
PROBLEMAS 3.5 Resuelva el sistema no lineal dado.
EJERCICIO
EXPLICACIÓN: Al despejar en la segunda
ecuación se tiene: .Si sustituimos en la primera
ecuación, queda:Por lo tanto,
Entonces:
EJERCICIO
EXPLICACIÓNAl despejar en la primera
ecuación se tiene: . Si sustituimos en la segunda
ecuación, queda:
Por lo tanto,
Entonces:
Como ambos lados se elevaron al cuadrado, es necesario verificar los
resultados. Así, aunque el primer par satisface a ambas ecuaciones, no
ocurre lo mismo con el segundo par.
Por lo tanto, la solución es
EJERCICIO
EXPLICACIÓN: En la figura, se estima que la intersección es 1, mientras las intersecciones son 1 y -1. La gráfica de es cónica, mientras la gráfica de es una parábola. Por ende, la solución del sistema no lineal dado es y .
Determine gráficamente cuántas soluciones tiene el sistema:
TRABAJO AUTÓNOMO G1
Realice un mapa conceptual de los temas de
1.23. Funciones Racionales.1.24. Funciones definidas por pares.1.25. Función Valor Absoluta.1.26. Función Raíz Cuadrada.
SEMANA 7
FUNCIONES RACIONALES
Una función que es cociente de
funciones polinomiales.
𝑓 (𝑥 )=𝑥2−6 𝑥𝑥+5
Es racional ya que tanto el numerador como el
denominador son funciones polinomiales.
Es racional ya que
De hecho, toda función polinomial
es una función racional.
FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES
La regla para su especificación está dada por reglas para cada uno de los
diferentes casos que puedan presentarse.
𝑓 (𝑥 )={ 𝑥 , 𝑠𝑖0≤𝑥<34 ,𝑠𝑖5<𝑥 ≤7
𝑥−1 ,𝑠𝑖3≤ 𝑥≤5
Aquí, es la variable
independiente.El dominio es toda tal que .
El valor de determina cual expresión debe
usarse.
FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTESGRAFICA
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Función
El valor absoluto de un número real se denota mediante
|𝑥|={−∧𝑥 ,𝑠𝑖 𝑥<0¿𝑥 ,𝑠𝑖 𝑥≥0
El dominio de son todos los
números reales.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
GRÁFICA
Si
marcará el eje
horizontal y los valores funcionales.
Las intersecciones y están en
el punto
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Función
denota la raíz cuadrada
principal de .
no
El dominio de es
Sus valores se declaran como números reales.
Si
Entonces, , de modo que
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
GRÁFICA
Si
Entonces, , de modo que
Las intersecciones
y son lo mismo:
Haeussler, E.; Paul, R.; Wood, R. (2015). “Matemáticas para Administración y Economía”, décimo tercera edición. México: Pearson.
Carvallo, J.; Marcellán, F.; Sánchez, J. (2006) “Paso a
Paso: Problemas resueltos de Álgebra Lineal”, primera edición. España: Paraninfo.
https://www.geogebra.org/m/Amh8MEXK
BIBLIOGRAFÍA