Post on 24-Nov-2018
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Deflexão em vigas de eixo reto
10 de novembro de 2016
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Deflexão em vigas de eixo reto
Linha elástica da flexão é a curva formada pelo eixo de uma vigainicialmente retilíneo, devido à aplicação de momentos de flexão.
Figura :Exemplo de viga em flexão
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Antes da aplicação das cargas, a superfície neutra se encontra contidaem um plano horizontal. Com a aplicação das cargas a superfícieneutra se transforma em uma superfície curva.
Figura :Exemplo de viga em flexão
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
A curva da superfície neutra representa a deformação de todaa viga.Esta curva se denominacurva elásticae, por simplicidade, érepresentada pela interseção do plano de simetria com a superfícieneutra.Desta forma, a curva elástica representa os deslocamentos dos centrosde gravidade de todas as seções transversais que formam a viga.
Figura :Representação plana da deflexão da viga
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Matematicamente a curva elástica ou simplesmente elásticaserepresenta pela equação no plano de simetria. Se o eixo das deflexõesfor representado porv a curva elástica se torna uma funçãov(x), quedependera também das cargas aplicadas e das propriedades mecânicasdo material que compõe a viga. A Figura mostra uma representaçãoplana da deflexão da viga, ondex coincide com o eixo da viga ev = v(x) é o deslocamento no caso vertical, de cada seção da viga.
Figura :Representação plana da deflexão da viga
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Além deste movimento, no caso descendente, no plano vertical,deve-se observar também que as seções transversais, que inicialmenteeram retas e perpendiculares ao eixo continuam, após a flexão, retas eperpendiculares ao eixo.
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Desta forma, as seções transversais sofrem uma rotaçãoθ = θ(x) emtorno do eixo de rotação.
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Objetivo
O objetivo, portanto, deste capítulo é o de determinar as equaçõesdo(s) deslocamento(s)v(x) e da(s) rotação(ções)θ(x) para diversostipos de vigas.
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Equação diferencial da linha elástica
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
seçõesA e B: duas seções adjacentes da viga. Antes da aplicaçãodo carregamento estas seções estavam paralelas e distantesentresi dx.
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Equação diferencial da linha elástica
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
ds = AB: o comprimento do trecho do eixo compreendido entreAe B
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
A′B′: um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimentods+ds εx = ds(1+ εx)
y: a distância entreA e A′, B e B′
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
ρ: o raio de curvatura do trechoAB do eixo da barra após aatuação deM;dθ: o ângulo de curvatura do trecho do eixo entreAB que, porconseqüência, também é o ângulo de curvatura deA′B′
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Conceitos já conhecidos:
As tensões normais na flexão se relacionam com o momentofletor atuante da seguinte forma:
σx =Mz
Izy (1)
Lei de Hooke:
εx =σx
E=
Mz
EIzy (2)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
O comprimento deAB após atuação do carregamento éds podeser relacionado comρ e dθ da seguinte forma:
ds = ρ dθ⇒dθds=
1ρ
(3)
A curvaturaκ da barra é expressa como:
κ =1ρ=
dθds
(4)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
Para pequenas deformações, pode-se fazer a seguintesimplificação:
ds ≈ dx =⇒ κ =1ρ=
dθdx
(5)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
B´A´
A B
ρ
eixo
M My
σx =MzIz
y
εx =σxE =
MzEIz
y
ds = ρ dθ⇒ dθds =
1ρ
Para pequenas deformações:ds ≈ dx =⇒ dθ
ds ≈dθdx
du = dθy =⇒ εx =dudx =
dθdx y
Logo: dθdx =
MzEIz
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
dφ
S TΡ
S´T´
dφ = dθ⇒ φ = θSendo tanφ o coeficiente angular da reta tangente à LEv numaposiçãox e considerando a hipótese de pequenos deslocamentos edeformações tem-se:
tanφ ≈ φ(x) =dvdx
edφdx=
d2v
dx2
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
dθ
dφ
S TΡ
S´T´
dθds≈
dθdx=
Mz
EIz
dφ = dθ⇒ φ = θ
tanφ ≈ φ(x) =dvdx
edφdx=
d2v
dx2
⇓d2vdx2 =
MzEIz
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
d2vdx2 =
MzEIz
Para adequar a equação acima ao referencial de sinais que adotaflecha positiva para baixo e rotações positivas no sentido horário econsiderando a convenção de momento fletor positivo tracionado asfibras situadas abaixo da linha neutra, faz-e necessário a inclusão dosinal negativo na equação do momento fletor:
d2vdx2 = −
MzEIz
d3vdx3 = − 1
EIz
dMzdx = −
QvEIz
d4vdx4 = − 1
EIz
dQvdx =
q(x)EIz
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
d2vdx2 = −
MzEIz
d3vdx3 = − 1
EIz
dMzdx = −
QvEIz
d4vdx4 = − 1
EIz
dQvdx =
q(x)EIz
Para se determinarv(x) basta resolver uma das equações diferenciaisacima. As constantes de integração são determinadas a partir daconsideração das condições de contorno (apoios). Essas condiçõesrepresentam os valores conhecidos das funções em determinadospontos da viga e as mais usadas estão resumidas na Tabela a seguir.Se uma única coordenadax não puder ser usada para expressar aequação da inclinação ou da linha elástica, então devem ser usadascondições de continuidade para calcular algumas das constantes deintegração.
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)).
Apoio do 10 gênero Apoio do 20 gênerode extremidade de extremidade
MA = 0 MA = 0vA = 0 vA = 0θA , 0 θA , 0
Apoio interno Apoio internodo 10 gênero do 20 gênero
vA = vB = 0 vA = vB = 0θA = θB , 0 θA = θB , 0
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)).
Apoio do 30 gênero Extremidade livre
MA , 0 MA = 0QA , 0 QA = 0vA = 0 vA , 0θA = 0 θA , 0
Pino ou articulação interna
M = 0 (no pino)QA = QB
vA = vB θA , θB
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Exemplo 1 - Viga simplesmente apoiada com cargadistribuída
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Equação de momento - Equação diferencial da LE
M =qLx2− qx2
2EI
d2v
dx2= −qLx
2+
qx2
2
Integração
EIθ = EIdvdx
EIθ = −qLx2
4+
qx3
6+C1
EIv = −qLx3
12+
qx4
24+C1x+C2
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
EIθ = −qLx2
4+
qx3
6+C1 EIv = −
qLx3
12+
qx4
24+C1x+C2
Condições de contornoAs constantes de integraçãoC1 e C2 são obtidas a partir dascondições de contorno:
parax = 0⇒ v = 0⇒ C2 = 0
parax = L⇒ v = 0⇒ C1 =ql3
24
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
EIθ = −qLx2
4+
qx3
6+
ql3
24
EIv = −qLx3
12+
qx4
24+
qxl3
24
Pontos de interesse
vmax =5qL4
384EIθa = −θb =
qL3
24EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Exemplo 2 - Viga simplesmente apoiada com cargaconcentrada
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Equações de momento - Equações diferenciais da LE
Para 06 x 6 a Paraa 6 x 6 LM = Pbx
L M = PbxL −P(x−a)
EI d2vdx2 = −Pbx
L EI d2vdx2 = −Pbx
L +P(x−a)
Integração
EIθ = −Pbx2
2L +C1 EIθ = −Pbx2
2L +P(x−a)2
2 +C2
EIv = −Pbx3
6L +C1x+C3 EIv = −Pbx3
6L +P(x−a)3
6 +C2x+C4
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
EIθ = −Pbx2
2L +C1 (1) EIθ = −Pbx2
2L +P(x−a)2
2 +C2 (3)
EIv = −Pbx3
6L +C1x+C3 (2) EIv = −Pbx3
6L +P(x−a)3
6 +C2x+C4 (4)Condições de contorno
x = 0⇒ v = 0⇒(2) C3 = 0 x = L⇒ v = 0⇒(4)
C2L+C4 =PbL2
6 −Pb3
6
Condição de continuidadex = a⇒ θ(a)(1)
= θ(a)(3)⇒ C1 = C2
x = a⇒ v(a)(2)= v(a)(4)⇒ C1a = C2a+C4⇒ C4 = 0
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
EIθ = −Pbx2
2L +C1 (1) EIθ = −Pbx2
2L +P(x−a)2
2 +C2 (3)
EIv = −Pbx3
6L +C1x+C3 (2) EIv = −Pbx3
6L +P(x−a)3
6 +C2x+C4 (4)
C3 = C4 = 0 C2 = C1 =Pb6L
(L2−b2)
Equações da LE:Para: (0≤ x ≤ a)
EIθ =Pb6L
(L2−b2−3x2)
ELv =Pbx6L
(L2−b2− x2)
Para: (a ≤ x ≤ L)
EIθ =Pb6L
(L2−b2−3x2)+P(x−a)2
2
ELv =Pbx6L
(L2−b2− x2)+P(x−a)3
6Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações
v = deflexão na direção yv′ = dv
dx = θ = inclinação da linha elásticavB = v(L) = deflexão na extremidade direita da vigaθB = inclinação na extremidade direita da viga
(1)
v = qx2
24EI (6L2−4Lx+ x2)θ =
qx6EI (3L2−3Lx+ x2)
vB =qL4
8EI θB =qL3
6EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(2)
v = qx2
24EI (6a2−4ax+ x2) 0≤ x ≤ aθ =
qx6EI (3a2−3ax+ x2) 0≤ x ≤ a
v = qa3
24EI θ =qa3
6EI a ≤ x ≤ L
Parax = a : v = qa4
8EI θ =qa3
6EI
vB =qa3
24EI (4L−a) θB =qa3
6EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(3)
v = qx2
12EI (3bL+3ab−2bx)0≤ x ≤ a
θ =qbx2EI (L+a− x)
0≤ x ≤ av = q
24EI (x4−4Lx3+6L2x2
+ ...
−4a3x+a4) a ≤ x ≤ Lθ =
q6EI (x
3−3Lx2+3L2x−a3)
a ≤ x ≤ L
Parax = a : v = qa2b12EI (3L+a)
Parax = a : θ = qabL2EI
vB =q
24EI (3L4−4a3L+a4)θB =
q6EI (L3−a3)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(4)
v = Px2
6EI (3L− x) θ = Px2EI (2L− x)
vB =PL3
3EI θB =PL2
2EI
(5)
v = Px2
6EI (3a− x) θ = Px2EI (2a− x) 0≤ x ≤ a
v = Pa2
6EI (3x−a) θ = Pa2
2EI a ≤ x ≤ L
Parax = a : v = Pa3
3EI θ = Pa2
2EI
vB =Pa2
6EI (3L−a) θB =Pa2
2EI
(6)
v = Mx2
2EI θ = MxEI
vB =ML2
2EI θB =MLEI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(7)
v = q0x2
120LEI (10L3−10L2x+5Lx2− x3)θ =
q0x24LEI (4L3−6L2x+4Lx2− x3)
vB =q0L4
30EI θB =q0L3
24EI
(8)
v = q0x2
120LEI (20L3−10L2x+ x3)θ =
q0x24LEI (8L3−6L2x+ x3)
vB =11q0L4
120EI θB =q0L3
8EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações
v = deflexão na direção yv′ = dv
dx = θ = inclinação da linha elásticavC = v(L/2)= deflexão no meio do vão
x1 = distância da A ao ponto de deflexão máximavmax = deflexão máxima
θA = ângulo na extremidade esquerda da vigaθB = ângulo na extremidade direita da viga
(1)v = qx
24EI (L3−2Lx2+ x3)
θ =q
24EI (L3−6Lx2
+4x3)
vC = vmax =5qL4
384EI θA = θB =qL3
24EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(2)
v = qx384EI (9L3−24Lx2
+16x3)0≤ x ≤ L
2θ =
q384EI (9L3−72Lx+64x3)
0≤ x ≤ L2
v = qL384EI (8x3−24Lx2
+17L2x−L3)L2 ≤ x ≤ L
θ =qL
384EI (24x2−48Lx+17L2)L2 ≤ x ≤ L
vC =5qL4
768EI θA =3qL3
128EI θB =7qL3
384EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(3)
v = Px48EI (3L2−4x2) 0≤ x ≤ L
2θ = P
16EI (L2−4x2) 0≤ x ≤ L
2
vC = vmax =PL3
48EI
θA = θB =PL2
16EI(4)
v = Pbx6LEI (L
2−b2− x2) 0≤ x ≤ aθ = Pb
6LEI (L2−b2−3x2) 0≤ x ≤ a
θA =Pab(L+b)
6LEI θB =Pab(L+a)
6LEI
→ Sea ≥ b, vC =Pb(3L2−4b2)
48EI
→ Sea ≥ b, x1 =
√
L2−b2
3 e
vmax =Pb(L2−b2)3/2
9L√
3EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(5) v = qx
24LEI × ...(a4−4a3L+4a2L2
+2a2x2+ ...
−4aLx2+Lx3) 0≤ x ≤ aθ =
q24LEI × ...
(a4−4a3L+4a2L2+6a2x2
+ ...
−12aLx2+4Lx3) 0≤ x ≤ a
v = qa2
24LEI (−a2L+4L2x+a2x−6Lx2+2x3)
a ≤ x ≤ L
θ =qa2
24LEI (4L2+a2−12Lx+6x2)
a ≤ x ≤ L
θ =qa2
24LEI (4L2+a2−12Lx+6x2) a ≤ x ≤ L
θa =qa2
24LEI (a2−4aL+4L2)
θB =qa2
24LEI (2L2−a2)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(6)
v = Px6EI (3aL−3a2− x2) 0≤ x ≤ a
θ = P2EI (aL−a2− x2) 0≤ x ≤ a
v = Pa6EI (3Lx−3x2−a2) a ≤ x ≤ L
2θ = Pa
2EI (L−2x) a ≤ x ≤ L2
θA =Pa(L−a)
2EIvC = vmax =
Pa24EI (3L2−4a2)
(7) v = Mx6LEI (2L2−3Lx+ x2)
θ = M6LEI (2L2−6Lx+3x2)
vC =ML2
16EI θA =ML3EI θB =
ML6EI
x1 = L(
1−√
33
)
e
vmax =ML2
9√
3EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(8)
v = Mx24LEI (L2−4x2) 0≤ x ≤ L
2θ = M
24LEI (L2−12x2) 0≤ x ≤ L
2vC = 0 θA =
ML24EI θB = − ML
24EI
(9)v = Mx
6LEI × ...(6aL−3a2−2L2− x2) 0≤ x ≤ a
θ = M6LEI × ...
(6aL−3a2−2L2−3x2)0≤ x ≤ aParax = a : v = Ma
3LEI (3aL−2a2−L2)Parax = a : θ = M
3LEI (3aL−3a2−L2)θA =
M6LEI (6aL−3a2−2L2)θB =
M6LEI (3a2−L2)
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Caso Equações(10)
v = q0x360LEI (7L4−10L2x2
+3x4)θ =
q0360LEI (7L4−30L2x2
+15x4)
vC =5q0L4
768EI θA =7q0L3
360EI θB =q0L3
45EI
x1 = 0,5193L vmax = 0,00652q0L4
EI
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Exercícios
Demonstrar que a flecha no meio do vão da viga da Figura é5MoL2
16EI .Calcule também as rotações nos apoios. Resolva por integração diretae também utilizando a tabela através de superposição de efeitos.Resposta:θA =
7M0L6EI ;θB =
−4M0L3EI
2Mo 3Mo
L
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104 kNm2.Resposta:vC = 1,4×10−3 m ↓; vD = −1,6875×10−3 m↑;θA = −θB = 1,4×10−3 rad (horário);
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104kNm2
Resposta:vC = −1,125×10−3 m ↑; vD = 3,36×10−3 m ↓;θA = −0,001rad (anti-horário);θB = 0,002 rad (horário);
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104kNm2
Resposta:vC = 2,75×10−4 m ↓; vD = 1,6725×10−3 m↓;θA = 4×10−4 rad (horário);θB = 6×10−4 rad (horário);
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Para a viga da Figura determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 4600 kNm2.Resposta:θA = 0,01014 rad (horário);θB = −8,6915×10−3 rad(anti-horario);vC = 0,012326 m↓ e vC = −8,148×10−3 m ↑
Deflexão em vigas de eixo reto
Deflexão em vigas de eixo retoExemplos
TabelasExercícios
Problemas estaticamente indeterminados
Deflexão em vigas de eixo reto