Post on 22-Apr-2015
Diagramas de Nyquist e Nichols• Considere o sistema dado por:
• É possível determinar um valor de K para o qual o sistema é estável, sem o conhecimento exato de G(s)?
Sim, se for possível medir a resposta no domínio da freqüência do sistema de malha aberta.
• Em sistemas lineares:
FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L16.pdf
Diagramas de Nyquist• Magnitude M() de malha fechada e fase :
• Dentre as representações no domínio da freqüência, há os gráficos de Bode e o diagrama de Nyquist:
Diagramas de Nyquist – Caso 1• Como no estudo de projeto de compensadores no
domínio da freqüência, estamos interessados no estudo da função de transferência de malha aberta G(s)H(s) para tirar conclusões a respeito do sistema em malha fechada:
Caso 1:
Diagramas de Nyquist – Caso 2
Caso 2:
Exemplo Matlab:
f2=tf(1,[1
2]);%GH=1/(s+2)
figure;nyquist(f2);
Diagramas de Nyquist – Caso 3 Caso 3:
Exemplo Matlab:
f3=tf([1 2],1); %GH=s+2
figure;nyquist(f2);
Diagramas de Nyquist – Caso 4 Caso 4:
Exemplo Matlab:
f4=tf(1,[1 0]); figure;nyquist(f4);
(Eixo imaginário negativo)
90
Caso 5:
Exemplo Matlab:
f5=tf(1,[1 0 0 0]); %n=3 figure;nyquist(f5);
Diagramas de Nyquist – Caso 5
Caso 5-b:
Exemplo Matlab:
f5b=tf([1 0],1); %n=-1 figure;nyquist(f5b);
Diagramas de Nyquist – Caso 5n = – 1 G(s)H(s) = s
Eixo imaginário positivo
Caso 6:
Diagramas de Nyquist – Caso 6
Caso 6:
Exemplo Matlab:
wn2=2; wn=sqrt(2);
zeta = 0.5;
nf6=wn2;
df6=[1 2*zeta*wn wn2]; f6=tf(nf6,df6);
figure;nyquist(f6);
Diagramas de Nyquist – Caso 6
Exemplo Matlab:
wn2=2; wn=sqrt(2);
zeta1 = 0.1; zeta2 = 0.3;zeta3 = 0.5; zeta4 = 0.7;zeta5 = 0.9; zeta6 = 1.0;zeta7 = 1.2;
nf6b=wn2;
df61=[1 2*zeta1*wn wn2];df62=[1 2*zeta2*wn wn2];df63=[1 2*zeta3*wn wn2];df64=[1 2*zeta4*wn wn2];df65=[1 2*zeta5*wn wn2];df66=[1 2*zeta6*wn wn2];df67=[1 2*zeta7*wn wn2];f61=tf(nf6b,df61);f62=tf(nf6b,df62);f63=tf(nf6b,df63);f64=tf(nf6b,df64);f65=tf(nf6b,df65);f66=tf(nf6b,df66);f67=tf(nf6b,df67);figure;nyquist(f61,f62,f63,f64,f65,f66,f67);
Diagramas de Nyquist – Caso 6
Sistemas de segunda ordem - revisão• Função de transferência senoidal (de malha fechada):
FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L6.pdf
Diagramas de Bode de malha fechada
Diagramas de Bode de malha fechada
• Em que freqüência ocorre o pico de ressonância, no diagrama de Bode de malha fechada? Naquela em que o denominador é mínimo.
Diagramas de Nyquist – Caso 7 Caso 7:
Exemplo Matlab:
wn2=2; wn=sqrt(2);
zeta1 =0.1; zeta2 =0.3; zeta3 =0.5; zeta4 =0.7; zeta5 =0.9; zeta6 =1.0;zeta7 = 1.2;
nf71=[1/wn2 2*zeta1/wn 1];nf72=[1/wn2 2*zeta2/wn 1];nf73=[1/wn2 2*zeta3/wn 1];nf74=[1/wn2 2*zeta4/wn 1]; nf75=[1/wn2 2*zeta5/wn 1]; nf76=[1/wn2 2*zeta6/wn 1]; nf77=[1/wn2 2*zeta7/wn 1];
Diagramas de Nyquist – Caso 7Exemplo Matlab (continuação):
f71=tf(nf71,1);f72=tf(nf72,1); f73=tf(nf73,1);f74=tf(nf74,1); f75=tf(nf75,1);f76=tf(nf76,1); f77=tf(nf77,1); figure;nyquist(f71,f72,f73,f74,f75,f76,f77);
• Exemplo 1: Trace o diagrama de Nyquist da função:
Diagramas de Nyquist – Exemplo 1
Sistema do tipo 0
• Exemplo 1: No Matlab, para K = 20:
Exemplo Matlab:
K=20;
numex1=K; denex1=[2 1];
fex1=tf(numex1,denex1);
figure;nyquist(fex1);
Diagramas de Nyquist – Exemplo 1
• Exemplo 2: Trace o diagrama de Nyquist para:
Diagramas de Nyquist – Exemplo 2
Sistema do tipo 1
• Exemplo 2: (continuação)
Diagramas de Nyquist – Exemplo 2
Sistema do tipo 1
• Exemplo 2: (continuação)
Exemplo Matlab:numex2=10;
denex2=conv([1 0],[4 1]);
fex2=tf(numex2,denex2);
figure;nyquist(fex2);
Diagramas de Nyquist – Exemplo 2
• Exemplo 3: Trace o diagrama de Nyquist para:
Diagramas de Nyquist – Exemplo 3
Sistema do tipo 1
Diagramas de Nyquist – Exemplo 3• Exemplo 3: (continuação)
Diagramas de Nyquist – Mapeamento F(s)• Mapeamento conforme (Teorema de Cauchy) e estabilidade:
- Para analisar a estabilidade, deve-ser responder à pergunta: o sistema em malha fechada possui pólos no SPD do plano-s ?
- Em outras palavras, existem soluções de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD?
- Problema a ser resolvido: determinar o número de soluções (ou zeros) de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD, usando apenas as informações presentes em G(j), para – < < .
- Para tanto, precisamos recapitular o conceito de mapeamento conforme da análise de números complexos.
- A variável complexa s define um plano (que temos chamado de plano complexo s), onde s = + j.
- Vamos definir um outro plano complexo, = + j.
Diagramas de Nyquist - Mapeamento• Mapeamento conforme :
- Estamos interessados em mapear os contornos no plano-s por uma função F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (i.e., a equação característica).
- Um mapeamento de contornos é um contorno ou uma trajetória em um plano mapeado em outro plano por uma relação F(s).
-Um mapeamento que preserva o tamanho e a orientação dos ângulos (em um ponto z0) entre duas curvas que se interceptam em um dado ponto z0 é dito conforme em z0. Um mapeamento que é conforme em qualquer ponto do domínio D é dito conforme em D.
- Em um mapeamento conforme, cada par de linhas ortogonais em um domínio é transformado em um par de curvas ortogonais no outro domínio.
CCf :
plano-s plano-F(s)F(s)
• Seja G(s) qualquer função racional em s:
)( )(
)( )( )(
1
1
n
mpsps
zszsKsG
• Especificando-se = G(s), então G torna-se um mapeamento do plano-s para o plano .
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• Se G(s), a função de mapeamento, é contínua, então pequenas mudanças em s levam a pequenas mudanças em . Assim, linhas/curvas contínuas no plano s serão mapeadas em trajetórias/curvas contínuas no plano .
• Suponha, por exemplo, que G(s) = s + a.
• Trace um círculo (no sentido horário) em torno do zero s = – a.
Qual será a imagem deste círculo no plano ?
• O círculo será deslocado para a direita de a unidades, de modo a
envolver a origem (também no sentido horário).
• Assim, se o contorno envolve um zero em s = – 1, sua imagem irá
envolver a origem (na mesma direção).
0)( assGas
Mapeamento conforme G(s)
• E o que ocorre se G(s) = 1/ (s + a) ?
• Trace um círculo (no sentido horário) de raio r em torno do pólo s = – a. Qual será a imagem deste círculo no plano ?
j
j
reas
reas
20: ,
jer
as
sG
1
)(1
)(
Assim, ao envolver um pólo na direção horária, a imagem envolve a origem, mas na direção contrária (anti-horário).
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
Considere agora G(s) = 2s + 1 e o mapeamento de um quadrado unitário do plano s para o plano .• plano-s: A = 1 + j1 plano-: G(s) = 2sA + 1 = 3 + j2 Aplano- = 3 + j2.
• plano-s: De A = 1 + j2 para B = 1 – j1 G(s) = 2sA+1 = 3+j2 para G(s) = 2sB+1 =
3– j2.
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
Mapeamento conforme G(s)
A, B, C, Dplano-s A, B, C, Dplano-
• Observe que um contorno fechado no plano-s resulta em um contorno fechado no plano-. • E se G(s) = s/(s+2), como fica o mapeamento do mesmo quadrado unitário?
plano G(s)
plano-s
j
G(s)
A, B, C, Dplano-s A, B, C, Dplano- Observe que o contorno no plano-s envolve a origem, um zero de G(s) o contorno resultante no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) uma vez no sentido horário.
plano G(s)plano-sj
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
Para obter os valores de A,B,C,D no plano G(s), consulte o link relativo ao capítulo 9 do livro do Dorf: http://ssami.gwu.ac.kr/lecture/Control/control-9.doc
2)(
ss
sG
G(s) = s/(s + 1/2) a, b, c, d, e, f, g, h plano-s a, b, c, d, e, f, g, h plano-
O contorno no plano-s envolve um zero e um pólo de G(s) O contorno resultante no plano-G(s) não envolve a origem.
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
plano G(s)plano-s
j
Considere uma função complexa G
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L17.pdf
)3)(2()1(
exemplopor ; )(
)()(
sss
ps
zssG
j
i
21132
1 )( ; )( tt sGll
lsGM
Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L17.pdf
21132
1 )( ; )( tt sGll
lsGM
A imagem do caminho envolvendo o zero envolve a origem uma vez no sentido horário. A imagem do caminho envolvendo o pólo envolve a origem uma vez no sentido anti-horário. A imagem do caminho que não envolve nem pólos nem zeros não envolve a origem.
Teorema de CauchyFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
• Se um contorno TS no plano-s envolve Z zeros e P pólos de G(s) e não passa por nenhum pólo ou zero de G(s) e se o trajeto for na direção horária ao longo do contorno, o correspondente contorno TG no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) N = Z – P vezes na direção horária.
• Assim, nos dois exemplos anteriores (G(s) = 2s + 1 e G(s) = s/(s+2) ) a origem do plano-G(s) foi envolvida N = Z – P = 1 vez no sentido horário. Por outro lado, no exemplo G(s) = s/(s + 1/2) , a origem do plano-G(s) não foi envolvida, uma vez que N = Z – P = 0.
• Para melhor entender o teorema, considere G(s) em termos dos ângulos devidos a cada pólo e zero à medida que o contorno TS é percorrido na direção horária.
• Considere G(s)=(s+z1) (s+z2)/ [(s+p1) (s+p2)] |G(s)|=|s+z1| |s+z2|/ [|s+p1| |s+p2|] e G(s) = (s+z1) + (s+z2) – (s+p1) – (s+p2)
Teorema de CauchyFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
• Considerando os vetores para um contorno específico, pode-se determinar os ângulos à medida que s percorre o contorno.
• A contribuição líquida dos ângulos varia à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o.
plano G(s)
plano-s
j
contorno TG
contorno T S
Fz1+ z2
– p1 –
p2
Teorema de CauchyFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
• A variação angular líquida para p1, p2
e z2 , à medida que s
percorre o contorno TS completo de 360o, é nula.
• No entanto, o ângulo z1 varia 360o na direção horária à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o.
• Assim, à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o no sentido horário, a variação líquida de F é de +360o. (isto porque um zero de G(s) é envolvido por TS ).
plano G(s)plano
s
j
contorno TGcontorno
T S
Fz1+ z2
– p1 – p2
Teorema de CauchyFONTE: DORF, capítulo 9.
• Se Z zeros forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida dos ângulos seria igual a 2Z, em radianos.
• Seguindo o raciocínio, se Z zeros e P pólos forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida do ângulo F será igual a 2Z – P), em radianos.
• Assim, o número de envolvimentos da origem pelo contorno TG no plano G(s) é dado por:
PZPZ
N
2
)(2
Teorema de CauchyFONTE: DORF, capítulo 9.
N = Z – P = 3 – 1 = 2
Teorema de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
Para a estabilidade, todas as raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 devem estar no SPE do plano-s.
Para tanto, escolhe-se no plano-s um contorno que envolve todo o SPD do plano-s (Contorno de Nyquist) e determina-se se algum zero de F(s) encontra-se envolvido pelo contorno usando o Teorema de Cauchy. Isto é, plota-se um contorno no plano-F(s) correspondendo ao contorno especificado no plano-s e observa-se se há envolvimento da origem por este contorno em F(s). O contorno de Nyquist passa pelo eixo j, de – j a +j. Esta parte do contorno fornece F(j). O contorno é completado adicionando-se uma trajetória semi-circular de raio r, onde r .
0
)(
)(
)()(1)(
1
1
P
ik
Z
jk
ps
zsK
sHsGsF
Contorno de Nyquist O critério de Nyquist basea-se nas raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) e no número N de envolvimentos no sentido horário da origem no plano-F(s). TF(s): Z (número de zeros envolvidos pelo contorno no plano-F(s)) = N + P.
Assim, para mapear a imagem de 1 + G(s)H(s), basta transladar o contorno de G(s)H(s) para a direita de 1 unidade (e então contar o número de envolvimentos da origem).
Alternativamente, podemos reescrever esta equação como: F*(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) e contar o número de envolvimentos na direção horária do ponto – 1.
Diagrama polar de G(s)H(s) = Diagrama de Nyquist para G(s)H(s).
Critério de estabilidade de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
Critério de Estabilidade de Nyquist: Z = N + P, onde:
• Z é o número de pólos de malha fechada do sistema (= zeros de 1 + G(s)H(s) ) no SPD;
• N é o número de envolvimentos do ponto –1+j0 no sentido horário;
• P é o número de pólos de G(s)H(s) no SPD do plano-s.
• Pólos de G(s)H(s) = Pólos de 1+G(s)H(s) !
• Z ( 0) indica o número de pólos de malha fechada instáveis (raízes ou zeros da equação característica 1 + G(s)H(s) ).
• P ( 0) indica o número de pólos de malha aberta instáveis (determinado pelos pólos de G(s)H(s) = pólos de 1 + G(s)H(s) ).
Critério de estabilidade de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
N indica o número de envolvimentos no sentido horário da origem pelo contorno TF no plano-F(s) (ou o número de envolvimentos no sentido horário do ponto –1+j0 pelo contorno TG no plano-G(s)H(s) ).
• Se N < 0: indica o número de envolvimentos no sentido anti-horário.
• Se P > 0: há pelo menos um pólo de malha aberta instável, e o sistema será estável N for negativo com magnitude = P.
• Se P = 0: não há pólos de malha aberta instáveis. O número Z de raízes instáveis do sistema é igual a N.
Diagramas de Nyquist – MapeamentoFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
Contornos infinitos
• Considere o contorno da figura ao lado no plano-s. Seja R o raio da circunferência maior, R , e o raio da circunferência menor (em torno do pólo), 0. = G(s) = 1/(s + a)
• Vamos começar em s0 = – a + j = 1/(s0 + a)
= – j/. Assim: 0 – j .
• Movendo-se ao longo da linha entre s0 e s1 :
- Linha entre s0 = – a + j e s1 = – a + jR
move-se de – j a – j/R, onde –j/R 0 à medida que R
Diagramas de Nyquist - Mapeamento
• Movendo-se em torno do pequeno círculo: s4 s5 s0 : | s | = em torno do pólo em s = – a . 0 5 4 : | | = 1/ em torno da origem; : +90o 180o – 90o
• Movendo-se em torno do contorno maior: s1 s2 s3 : | s | = R. 1 2 3 : | | = 1/R 0 em torno da origem; : – 90o 0o + 90o
Observe que a origem está envolvida na direção anti-horário, como no caso anterior do envolvimento de um pólo.
Diagramas de Nyquist - Mapeamento
Diagramas de Nyquist – MapeamentoFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• O resultado principal que queremos extrair deste mapeamento é o número de vezes em que a origem do plano F(s) é envolvida. • Suponha, por exemplo, que a função de transferência é dada por:
22
1)(
2
ss
ssG
• Considere um contorno que envolve o zero (s = – 1) e os dois pólos (s = – 1 j ).• Acompanhe o que ocorre com o argumento de = G(s) à medida que s se move em torno do contorno circular no sentido horário.
)1arg()1arg()1arg()arg( jsjss
Diagramas de Nyquist – MapeamentoFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• Se s traçar um círculo no sentido horário de raio suficientemente grande, arg(s+1) : 0o – 180o – 360o.
• De modo similar, os argumentos devidos aos dois pólos serão decrescidos de 360o, à medida que o círculo no sentido horário for traçado.
• No entanto, como arg() = arg(s+1) – arg(pólos) = –360o – (–360o –360o) = + 360o arg() irá aumentar em 360o à medida que o círculo for traçado.
Diagramas de Nyquist – MapeamentoFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• Assim, ao percorrermos um percurso fechado no sentido horário, sua imagem irá envolver a origem N vezes na direção horária, onde:
N = Z – P
• P : número de pólos no interior do contorno;• Z : número de zeros no interior do contorno.
• Contorno infinito contorno infinito envolvendo o semi-plano direito.
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• Exemplo 1: Analise a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist.
• Diagrama de Nyquist:
90900 ,0)(
000)( ,2/1)(0
jG
jGjG
20)( e
2
1)(
21
)( 122
tgjGjGj
jG
2222 2
)(Im e 2
2)( Re
22
21
)(
jjGjG
jj
jjG
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.
• Exemplo 1: (continuação – análise da a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist).
• Diagrama de Nyquist: Exemplo Matlab:numex1=1; denex1=[1 2]; fex1=tf(numex1,denex1); figure;nyquist(fex1);
Diagramas de Nyquist – Estabilidade
• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist.• Z = N + P = 0 + 0 = 0.• K G(s) : estável para qualquer valor de K (root locus)
• K G(s) : modifica a magnitude de G(s), mas não sua fase um aumento de K aumenta o tamanho do círculo do diagrama de Nyquist, mas este continuará passando por 0 + j0 (quando )
• Portanto, o ponto –1+j0 nunca será envolvido, e o sistema é estável K.
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: Ogata, exemplo 8.14, 4a edição.
• Exemplo 2: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema.
18090900 ,0)(
0000)( ,)(0
jG
jGKjG
11)()(
11)()(
2121
jTjTK
jHjGsTsT
KsHsG
1 11 1)()(
22
2121
TT
KjTjT
KjHjG
0)()( 21
11 TtgTtgjHjG
Diagramas de Nyquist – Estabilidade• Exemplo 2: (continuação) 11
)()(21
sTsT
KsHsG
Exemplo Matlab:K=10; T1=2; T2=5; numex2=K; denex2=conv([T1 1],[T2 1]); fex2=tf(numex2,denex2); figure;nyquist(fex2);
• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0).
• G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0).
• Z = N + P = 0 + 0 = 0.
Este sistema é estável para quaisquer valores positivos de K, T1 e T2 .
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição.
• Exemplo 3: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema para dois casos: (1) o ganho K é pequeno; (2) o ganho K é grande.
2709090900 ,0)(
9000900)( ,)(0
jG
jGjG
11 )()(
11 )()(
2121
jTjTjK
jHjGsTsTs
KsHsG
1 1 1 1 )()(
22
2121
TT
KjTjTj
KjHjG
0/0)()( 21
111 TtgTtgtgjHjG
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição.
Exemplo Matlab: (K pequeno)K=0.1; T1=2; T2=5; numex3=K; denex3=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3=tf(numex3,denex3); figure;nyquist(fex3);
• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0).
• G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0).
• Z = N + P = 0 + 0 = 0 sistema estável para pequenos valores de K.
Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição.
Exemplo Matlab: (K grande)K=100; T1=2; T2=5; numex3d=K; denex3d=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3d=tf(numex3d,denex3d); figure;nyquist(fex3d);
• O ponto – 1 + j0 é envolvido 2 vezes no sentido horário pelo diagrama de Nyquist (N = 2).
• G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0).
Z = N + P = 2 + 0 = 2.
Este sistema possui 2 pólos de malha fechada no SPD do plano-s, e o sistema é instável para valores grandes de K.
figure;nyquist1b(numex3d,denex3d);