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8/9/2019 Dimensionamento Pilar de uma Ponte
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRACURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DIMENSIONAMENTO DE PILAR DE PONTE DE CONCRETO ARMADO
Isadora De Souza Cardoso
Marco Aurélio Borgeo
Elton de Carvalho
Barra do Garças/MT, novembro de 2014.
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Exercício: Dimensionamento de um pilar P4, em uma ponte de classe 45 com tabuleirocontínuo. Dados: fck = 20 Mpa; 0,1=φ m.
Figura 1-Esquema longitudinal da ponte
• Características dos Pilares e dos aparelhos de apoio
Segundo as peças adotadas pra pré-dimensionamento temos as seguintes
características para as peças adotadas Pilares
- m0,1=φ
-Fck=20 Mpa
- 85,0560085,0 ××=×= fck Eci Ecs
85,0205600 ××=
37,21287= Mpa
Portanto, adotaremos 21000= Ec Mpa 7101,2 ×= KN/m²
-Área dos pilares
2785,04
²14
²m
d A =
×=
×=
π π
-Inércia dos pilares
424 109,464
²164
md
I −×=×
=×
= π π
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Aparelho de Neoprene Fretado (P1 e P4)
Constituído por 2 chapas de aço externas= 2mm e 1 interna= 3mm. Comdimensões: 250x900x37 mm³.
Figura 2-Aparelho de apoio
O aparelho é revertido com camadas de neoprene com 3mm de espessura, logoas medidas úteis serão:
Área de apoio: Aa=24,4 x 89,4=2181,36 cm² =2181,4 x²10 4 m−
Altura útil: ha= 2x12=24 cm= 0,024m
Módulo de elasticidade transversal do neoprene= G=1000 KN/m²
Aparelho de apoio Freyssinet (P2 e P3)
A rigidez é infinita já que esse apoio não deforma na horizontal.
• Cálculo dos esforços horizontais longitudinais
Adotando um modelo que considera como apoio elástico os conjutos pilar-neoprene que recebem as cargas dos tabuleiros, podemos determinar a parcela de cargaabsorvida por cada apoio.
Um esquema do modelo é mostrado a seguir.
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Figura 3-Modelo de cálculo da distribuição de forças longitudinais entre os apoios elásticos
Primeiro é preciso calcular as rigezas. Calculando as rigezas dos apoios elásticos
Lembrando que rigidez é o esforço que deve ser aplicado para se produzir umdeslocamento unitário.
Figura 4- Rigidez do apoio elástico
Cálculo da rigidez do pilar, do aparelho de apoio e do conjunto
Temos que piFi
Kpiδ
= , também se sabe pelo Método das Cargas Unitárias
(MCU- Teoria das estruturas) que para uma força horizontal aplicada no topo de umpilar engastado - livre, o deslocamento é:
Ipi Ec
lpiFi pi
×
×=
3
3
δ , logo 333
3lpiFi
Ipi EcFi
Ipi EclpiFi
FiKpi
×
××=
××
=
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lpi Ipi Ec
Kpi ×
=
Onde: Ec= Módulo de elasticidade do material
Ipi= Inércia do pilar iLpi= comprimento do pilar i
De forma análoga para o aparelho de neoprene temos:
Figura 5-Rigidez do aparelho de Neoprene
Temos,
haiai
tg δ γ = , e que
haiaiδ γ = (para ângulos que tendem a zero)
Além disso, temos que: AaiGai
Fi×
=γ
Igualando-as temos: AaiGaihaiFi
ai AaiGai
Fihai
ai×
×=⇒
×= δ
δ
Pela definição de rigidez:hai
AaiGaiKai
AaiGaihaiFi
Fiai
FiKai
×=⇒
×
×==
δ
Onde: Gai=Módulo de elasticidade transversal do material do aparelho de apoio.Aai=Área (útil)
hai=Altura (útil)
Como era de se esperar a rigidez depende apenas da geometria e do material.
Observe agora que o apoio existente é um conjunto pilar – neoprene, paraassociá-los faremos o seguinte:
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Figura 6-Rigidez do apoio elástico (pilar+aparelho de apoio)
Assim,
+×=+=+=∆
KpiKaiFiKpiFiKaiFi piai 11δ δ
Considerando
+=
KpiKaiKi111 , temos: FiKi =×∆
Onde: ∆ = Deslocamento total
Ki= Rigidez do conjunto dado por
+
=
KpiKai
Ki 111
Fi= Força aplicada.
Agora, de posse da rigidez do conjunto podemos calcular a parcela de forçaabsorvida pelo apoio.
Da figura 2, temos:
∑ ∑ ∆×== KiFiF , logo ∑=∆
KiF , como ∆×= KiFi
F Ki
KiFi
KiF
KiFi
×=⇒= ∑∑
Sendo: Ki=Rigidez do apoio elástico iFi=Força absorvida pelo conjunto iF=Força longitudinal aplicada no tabuleiro
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Com as informações estabelecidas até aqui, vamos calcular as rigezas dosapoios da ponte em estudo.
A tabela abaixo apresenta as rigezas dos pilares, dos neoprenes e do conjunto:
Lembrando que 33
lpi Ipi Ec
Kpi ×
= ehai
AaiGaiKai
×=
Figura 7-Tabela das rigezas
Obs: Nessa análise considerou-se que há apenas um pilar no apoio i, caso haja mais queum (na direção transversal), nesse caso existem dois, a força aplicada a cada um seráigual à Fi/n. Onde n é o número de pilares, logo a força em cada apoio será dividida pordois.
Cálculo das forças horizontais Frenagem ou aceleração de veículos (Ff)
A NBR 7187 diz que o efeito pode ser estimado da seguinte maneira:Ff ≥ 5% da carga móvel total
30% do peso do veículo-tipo
Ff ≥ 0,05 x (L ponte x B ponte x q – Lvt x Bvt x q) + Pvt0,30 x (Pvt)
Ff ≥ 0,05 x [(75 x 12,8 x 5- 6 x 3 x 5) +450]=258 KN0,30 x (450)=135 KN
Logo, Ff= 258 KN Onde: L ponte=comprimento da ponteB ponte=largura da ponteq=carga móvel distribuída no tabuleiroLvt e Bvt=comp. e largura do veículo tipoPvt=Peso do veículo tipoFf=Força de frenagem
Conjunto
Ec (kN/m²) Ip (m^4) Lp (m) Kp (N/m) Ga (kN/m²) Aa (m²) ha (m) Ka (kN/m) Kpa (kN/m)
1 21000000 0,0491 5,00 24746,40 1000 0,21814 0,024 9089,17 6647,572 21000000 0,0491 10,00 3093,30 Infinita 3093,303 21000000 0,0491 10,00 3093,30 Infinita 3093,304 21000000 0,0491 5,00 24746,40 1000 0,21814 0,024 9089,17 6647,57
ApoioElástico i
Pila Apa !lho "! Apoio
Apoio Freyssinet
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Como a força de vento que atua longitudinalmente no tabuleiro é estimadacomo sendo uma parcela da força de vento que atua horizontalmente, aqui serácalculado a força de vento horizontal transversal e na sequência horizontal longitudinal.
Força horizontal transversal devido ao vento ( t Fv )
a. Situações descarregadas ( td Fv )Para está situação, utilizamos w=1,5 KN/m²
A área de incidência pode ser calculada através de:A tabuleiro=h tabuleiro x L tabuleiro
Portanto, A tabuleiro=(2,25+0,8)x75=228,75 m²
Logo, KN Fvtd
13,34375,2285,1 =×=
b. Situação carregada ( tcFv )Neste caso w=1,0 KN/m² e considera-se altura adicional ao tabuleiro de 2,0m
(altura média dos veículos), logo:Atabuleiro= (2,25+0,8+2)x75=378,75 m²
Sendo assim: KN Fvtc
75,37875,3780,1 =×= Portanto a força de vento considerada será de 378,75 KN
Força horizontal longitudinal devido ao vento ( LFv )
Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuante na ponte,simultaneamente, à força transversal do vento, uma força longitudinal composta pelasseguintes parcelas:
- vento na superestrutura= 25% da força do vento transversal- vento na carga móvel = 40% do vento transversal
a. Situação descarregada
KN FvFv td Ld 78,8513,34325,025,0 =×=×= Área do veículo=0m²
b. Situação carregada
( )4,025,0 ×+××= Aveic AtabwFv Lc
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( )KN Fv
Fv Lc
Lc
19,1174,075*225,07505,30,1
=
×+×××=
Onde: Atab=Área do tabuleiroAveic=Área do veículow= pressão do vento
Portanto a força do vento LFv considerada será de 117,19 KN.
Força horizontal longitudinal devido ao empuxo da carga móvel (Fe )
Considerações para Cálculo:
-Carga móvel distribuída no tabuleiro: 5 kN/m²;-Três eixos com 150 kN a cada 1,5 metros, com comprimento total de 6 metros e3 metros de largura;-Peso Específico do solo: 318 m
KN =γ ;
-Largura da ponte (lp) = 13,60 m;-Ângulo de atrito do solo: 30=φ .
Figura 8-Coeficiente de empuxo ativo e passivo de acordo comφ
Portanto, para o cálculo do empuxo, será considerada a teoria de Rankine que éestudada na disciplina de mecânica dos solos, onde se determina a distribuição do
empuxo junto ao elemento de contenção.
Figura 9-Esquema do empuxo de terra provocada por cargas móveisq
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A Passagem de um veículo sobre um aterro produz na superfície vertical deencontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, conforme a figura abaixo:
Figura 10-Esquema para cálculo da cargaq
Onde o empuxo provocado por carga móvel, é dado pela equação:
hbqKa Eq ×××=
Sendo: ( )lp
lpqqvq
0,30,3 −×+×=
qv= Carga Uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículo-
tipo pela área de atuação do veiculo;q= Carga móvel distribuída sobre o tabuleiro da ponte;
lp= Largura da ponte;
h= Altura da cortina.
Então, adotando a teoria demonstrada acima se calcula o empuxo a seguir:
( ) ²25
²63450
mKN
mKN
qv =×
=
Como, q = 5KN/m² (classe 45)
Logo,
( )
KN Eqm
mmmKN
mmKN
Eq
hbqKa Eq
00,96
25,26,136,13
0,36,13²
50,3²
2533,0
=
××
−×+×
×=
×××=
Força horizontal longitudinal devido à retração e temperatura ( T Fi )
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Se todos os apoios forem elásticos (Pilar + Aparelho de apoio), onde ocorrerão
movimentos de retração e alongamento, ou seja, podendo ocorrer deslocamentos nasduas direções. Com isso, ao se introduzir um apoio em uma extremidade dasuperestrutura, resultara em um deslocamento nulo devido ao apoio. Com essaconsideração, o deslocamento a determinar no apoio elástico é função da sua distânciaaté o plano com deslocamento nulo.
Para resolver o problema, é feito uma superposição de efeitos com duassoluções:
-1º aplica-se efeito de temperatura e retração (∆ Teq) a superestrutura com uma
extremidade fixa, ou seja, introduzindo o apoio onde o deslocamento é nulo.-2º devolve-se a superestrutura à reação de apoio encontrada.
Segue abaixo a imagem explicando o processo:
Figura 11-Força nos apoios elásticos devido a Teq∆
a. Efeito de∆ Teq, com extremidade fixa (Apoio)
Sabendo que o deslocamento é nulo no apoio, então o deslocamento no apoio“i”devido à variação de temperatura, é dado pela equação a seguir:
xiTeqoi ××∆×= α δ
Pois, em resistência dos materiais: L L L L
×=⇒= ε δ δ
ε e Teq∆×= α ε .
Onde:
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=α Coeficiente de dilatação térmica (usaremos o coeficiente do concreto para ocálculo).
∆ Teq= variação de temperatura equivalente á retração e temperatura.
xi= Distância entre a extremidade fixa até o apoio i.
Portanto, obtido o deslocamentoδ oi, o esforço correspondente a essedeslocamento será dado por:
oiKiFi δ ×=
Substituindoδ oi nesta equação, temos:
xiTeqKiFoi ×∆××= α
Sendo:
Ki= Rigidez do apoio elástico. (calculado anteriormente)
Foi= Força no topo do apoio “i” devido ao deslocamentooiδ produzido por Teq∆ .
Por equilibro da estrutura, tem-se:
∑= FoiFo Substituindo na equação anterior, temos:
∑ ×∆××= xiTeqKiFo α
b. Efeito da devolução de Fo na estrutura
A força no apoio “i”, devido ao Fo, é dada por:
( ) ( ) xiTeqKi
KiKi xiTeqKi
KiKi
Fi
FoKi
KiFi
×∆×××
=×∆×××=∆
×=∆
∑∑∑∑
∑α α
c. Superposição de efeitos
Devido à superposição de efeitos, temos que:
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∆ Substituindo, as equações seguintes:
* xiTeqKiFoi ×∆××= α
*( ) xiTeq
Ki
KiKiFi ×∆××
×=∆
∑∑
α
Temos:
×−×∆××=
∑∑
Ki
xiKi
xiTeqKiFi α
Onde:
Fi= Força correspondente a cada aparelho de apoio devido ao efeito de temperatura;
Ki= Rigidez do conjunto (Aparelho de apoio + pilar);
xi= Distância da origem “o”, que está colocado na extremidade da viga comdeslocamento nulo, até o apoio “i”.
Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo.
A força absorvida por cada pilar é dado pela equação acima, onde seráadotada a extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema decoordenada oxy, conforme a figura abaixo:
Figura 12-Esquema de cálculo para o primeiro caso
Para facilitar o cálculo, montamos uma tabela com os dados necessários.
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Sabe-se que:
∆ Teq =± 25℃ e ∝ 10℃ Portanto, a tabela abaixo indica os valores das forças aplicadas em cada pilar
devido ao modelo adotado.
Figura 13-Tabela de Forças nos pilares devido à retração e temperatura
Exemplo de demonstração: Pilar 4Conforme a dedução da fórmula, a força que atua no topo do pilar elástico é dada pelaequação:
×−×∆××=
∑∑
Ki
xiKi xiTeqKiFi α
KN
mKN
KN mC C
m
KN Fi 46,42
92,19411
70,86289970251054,6647 15 =
−
×°×°×= −−
Cálculo da distribuição das forças transversais horizontais entre ospilares
A distribuição dos esforços horizontais de vento é feito por uma analogia entreduas equações que se assemelham, onde, é comparado um problema de vento soprandocontra o tabuleiro e a equação de RESMAT para flexão simples.
1º caso – Distribuição das forças sobre a ponte: quando atuam ações,referenciadas a um ponto “o” do plano horizontal, surgem esforços resultantes Fres eMres. Considerando-se, inicialmente, apenas ação do momento Mres, o tabuleiro giraem torno do ponto “o”, de um ânguloα , provocando em cada pilar um deslocamentoα .xi, ou seja, com um momento, o pilar se deslocaα .xi, e consequêntemente como vistoanteriormente que Fi = ki.∆ , logo:
.αxi A explicação acima é resumida na figura abaixo:
Pila #i Ki Ki$#I1 5 3629,38 18146,9 -35,802 25 3093 77325 -15,043 50 6042 302100 8,384 70 6647,54 465327,8 42,46Σ 19411,92 862899,7
)( KN Fi T
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Fazendo o equilíbrio do tabuleiro, (lembrando que Fres ainda não esta sendoconsiderada) temos:
∑ 0 ∑ ∑ .αxi α∑ . 0
∑ 0 ∑ . ∑ .α.xiα∑ . ²
2º caso – Equação de flexão simples da RESMAT
Figura 14-Flexão simples
Dos conceitos de RESMAT para flexão simples, temos:
∑ 0 !".#$ %. ".#$ 0
∑ 0 !".#$." %. "².#$. Portanto, fazendo á analogia, temos:
$ ∑& ∑ . ²
" Considerando na estrutura que há um CG das rigezas, se a força de vento
resultante, for aplicada nesse centro, haveria uma translação. Portanto, se essa resultante
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for referenciada á esse CG das rigezas, o problema é semelhante a uma situação deflexão composta reta, que é desenvolvida em RESMAT, logo, temos:
! '( ±)* . e A = Ki para o apoio “i”Como:
! $ !.$ . +1 $ ±∑ .., -
Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo.
A única força transversal horizontal a considerar é a força de vento,Fvt=378,75 kN, o efeito dessas cargas nos pilares são calculados em relação ao CG dasrigezas dos mesmos, segue abaixo a imagem para facilitar o entendimento:
Figura 15-Rigezas dos pilares para o cálculo do centro de gravidade das rigezas
Agora, vamos calcular o CG das rigezas, conforme a tabela abaixo:
Pilar Ki (Kn/m)
xi = OrigemAté as Rigezas(m) Ki*xi (kn) Ki*x² (kn.m)
XI = DistanciaRigezas até oCGr
1 6647,57 0 0,00 0,00 32,502 3093,3 20 61.866,00 1.237.320,00 12,503 3093,3 45 139.198,50 6.263.932,50 12,504 6647,57 65 432.092,05 28.085.983,25 32,50
Somatorio 19481,74 633.156,55 35.587.235,75
Para determinar o CG. Das rigezas, temos que fazer:
∑ / ∑ .∑ ∑ / .15 35514 6137 ∑ / 2350 8
Calculado o CGR, as distancias dos apoios fica de imediato nas cotas do cortelongitudinal.
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Figura 16-CG rigeza
Nesse caso, como a estrutura e as forças são simétricas, não temosexcentricidade, ou seja, e = 0.
Devemos encontrar a inércia das rigezas em relação ao ponto de origem. Deforma análoga a resistência dos materiais, o momento de inércia das rigezas em relaçãoao CGr, é dada por:
&" &"9$.#² Sendo que,
& ∑ .9∑ .# & 5.567.2 53759 14 613715004 73675 :;. Como e = 0, logo a segunda parcela da equação é 0.
. =1 $>
Apoio Força(Kn)A=Somatório
Ki e XiSomatório
Ki*x² KiForças(Kn)
1 378,75 19481,74 0 32,50 35.587.235,75 6647,57 129,242 378,75 19481,74 0 12,50 35.587.235,75 3093,3 60,143 378,75 19481,74 0 12,50 35.587.235,75 3093,3 60,144 378,75 19481,74 0 32,50 35.587.235,75 6647,57 129,24
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Exemplo de calculo:
Apoio P4
7357 . 76375 .?@AB 3CA
D = 129,24KnComo estamos olhando o apoio, ou seja, na seção longitudinal, logo temos dois
pilares na seção transversal, ou seja, Fi/2, que resulta em uma força aplicada no top decada pilar Fi = 64,62 KN.
• Cálculo dos esforços horizontais transversais
Força transversal devido ao vento
Conforme calculado no item anteriort Fv =378,75 KN
Ação das águas
Os pilares e blocos das pontes ficam sujeitos a esforços horizontais devido àatuação dinâmica das águas.
A pressão da corrente água é dada pela seguinte expressão:
2vK P ×=
Sendo: P=pressão da água (Kgf/m²)K=coeficiente dimensional determinado experimentalmente.v=velocidade da correnteza (m/seg)
Os valores de K dependem da forma da superfície da incidência da água nopilar. Para uma seção transversal circular, tem-se K=35.
E a velocidade da correnteza será adotada igual: 3m/seg.
mtf
m f Kg
Q
vK Q
315,0.3150,1335 2
2
==××=
××= φ
tf aC
QaC
315,00,1315,0argarg
=×=
×= φ
Com a ação da água calculada e com a rigidez dos pilares, é possível distribuir
o esforço pelos pilares da ponte. Como segue:
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• Cálculo dos esforços verticais Carga permanente
A carga permanente em cada pilar consiste da reação de cada apoio, que levaem conta a ação de todo o peso próprio da superestrutura (dada no exercício).
Carga Permanente= 1707,42 KN
Peso próprio dos pilares
Seguem em tabela os valores do peso próprio de cada pilar:
Lembrando que o peso específico é³
25mKN
=γ
Carga móvelNormal acidental máxima=1391,33 KNNormal acidental mínima= -138,74 KN
• Resumo dos esforços atuantes no pilar P4Resumo dos esforços horizontais:
Pila Ki Ki/%ki &!i (kN)1 6647,57 0,341 1,072 3093,3 0,159 0,50
3 3093,3 0,159 0,504 6647,57 0,341 1,07Σ 19481,73 1 3,15
Pilar Se !o"#$ %o#pri#ento"#$Peso Proprio"&'$
1 1 5 98,17
2 1 10 196,343 1 10 196,344 ' ( )*+',
&-.! (kN) & L (kN) & t (kN) & 0 (kN)177 117,19 42,46 64,62 1,07
1!sumo "os !s-o 2os
(otal ) 218,06 (otal ) 65,69
3o i ontal Lon5itu"inal 3o i ontal 0 ans ! sal
&! a5ua (kN)
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OBS: Lembrando que as cargas (Ff+e) e (FvL) foram divididas por 2, número de pilaresde cada apoio. O mesmo acontece para a carga FvT, pelo mesmo motivo. Conformeteoria desenvolvida ao longo do trabalho.
Resumo dos esforços verticais:Carga de peso próprio= Peso próprio do pilar + Carga permanenteCarga de peso próprio= 98,17 (KN) + 1707,42 (KN) = 1805,59 KN
Carga móvel- Nmáx= 1391,33 KNNmin= -138,74 KN
• Dimensionamento do Pilar- (P4)
Seção de dimensionamentoA seção de dimensionamento do pilar P4 será em sua base, pois é a seção que
possui os esforços mais desfavoráveis (Fig.14). Como o aparelho de apoio é deNeoprene, o pilar é engastado na base e livre no topo.
Figura 17-Seção de dimensionamento
Características geométricas
- O pilar é circular-L= 5m-φ = 1m
- ²r A ×= π = 0,785 m²
- 64.4
d I π = = 0,049 4m
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Cálculo dos esforços de dimensionamento
Como o pilar é circular, deve ser calculado submetido à flexão composta reta,visto que somente pilares de seção transversal retangular podem ser calculados como
submetidos à flexão composta oblíqua. Isso se explica pelo fato de que os esforçoshorizontais longitudinais e transversais podem ser resumidos a uma resultante atuanteno topo do pilar, caindo no caso de flexão composta reta.
a. Cargas atuantesConforme exposto anteriormente, as forças são os seguintes:
N P.próprio= 1805,59 KNN C.móveis: Nmáx= 1391,33 KN; Nmín = -138,74 KNH longitudinal = 218,06 KNH transversal = 65,69 KN
b. Solicitação de projeto
Cálculo da força horizontal resultante:
KN F
H H F
H
allongitudinltransversa H
74,22706,21869,65 22
22
=+=
+=
Cálculo do momento na base devido a carga horizontal:
mKN mKN M
hpF M
A
H A
.7,1138574,227 =×=×=
Cálculo da normal máxima:
( ) ( )KN N
N
PP N
máx
máx
pCmmáx
688,447559,18054,133,13914,1
)(
=
×+×=
×+×=
me
N M
emáx
A
35,0688,4475
7,11384,10
0
=×
=
×=
γ
Cálculo da normal mínima:
( ) KN N 062,272259,18054,1)74,1384,1(min =×+×=
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me 58,0062,2722
7,11384,10 =
×=
Onde:γ =coeficiente de majoração
PcP =Força devido às cargas móveis
pP =Força devido ao peso próprio.
Excentricidade acidental ( Lae )
Todo pilar deve ser calculado levando em conta a excentricidade acidental,
pois existem incertezas da localização da força normal aplicada e do eixo não estarposicionado no ponto determinado em projeto, devido à construção.
cmle La 5,25002001
=×=×= θ
Onde:θ =Desaprumol= altura do pilar
Hipóteses de dimensionamento
Hipótese 1
N=4775,68 KN
( )( )( )( )
kNm M
M
ee N M M amáx A
58,2929025,035,068,47757,1138
0
=
+×+=
+×+=
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Hipótese 2
N=2722,062 KN
( )( )
kNm M
M
55,2785
025,058,0062,27227,1138
=
+×+=
Portanto, a favor da segurança, no dimensionamento do pilar utilizaremos osvalores dahipótese 1:
N=4775,68 KN e M=2929,58 kNm
Classificação do Pilar
Os pilares das pontes são dimensionados à flexão composta reta ou oblíqua,
levando-se em conta os esforços de primeira ordem (esforços iniciais), asexcentricidades acidentais e os esforços de segunda ordem devido ao efeito de
flambagem nos casos de índice de esbeltez 1λ λ > . Ou seja, 1λ é o valor limite.
Portanto, antes de ser calculado se o pilar sofre efeito de flambagem, deve-se
calcular o 1λ , ou seja, o Limλ . De acordo com a NBR 6118, temos:
9035 1 ≤≤ λ
25,369,0
161,05,12255,12251
1 =
×+
=
×+
=b
he
α λ
Onde:
bα (para pilares em balanço) é:
85,02,08,0 ≥×+= A
C b M
M α 85,090,0
58,29292
58,2929
2,08,0 ≥=×+=bα
Mc=Momento de primeira ordem no meio do pilar em balançoMa=Momento de primeira ordem no engaste
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1e =excentricidade de primeira ordem, onde ocorre o maior momento de primeiraordem no pilar, no nosso caso, na base. Será dada por:
m N M
e 61,068,477558,2929
1 ===
a) Índice de Esbeltez
i Le=λ
Sendo:λ = índice de esbeltezLe= comprimento de flambagem
i= raio de giração
Para esse tipo de peça engastada e livre, o comprimento de flambagem é odobro do comprimento da peça. Ou seja, Le= 2.L
Figura 18- Comprimento de Flambagem
Logo:
A I
i = 25,0785,0049,0
==i #
25,3625,0
52≤
×=λ lim40 λ λ ≥=
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Portanto, de acordo com a NBR 6118, devemos calcular os efeitos de segunda ordem.
Será utilizado o método do pilar padrão com curvatura aproximada. Nesse método omomento total máximo no pilar é dado pela seguinte expressão:
d M r
Le Nd d M total Md b 12
1 110, ≥××+×= α
Onde:
bα e Le foram definidos anteriormente.
d M 1 = momento de primeira ordem calculado.
Nd= força normal que atua na seção.
r 1 é igual a curvatura dada por:
3104,55,0
71,14285785,068,47750,1
005,0
5,0)(
005,01 −×=+
×
=
+
×
=
fcd Ac Nd r
φ
Portanto o momento máximo atuante é:
kNmtotal Md
r Le
Nd d M total Md b
51,2894104,5101068,477558,292990,0,
110
,
32
2
1
=×××+×=
××+×=
−
α
Como o Md,total é menor que o d M 1 para dimensionamento do pilar será adotado o
maior valor, ou seja d M 1 .
Cálculo da área de aço
Para o cálculo das áreas de aço foram utilizados os ábacos de dimensionamentode seções circulares submetidas à flexão composta reta.
Pelo ábaco temos: 042,0%2,4 == ρ , pois
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427,01000
4,120
4
68,4775=
××
=×
=π
ν fcd Ac
Nd
261,010004,1
2014
58,2929=
×××=××= π µ fcd h Ac
Md
Armadura Longitudinal
²330²1030,31000
15,1500
10004,1
204
28,12 cmm
fyd fcd Ac
As =×=
×
×××
=××
= −
π ω
28,1
4,12015,1
500
42,0 =×=×= fcd fyd
ρ ω
Então, para umφ =25mm
Temos: ²91,45,12 2 cm As =×= π φ
Numero de barras=φ As
As =67 barras
Armadura Transversal (Estribos)
≥
al Longitudinbarra
mm
φ φ
415
mm25,6min =φ
Bitola escolhida=10mm
Espaçamento Mínimo
Smín≤φ 12
20cm
Smín=12 cm
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