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Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de
Sierpinski
DEZEMBRO/ 2012
RODRIGO DE OLIVEIRA MATOS
i
INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAES INATEL
MESTRADO EM TELECOMUNICAES
Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de
Sierpinski
RODRIGO DE OLIVEIRA MATOS
ORIENTADOR: PROF. DR. JOS ANTNIO JUSTINO RIBEIRO
SANTA RITA DO SAPUCA MG
2012
Dissertao apresentada ao Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL, como
parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Telecomunicaes.
Matos, Rodrigo de Oliveira M433a
Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de Sierpinski. / Rodrigo de Oliveira Matos. Santa Rita do Sapuca, 2012. 90 p.
Orientador: Prof. Dr. Jos Antnio Justino Ribeiro Dissertao de Mestrado Engenharia de Telecomunicaes Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL.
Inclui bibliografia e anexo.
1. Antena 2. Microfita 3. Multibandas 4. Fractal 5. Sierpinski Engenharia de Telecomunicaes. I. Ribeiro, Jos Antnio Justino. II. Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL. III. Ttulo.
CDU 621.39
ii
iii
O assunto mais importante do mundo pode ser
simplificado at o ponto em que todos possam
apreci-lo e compreend-lo. Isso ou deveria
ser a mais elevada forma de arte.
(Charles Chaplin)
Dedico este trabalho memria de
minha av, Odete de Paiva de Oliveira.
iv
Agradecimentos
Agradeo primeiramente a Deus, por iluminar minha vida e me abenoar com toda sorte de
bnos.
Ao professor Jos Antnio Justino Ribeiro pelo paciente e criterioso trabalho de orientao.
Aos professores do Mestrado por me proporcionarem uma rica formao acadmica.
A minha me, Janete Aparecida de Oliveira, por acreditar em meus objetivos e me mostrar
que persistncia e determinao so fundamentais para alcan-los.
A minha noiva, Poliana Maria da Silva, pelo constante apoio e carinho que me deram
foras para alcanar mais esse objetivo.
A toda comunidade INATEL, em especial Gisele Moreira dos Santos.
Ao professor Antonio Alves Ferreira Jnior pelo suporte prestado nos procedimentos de
medida.
A empresa ESSS e a ANSYS pela parceria com o INATEL que permitiu a utilizao do
programa HFSS.
A Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES pelo apoio
financeiro prestado em forma de bolsa de estudos.
Aos amigos do GJPF, da FUMEC e do Mestrado, que estiveram presente tanto nos
momentos de alegria quanto nos momentos mais difceis.
Aos amigos Rodrigo Carneiro Brando, Guilherme Varela Barbosa e Rebecca Vieira Sales
de Noronha pela companhia nas incontveis horas de estudos.
A todos que contriburam, direta ou indiretamente, para a concluso desta importante etapa
da minha vida meu muito obrigado.
v
Sumrio
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
LISTA DE TABELAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
LISTA DE SMBOLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
CAPTULO 1
1.1 Breve histrico 1
1.2 Motivao para o trabalho 1
1.3 Descrio sumria do trabalho 2
CAPTULO 2
2.1 Introduo 3
2.2 Ondas de superfcie 5
2.3 Influncias das propriedades do dieltrico 5
2.4 Tcnicas de excitao para antenas de microfita 6
2.5 Antenas de microfita retangular 9
2.6 Informaes sobre a impedncia no ponto de excitao da antena 12
2.7 Resultados tericos para irradiador retangular 14
2.8 Antenas de microfita triangular 19
2.8.1 Frequncia de ressonncia 23
2.9 Resultados tericos para irradiador triangular 24
2.10 Comentrios do captulo 28
vi
CAPTULO 3
3.1 Introduo 29
3.1.1 Sistema de funes iterativas 31
3.2 Tringulo de Sierpinski 32
3.3 Tapete de Sierpinski 34
3.4 Curva de Koch 35
3.5 Conjunto de Cantor 36
3.6 Comentrios do captulo 37
CAPTULO 4
4.1 Introduo 38
4.2 Frequncia de ressonncia dado um tringulo de Sierpinski equiltero 38
4.3 Antena de microfita com irradiador triangular equiltero de Sierpinski 40
4.4 Resultados tericos e prticos para a microfita de Sierpinski equiltera 44
4.5 Projeto da antena de Sierpinski montada verticalmente 52
4.6 Estudos complementares da rede vertical de Sierpinski 56
4.6.1 Justificativa para a anlise 56
4.6.2 Efeitos relacionados ao nmero de iteraes 56
4.6.3 Frequncia de ressonncia em funo do ngulo de abertura 57
4.7 Comentrios do captulo 63
CAPTULO 5
5.1 Comentrios gerais 64
5.2 Concluses 65
5.3 Sugestes para trabalhos futuros 66
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 67
APNDICE 1 ARTIGOS SUBMETIDOS E PUBLICADOS 71
APNDICE 2 CDIGO DA IMPEDNCIA DE ENTRADA 72
vii
Lista de Figuras
Figura 2.1 Antena de microfita utilizando elemento irradiador retangular. No est representado
o processo de alimentao, para o qual existem diferentes procedimentos. 4
Figura 2.2 Propagao das ondas de superfcie no dieltrico, transmitida ao longo da estrutura e
difratada em suas bordas. 5
Figura 2.3 Esquema bsico de excitao com linha de microfita. Em situaes prticas, h
necessidade de especificar o ponto de excitao e suas dimenses para o casamento
de impedncia com a antena.
7
Figura 2.4 Variveis envolvidas no clculo da impedncia caracterstica da linha de microfita. 7 Figura 2.5 Esquema da excitao com cabo coaxial. A escolha do ponto de conexo depende do
casamento de impedncia exigido. 8
Figura 2.6 Excitao por meio de acoplamento por proximidade. 9 Figura 2.7 Excitao atravs de acoplamento por abertura. 9 Figura 2.8 (a) Acmulo de cargas nas extremidades das lminas condutoras. (b) Reorganizao
do campo guiado em funo da no-uniformidade na distribuio de cargas nos
condutores.
10
Figura 2.9 Linhas de campo ao longo das bordas da microfita retangular. 11 Figura 2.10 Acrscimo no comprimento devido presena de fendas irradiantes nas
extremidades da lmina condutora sobre o substrato. 12
Figura 2.11 Fenda de largura w e extenso L muito pequena comparada com o comprimento de onda, de maneira que o campo fica distribudo quase uniformemente.
12
Figura 2.12 Modelo da antena de microfita na forma de uma linha de transmisso equivalente. 14 Figura 2.13 (a) Dimenses da microfita retangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva
montagem e malha no HFSS
. 15
Figura 2.14 Perda de retorno para microfita retangular com as dimenses especificadas. 15 Figura 2.15 Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita retangular normalizada em
relao impedncia de 50. 16
Figura 2.16 Diagramas de irradiao em coordenadas polares da microfita retangular com plano
de terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do
campo magntico (b).
17
Figura 2.17 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com
plano de terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico. 18
Figura 2.18 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com
plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico. 18
Figura 2.19 Antena de microfita triangular equiltera alimentada por cabo coaxial. 19 Figura 2.20 (a) Dimenses da antena de microfita triangular para operao em 2,4GHz e (b) sua
respectiva montagem e malha no HFSS
. 25
viii
Figura 2.21 Perda de retorno em dB da antena de microfita triangular para excitao com cabo de
50. 25
Figura 2.22 Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita triangular normalizada em
relao impedncia de 50. 25
Figura 2.23 Diagramas de irradiao em coordenadas polares de a microfita triangular com plano
de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do
campo magntico (b).
26
Figura 2.24 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com
plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico. 27
Figura 2.25 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com
plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico. 27
Figura 3.1 Exemplo de geometrias fractais. (a) Tringulo de Sierpinski. (b) Tapete de
Sierpinski. (c) Linha quebrada de Koch. (d) Um tipo de conjunto denominado pente
de Cantor.
31
Figura 3.2 Representao do processo de deslocamento de eixos coordenados envolvidos no
sistema de funes iterativas. 32
Figura 3.3 Representao do processo de rotao dos eixos coordenados envolvidos no sistema
de funes iterativas. 32
Figura 3.4 Mtodo de construo do tringulo de Sierpinski pelo sistema de funes iterativas. 34 Figura 3.5 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tringulo de Sierpinski. 34 Figura 3.6 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tarpete de Sierpinski. 35 Figura 3.7 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes da curva de Koch. 36 Figura 3.8 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do pente de Cantor. 37 Figura 4.1 Modelo de linha de transmisso para antena de microfita construda com a geometria
do tringulo de Sierpinski com ngulo de abertura de 60. 42
Figura 4.2 Comportamento da impedncia de entrada da antena analisada, em funo da
distncia a partir da base do tringulo gerado aps a terceira iterao, localizado no
vrtice inferior do tringulo de Sierpinski.
42
Figura 4.3 Comportamento da parte real da impedncia de entrada da antena analisada com eixo
das ordenadas em escala logartmica. 43
Figura 4.4 (a) Dimenses do irradiador para a antena de microfita de Sierpinski com ngulo de
abertura de 60 e (b) sua respectiva montagem e malha no HFSS
. 43
Figura 4.5 Montagem para as medies na faixa de frequncias de interesse. 44 Figura 4.6 Comportamento da perda de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz
at 3,7GHz da antena de microfita de Sierpinski. 45
Figura 4.7 Perda de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz at 3,7GHz da antena
de microfita de Sierpinski obtida com o programa HFSS
. 45
Figura 4.8 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra
finito, operando em 651MHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do
campo magntico.
47
Figura 4.9 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra
finito, operando em 1,32GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do
campo magntico.
48
Figura 4.10 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra
finito, operando em 1,40GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do
campo magntico.
48
ix
Figura 4.11 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra
finito, operando em 3,41GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do
campo magntico.
48
Figura 4.12 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra
finito, operando em 3,6GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do campo
magntico.
49
Figura 4.13 Modificaes no irradiador da antena de microfita de Sierpinski com ngulo de
abertura de 60 atravs da introduo de chanfros nos vrtices dos tringulos
excludos a cada iterao.
50
Figura 4.14 Resultado simulado para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de
100MHz at 4GHz para antena de microfita de Sierpinski modificada. 50
Figura 4.15 Alterao nas dimenses do irradiador da antena de microfita de Sierpinski
modificada com ngulo de abertura de 60 montada sobre dieltrico com espessura
h=6,6mm.
51
Figura 4.16 Resultado simulado para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de
100MHz at 4GHz para antena de microfita de Sierpinski modificada montada sobre
dieltrico com espessura h=6,6mm.
51
Figura 4.17 (a) Aspecto da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano de terra
finito e (b) sua respectiva malha no programa HFSS
. 53
Figura 4.18 Resultado simulado para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de
100MHz at 3,7GHz para a antena de Sierpinski montada verticalmente sobre o
plano de terra finito.
53
Figura 4.19 Antena e equipamentos utilizados para medio das perdas de retorno da antena na
faixa de 100MHz at 3,7GHz. 53
Figura 4.20 Medida para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz at
3,7GHz da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre o plano de terra. 54
Figura 4.21 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano
de terra finito, operando em 765MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
55
Figura 4.22 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano
de terra finito, operando em 1,46GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
55
Figura 4.23 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano
de terra finito, operando em 2,96GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
55
Figura 4.24 Aspecto das antenas simuladas verticalmente sobre plano de terra finito no programa
HFSS
para um irradiador cuja geometria o (a) tringulo fundamental, (b) fractal
de Sierpinski de 1 ordem, (c) fractal de Sierpinski de 2 ordem e (d) fractal de
Sierpinski de 3 ordem.
57
Figura 4.25 Resultado simulado para as perdas de retorno da antena utilizando tringulo (a)
fundamental, (b) de Sierpinski de 1 ordem, (c) de 2 ordem e de (d) 3 ordem. 57
Figura 4.26 Dimenses do irradiador para a antena montada verticalmente sobre plano de terra
finito utilizando geometria fractal de Sierpinski com ngulo de abertura de 45. 59
Figura 4.27 Dimenses do irradiador para a antena montada verticalmente sobre plano de terra
finito utilizando geometria fractal de Sierpinski com ngulo de abertura de 75. 59
Figura 4.28 Resultado simulado para as perdas de retorno da antena utilizando tringulo de
Sierpinski com (a) = 75, (b) = 60 e (c) = 45. 60
x
Figura 4.29 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 45 montada
verticalmente, operando em 813MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
61
Figura 4.30 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 45 montada
verticalmente, operando em 1,67GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
61
Figura 4.31 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 45 montada
verticalmente, operando em 3,04GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
61
Figura 4.32 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 75 montada
verticalmente, operando em 703MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
62
Figura 4.33 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 75 montada
verticalmente, operando em 1,41GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
62
Figura 4.34 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 75 montada
verticalmente, operando em 2,78GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano
paralelo (=90).
62
xi
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 Resumo das principais caractersticas para a antena de microfita retangular operando
em 2,4GHz. 18
Tabela 2.2 Resumo das principais caractersticas para a antena de microfita triangular operando
em 2,4 GHz. 27
Tabela 3.1 Dimenso de Hausdorff para as estruturas fractais estudadas. 37
Tabela 4.1 Dimenses dos tringulos para os tipos de irradiadores apresentados. 43
Tabela 4.2 Especificaes da antena de microfita de Sierpinski com ngulo de abertura de 60. 44
Tabela 4.3 Relao entre a ordem da banda e as frequncias de operao calculadas. 44
Tabela 4.4 Comparao entre as frequncias medidas e com os valores obtidos na simulao
para a antena de microfita de Sierpinski. 46
Tabela 4.5 Larguras de faixa medidas e tericas para a antena de microfita de Sierpinski. 46
Tabela 4.6 Diretividade, ganhos e eficincia de irradiao nas frequncias de interesse da antena
de microfita de Sierpinski. 47
Tabela 4.7 Resumo das principais caractersticas da antena de microfita de Sierpinski com
irradiador modificado. 49
Tabela 4.8 Resumo das principais caractersticas da antena de microfita de Sierpinski utilizando
dieltrico mais espesso. 52
Tabela 4.9 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski montada verticalmente
sobre plano de terra finito. 54
Tabela 4.10 Comparao entre as frequncias obtidas nos resultados simulados e experimentais
para a antena montada verticalmente sobre plano de terra finito. 54
Tabela 4.11 Comparao entre as frequncias obtidas para as antenas com diferentes valores de
60
Tabela 4.12 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski para = 45. 60
Tabela 4.13 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski para = 75. 60
xii
Lista de smbolos
E
Campo eltrico
H
Campo magntico
a Lado do tringulo equiltero utilizado como irradiador na antena de microfita
A Amplitude determinada pela excitao na antena de microfita triangular
aef Lado do tringulo equiltero, utilizado como irradiador na antena de microfita, levando em
conta o franjamento de campo
ag Lado do tringulo gerador do fractal de Sierpinski
agef Lado do tringulo gerador do fractal de Sierpinski levando em conta o franjamento de campo
b Largura de linha de microfita
B1 Susceptncia equivalente de uma fenda
bg Base do tringulo gerador do fractal de Sierpinski
Bn Susceptncia normalizada da fenda em relao admitncia caracterstica
c Velocidade da onda eletromagntica no vcuo
D Diretividade da antena
e, f Deslocamentos envolvidos no sistema de funes iterativas
Ex Componente do campo eltrico na direo x
Ey Componente do campo eltrico na direo y
Ez Componente do campo eltrico na direo z
fD Fator utilizado para representar a relao entre as dimenses da estrutura original e de suas
cpias
fr Frequncia de ressonncia
G0 Ganho da antena em referncia a antena isotrpica
G1 Condutncia equivalente de uma fenda
h Espessura do dieltrico
hg Altura do tringulo gerador do fractal de Sierpinski
hgef Altura do tringulo gerador do fractal de Sierpinski levando em conta o franjamento de campo
xiii
Hx Componente do campo magntico na direo x
Hy Componente do campo magntico na direo y
Hz Componente do campo magntico na direo z
k Ordem da iterao fractal
k0 Nmero de onda para o espao livre
kmn Fator de propagao
L Comprimento do irradiador com geometria retangular
Lef Comprimento do irradiador na antena de microfita retangular levando em conta o franjamento
de campo
Lr Comprimento de uma reta arbitrria
Lu Comprimento em escala reduzida de uma reta arbitrria
M Constante arbitrria envolvida no processo de disperso da permissividade relativa com a
frequncia
n Ordem da banda de operao
nc Nmero de cpias de uma estrutura que cobrem a original
nk Nmero de cpias da reta geradora resultantes a cada iterao no processo de construo da
curva de Koch
nq Nmero de cpias do quadrado gerador resultantes a cada iterao no processo de construo
do tapete de Sierpinski
nt Nmero de cpias do tringulo gerador resultantes a cada iterao no processo de construo
do tringulo de Sierpinski
r Fator de escala do sistema de funes iterativas
t Espessura da pelcula condutora
w Largura do irradiador com geometria retangular
w0 Base do tringulo gerado aps a terceira iterao do tringulo de Sierpinski
Wh Operador de Hutchison
wn Transformaes afins envolvidas no sistema de funes iterativas
wv Variao da largura da linha de microfita
wvef Valor efetivo da largura da linha de microfita levando em considerao o franjamento de
campo
Y Admitncia
Y0 Admitncia caracterstica
Yen Admitncia resultante na entrada de uma antena
YL Admitncia equivalente de uma fenda
Z0 Impedncia caracterstica
l Incremento no comprimento do irradiador com geometria retangular devido ao franjamento de campo
xiv
ngulo de abertura do vrtice do tringulo de Sierpinski
Fator de fase
lPerodo logartmico entre as frequncias para uma antena com irradiador utilizando geometria
fractal do tringulo de Sierpinski
ef Constante eltrica efetiva
r Permissividade relativa
ab Abertura de feixe no plano do campo magntico
Comprimento de onda da onda eletromagntica
Comprimento de onda da onda eletromagntica no vcuo
r Permeabilidade relativa
ngulo de elevao
ab Abertura de feixe no plano do campo eltrico
r ngulo de rotao envolvido no sistema de funes iterativas
Frequncia angular
mnl (x,y) Autofuno que verifica a equao de onda original para um tringulo equiltero
xv
Resumo
Nesta dissertao sero apresentadas duas configuraes de antenas utilizando a geometria
fractal de Sierpinski para operao multibanda. Na geometria adotada, com a gerao
sucessiva dos tringulos segundo ngulos previamente definidos, tem-se um espaamento
logartmico entre as frequncias de operao. Os projetos foram construdos com um laminado
de fibra de vidro FR4 e obtiveram-se desempenhos aceitveis, em termos de perda de retorno,
em diferentes faixas de frequncias. Sero apresentadas as simulaes e medies realizadas
dos prottipos construdos. So mostrados os parmetros das antenas referentes a largura de
faixa, diretividade, ganho, eficincia de irradiao e diagrama de irradiao.
Palavras-chave: Antenas de microfita, antenas multibandas, geometria fractal de Sierpinski.
xvi
Abstract
In this dissertation will be presented two configurations for antennas using a Sierpinski
fractal geometry for multiband operation. The adopted geometry, with the successive
generation of the triangles with predefined angle, it has a logarithmic spacing between the
operation frequencies. These projects were built with a fiber glass substrate FR4 and provide
acceptable performance in terms of return loss at different frequency bands. It is presented
simulations and measurements of the fabricated prototypes. Moreover, it is shown the antenna
parameters like bandwidth, directivity, gain, radiation efficiency and radiation pattern.
Keywords: Microstrip antennas, multiband antennas, Sierpinski fractal geometry.
1
Captulo 1
Introduo
1.1 Breve histrico
Em 1953, Deschamps apresentou o conceito de antenas de microfita, uma estrutura
compacta indicada para operaes em UHF e em microondas [1]. A proposta recebeu grande
ateno por permitir a construo de irradiadores simples, leves, de baixo custo, moldveis em
diferentes superfcies e fabricadas por tcnicas bem dominadas para produo de circuitos
impressos [2]. Um inconveniente relaciona-se sua pequena largura de faixa, entre 1% e 3%
da frequncia de projeto. Sistemas modernos de comunicao sem fio integram mltiplas
funes que ocupam diversas faixas de frequncias e tecnologias mais recentes como o rdio
cognitivo [3], demandam diferentes frequncias e exigem antenas adaptveis a essas novas
aplicaes. Neste cenrio, a utilizao de antenas multibandas uma possvel soluo. Entre
as diversas tcnicas propostas para a obteno de antenas multibandas, destacam-se as antenas
fractais que satisfazem determinados comportamentos em mltiplas faixas de frequncia.
Apesar da teoria dos fractais ter sido desenvolvida em 1965, suas aplicaes nos projetos de
antenas comearam em meados da dcada de 1980, partindo da criao de Nathan Cohen [4].
Em sua proposta, desenvolveu-se a teoria de antenas aplicada a estruturas que mantivessem
auto-semelhana em suas geometrias progressivas.
1.2 Motivao para o trabalho
Para alcanar a caracterstica de operao em mltiplas faixas de frequncia com a
utilizao de geometrias fractais, a estrutura que adota a geometria fractal de Sierpinski,
discutida neste trabalho. Para isto, ser estudado o uso dessa geometria impressa
paralelamente sobre o plano de terra em um substrato dieltrico FR4 de fabricao nacional
2
[5], em uma configurao semelhante s estruturas impressas convencionais, e verticalmente
sobre um plano de terra finito.
1.3 Descrio sumria do trabalho
O Captulo 2 apresenta algumas caractersticas e limitaes das antenas de microfita, sobre
uma nica camada dieltrica, de formato retangular e triangular como uma referncia para
comparar com o modelo construdo. No Captulo 3, estudam-se os fractais de Sierpinski, da
curva de Koch e do conjunto de Cantor com nfase nos conceitos de auto-similaridade, do
mtodo do sistema de funes iterativas utilizado no processo de construo e da definio de
dimenso fractal. O Captulo 4 apresenta os estudos para as antenas impressas paralelamente e
verticalmente sobre plano de terra finito utilizando um irradiador com geometria fractal do
tringulo de Sierpinski. So levantadas por meio de simulaes no programa HFSS da
ANSYS/ANSOFT as perdas de retorno, os diagramas de irradiao, os valores de diretividade,
ganho e eficincia de irradiao. Em seguida, os prottipos das antenas impressas
paralelamente e verticalmente sobre plano de terra utilizando a geometria fractal proposta so
construdos. Apresenta-se a instrumentao utilizada e os resultados experimentais para a
perda de retorno das duas configuraes, com o objetivo de confrontar os resultados
experimentais com os obtidos pelas simulaes. O ltimo captulo dedicado aos comentrios,
concluses e sugestes para trabalhos futuros.
3
Captulo 2
Antenas de microfita com geometrias euclidianas
2.1 Introduo
Antenas de microfita so construdas a partir de uma fina camada de metal sobreposta a um
material dieltrico de baixa perda que separa essa camada de um plano de terra [6]. Essa
lmina condutora, identificada como sendo o elemento irradiador, em geral projetada para
uma condio de ressonncia e pode ser de formato retangular, triangular, circular, com a
geometria de um dipolo, etc.. Em lugar de um nico elemento, pode ser construda tambm em
forma de um arranjo impresso de lminas ou dipolos com sistema de alimentao adequado s
caractersticas desejadas para o conjunto [7]. O formato da lmina condutora influencia na
distribuio de corrente em sua extenso e na distribuio do campo ao longo de toda a
estrutura. Para um irradiador retangular, por exemplo, o campo eltrico nulo no centro da
lmina condutora, mximo em uma das bordas e mnimo na outra. Por outro lado, a corrente
mxima no centro e mnimas nas extremidades do irradiador. Desta forma, tem-se que a
impedncia da antena mnima no centro e mxima nas bordas. Um exemplo dessa estrutura,
com elemento irradiador retangular, no evidenciando o sistema de alimentao, est
apresentado na Fig. 2.1. Seus parmetros geomtricos mais importantes so o comprimento, L,
a largura, w, e a espessura, t, da pelcula condutora. O plano de terra separado desta lmina
por um dieltrico de espessura h e permissividade relativa r. H diferentes tcnicas para a
alimentao, destacando-se a excitao por cabo coaxial, por linha de microfita ou por
acoplamento eletromagntico [8].
As antenas de microfita receberam grande ateno por serem simples, leves, de baixo custo,
podendo ser fabricadas por tcnicas utilizadas na fabricao de circuito impresso. Alm disto,
podem ser moldadas superfcie sobre a qual forem construdas [2]. Suas principais
4
desvantagens esto relacionadas com a largura de faixa, que fica em torno de 1% a 3% [8],
alm da baixa eficincia de irradiao, dependendo da espessura e do material utilizado. H
dieltricos que apresentam grandes tangentes de perda em micro-ondas que so responsveis
por significativa reduo na eficincia global da antena [9].
Figura 2.1. Antena de microfita utilizando elemento irradiador retangular. No est representado o processo
de alimentao, para o qual existem diferentes procedimentos.
Neste trabalho, a anlise das antenas de microfita ser feita por meio de simulao
empregando o programa HFSS
da empresa ANSYS [10]. Esse aplicativo utiliza a tcnica
numrica conhecida como Mtodo dos Elementos Finitos em que a estrutura subdividida em
pequenas partes compostas de tetraedros. A coleo de todos esses elementos constitui uma
malha. A soluo encontrada para os campos dentro dos elementos finitos, que esto
interligados de modo a satisfazerem as equaes de Maxwell e as condies de contorno nas
fronteiras entre eles. Com isto, obtm-se uma soluo aproximada de campo para toda a
estrutura original. Uma vez definidas as excitaes e as condies de contorno o programa
calcula o campo eltrico por
0
1 20
EkE r
r
(2.1)
onde r = /o a permeabilidade relativa, r = /o a permissividade relativa, k0 = /c o
nmero de onda para o espao livre, sendo c a velocidade da onda eletromagntica no vcuo.
Para achar o campo magntico, o programa aplica a lei de Faraday em sua forma diferencial
EH
1 (2.2)
Adotando este procedimento, os campos associados estrutura analisada e seus locais de
acesso, so descritos por uma matriz de elementos finitos, desenvolvida a partir de (2.1) e
5
(2.2). O mtodo identifica os valores dentro dos tetraedros e analisa a estrutura completa
verificando as condies em seus limites. O processo repetido vrias vezes, refinando a
estrutura da malha nas regies onde os erros na soluo do campo eltrico forem maiores. Os
erros so analisados de acordo com a alterao na distribuio de campo eltrico entre duas
solues sucessivas. Este processo ocorre at que os resultados convirjam para as condies
fixadas no incio da anlise, que levam em considerao o percentual de refinamento entre
cada iterao, a frequncia de operao estipulada, e o erro aceitvel na descrio dos campos,
geralmente da ordem de 0,01 0,03. Quanto maior for a exatido exigida, maior ser a
quantidade de iteraes necessrias no processo.
2.2 Ondas de superfcie
Sempre que o dieltrico da antena de microfita possuir permissividade relativa maior do
que a unidade (r > 1), situao absolutamente comum em vista de laminado com dieltrico
slido, haver excitao de ondas de superfcie. Essas ondas so guiadas na estrutura por
reflexo total na interface do substrato com o meio externo. Isto possvel se a incidncia
nesse contorno ocorrer com ngulo igual ou superior ao ngulo crtico. Portanto, implica em
transmisses com ngulo de elevao c que assume valores entre /2 e sen1
[(r)1/2
]. Ao
incidirem no plano de terra so refletidas at a interface entre o dieltrico e o ar, onde ocorre
tambm a reflexo total (Fig. 2.2). Esse processo repete-se at que a onda alcance o limite do
dispositivo e so difratadas em suas bordas. As ondas de superfcie decaem exponencialmente
e so responsveis por parte da perda de energia, reduzindo a eficincia da antena [11].
Figura 2.2. Propagao das ondas de superfcie no dieltrico, transmitida ao longo da estrutura e difratada
em suas bordas.
2.3 Influncias das propriedades do dieltrico
As caractersticas de uma antena de microfita esto relacionadas a diversos parmetros do
dieltrico, tais como a tangente de perdas, a permissividade relativa, sua variao com a
6
frequncia, etc.. A relao entre a permissividade relativa do dieltrico e a frequncia de
operao f0 pode ser expressa de maneira simplificada como [8]:
r
Mf
0 (2.3)
onde M uma constante arbitrria. Portanto, uma mudana na permissividade implica em
modificao na frequncia dada por:
r
r
r
rd
f
df
2
1
2
1
0
0 (2.4)
em que a ltima parcela vlida para pequenas alteraes na grandeza. Esta previso
importante pelo fato de o valor nominal da permissividade fornecida pelo fabricante no ser
acurado o suficiente para os requisitos de projeto. Isso acarreta, muitas vezes, na necessidade
de fabricao de um segundo prottipo para garantir a operao da antena na frequncia
desejada. O dieltrico tambm influencia na largura de faixa, que aumenta com a sua
espessura e com a diminuio de sua permissividade relativa [11]. Entretanto, esse aumento de
espessura acarreta em antenas com maiores dimenses.
Outra especificao j mencionada diz respeito s caractersticas de dissipao de potncia
no laminado. Quanto mais elevada for a tangente de perdas, maior ser essa dissipao no
dieltrico e menor a eficincia da antena. Existem dieltricos com permissividade relativa
situada entre os valores de 1,17 e 25, com tangente de perda especificada entre 0,0001 e 0,02
[12] [13] [14].
2.4 Tcnicas de excitao para antenas de microfita
As antenas de microfita podem ser excitadas por uma linha de microfita ou com a utilizao
de um cabo coaxial. Tambm pode ser excitada indiretamente utilizando tcnicas como o
acoplamento por proximidade ou o acoplamento de abertura [15]. Nestes dois ltimos casos
no h contato metlico entre a linha de excitao e a lmina condutora. Na excitao com
linha de microfita, esquematizada na Fig. 2.3, esta linha apresenta largura muito inferior ao da
lmina ativa da antena, no caso das estruturas tradicionais. Em conjunto com o plano de terra,
esta fita forma a regio de transmisso do sinal e deve ser convenientemente casada a fim de
se evitar a perda por reflexo.
7
Figura 2.3. Esquema bsico de excitao com linha de microfita. Em situaes prticas, h necessidade de
especificar o ponto de excitao e suas dimenses para o casamento de impedncia com a antena.
No clculo da sua impedncia caracterstica, considera-se a geometria da Fig. 2.4, sendo b a
largura da linha de microfita. Sua impedncia caracterstica pode ser alterada com o ajuste da
relao entre sua largura e a espessura do laminado. Trata-se de um dado relevante na escolha
do ponto de excitao para o casamento de impedncia com a antena.
Figura 2.4. Variveis envolvidas no clculo da impedncia caracterstica da linha de microfita.
Como o campo entre a linha de microfita e o plano de terra no est inteiramente contido
no dieltrico, esse meio de transmisso no homogneo. Dessa forma, o modo de
propagao ao longo da linha no exatamente TEM. Todavia, pode ser aproximado para esta
condio, desde que se utilize nos clculos um valor efetivo para a constante dieltrica,
determinado pela combinao entre o valor do substrato slido e a permissividade do ar [16].
Para uma relao b/h > 1, o valor deste parmetro obtido por [16]:
21121
2
1
2
1
b
hrref
(2.5)
Existem diversas frmulas empricas e deduzidas analiticamente para clculo da
impedncia caracterstica. Uma das que apresentam resultados confiveis para a relao b/h
entre 0,5 e 10 [16]:
444,1667,0393,1
1200
h
bn
h
bZ
ef
(2.6)
8
Para uma relao b/h < 1 a constante eltrica efetiva calculada por:
221
104,012
12
1
2
1
h
b
b
hrref
(2.7)
e outra expresso til para se chegar impedncia caracterstica da linha de microfita [16]:
h
b
b
hnZ
ef
25,0860
0
(2.8)
Na excitao por cabo coaxial, vista de topo e de perfil na Fig. 2.5, o condutor interno do
cabo conectado lmina condutora principal, enquanto que o condutor externo ligado ao
plano de terra. O casamento de impedncia pode ser obtido pela escolha adequada do ponto de
excitao na lmina condutora [17]. Entretanto, esse tipo de excitao acarreta em um maior
volume da estrutura e apresenta uma menor largura de faixa quando comparada por uma
excitao por linha de microfita. Para a situao onde se utiliza um dieltrico mais espesso que
os convencionais, a extenso do conector central fica maior, o que acentua o efeito indutivo
gerado pelo conector e dificulta o casamento de impedncia.
Figura 2.5. Esquema da excitao com cabo coaxial. A escolha do ponto de conexo depende do casamento
de impedncia exigido.
Na tcnica de acoplamento eletromagntico por proximidade, Fig. 2.6, uma linha de
microfita usada para a excitao da antena colocada entre duas camadas dieltricas: uma
camada fica entre a linha e o plano de terra e outra camada entre a linha e o elemento
irradiador. Essa tcnica possibilita maior largura de banda e seu casamento de impedncia
pode ser feito por meio de uma combinao conveniente entre a largura da fita e a espessura
do substrato [11].
9
Figura 2.6. Excitao por meio de acoplamento por proximidade.
A excitao utilizando o acoplamento por abertura, ilustrado na Fig. 2.7, a tcnica mais
complexas de se construir entre as citadas. Consiste de um plano de terra com uma pequena
abertura que separa dois dieltricos. Uma linha excita o elemento irradiador atravs da fenda
no plano de terra localizado entre os dois dieltricos. As caractersticas da fenda determinam a
eficcia do acoplamento entre a linha de microfita e o elemento principal. Geralmente a linha
de microfita centraliza em relao abertura, com essa fenda posicionada abaixo do centro
da lmina condutora, de modo a excitar o campo magntico do sistema irradiador. [11]. Uma
escolha conveniente da largura da microfita e das dimenses da fenda empregada na excitao
permite o casamento de impedncia [11].
Figura 2.7. Excitao atravs de acoplamento por abertura.
2.5 Antenas de microfita retangular
Ser considerado um elemento irradiador de formato retangular conforme apresentado na
Fig. 2.1, para ter uma referncia de desempenho e comparar com o modelo desenvolvido neste
trabalho. Em geral, a antena projeta para operar no modo TM10, dessa forma, a largura w
possui pouca influncia na frequncia de ressonncia, mas tem efeito significativo na
impedncia de entrada da antena. Uma medida conveniente leva em conta a mdia aritmtica
10
entre a constante dieltrica do substrato e do ar. Para este valor, considera-se que uma largura
w adequada seja igual a meio comprimento de onda na frequncia de ressonncia [18]. Ento,
tomando a velocidade da onda eletromagntica no vcuo, c, e a frequncia de ressonncia, fr,
este valor :
21
2
1
2
r
rf
cw
(2.9)
O comprimento L do elemento irradiador influencia na frequncia de operao. Por causa
de deformao no campo em suas extremidades, o primeiro passo obter um valor que seja
aproximadamente igual a meio comprimento de onda na condio de ressonncia e levando
em conta apenas a constante dieltrica do substrato. Portanto,
rrf
cL
2 (2.10)
O fator r em (2.10) seria vlido para as lminas condutoras do elemento irradiador e do
plano de terra muito grandes comparadas com a espessura do laminado. Devido ao acmulo de
cargas nas extremidades dos condutores, observa-se uma mudana na distribuio de campo
nessa regio, como apresentado na Fig. 2.8. Em geral, o campo no fica confinado lmina e
uma parte avana para fora das dimenses L e w. Grande parte da energia concentra-se no
dieltrico enquanto uma pequena parte propaga-se pelo ar. Esse fenmeno identificado como
franjas de campo ou franjamento de campo.
(a) (b)
Figura 2.8. (a) Acmulo de cargas nas extremidades das lminas condutoras. (b) Reorganizao do campo
guiado em funo da no-uniformidade na distribuio de cargas nos condutores.
Nas extremidades definidas pelo comprimento da lmina metlica, em ambas as franjas
identificam-se componentes longitudinais de campo eltrico no mesmo sentido, conforme
mostra a Fig. 2.9. Este fato equivalente a duas fendas excitadas por campos que contribuem
para a irradiao da onda eletromagntica. Como as excitaes nestas fendas so praticamente
em fase, resulta em uma rede transversal simples de dois elementos. Logo, o diagrama de
11
irradiao apresenta valor mximo na direo normal ao eixo desta rede, isto , perpendicular
ao plano da lmina condutora. Ilustram-se, tambm, as distribuies de campo na largura w
em toda a extenso da antena. Destacam-se as respectivas orientaes com objetivo de
comprovar que no tm influncias significativas na direo de mxima irradiao da
estrutura. Portanto, nas laterais da lmina metlica identificam-se fendas no-irradiantes.
Figura 2.9. Linhas de campo ao longo das bordas da microfita retangular.
Os efeitos das franjas de campo nas bordas so includos nos clculos da constante
dieltrica efetiva determinada por (2.5) e (2.7). As franjas de campo nas extremidades afetam
as dimenses da lmina condutora. Esse efeito pode ser descrito por um incremento l no
comprimento, dado por:
813,0258,0
264,0300,0
412,0
h
w
h
w
hL
ef
ef
(2.11)
que adicionado ao valor de L. Isto leva a um comprimento efetivo Lef, conforme apresentado
na Fig. 2.10, com o valor [11]
L
f
cL
efr
ef 22
(2.12)
Em virtude da necessidade desta correo, o comprimento fsico L da antena, inicialmente
dado por (2.10), passa a ser
L
f
cL
efr
22
(2.13)
12
Figura 2.10. Acrscimo no comprimento devido presena de fendas irradiantes nas extremidades da lmina
condutora sobre o substrato.
2.6. Informaes sobre a impedncia no ponto de excitao da antena
Para um modelo conforme apresentado na Fig. 2.9, a regio de irradiao pode ser vista
como uma fenda, semelhante de antenas de abertura, com distribuio de campo
praticamente uniforme. Dessa forma, necessrio estimar a admitncia da fenda, onde cada
fenda irradiante representada por uma admitncia equivalente em paralelo YL, composta por
uma condutncia G1 e susceptncia B1. Para obter a condutncia e a susceptncia da fenda
equivalente toma-se por referncia a Fig. 2.11, onde a irradiao ocorre a partir de uma fenda
de altura L e largura w, com uma distribuio de campo praticamente uniforme.
Figura 2.11. Fenda de largura w e extenso L muito pequena comparada com o comprimento de onda, de maneira que o campo fica distribudo quase uniformemente.
Para fendas muito estreitas, com L < 0,1, situao muito comum nas antenas de
microfita, conveniente calcular os valores da condutncia e da susceptncia com as seguintes
expresses [17]:
61
2
0
1muwG
(2.14)
mun
wB 2
21
0
1
(2.15)
13
onde
0
Lum
(2.16)
A fenda localizada no lado oposto ao ponto de excitao influencia a impedncia de entrada
da antena. Esse comportamento assemelha-se ao de uma linha de transmisso que possui como
carga a impedncia da fenda. De acordo com a teoria de linhas de transmisso sem perdas, a
admitncia a uma distncia dc da carga dada por [17]:
cL
cL
dtgYiY
dtgYiYYY
0
00 (2.17)
onde
11 BiGYL (2.18)
Embora esta expresso para a admitncia seja vlida de forma exata apenas para estruturas
sem perdas, possvel utiliz-la de maneira aproximada tendo em vista que nas proximidades
da antena a energia associada aos campos de induo muito grande comparada com a dos
campos de irradiao. Assim, a hiptese de uma estrutura quase ideal no introduz erros
apreciveis nos valores finais. Este clculo no leva em considerao o efeito de uma fenda
sobre a outra. De acordo com (2.17), existe uma distncia para a qual a admitncia de entrada
da linha formada pelo elemento irradiador apresenta a mesma parte real da admitncia da
fenda e parte imaginria simtrica. Dessa forma, impe-se:
))(
)(
110
011
011LtgBiGiY
LtgYBiGYiBG (2.19)
Por meio de (2.19) e utilizando a susceptncia normalizada da primeira fenda em relao
admitncia caracterstica como:
0
1
Y
BBn (2.20)
encontra-se a expresso para o comprimento da microfita que torna a impedncia real em sua
entrada, dada por [17]
1
2
2
n
n
B
BLtg (2.21)
14
Para a antena excitada conforme a Fig. 2.5 e modelada na forma de uma linha de
transmisso equivalente conforme a Fig. 2.12, a impedncia no ponto de excitao resulta dos
valores combinados das duas fendas. O efeito de uma das fendas transformado de acordo
com o trecho dc, sendo que a outra sofre a influncia de uma distncia que equivale diferena
entre o comprimento total e o trecho dc. Como seus efeitos em um mesmo ponto estaro em
paralelo, conveniente trabalhar com as admitncias para encontrar impedncia total. Dessa
forma, a admitncia resultante [17]
)(
)(
10
01
10
010
c
c
c
cen
dLtgYiY
dLtgYiY
dtgYiY
dtgYiYYY (2.22)
Esta equao permite obter um comprimento onde as susceptncias das fendas tenham
valores simtricos e a impedncia de entrada fique puramente real. Utilizando-a, determina-se,
tambm, a parte real da impedncia de entrada em funo da distncia da borda da antena e os
possveis comprimentos que possibilitem uma impedncia prxima de 50Este valor
conveniente para as operaes em micro-ondas, pois a maioria dos equipamentos calibrada
para esta impedncia de referncia.
Figura 2.12. Modelo da antena de microfita na forma de uma linha de transmisso equivalente.
2.7. Resultados tericos para irradiador retangular
Conforme apresentado, a dimenso L controla a frequncia de operao enquanto w age de
forma mais significativa sobre a impedncia de entrada da antena. Para ter uma referncia do
comportamento da antena de formato retangular, empregaram-se as equaes (2.11), (2.13) e
(2.15) para uma frequncia de 2,4GHz e obtiveram-se w = 3,765cm e L = 2,88cm. Estes
valores foram encontrados para a antena desenvolvida em um substrato dieltrico FR4, com
espessura h = 1,524mm, r = 4,4 e tg Em funo do estudo relativo impedncia de
entrada, a antena deve ser excitada por um cabo coaxial a uma distncia de 7,075mm de sua
borda. A antena foi excitada no HFSS utilizado uma Wave Port com a mesma seo reta e
15
raio idntico ao utilizado para modelar o conector externo do cabo coaxial, de modo que o
campo se propague pelo cabo coaxial a partir da porta de excitao [10]. A Fig. 2.13 apresenta
as dimenses finais e sua representao no programa HFSS
.
(a) (b)
Figura 2.13. . (a) Dimenses da microfita retangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva
montagem e malha no HFSS
.
Um dos fatores limitantes para a operao das antenas em geral a eficincia na
transferncia de potncia entre a estrutura de excitao e a estrutura irradiante. comum
adotar um critrio onde, na pior situao, cerca de 90% da potncia seja transferida para a
antena. Para isso, foram levantados os coeficientes de reflexo, parmetro S11, que d
informaes sobre a perda de retorno. No limite mencionado, a largura de faixa til implica
em aceitar || dB, onde || indica a magnitude do coeficiente de reflexo entre a
impedncia de entrada da antena e a impedncia caracterstica da estrutura de alimentao. A
Fig. 2.14 apresenta a perda de retorno para as dimenses especificadas para a antena.
1.90 2.10 2.30 2.50 2.70 2.90Freq [GHz]
-35.00
-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
S1
1 [d
B]
MY
1: -9
.50
00
Figura 2.14. Perda de retorno para microfita retangular com as dimenses especificadas.
16
A Fig. 2.15 apresenta o traado da impedncia de entrada na carta de Smith normalizada
em relao a uma impedncia caracterstica de 50. Percebem-se ressonncias nos pontos
onde a curva intercepta o eixo real e, consequentemente, a reatncia vale zero. Na ressonncia
no lado esquerdo da carta, a impedncia de entrada de aproximadamente 48, e consegue-se
o melhor casamento por estar mais prximo do centro da carta.
5.002.001.000.500.200.00
5.00
-5.00
2.00
-2.00
1.00
-1.00
0.50
-0.50
0.20
-0.20
0.000
10
20
30
40
50
60
708090100
110
120
130
140
150
160
170
180
-170
-160
-150
-140
-130
-120
-110-100 -90 -80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
P
Name Freq Ang Mag RX
P 2.3990 175.1881 0.0166 0.9675 + 0.0027i
Figura 2.15. Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita retangular normalizada em relao
impedncia de 50.
Na Fig. 2.16 so apresentados os diagramas de irradiao em coordenadas polares no plano
do campo eltrico e no plano do campo magntico. Para a microfita retangular, o mximo do
diagrama de irradiao ocorre na direo normal ao plano de terra. Como esse plano no
infinito, parte do campo sofre difrao nas bordas do substrato. Essa representao informa a
distribuio de energia de forma mais prxima daquela observada em condies reais, porm,
pode apresentar dificuldades para obteno de informaes como a largura de feixe de meia
potncia. Dessa forma, a Fig. 2.17 e Fig. 2.18 apresentam os diagramas de irradiao em
coordenadas retangulares no plano do campo eltrico e no plano do campo magntico,
respectivamente, bem como os pontos onde a densidade de potncia cai de 3dB em relao ao
valor mximo do lobo principal. Analisando a Fig. 2.17 encontra-se que a abertura de feixe no
plano do campo eltrico ab=86 e, da Fig. 2.18 encontra-se que a abertura de feixe no plano
do campo magntico ab=74. De posse desses valores, e utilizando a frmula para o clculo
17
da diretividade aproximada de Kraus, vlida para situaes com lobo principal bem definido e
lobos secundrios de pequenas amplitudes, dada por [17]:
abab
D
41253
(2.23)
encontra-se D = 6,48 ou 8,11dB. Com a integrao numrica prpria do programa, que
relaciona a densidade de potncia em uma direo arbitrria e a densidade de potncia mdia
sobre todas as direes, a microfita apresenta diretividade de 7,33dB na frequncia de
operao. As diferenas encontradas justificam-se pelo fato da frmula de Kraus considerar
um diagrama aproximado enquanto o programa computacional considera um diagrama mais
prximo daquele obtido em situaes reais. Para uma antena sem perdas, a diretividade ser
igual ao ganho. No entanto, se a antena tem perdas inerentes, a diretividade est relacionada
com o ganho de acordo com a eficincia de irradiao. O ganho G0 da microfita retangular,
calculado com a isotrpica como antena de referncia de 4,11dBi. Dessa forma a eficincia
de irradiao da antena foi de 47,66% utilizando o ganho e a diretividade obtidas no programa
de simulao. Este resultado aceitvel para o material do substrato, com a espessura e a
tangente de perdas especificadas na anlise [9]. A Tabela 2.1 apresenta um resumo das
principais caractersticas para a antena de microfita analisada, demonstrando que a mesma
atingiu o rendimento tpico para antenas de microfita corretamente projetadas [11].
-24.00
-18.00
-12.00
-6.00
90
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
150
120
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
90
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
150
120
(a) (b)
Figura 2.16. Diagramas de irradiao em coordenadas polares da microfita retangular com plano de terra
finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do campo magntico (b).
18
-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]
-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
Ca
mp
o N
orm
aliza
do
[d
B]
MY
1: -3
.00
00
m2 m3Name X Y
m1 -2.0000 0.0000
m2 -45.0000 -2.9809
m3 41.0000 -3.0189
Figura 2.17. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com plano de
terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico.
-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
Ca
mp
o N
orm
aliza
do
[d
B]
m2 m3
MY
1: -3
.00
00
Name X Y
m1 0.0000 0.0000
m2 -37.0000 -2.9849
m3 37.0000 -3.0045
Figura 2.18. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com plano de
terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico.
TABELA 2.1
RESUMO DAS PRINCIPAIS CARACTERSTICAS PARA A ANTENA DE MICROFITA RETANGULAR OPERANDO EM 2,4GHZ.
Parmetro da antena Valor simulado
Largura de faixa 2,65%
Diretividade 7,33 dB
Ganho 4,11dBi
Eficincia de irradiao 47,66%
19
2.8. Antenas de microfita triangular
As lminas condutoras de microfitas triangulares possuem caractersticas de irradiao
semelhantes s de microfitas retangulares, porm com menores dimenses. O projeto mais
simples para esta antena inclui uma lmina condutora triangular equiltera separada de um
plano de terra por um dieltrico com permissividade relativa r. Essa lmina alimentada por
um cabo coaxial em um ponto localizado a uma distncia d como na Fig. 2.19 [19].
Figura 2.19. Antena de microfita triangular equiltera alimentada por cabo coaxial.
Os estudos para um guia de onda triangular equiltero com paredes eltricas perfeitas tem
sido abordado h vrias dcadas, a partir dos trabalhos pioneiros de Schelkunoff [20] e
Akaiwa [21]. Aplicando o princpio da dualidade, as distribuies de campo para os modos
TM com paredes magnticas perfeitas so semelhantes para os modos TE com paredes
eltricas perfeitas. Para a situao onde o campo magntico da onda est no plano transversal
direo resultante de propagao e, adotando-se a direo z como sendo essa resultante de
propagao, tem-se Ez 0 e Hz = 0. As leis de Faraday e de Ampre para variaes harmnicas
no tempo, em um meio dieltrico so dadas por
HiE
(2.24)
EiH
(2.25)
conveniente descrever as componentes transversais do campo guiado em funo das
componentes longitudinais e, dessa forma, em coordenadas retangulares, o movimento na
direo z implica em
20
zzyx ezEyExEE
)(
(2.26)
zzyx ezHyHxHH
)(
(2.27)
Dessa forma, substituindo estes dois campos nas leis de Faraday e de Ampre,
desenvolvem-se os rotacionais e igualam-se as correspondentes componentes de forma a
obterem-se as seguintes equaes
y
HHEi zyx
(2.28)
x
HHEi zxy
(2.29)
y
H
x
HEi x
y
z
(2.30)
y
EEHi zyx
(2.31)
x
EEHi zxy
(2.32)
y
E
x
EHi x
y
z
(2.33)
Neste momento, conveniente definir os modos de propagao que descrevem as
componentes nas direes x e y em funo das componentes na direo z, Ez e Hz. Isto
facilitar a anlise e a interpretao dos campos ao longo da estrutura. Nos modos TMmn
referido coordenada z, tem-se Hz = 0 e desaparecem os termos envolvendo as
correspondentes derivadas em relao s coordenadas transversais. Por outro lado, parte-se da
premissa que a espessura do laminado seja muito pequena comparada com o comprimento de
onda. Desta maneira, o campo resultante fica praticamente uniforme entre as duas camadas
metlicas ao longo da coordenada y, embora seja varivel segundo x. Portanto, no aparece a
componente de campo eltrico na direo y e impe que Ey = 0. Portanto, de (2.31) tira-se a
componente Hx:
y
EiH zx
(2.34)
Da mesma forma, devido pequena espessura do dieltrico, admite-se que entre as lminas
Ex = 0 e de (2.32) obtm-se a componente Hy:
21
x
EiH zy
(2.35)
Estes resultados so substitudos em (2.30) para se obter uma expresso geral da
componente Ez e resultam na sequncia que leva equao de onda para a componente
longitudinal do campo eltrico:
y
E
iyx
E
ixEi zzz
11
2
2
2
22
y
E
x
EE zzz
02
2
2
2
2
zmn
zz Eky
E
x
E (2.36)
Nesta ltima expresso, considerou-se o autovalor da equao de onda como sendo
22mnk (2.37)
Para a equao de onda dada em (2.36) a soluo pode ser descrita como
yxAE mnlz , (2.38)
onde A a amplitude determinada pela excitao e mnl (x,y) a autofuno que verifica a
equao de onda original. Para descrev-la, conveniente que se adote o centroide do
tringulo coincidente com a origem do sistema de coordenadas. Isto exige que a definio de
uma nova varivel [11]:
3'
axx (2.39)
Ao se coincidir o centroide com a origem do sistema de coordenadas, so introduzidos trs
vetores unitrios normais aos lados do tringulo orientados do centro aos vrtices. Dessa
forma a autofuno fica descrita como [11]
a
ylnm
a
x
a
ynml
a
xyxmnl
3
2cos
3
'2cos
3
2cos
3
'2cos,
a
ymln
a
x
3
2cos
3
'2cos (2.40)
22
onde m, n e l so valores inteiros, no nulos simultaneamente. Como foi estabelecida nova
origem do sistema de referncias no centro do tringulo, obedecendo a relaes semelhantes
(2.39), a descrio dos modos neste novo referencial exige que seja satisfeita a seguinte
condio [11]
0 lnm (2.41)
Para que esta expresso seja verificada, os campos modais delas obtidos devem satisfazer a
equao de onda (2.36). Para isto, h necessidade de se obterem as derivadas de segunda
ordem de Ez em relao s coordenadas x e y. Efetuando estas operaes, chega-se s
expresses:
a
ynml
a
x
a
lA
x
Ez
3
2cos
3
'2cos
23
4 22
2
2
y
a
lnm
a
x
a
m
3
2cos
3
'2cos
3
42
22
y
a
mln
a
x
a
n
3
2cos
3
'2cos
3
42
22
(2.42)
a
ynml
a
x
a
nmA
y
Ez
3
2cos
3
'2cos
29
422
2
2
y
a
lnm
a
x
a
ln
3
2cos
3
'2cos
29
422
y
a
mln
a
x
a
ml
3
2cos
3
'2cos
29
422
(2.43)
Para tornar o sistema de equaes mais compacto, sero introduzidas as definies:
1
3
2cos
3
'2cos
a
ynml
a
x (2.44)
2
3
2cos
3
'2cos
y
a
lnm
a
x (2.45)
3
3
2cos
3
'2cos
y
a
mln
a
x (2.46)
Aplicando estes resultados na equao de onda (2.36), tm-se:
23
1
222
2
2
2
2
2
2
239
4
nmnml
aA
y
E
x
E zz
3
222
2
2
2
222
2
2
239
423
9
4 mmlln
alnlnm
a (2.47)
1
222
2
2
321
2 239
4 nmnml
aAkmn
3
222
2
2
2
222
2
2
239
423
9
4 mmlln
alnlnm
a (2.48)
A partir destas relaes, chega-se expresso final para o autovalor da equao de onda:
222
2
22 23
9
4nmnml
akmn 2222
2
239
4lnlnm
a
222
2
2
239
4mmlln
a (2.49)
Partindo de (2.41) tira-se que l = m+n). A substituio do valor de l nas igualdades em
(2.49) conduzem ao valor final de kmn, que determinar as possveis frequncias de
ressonncia de acordo com o correspondente modo de operao:
22
3
4nmnm
akmn (2.50)
2.8.1 Frequncia de ressonncia
A frequncia de ressonncia do dispositivo aquela para a qual o fator de fase coincide
com o autovalor da equao de onda no modo considerado. Portanto, escreve-e que
oo rrmnk . Relacionando as propriedades eletromagnticas com a velocidade da onda
no espao livre, tem-se cfck rrrrmn 2 Portanto, a frequncia de ressonncia
para o modo [11]
22
3
2
2nmnm
a
ckcf
rr
mnr
(2.51)
Para uma situao que leve em conta os efeitos de as paredes magnticas serem imperfeitas,
o lado a em (2.51) deve ser substitudo por um valor efetivo diferente de sua medida
geomtrica. Recomenda-se que [22]
24
r
ef
haa
(2.52)
Esta sugesto leva a uma melhor exatido nos resultados experimentais, quando
comparados com a considerao sobre a permissividade efetiva no clculo do lado do
tringulo [23]. Desta forma, a frequncia de ressonncia para um irradiador triangular
delimitado por uma parede magntica imperfeita fica melhor avaliada por
22
3
2nmnm
a
cf
ref
r
(2.53)
Aps simples operaes algbricas em (2.53) e utilizando (2.52), obtm-se uma expresso
para o lado do irradiador triangular equiltero em funo da frequncia de ressonncia e dos
parmetros h e r do dieltrico, para o modo dominante. Tem-se:
rrr
h
f
ca
3
2 (2.54)
2.9. Resultados tericos para irradiador triangular
Para o estudo da antena de microfita triangular, foi calculado inicialmente um irradiador
com dimenses obtidas utilizando (2.54). Em seguida, esse irradiador aprimorado atravs do
programa HFSS
de forma que as dimenses finais sejam as especificadas na Fig. 2.20. O
substrato dieltrico utilizado foi o FR4, com espessura h = 1,524mm, r = 4,4 e
tgPara determinar o ponto de excitao, inicialmente realizou-se o estudo relativo
impedncia de entrada conforme apresentado anteriormente. Em seguida esse ponto
aprimorado no programa HFSS
resultando em uma excitao por um cabo coaxial a uma
distncia de 5,73mm da borda da antena. A Fig. 2.20 apresenta as dimenses finais da antena
juntamente com sua montagem no HFSS
. A perda de retorno calculada para a microfita
triangular apresentado na Fig. 2.21. Para perdas de retorno menores ou iguais a 9,5dB, a
largura de faixa da antena foi de 48,5MHz, o que corresponde a 2% em torno de 2,4GHz. O
comportamento da impedncia de entrada na carta de Smith apresentado na Fig. 2.22, O
valor encontrado na ressonncia, mais prximo do centro da carta, que onde se consegue
melhor casamento de aproximadamente 53
25
(a) (b)
Figura 2.20. (a) Dimenses da antena de microfita triangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva
montagem e malha no HFSS
.
1.90 2.10 2.30 2.50 2.70 2.90Freq [GHz]
-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
S1
1 [d
B]
MY
1: -9
.50
00
Figura 2.21. Perda de retorno em dB da antena de microfita triangular para excitao com cabo de 50.
5.002.001.000.500.200.00
5.00
-5.00
2.00
-2.00
1.00
-1.00
0.50
-0.50
0.20
-0.20
0.000
10
20
30
40
50
60
708090100
110
120
130
140
150
160
170
180
-170
-160
-150
-140
-130
-120
-110-100 -90 -80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
P
Name Freq Ang Mag RX
P 2.3990 -13.3180 0.0300 1.0600 - 0.0147i
Figura 2.22. Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita triangular normalizada em relao
impedncia de 50.
26
Como na microfita retangular, o mximo do diagrama de irradiao ocorre na direo
normal ao plano da antena. Por causa das extenses finitas do plano de terra, parte do campo
sofre difrao em suas bordas e parte da energia transferida para a parte inferior da antena.
Na Fig. 2.23 so apresentados os diagramas de irradiao em coordenadas polares para os
planos paralelos ao campo eltrico e ao campo magntico da onda irradiada. As Figs. 2.24 e
2.25 apresentam, respectivamente, os diagramas normalizados de campo em coordenadas
retangulares nos mesmos planos. Da Fig. 2.24, encontra-se a abertura de feixe no plano do
campo eltrico com o valor ab = 88 e da Fig. 2.25 encontra-se a abertura ab = 78 no plano
do campo magntico. De posse desses valores, e utilizando a frmula aproximada para o
clculo da diretividade aproximada dada por (2.23), encontra-se D = 6,01 ou 7,79dB. Existem
outras expresses aproximadas vlidas para pequenos lobos secundrios e predominncia de
irradiao em um lobo principal bem definido [15]. Com a integrao numrica do programa a
antena apresenta diretividade de 7,02dB na frequncia de operao. A diferena entre estes
valores se deve pelos mesmos motivos apresentados no estudo da microfita retangular. Como
ocorreu na antena retangular, para o laminado FR4 com a tangente de perda especificada, tem-
se uma pequena eficincia de irradiao. Por isto, o ganho G0 calculado com a isotrpica como
antena de referncia, de 2,49dBi, o que implica em eficincia da ordem de 35%. Valem as
observaes j fixadas para o modelo retangular [9]. A Tabela 2.2 apresenta um resumo das
principais caractersticas para a antena triangular analisada. Nota-se que os resultados so
condizentes com os valores tpicos para antenas de microfita corretamente projetadas [11].
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
90
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
150
120
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
90
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
150
120
(a) (b)
Figura 2.23. Diagramas de irradiao em coordenadas polares de a microfita triangular com plano de terra
finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do campo magntico (b).
27
-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
Ca
mp
o N
orm
aliza
do
[d
B]
MY
1: -3
.00
00
m2 m3
Name X Y
m1 6.0000 0.0000
m2 -38.0000 -3.0271
m3 50.0000 -3.0358
Figura 2.24. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com plano de
terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico.
-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]
-22.50
-20.00
-17.50
-15.00
-12.50
-10.00
-7.50
-5.00
-2.50
0.00
Ca
mp
o N
orm
aliza
do
[d
B]
MY
1: -3
.00
00
m2 m3
Name X Y
m1 0.0000 0.0000
m2 -39.0000 -3.0227
m3 39.0000 -3.0410
Figura 2.25. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com plano de
terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico.
TABELA 2.2
RESUMO DAS PRINCIPAIS CARACTERSTICAS PARA A ANTENA DE MICROFITA TRIANGULAR OPERANDO EM 2,4 GHZ.
Parmetro da antena Valor simulado
Largura de faixa 2,02%
Diretividade 7,0163dB
Ganho 2,4888dBi
Eficincia de irradiao 35,258%
28
2.10. Comentrios do captulo
Neste captulo, foram apresentadas caractersticas das antenas de microfita, com estudos,
simulaes e resultados tericos para o elemento emissor nos formatos retangular e triangular.
Os modelos foram propostos para um laminado com propriedades eletromagnticas e
geomtricas previamente estabelecidas. Apesar de a antena triangular apresentar
funcionamento semelhante retangular, ela tem desempenho inferior no que diz respeito
largura de faixa, ao ganho e eficincia de irradiao. A antena triangular apresentou largura
de faixa da ordem de 48,5MHz ou 2% em relao frequncia central de 2,4GHz, enquanto
retangular apresentou 63,6MHz que corresponde a 2,65%. Apesar de apresentarem
diretividade semelhantes, em torno de 7dB, h uma diferena significativa em seus ganhos.
Para a antena retangular foi de 4,1dBi enquanto que o ganho da antena triangular foi de
2,49dBi, justificado, principalmente, pelas menores dimenses da microfita triangular e pela
significativa influncia da tangente de perda do laminado em relao sua constante
dieltrica.
29
Captulo 3
Geometrias fractais
3.1 Introduo
Benoit Mandelbrot (1924-2010) [24], matemtico francs nascido na Polnia, introduziu o
termo fractal, que significa fragmento irregular ou quebrado. Utilizou-o para descrever uma
famlia de formas complexas que possuem uma auto-similaridade em sua estrutura geomtrica,
resultante de uma repetio significativa, teoricamente tendendo para o infinito. Em seu
aspecto macroscpico, assume um formato semelhante ao das clulas do processo. Portanto, a
auto-similaridade identificada pela repetio de uma figura ou contorno em diferentes
escalas que obedecem a um procedimento recursivo. Esse procedimento aplicado
indefinidamente, de forma que quanto maior o nmero de iteraes, mais detalhado ser o
fractal.
Outra propriedade importante a dimenso de um fractal, a qual pode assumir valores
fracionrios que representam o nvel de irregularidade e o grau de ocupao da estrutura no
espao que a contm [24]. Para representar a dimenso de um fractal, Mandelbrot utilizou a
proposta do matemtico alemo Felix Hausdorff (1868-1942) [25]. Para descrever essa
dimenso, parte-se de uma reta de comprimento Lr. Essa reta ser dividida em vrias partes
iguais, de maneira que, aps a diviso, existiro diversas cpias da reta original. Cada cpia
ter um comprimento Lu que corresponde a uma reduo de 1/r da estrutura original.
Sobrepondo as diversas cpias de Lr sobre a mesma, de forma a revesti-la totalmente,
encontra-se um valor nc = (Lr / Lu) que indica o nmero de cpias que cobrem a estrutura
original. Da mesma forma, ao sobrepor um quadrado de lado Lr com diversos quadrados em
escalas reduzidas de lado Lu, tem-se uma relao do tipo nc = (Lr / Lu)2. Esse processo repetido
para outras situaes leva a uma relao do tipo nc = fD
ur LL . A razo Lr / Lu pode ser
30
substituda pelo fator fD, para representar a relao entre as dimenses da estrutura original e
de suas cpias. Aplicando o logartmico em ambos os lados da equao, encontra-se a
dimenso de Hausdorff [25]:
Dc
ff
nD
log
log (3.1)
que representa o nvel de irregularidade e o grau de ocupao da estrutura no espao que a
contm.
Na Fig. 3.1, apresentam-se algumas geometrias fractais conhecidas. Na parte (a),
apresentado o tringulo de Sierpinski, descrito pela primeira vez pelo matemtico polons
Waclaw Sierpinski (1882-1969). Essa estrutura formada por tringulos sequencialmente
menores que so cpias idnticas da geometria original. Seu processo de construo consiste
na remoo de um tringulo central que possui vrtices localizados nos pontos mdios dos
lados do tringulo gerador. Aps a subtrao do tringulo central, resultam trs tringulos
iguais, cada um com metade do tamanho do gerador [26]. Waclaw Sierpinski tambm
descreveu o que se chamou tapete de Sierpinski, parte (b) da figura, que possui processo de
construo semelhante ao tringulo. Para sua formao, um quadrado preenchido dividido
em nove quadrados iguais removendo-se o quadrado central. Cada um fica reduzido de 1/3 em
relao ao quadrado gerador [27].
A curva de Koch, ilustrada na parte (c) da Fig. 3.1, foi apresentada pela primeira vez em
um trabalho do matemtico sueco Helge Von Koch (1870-1924) e formada por um segmento
de reta dividida em trs partes iguais. O segmento mdio forma um tringulo equiltero sem a
base, de modo que a figura possua quatro segmentos de comprimentos iguais [27] [28].
Tem-se, ainda, o conjunto de Cantor, parte (d) da figura, apresentado pelo matemtico
russo de origem alem Georg Cantor (1845-1918), pode ser descrito a partir de um retngulo
ou segmento de reta. A cada iterao, fica dividida em trs partes iguais, removendo-se o tero
central da estrutura e o processo repetido indefinidamente. Se a geometria geradora for um
retngulo tem-se o fractal denominado de pente de Cantor. Caso o gerador seja um segmento
de reta, o fractal denominado de poeira de Cantor em funo da fragmentao muito
reduzida em seus estgios finais. A figura final resultado do empilhamento das formas
obtidas a cada iterao [27] [28].
31
Entre os diversos estudos realizados nos diferentes ramos de pesquisa utilizando o conceito
de fractal, destaca-se a rea concentrada na teoria e no projeto de antenas fractais. A idia
bsica que, com a repetio da geometria, fosse possvel a recorrncia de determinadas
propriedades das antenas em dimenses progressivamente menores. Assim, seria possvel o
desenvolvimento de dispositivos que pudessem operar em faixa larga ou em faixas bem
definidas de frequncias [29].
(a) (b) (c) (d)
Figura 3.1. Exemplo de geometrias fractais. (a) Tringulo de Sierpinski. (b) Tapete de Sierpinski. (c) Linha
quebrada de Koch. (d) Um tipo de conjunto denominado pente de Cantor.
3.1.1 Sistema de funes iterativas
Existem diversos mtodos para a gerao de um fractal. Entre os mais conhecidos e
utilizados tem-se o sistema de funes iterativas. A tcnica baseia-se na utilizao de uma
srie de transformaes afins, que incluem rotao e deslocamento de coordenadas, definidas
por [29]
f
e
y
x
rr
rr
y
xwn
rr
rr
cossen
sencos (3.2)
onde r o fator de escala, e e f so os deslocamentos envolvidas no processo e r o ngulo de
rotao. No processo de deslocamento adotado um novo par de eixos paralelos aos originais
(Fig. 3.2). As coordenadas de um ponto P nos dois sistemas so relacionadas por:
fyy
exx
'
' (3.3)
No processo de rotao, tm-se dois sistemas de eixos com mesma origem, porm um eixo
est deslocado em relao ao outro por um ngulo r (Fig. 3.3). A relao entre as coordenadas
de um ponto P nos dois sistemas :
'
'
cossen
sencos
rr
rr
y
x
y
x (3.4)
32
Figura 3.2. Representao do processo de deslocamento de eixos coordenados envolvidos no sistema de
funes iterativas.
Figura 3.3. Representao do processo de rotao dos eixos coordenados envolvidos no sistema de funes
iterativas.
Considere uma geometria A0 que represente um formato arbitrrio e um conjunto de
transformaes afins w1, w2,, wn, como, por exemplo, a representada na equao anterior.
Pela unio dessas transformaes sofridas por A0, cria-se uma nova figura. Essa unio
representada por [29]:
N
n
nh AwAW1
00 )(
(3.5)
onde Wh conhecido como operador de Hutchison. O fractal obtido com repetidas
aplicaes de Wh geometria anterior. Se A0 representar a geometria geradora, o processo
iterativo produz uma sequncia destes operadores que convergem para a geometria fractal
ideal. Quando o processo for interrompido em determinada iterao k, a figura gerada um
pr-fractal de ordem k.
3.2 Tringulo de Sierpinski
Um dos fractais mais utilizados em projetos de antenas so os tringulos de Sierpinski. A
Fig. 3.4 mostra as etapas de construo para a primeira iterao deste tringulo com o sistema
de funes iterativas. O tringulo equiltero gerador A0 possui o canto inferior esquerdo
33
localizado na origem do plano cartesiano, com o eixo das abscissas passando em sua base. So
aplicadas trs transformaes afins dadas por:
0
0
210
0211
y
x
y
xw (3.6)
0
21
210
0212
y
x
y
xw (3.7)
43
41
210
0213
y
x
y
xw (3.8)
ao tringulo gerador, de onde se formam trs novos tringulos em escalas diferentes e
trasladados [26] [27].
A primeira transformao reduz pela metade as dimenses do tringulo original. A
segunda, alm de reduzir as dimenses do gerador pela metade, translada a figura gerada de
uma distncia equivalente metade da base do gerador, no sentido positivo do eixo das
abscissas. A terceira reduz as dimenses, translada o novo tringulo em relao ao eixo das
abscissas de 1/4 da base do tringulo gerador. Em relao ao eixo das ordenadas, essa
translao equivale metade da altura do tringulo original. As transformaes afins so,
ento, combinadas de modo a formar a primeira iterao do tringulo de Sierpinski A1. A
segunda iterao obtida aplicando-se as mesmas transformaes afins w1, w2 e w3
geometria A1 resultante da primeira. A cada nova iterao, esse processo repete-se dando
origem a novas geometrias. Repetindo-se o procedimento indefinidamente, chega-se ao
tringulo de Sierpinski ideal. A Fig. 3.5 apresenta os resultantes desse processo at a 3 ordem.
Percebe-se que na primeira iterao tm-se trs tringulos equilteros, nove na segunda
iterao e vinte e sete na terceira. Por inferncia, conclui-se que o nmero de cpias do
gerador nt resultantes a cada iterao dado por:
ktn 3 (3.9)
onde k a ordem da iterao. Esta estrutura auto-similar possui trs cpias da figura original
com dimenses reduzidas pela metade a cada iterao. Assim, a dimenso de Hausdorff para o
tringulo de Sierpinski, prevista em (3.1), vale:
585,1
2log
3logfD (3.10)
34
Para aplicaes na construo de antenas, os tringulos pretos representam os condutores
metlicos e os brancos indicam a regio de onde o metal foi removido em cada iterao [29].
Figura 3.4. Mtodo de construo do tringulo de Sierpinski pelo sistema de funes iterativas.
Figura 3.5. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do Tringulo de Sierpinski.
3.3 Tapete de Sierpinski
Conforme mencionado, Sierpinski tambm descreveu a figura identificada como tapete,
cujo processo de construo assemelha-se ao do tringulo, embora possua um quadrado
preenchido como geometria geradora. Essa figura dividida em nove partes iguais, cada uma
com 1/3 das dimenses do original, removendo-se o quadrado central [27]. A Fig. 3.6
apresenta a geometria geradora e as suas trs primeiras iteraes. Na primeira iterao, tem-se
a presena de oitos quadrados, sessenta e quatro na segunda e quinhentos e doze na terceira.
Conclui-se que o nmero de cpias do gerador nq resultantes a cada iterao :
kqn 8 (3.11)
onde k a ordem da iterao. Essa estrutura auto-similar possui oito cpias da figura original
com dimenses reduzidas de 1/3 a cada iterao. A dimenso de Hausdorff vale
893,1
3log
8logfD (3.12)
Em projetos de antenas, os retngulos pretos representam os condutores metlicos e os
brancos indicam a regio de onde o metal foi removido, em cada iterao. O processo pode ser
descrito pelo sistema de funes iterativas obtidas com as seguintes equaes:
35
0
0
310
0311
y
x
y
xw (3.13)
31
0
310
0312
y
x
y
xw (3.14)
32
0
310
0313
y
x
y
xw (3.15)
0
31
310
0314
y
x
y
xw (3.16)
32
31
310
0315
y
x
y
xw (3.17)
0
32
310
0316
y
x
y
xw (3.18)
31
32
310
0317
y
x
y
xw (3.19)
32
32
310
0318
y
x
y
xw (3.20)
Figura 3.6. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tapete de Sierpinski.
3.4 Curva de Koch
A curva de Koch um dos fractais mais simples. A Fig. 3.7 apresenta a geometria geradora
e as suas primeiras trs iteraes. Sua construo dada pelo sistema de funes [25] [29]:
0
0
310
0311
y
x
y
xw (3.21)
0
31
360cos360sen
360sen360cos2
y
x
y
xw (3.22)
63
21
360cos360sen
360sen360cos3
y
x
y
xw (3.23)
0
32
310
0314
y
x
y
xw (3.24)
36
Inicialmente, um segmento de reta dividido em trs partes iguais e o segmento mdio
formar um tringulo equiltero sem a base. Portanto, na primeira iterao a estrutura
apresenta quatro segmentos de comprimentos iguais, apresenta dezesseis na segunda e
sessenta e quatro na terceira. A concluso que a quantidade de cpias do gerador nk
resultantes a cada iterao obtida com:
kkn 4 (3.25)
onde k a ordem da iterao. A estrutura auto-similar possui quatro cpias da figura original
com dimenses reduzidas de 1/3 a cada iterao. A dimenso de Hausdorff vale:
2619,1
3log
4logfD (3.26)
Figura 3.7. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes da curva de Koch.
3.5 Conjunto de Cantor
Para descrever o conjunto de Cantor, inicia-se com um segmento de reta no intervalo
fechado I0 = [0,1]. Na primeira iterao, esse intervalo dividido em trs partes iguais sendo
desprezado o tero mdio. O resultado a unio disjunta de dois intervalos fechados dado por
I1 = [0,1/3] [2/3,1], onde cada segmento possui 1/3 da dimenso do original. A segunda
iterao consiste na diviso de cada intervalo gerado em trs partes iguais e na remoo do
tero mdio de cada diviso. Tem-se um intervalo I2 = [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1]
cada um com comprimento de 1/9 do gerador. O processo, repetido indefinidamente, gera o
fractal em sua forma final. [27] [28] Chega-se concluso que o conjunto de Cantor apresenta
estrutura auto-similar com duas cpias da figura original cada uma com dimenses reduzidas
de 1/3. Dessa forma, tm-se nc = 2, fD = 3 e a dimenso de Hausdorff vale:
6309,0
3log
2logfD (3.27)
Esse processo pode ser representado pelo sistema de funes iterativas:
37
0
0
00
0311
y
x
y
xw (3.28)
0
32
00
0312
y
x
y
xw (3.29)
Conforme mencionado, se a geometria geradora for um segmento de reta o fractal originado
ser a poeira de Cantor. Caso o gerador seja um retngulo, tem-se o fractal denominado pente
de Cantor. A Fig. 3.8 mostra a geometria geradora e as trs primeiras iteraes para o pente.
Figura 3.8. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do pente de Cantor.
3.6 Comentrios do captulo
Foram apresentadas as principais caractersticas