UNIVASFUNIVASFAnAnáálise de Sinais e Sistemaslise de Sinais e Sistemas

Prof. Rodrigo Ramosgodoga@gmail.com

IntroduIntrodu çção aos Sinaisão aos Sinais

ClassificaClassificaçção de Sinaisão de Sinais

Sinais geralmente transportam informações a respeito do estado ou do comportamento de um sistema físico e, geralmente, são sintetizados para a comunicação entre humanos ou entre humanos e máquinas

Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes

– Um sinal de voz pode ser representado matematicamente como uma função do tempo

– Um imagem fotográfica pode ser representada matematicamente como a variação do brilho e da cor em função de duas variáveis no espaço

SinaisSinais

Sinais Determinísticos– Podem ser representados por uma função analítica

• É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo

• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A e ωo são constantes

Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (s)

Am

plitu

de (

V)

Sinal Determinístico

Sinais Aleatórios– Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência.

– Só podem ser representados por suas características estocásticas (média, variância, autocorrelação etc)

• Não podem ser representados por uma função analítica (não épossível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo)

• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana

• ex: f(t) é um sinal de voz

Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo (s)

Am

plitu

de (

V)

Sinal Aleatório - Voz

Sinais em Tempo Contínuo– Definidos ao longo de todos os instantes de tempo num intervalo

possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma variável independente contínua

• x(t) onde t pode assumir qualquer valor real

Sinais em Tempo Discreto– Definidos apenas em instantes distintos do tempo num intervalo

possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma variável independente discreta

– São matematicamente representados como sequências de números

• x[n] onde n ∈ ...-3,-2,-1,0,1,2,3...

– Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo através do processo de amostragem

Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto

Sinais Analógicos– Variação contínua da amplitude

– Número infinito de símbolos

Sinais Digitais– Variação discreta da amplitude

– Número finito de símbolos

– Maior imunidade ao ruído e distorção do canal

– Regeneração do sinal empregando repetidores (TX noise free)

– Codificação• Multiplexação de sinais digitais é mais simples e eficiente

Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos

1

-1

Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinal Analógico

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinal em Tempo Discreto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

-1

0

1

2

3

4

Sinal Digital

Sinal Contínuo

em Amplitude e

no Tempo

(Sinal Analógico)

Sinal Contínuo

em Amplitude e

Discreto no Tempo

Sinal Discreto

em Amplitude e

no Tempo

(Sinal Digital)

Tempo-Contínuo x Tempo-Discreto– O termo discreto significa quantização no tempo

Analógico x Digital– Digital significa quantização na amplitude

Um processador de sinais digitais (DSP) é um sistema digital em tempo discreto– Um DSP é adequado para implementação de filtros digitais LTI

Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)

Sinal Periódico

Sinais Periódicos– Apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a

intervalos regulares de tempo

– Satisfazem a condição:• f(t) = f(t + kT0), para todo t

• Onde, T0 é o período fundamental de repetição e k é um no inteiro

• De forma equivalente, f0 = 1/T0 é a freqüência fundamental

– A área sob qualquer intervalo de duração igual a kT0 é a mesma• Integrar de 0 a T0 é equivalente a integrar de –T0/2 a T0/2

Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos

To 2To

Sinais Aperiódicos– Não existe T0 que satisfaça a condição de periodicidade

– Não apresentam um repetição de seus valores de amplitude a intervalos regulares de tempo

Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

f(t)

Sinal Aperiódico

Sinais Causais– Definidos apenas para t>0

Sinais Não-Causais– Definidos para t>0 e t<0

Sinais Anti-Causais– Definidos apenas para valores de t<0

Sinais Causais x Sinais NãoSinais Causais x Sinais Não--CausaisCausais

Energia e Potência de Sinais (Tamanho do sinal)– A energia e a potência de um sinal podem ser definidas

considerando uma resistência normalizada de 1 Ω– Deste modo, tem-se que a energia total e potência média de um

sinal podem ser obtidas por:

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

dttfET

TT ∫

−∞→

=2/

2/

2)(lim

∫−

∞→=

2/

2/

2)(

1lim

T

TT

dttfT

P

– Para sinais periódicos, a potência média do sinal é dada por:

∫−

=2

2

2)(

1 o

o

T

To

dttfT

P

P = v2 / R

P = i2 . R

Sinal de Energia – Um sinal é dito de energia se 0 < E < ∞

Sinal de Potência – Um sinal é dito de potência se 0 < P < ∞

Regra geral– Sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência

(power signal)

– Sinais determinísticos aperiódicos são sinais de energia (energy signal)

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

Exemplo: Determinar as medidas adequadas para os sinais abaixo:

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

Exemplo de Sinal de Energia

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

Exemplo de Sinal de Potência

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

Sinais de Potência– Duração infinita

– Potência normalizada finita e não-zero

– Energia média normalizada sobre um intervalo infinito igual a infinito

– Tratável matematicamente

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

Sinais de Energia– Duração finita

– Energia normalizada finita e não-zero

– Potência média normalizada sobre um intervalo infinito igual a zero

– Fisicamente realizável

Sinal Par – Um sinal xe(t) é dito ser par se xe(t) = xe(-t).

– Um sinal par possui os mesmos valores para os instantes t e -t (simétrico).

Sinal Ímpar – Um sinal xo(t) é dito ser ímpar se xo(t) = -xo(-t).

– O valor do sinal ímpar no instante t é o negativo de seu valor em -t (anti-simétrico).

Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares

Área– Sinais pares

– Sinais ímpares

Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares

OperaOperaçções Bões Báásicas sicas

com Sinaiscom Sinais

Multiplicação por escalar– Modifica a amplitude do sinal original– Se x(t) for um sinal, uma mudança de escala é dado

pelo sinal y(t) = cx(t)• Se c > 1 tem-se uma amplificação• Se 0 < c < 1 tem-se uma atenuação

OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais

Escalonamento temporal– Modifica a duração do sinal original

OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais

O sinal f(2t) é f(t) comprimido por um fator de 2.

O sinal f(t/2) é f(t) expandido por um fator de 2.

Em geral:

- se f(t) é comprimido de um fator a > 1, o sinal resultante será f(at).

- se f(t) é expandido de um fator a > 1, o sinal resultante será f(t/a).

Deslocamento Temporal– Realiza o deslocamento do sinal original sobre o eixo do tempo

– y(t) = x(t - T)

• Se T > 0 tem-se atraso no tempo

• Se T < 0 tem-se adiantamento no tempo

OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais

Reversão Temporal– Realiza o rebatimento do sinal em relação ao eixo do tempo

– y(t) = x(-t)

Exemplo: Dado g(t), encontrar g(-t)

OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais

Tipos de SinaisTipos de Sinais

Pulso Unitário com largura τ e amplitude 1/τ

cuja área é unitária:

Pulso UnitPulso Unitááriorio

∫∞

∞−=1 )( dttpτ

t

><<<

=τ

τττ tout

ttp

00

01)(

0 τ

pτ(t) 1/τ

Um Pulso Porta Unitário tem largura ∆ e amplitude 1

Pulso Porta UnitPulso Porta Unitááriorio

τ/2−τ/2t

0

1

( )

>

<=

20

21

τ

τ

t

ttret

Nota: para τ = 1, a área

do pulso é unitária

τt

ret

Um Pulso Triangular Unitário tem base ∆ e altura 1

Pulso Triangular UnitPulso Triangular Unitááriorio

( )

≥

<−=∆

20

221

τ

ττ

t

tt

t

0

1

tτ/2−τ/2

( )t∆

Idealismo matemático para um evento instantâneo– Função Delta de Dirac

• δ(t) = 0 para t ≠ 0

• δ(0) é indefinida, mas tem área unitária:

• Caso limite do pulso retangular unitário:

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

∫∞

∞−=1 )( dttδ

( ) ( )tpt εεδ

0lim

→=

Principais Propriedades

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

∫∞

∞−

=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ

)(1

)( ta

at δδ ⋅=

)()( tt −= δδ

∫∞

∞−=1 )( dttδ

)()0()()( txttx δδ = )()()()( TtTxTttx −=− δδ

Operações com a função δ(t)

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

t

( )tδ

0

∫∞

∞−

=⋅ )0()()( fdtttf δ ∫∞

∞−

=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ

t

( )ott −δ

0 to

f (t) f (t)

f (0)f (to)

Pode-se simplificar δ(t) sob a operação de integração

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

( ) ( ) ( )∫∞

∞−=⋅ 0fdtttf δ

( ) ( )∫−

∞−=⋅

1?dtttf δ

O que resulta de

Resposta: 0

Outros exemplos

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

O que ocorre nas vizinhanças da origem?

( )

( )( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∞

∞−

−−−−

∞

∞−

∞

∞−

−

=−

=

−

=

222

2

0 4

cos 2

1

xtx

tj

edtte

dtt

t

dtet

δ

πδ

δ ϖ

∫−

∞−=

00 )( dttδ

∫+

∞−=

01 )( dttδ

∫ ∞−=

0? )( dttδ

Degrau Unitário– A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente

referida na matemática como função de Heaviside

Degrau UnitDegrau Unitááriorio

( )

><

=01

00

t

ttu

0

1

t

u(t)

Relação entre o Impulso Unitário e o Degrau Unitário

( ) ( )tdt

tdu δ=( ) ( )

<>

== ∫∞− 00

01

t

tdtu

t

ττδ

Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta multiplicá-lo por u(t).

Por exemplo, e-at representa uma exponencial não-causal. Para obtermos sua forma causal, fazemos e-atu(t)

Degrau UnitDegrau Unitááriorio

Resumo de operações com o Degrau Unitário

FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio

t

u(t)

0

t

t

u(t - ∆)

∆u(t + ∆)

-∆

t

u(-t)

0

t

t∆

u(-t + ∆)

-∆

t-u(t)

0

t

t

-u(t - ∆)∆

-u(t + ∆)-∆

t u(t) – u(t) u(t – 1) u(t + 1) u(– t – 1) u(– t + 1)-2 u(-2)= 0 u(-2)= 0 u(-3)=0 u(-1)=0 u(1)=1 u(3)=1

-1 u(-1)= 0 u(-1)= 0 u(-2)=0 u(0)=1 u(0)=1 u(2)=1

0 u(0)= 1 u(0)= -1 u(-1)=0 u(1)=1 u(-1)=0 u(1)=1

1 u(1)= 1 u(1)= -1 u(0)=1 u(2)=1 u(-2)=0 u(0)=1

2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)=0 u(-1)=0

u(-t - ∆)

Relação entre o Pulso Unitário e o Degrau Unitário

FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio

( )

−−

+=22

ττtututret

( ) ( ) ( )[ ]τττ −−= tututp1

Relação entre o pulso Porta Unitário e o Degrau Unitário

1

t

0

t

t

u(t - τ/2)

u(t + τ/2) - u(t - τ/2)

τ/2

1/τ

t

u(t)

0

t

t

u(t - τ)

u(t) - u(t - τ)

τ

u(t + τ/2)

-τ/2

Função Sign

FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)

( )

><−

=01

01sgn

t

tt

0

1

t

sgn(t)

–1

Relação entre a função Sign e o Degrau Unitário

FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)

( ) ( ) ( )tutut −−=sgn

( ) ( ) 12sgn −⋅= tut

1

t

u(t)

0

t

t

u(-t)

u(t) - u(-t)

-1

Função de Amostragem (Sampling)– Função Par

– Zeros em ±π, ±2π, ±3π, …– Amplitude decai proporcionalmente à 1/x

FunFunçção de Amostragemão de Amostragem

0

1

x

Sa(x)

π−π 2π 3π−2π−3π

( )x

xxSa

)sen(=

Em vários livros de comunicação (Lathi)

costuma-se usar a mesma definição

para as funções de amostragem (Sa) e

de interpolação (Sinc)

Propriedades Básicas das Funções Senoidais

Sinal SenoidalSinal Senoidal

Principais Identidades Trigonométricas

Sinal SenoidalSinal Senoidal