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Potência Elétrica

De grande interesse nos equipamentos elétricos.

Ex.: Potência de um transformador, de um alternador, de um

transmissor de rádio, etc

Se a tensão na figura ao lado for

função do tempo, a corrente resultante

também o será. O produto da tensão

pela corrente, em qualquer instante, se

chama Potencia Instantânea e é dada

por: p = vi

A potência p pode ter valores positivos e negativos.

“p” positiva transferência de energia da fonte para o circuito.

“p” negativa transferência de energia do circuito para a fonte.

Consideremos o caso ideal em que o circuito passivo consta

de um elemento indutivo e apliquemos a ele uma tensão senoidal

da forma v = Vmax.sent; a corrente resultante terá a forma

i = Imax.sen(t-/2). Assim a potência será:

p = vi = Vmax.Imax. sent[sen(t-/2)]

Como sen(t-/2) = -cost

p = Vmax.Imax.sent[-cos(t)]

Como senX.cosX = ½ sen2X

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A potencia tem freqüência duas vezes

maior que a corrente e tensão.

Quando v e i são + p é + energia

Quando v e i são - p é - energia

No caso de um circuito puramente

capacitivo os resultados são análogos.

Se aplicarmos, agora, uma tensão v = Vmax.sent a uma

estrutura que só contenha resistência, a corrente será

I = Imax.sent e a potência será:

p = Vmax.Imax.sen2t

como sen2x= ½ (1-cos2x)

Então a potencia nesse tipo de circuito tem freqüência duas vezes

mais que a tensão ou corrente. Além disso, a potência aqui é

sempre positiva e varia de zero ao valor máximo Vmax.Imax

O valor médio da potência nesse caso

será:

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Consideremos finalmente o caso de um circuito passivo genérico

em que aplicada v = Vmax.sent teremos uma corrente resultante

I = Imax.sen(t+)

será positivo se o circuito for capacitivo

será negativo se o circuito for indutivo

Então

p = vi = Vmax.Imax.sent.sen(t+)

como sen.sen = ½ [cos(-)-cos(+)] e cos(-) = cos

Então a potencia em cada instante tem uma componente

cossenoidal cujo valor médio é zero, e também um termo

independente do tempo e constante igual a

O valor médio de p é: , como

P = VIcos

cos é chamado de fator de potência. O ângulo é o ângulo de V

e I e seu valor varia de +90° a –90°. Portanto, cos e

conseqüentemente P são sempre positivos. Entretanto, para indicar

o sinal de , diz-se que um circuito indutivo, que tem a corrente

atrasada em relação à tensão, tem um fator de potência atrasado.

Num circuito capacitivo a corrente está adiantada em relação à

tensão e diz-se que tem um fator de potência adiantado.

Potência Aparente (S):

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O produto VI chama-se potência aparente e representa-se pelo

símbolo S. A unidade é o Volt-ampere (VA) e o seu múltiplo mais

usado é o Quilovolt-ampere (KVA) = 1000VA

Potência Reativa (Q):

O produto VIsen chama-se potência reativa e indica-se pelo

símbolo Q. A unidade é o Volt-ampere-reativo (VAr) e o seu múltiplo

mais empregado é o Quilovolt-ampere-reativo (KVAr) = 1000Var.

Triângulo de Potências:

Circuito Indutivo

Circuito Capacitivo

|S|2 = |Q|2 + |P|2 S = P jQ

|KVA|2 = |KVar|2 + |KW|2

Potência Média ou Real (P) Potência Transformada em calor

Potência Aparente (S) Potência Total do circuito

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Atrasado

Adiantado

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Potência Reativa (Q) Potência Gasta para haver a troca de

energia entre o sistema e o

capacitor/indutor

Observemos que:

Seja v = |V|ej e i = |I|ej( + )

S = VI* = |V|ej.|I|e-j( + ) = VIe-j

S = VIcos - jVIsen S = P - jQ

Potência Média ou Real (P)

[VI*]

Potência Reativa (Q)

[VI*]

Potência Aparente (S) S = VI = I2Z = V2/Z valor absoluto de [VI*]

Fator de Potência

Exemplo 01)

Dado um circuito de impedância Z = 3 + j4 e uma tensão

V=10030° determine o triângulo de potencias.

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Método 1:

P = I2R = (20)2x3 = 1200W

Q = I2X = (20)2x4 = 1600Var atrasada

S = I2Z = (20)2x5 = 2000VA

cos = cos53,1° = 0,6 atrasado

Método 2:

S = VI = 100x20 = 2000VA

P = VIcos = 2000.cos53,1° = 1200W

Q = VIsen = 2000.sen53,1° = 1600Var

fp = cos = cos53,1° = 0,6 atrasado

Método 3:

S = VI* = 10030°x2023,1° = 2000(cos53,1° + jsen53,1°)

S = 1200 + j1600

P = 1200W

Q = 1600Var

S = 2000VA

Correção de fator de potência

Instalações industriais cargas indutivas – corrente atrasada em

relação à tensão aplicada

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No triângulo de potencias a hipotenusa “S” indica a

potencia total requerida do sistema, e o cateto “P” indica a

potencia útil fornecida.

É, portanto, desejável que “S” se aproxime o máximo e “P”,

isto é, que o ângulo se aproxime de zero, para que o fator de

potência (cos) se aproxime da unidade.

No caso de uma carga indutiva aumenta-se o fator de potência

colocando-se capacitores em paralelo com a carga. Como a tensão

nos terminais da carga permanece a mesma, a potência útil P não

varia. Como o fator de potência é aumentado, a corrente e a

potência aparente diminuem, obtendo-se assim uma utilização

mais eficiente da instalação industrial.

P = VI.cos

S = VI*

Exemplos:

1) Corrigir o valor do o fator de potência do exemplo anterior (Z=3+j4 e V = 10030°) para 0,9 atrasado, acrescentando capacitores em paralelo. Achar S’ após a correção, e a potência reativa dos capacitores.

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S = 2000Va

P = 1200w

Q = 1600Var

cos = 0,6 atrasado

cos’ = 0,9’ = arccos 0,9 = 26°

cos’ = P/S’S’ = 1200/0,9 = 1333VA

sen’ = Q’/S’

Q’ = S’.sen26° = 1333sen26°

Q’ = 585Var

A potência reativa dos capacitores será:Qcap = Q – Q’ = 1600 – 585

Qcap = 1015Var adiantado

2) Dado um circuito em que, aplicada a tensãov = 150sen(t+10°), a corrente resultante éi = 5sen(t – 50°), determinar o triângulo das potências.

S = VI* = (10610)(3,5450)

S = 37560°= 187,5 + j325

P = Re[VI*] = 187,5W

Q = Im[VI*] = 325Var atrasado

S = 375 VA

fp = cos60° = 0,5 atrasado

3) Em um circuito série de dois elementos a potência é 940 watts e

o fator de potência é 0,707 adiantado. Sendo

v = 99sen(6000t + 30°) a tensão aplicada, determinar as

constantes do circuito.

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P = VIcos

940 = 70I(0,707)

Como o fator de potência é 0,707 adiantado, o fasor corrente está adiantado em relação à tensão, do ângulo de = arccos0,707 = 45°, então:

I = 19(45+30) I = 1975°

Como Z = R – jXc = R –j(1/C)

R = 2,6

Outro Método:

I = 19A P = RI2 940 = R(19)2

Z = |Z|45° = R – jXc = 2,6 – jXc

Como = -45° Xc = 2,6

4) Dado o circuito série abaixo, determinar o triângulo das potências.Z =3+j6–j2 = 3+j4 = 553,1°

S = VI* = [50(-90)](10143,1)

S = 50053,1° S = 300 + j400

P = 300w

Q = 400Var atrasado

S = 500Va

50

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Outro método

I = 10A P = RI2 = 3.102 = 300w

Qj6 = 6.102 = 600Var atrasado

Q-j2 = 2.102 = 200Var adiantado

Q = Qj6 - Q-j2 = 600 – 200 = 400Var atrasado

5) A corrente eficaz total no circuito abaixo é 30A. Determine as potências.

P = IT2R = 302x2,4 = 2160w

Q = IT2X = 302x0,533 = 479,7Var adiantado

6) Determinar o triângulo das potências de cada braço do circuito

abaixo e soma-los para obter o triângulo do circuito todo.

Ramo 01:

S1 = VI1* = (2060°)[5(-30°)]

= 10030° = 86,6 + j50

Logo:51

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P1 = Re[VI1*] = 86,6w

Q1 = Im[VI1*] = 50Var atrasado

S1 = [VI1*] = 100Va

fp1 = P1/S1 = 0,866 atrasado

Ramo 02:

S2 = VI2* = (2060°)(40°)

= 8060° = 40 + j69,2

Logo:P2 = Re[VI2*] = 40w

Q2 = Im[VI2*] = 69,2Var atrasado

S2 = [VI2*] = 80Va

Fp2 = P2/S2 = 0,5 atrasado

Exemplo 06 (continuação)

Total: PT = P1 + P2 = 68,6 + 40 = 126,6w

QT = Q1 + Q2 = 50 + 69,2 = 119,2Var

ST = PT + jQT = 126,6 + j119,2 = 17443,4°

ST = |ST| = 174Va

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7) Um motor de indução cuja saída é 2HP tem rendimento de 85%.

Com essa carga o fator de potência é de 0,8 atrasado.

Determinar as potências de entrada.

2HP = 1755w

S = 1755/0,85 = 2190Va

= arcos 0,80 = 36,9º

Q = 2190sen36,9 = 1315Var (atrasado)

P = Scos = 2190 x 0,80 = 1752w

8) Determinar o triângulo das potências totais do circuito paralelo

abaixo, sendo de 20w a potência dissipada no resistor de 2.

Z1 = 5,38(-68,2º)

V = I1Z1 = 3,16 x 5,38 17v

Tomando V = 170º

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IT = I1 + I2 = (1,17 + j2,93) + (8,48 – j8,48)

IT = = 9,65 – j5,55 = 11,1(-29,9º)

ST = V.IT* = 170 x 11,129,9 = 18929,8 = 164 +j94

PT = 164w , QT = 94Var (atrasado) , ST = 189Va

Cos = 164/189 = 0,868 (atrasado)

8) Determinar as potências de uma associação de 3 cargas individuais, assim especificadas: Carga 1 - 250Va, fp = 0,5 atrasado; Carga 2 - 180w, fp = 0,8 adiantado; Carga 3 - 300Va, 100Var atrasado.

Carga 01:S = 250va

cos = 0,5atrasado

P = S/cos = 250/0,5 = 125w

= arccos 0,5 = 60º

Q = Ssen = 250sen60º = 216Varatrasado

Carga 02:S = 180va

cos = 0,8adiantado

S = P/cos = 180/0,8 = 225w

= arccos 0,8 = 36,9º

Q = Ssen = 225sen36,9º = 135Varadiantado

Carga 03:

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S = 300va

Q = 100Varadiantado

= arcsenQ/S = arcsen 100/300 = 19,5º

P = Scos = 300cos19,5º = 283w

Então: PT = 125 + 180 + 283 = 588w

QT = 216 – 135 + 100 = 181Var atrasado

ST = PT + jQT = 588 +j181 = 61617,1 ST = 616Va

cos = P/S = 588/616 = 0,955 atrasado

9) Um transformador de 25Kva fornece 12Kw a uma carga com

fator de potência 0,6 atrasado. Determinar a percentagem de

plena carga que o transformador alimenta. Desejando-se

alimentar cargas de fp unitário com esse mesmo transformador,

quantos Kw podem ser acrescidos, até que o transformador

esteja a plena carga.

P = 12 Kw S = P/cos = 12/0,6 = 20KVa

A percentagem de plena carga é: (20/25)x100 = 80%

cos = 0,6 = arccos 0,6 = 53,1º

Q = Ssen = 20sen53,1 = 16Kvar atrasado

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Como as cargas adicionais tem fp=1, Q permanece

inalterado

Quando o trafo estiver a plena S’ = 25KVa

’ = arcsen Q/S’ = arcsen 16/25 = 39,8º

PT = S’cos’ = 25cos39,8º = 19,2Kw

Então a carga adicional = PT – P = 19,2 – 12 = 7,2Kw

10) Um transformador de 500KVa está operando a plena carga

com fator de potência total de 0,6 atrasado. O fator de potência

é melhorado, acrescentando-se capacitores, para 0,9 atrasado.

Quantos KVar capacitivos são necessários? Após a correção

do fator de potência, que percentagem da plena carga o

transformador estará alimentando?

Plena carga

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P = VIcos = 500 x 0,6 = 300Kw

= arccos0,6 = 53,1º

Q = VIsen = 500sen53,1º = 400Kvar atrasado

Quando cos’ = 0,9 atrasado

’ = arccos0,9 = 26º

S’ = 300/0,9 = 333KVa

Q’ = 333sen26º = 146KVar atrasado

Então carga capacitiva = Q – Q’ = 400 – 146

= 254KVar adiantado

% plena carga = (330/500)x100 = 66,7%

11) Considere o circuito abaixo, ao qual se aplica uma voltagem

de freqüência igual a 50Hz. Determinar qual deve ser a

capacitância para que o fator de potência do circuito seja 0,80,

e neste caso, dizer se a corrente estará em avanço ou em

atraso.

Se cos = 0,80 = arccos 0,80 = 36,87º

Ramo ab: Z1 = 5 Y1 = 1/557

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Ramo cd: Z2 = 2 + j4

Yfg = Y1 + Y2

Zfg =

Ramo ef: Zef = 2 -jXc

Impedância Total: ZT = Zef + Zfg =

ZT =

tg = tg36,87º = 0,75 = X/R

20 - 13XC = 56 x 0,75 = 72

Então

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Parte imaginária Positiva, então

corrente atrasada

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Ressonância em circuitos de corrente alternada

Um circuito está em ressonância quando a tensão aplicada em

fase com a corrente resultante, apesar do circuito ter reatância

capacitiva e indutiva. Portanto Z = R. V em fase com I fator de

potência = 1

Ressonância em Série

em ressonância X=0

isto é, 2LC = 1

como ciclos/seg

0na ressonância:

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Com a corrente vai ser máxima

Se a freqüência do circuito for menor que 0 o circuito passa a

ter a reatância capacitiva maior do que a reatância indutiva saindo

então da ressonância.

Se a freqüência do circuito for maior que 0 o circuito passa a ser

predominantemente indutivo. O circuito sai da ressonância.

Ressonância Paralela

R, L, C elementos puros

O circuito está em ressonância quando B = 0, isto é, quando:

Na ressonância Y = G +jB portanto Y é mínimo, a corrente

(I = VY) também será

Quando < 0 BL > BC predominantemente indutivo

Quando > 0 BL < BC predominantemente capacitivo

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