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ELETROMAGNETISMO II
UNESP Naasson Pereira de Alcantara Jr. Claudio Vara de Aquino
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A equao de onda deduzida no captulo anterior para meios sem perdas ( = 0). Vamos agora encontrar a equao da onda em um meio que apresenta condutividade no nula. Considerando para o caso geral o campo magntico H
polarizado na direo z e o campo eltrico E
polarizado em y, as
equaes de Maxwell em rotacional so escritas como:
tE
Ex
H yy
z
(23.1)
e
tH
xE zy
(23.2)
Que tambm podem ser escritas na forma fasorial como:
yz EjxH
(23.3)
zy Hj
xE
(23.4)
Derivando (23.4) em relao a x:
xHj
xE z
2y
2
(23.5)
E substituindo (23.3) em (23.5):
y2
y2
Ejjx
E
(23.6)
Inversamente, se derivarmos (23.3) em relao a x, e substituirmos (23.4) no resultado disso, teremos:
z2
z2
HjjxH
(23.7)
A equao (23.6) a equao da onda em Ey, e (23.7) a equao da onda em Hz, para meios que apresentam condutividade diferente de zero, ou seja, com perdas. As equaes (23.6) e (23.7) podem ser escritas como:
y
22y
2
ExE
(23.8)
23 ONDAS ELETROMAGNTICAS EM MEIOS CONDUTORES
ELETROMAGNETISMO II
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e
z
22z
2
HxH
(23.9)
Onde:
jj2 (23.10)
chamada de constante de propagao, cujas partes real e imaginria so positivas do tipo:
j
Onde:
112
2
(23.12)
112
2
(23.13)
chamada de constante de atenuao, sua unidade m-1, mas costumeiramente expresso como Np/m, onde Np (Nepper) um adimensional do tipo radiano. chamada de constante de deslocamento de fase, com unidade rad/m. Deve-se notar que quando = 0 (dieltrico perfeito), temos = 0 e = /v. Para bons condutores tem-se
1
(23.14)
e:
22
(23.15)
22
(23.16)
Vamos propor como soluo para a equao (23.8) a seguinte expresso:
y
tjx0 aeeEE
(23.17)
Prova:
tjx0 eeEx
E
(23.18)
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EeeExE 2tjx
02
2
2
(23.19)
Pela equao (23.4) e considerando a parte negativa ou progressiva na equao (23.18) vem:
tjx0z eeEHj
(23.20)
onde
tjx0z eeEj
H
(23.21)
ou ainda
tjx0z eeHH
(23.22)
Pela igualdade
00 Ej
H
(23.23)
ou
00H
jjjE
(23.24)
00 HjjE
(23.25)
Desta forma, a impedncia intrnseca do meio, em ohms, definida como sendo a relao complexa:
0
0
HE
(23.26)
Esta impedncia intrnseca tambm pode ser escrita na forma polar onde:
(23.27)
Neste caso:
4 21
(23.28)
e:
2tg
(23.29)
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Exemplo 23.1 No espao livre:
y3 a)xt(sen10)t,z(E
Obtenha )t,z(H
e , se a frequncia 95.5 MHz.
Soluo O vetor E
est polarizado na direo y, e a
onda est se propagando na direo positiva de z. Portanto o resultado do produto vetorial
HE
deve estar na direo positiva de z. Para que isso ocorra, H
deve ter a orientao x.
xxaHH
4 2xy
1HE
Como, no espao livre, = 0,
)(1200
0
02tg
120E
H yx
x
3
a)zt(sen12010H
j
112
2
0112
112
2
112
1276 1085.8104105.952
m/rad2
0.2j
Exemplo 23.2 Uma onda eletromagntica propaga-se com frequncia de 10 GHz em um meio com r = 2, = 1 S/m, r = 1. Sabendo-se que a onda propaga-se na direo de xa e que o vetor intensidade de campo eltrico aponta na direo ya em t = 0. Determine as constantes , , , , e as expresses para E
e H
. Assuma E0 = 1 V/m. Soluo
112
2
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11085.821028.6
112
1085.821041028.62
1210
12710
m/Np123
112
2
11085.821028.6
112
1085.821041028.62
1210
12710
m/rad71,320
mm2071,320
22
4 21
74,229
1085.821028,611
85.82104
4
2
1210
127
2tg
1210 1085.821028,612tg
o98.20
A onda se propaga na direo negativa de x. O vetor E est na direo negativa de y. Portanto o vetor H deve apontar na direo positiva de z.
y)xt(jx
0 aeeEE
m/Vaee0.1E y
)x71,320t1028.6(jx123 10
z)xt(jx
0 aeeHH
0
0
HE
00
EH
z)xt(jx0 aeeEH
m/Aee0044,0H )349.0x71,320t1028.6(jx123
10
x
y
z
E
H EH
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EXERCCIOS 1)-Determine em 500 kHz para um meio com r = 12 e = 0, e frequncia de 1 MHz. Sob que
velocidade ocorrer a propagao de uma onda eletromagntica nesse meio? 2)- Uma onda eletromagntica propaga-se no espao livre com comprimento de onda de 0,50 m.
Quando a mesma onda penetra em um dieltrico perfeito, seu comprimento de onda varia para 1 m. Supondo que r = 1, calcule r e a velocidade da onda no dieltrico.
3)- Uma onda eletromagntica propaga-se no espao livre, com constante de defasagem de 0,524
rad/m. Entrando em um dieltrico perfeito, essa mesma onda passa a ter uma constante de defasagem de1,81 rad/m. Supondo que r = 1, ache r e a velocidade de propagao.
4)- Num meio quase condutor, r = 1000, r = 18,5 e =5.1 S/m. Calcule , , e a velocidade U para
uma frequncia de 109 Hz. Calcule . )t,z(H
sabendo-se que:
xz a)ztcos(e50)t,z(E
5)- Calcule a constante de defasagem no cobre ( = 5,7107 S/m), para a frequncia de 500 MHz.