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Disciplina ENG04404 – Ondas Eletromagnéticas Versão: 31 de maio de 2013 1
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2
Problemas
1) O campo elétrico de uma onda eletromagnética possui duas componentes linearmente polarizadas, sendo uma na direção 𝑥 e outra na direção 𝑦. A onda eletromagnética propaga-‐se na direção 𝑧. As amplitudes do campo elétrico nas direções 𝑥 e 𝑦 são respectivamente 𝐸!" e 𝐸!". A onda eletromagnética em questão depende harmonicamente do tempo e das coordenadas espaciais. Considerando que os campos elétricos em cada uma das direções estão defasados por certa quantidade 𝛿, determine (a) a equação que descreve o locus do vetor campo elétrico no plano 𝑥𝑦. (b) Qual é a geométrica da região descrita pelo vetor campo elétrico ao longo do tempo? (c) O que ocorre se a amplitude 𝐸!" → 0? (d) E se 𝐸!" → 0? Considere então que 𝐸!" = 𝐸!". (e) Se 𝛿 → 0, há alteração no tipo de polarização da onda eletromagnética? Disserte. (f) Se 𝛿 = ±𝜋/2, quais são as polarizações assumidas pela onda eletromagnética? Discorra em detalhe.
2) Uma onda eletromagnética plana linearmente polarizada incide de forma normal em uma interface existente entre um meio 1 e um meio 2. A impedância do meio 1 é 𝑍! e a impedância do meio 2 é 𝑍!. Ambos os meios são ilimitados. (a) Esboce o plano de incidência e determine os coeficientes de transmissão 𝜏 e reflexão 𝜌 para o campo elétrico 𝐄. Obtenha os campos (b) elétricos e (c) magnéticos transmitidos e refletidos em termos dos coeficientes de Fresnel associados ao campo elétrico 𝐄. (d) Há impacto nos resultados caso a onda eletromagnética incidente seja perpendicularmente ou paralelamente polarizada? Disserte.
3) No âmbito do sistema físico descrito no problema nº 2, mediante o mesmo plano de incidência esboçado, determine (a) os coeficientes de transmissão 𝜏 e reflexão 𝜌 para o campo magnético 𝐇. Obtenha os campos (b) elétricos e (c) magnéticos transmitidos e refletidos em termos dos coeficientes de Fresnel associados ao campo magnético 𝐇.
4) Ainda no contexto do sistema físico descrito no problema nº 2, determine o vetor de Poynting 𝐒 associado à onda eletromagnética (a) incidente, (b) refletida e (c) transmitida. (d) O Princípio da Conservação de Energia é satisfeito? Disserte a respeito. Adote na presente análise os coeficientes de Fresnel para o campo elétrico 𝐄 e magnético 𝐇 obtidos nos problemas anteriores.
5) Reobtenha e reanalise os resultados auferidos nos problemas nº 2, nº 3 e nº 4 quando (a) 𝑍! ≫ 𝑍!, (b) 𝑍! ≪ 𝑍! e (c) 𝑍! = 0, discorrendo em detalhe a respeito de cada caso. (d) Há algum sistema físico limitado ao qual a situação ilimitada enunciada no problema 2) é análoga? Disserte.
6) Uma onda eletromagnética plana incide obliquamente em uma interface estabelecida por dois meios distintos e infinitos. Os meios comportam-‐se como dielétricos perfeitos e a onda eletromagnética em propagação possui polarização perpendicular. As impedâncias dos meios nos quais se propagam as ondas
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incidente e transmitida são respectivamente 𝑍! e 𝑍!. Nestes termos, (a) esboce o plano de incidência associado ao problema em questão. Determine então (b) o coeficiente de reflexão 𝜌! e o coeficiente de transmissão 𝜏!. Adicionalmente, quantifique (c) o ângulo de incidência crítico 𝜃!" a partir do qual e (d) o ângulo de Brewster 𝜃!" no qual respectivamente a onda eletromagnética é completamente refletida e transmitida. Disserte a respeito dos resultados. A quais expressões as calculadas anteriormente se reduzem caso individualmente (e) 𝜇! = 𝜇! e (f) 𝜖! = 𝜖!? Analise e discorra.
7) No âmbito do sistema físico descrito no problema nº 6, mediante o mesmo plano de incidência esboçado, determine (a) os coeficientes de transmissão 𝜏! e reflexão 𝜌! para o campo magnético 𝐇. Obtenha os campos (b) elétricos e (c) magnéticos transmitidos e refletidos em termos dos coeficientes de Fresnel associados ao campo magnético 𝐇.
8) Ainda no contexto do sistema físico descrito no problema nº 6, determine o vetor de Poynting 𝐒 associado à onda eletromagnética (a) incidente, (b) refletida e (c) transmitida. (d) O Princípio da Conservação de Energia é satisfeito? Disserte a respeito. Adote na presente análise os coeficientes de Fresnel para o campo elétrico 𝐄 e magnético 𝐇 obtidos nos problemas anteriores.
9) Reobtenha e reanalise os resultados auferidos nos problemas nº 6, nº 7 e nº 8 quando (a) 𝑍! ≫ 𝑍!, (b) 𝑍! ≪ 𝑍! e (c) 𝑍! = 0, discorrendo em detalhe a respeito de cada caso. (d) Há algum sistema físico limitado ao qual a situação ilimitada enunciada no problema 2) é análoga? Disserte.
10) Uma onda eletromagnética plana incide obliquamente em uma interface estabelecida por dois meios distintos e infinitos. Os meios comportam-‐se como dielétricos perfeitos e a onda eletromagnética em propagação possui polarização paralela. As impedâncias dos meios nos quais se propagam as ondas incidente e transmitida são respectivamente 𝑍! e 𝑍!. Nestes termos, (a) esboce o plano de incidência associado ao problema em questão. Determine então (b) o coeficiente de reflexão 𝜌∥ e o coeficiente de transmissão 𝜏∥. Adicionalmente, quantifique (c) o ângulo de incidência crítico 𝜃!" a partir do qual e (d) o ângulo de Brewster 𝜃!" no qual respectivamente a onda eletromagnética é completamente refletida e transmitida. Disserte a respeito dos resultados. A quais expressões as calculadas anteriormente se reduzem caso individualmente (e) 𝜇! = 𝜇! e (f) 𝜖! = 𝜖!? Analise e discorra.
11) No âmbito do sistema físico descrito no problema nº 10, mediante o mesmo plano de incidência esboçado, determine (a) os coeficientes de transmissão 𝜏∥ e reflexão 𝜌∥ para o campo magnético 𝐇. Obtenha os campos (b) elétricos e (c) magnéticos transmitidos e refletidos em termos dos coeficientes de Fresnel associados ao campo magnético 𝐇.
12) Ainda no contexto do sistema físico descrito no problema nº 10, determine o vetor de Poynting 𝐒 associado à onda eletromagnética (a) incidente, (b) refletida e (c) transmitida. (d) O Princípio da Conservação de Energia é satisfeito? Disserte a respeito. Adote os coeficientes de Fresnel para o campo elétrico 𝐄 e magnético 𝐇 obtidos nos problemas anteriores na presente análise.
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13) Continuando no âmbito do problema nº 10, obtenha (a) a relação existente entre o ângulo de incidência crítico 𝜃!" e o ângulo de Brewster 𝜃!" para meios não-‐magnéticos. Esboce graficamente (b) tal ângulo de incidência crítico 𝜃!" e (c) tal ângulo de Brewster 𝜃!". Disserte.
14) Reobtenha e reanalise os resultados auferidos nos problemas nº 10, nº 11 e nº 12 quando (a) 𝑍! ≫ 𝑍!, (b) 𝑍! ≪ 𝑍! e (c) 𝑍! = 0, discorrendo em detalhe a respeito de cada caso. (d) Há algum sistema físico limitado ao qual a situação ilimitada enunciada no problema 2) é análoga? Disserte.
15) Obtenha as expressões que vinculem os campos elétrico 𝐄 e magnético 𝐇 normais existentes na interface dos sistemas físicos descritos nos (a) problema nº 2, (b) problema nº 6 e (c) problema nº 10. (c) As equações obtidas nos itens anteriores fornecem informações adicionais às providas por aquelas oriundas dos campos tangenciais à interface? Discorra.
16) Uma eletromagnética plana incide sobre uma interface estabelecida por dois meios com impedâncias distintas. O ângulo de incidência 𝜃! em questão é aquele no qual o coeficiente de reflexão é nulo. Sendo 𝜃! o ângulo com a qual a onda eletromagnética em análise é refratada, determine o ângulo 𝜃′ ≡ 𝜃! + 𝜃! na condição de polarização (a) perpendicular descrita no problema nº 6 e (b) paralela descrita no problema nº 10. Discorra sobre os resultados obtidos. (c) Subsidie fisicamente as expressões matemáticas auferidas nos itens anteriores.
17) Considere que 𝜃 seja um ângulo que pertence ao conjunto dos número complexos ℂ. Portanto, 𝜃 = 𝜃! + 𝑗𝜃!. Neste contexto, determine (a) cos (𝜃) e (b) sen(𝜃). Se cos 𝜃 = 𝑗𝐴, com 𝐴 ∈ ℝ, obtenha então (c) sen(𝜃), (d) 𝜃! e (e) 𝜃!. Analise e discorra sobre o tema. (f) Os resultados anteriores podem ser estendidos à reflexão total? Disserte e obtenha o ângulo de transmissão 𝜃! nesta situação.
18) As propriedades eletromagnéticas da atmosfera variam ao longo de suas diversas camadas. As variações mais significativas ocorrem na direção vertical à superfície terrestre. Considerando esta dependência, obtenha o ângulo 𝜙 mediante o qual um evento eletromagnético muito distante no universo é observado na superfície terrestre quando o teor esférico natural da terra é (a) desprezado e (b) considerado na condição de aproximação Gaussiana. Balize a análise em relação ao ângulo azimutal verdadeiro 𝜃, ângulo este mediante o qual a onda eletromagnética incide na camada mais externa da atmosfera. Disserte a respeito dos resultados.
19) A densidade superficial de potência transportada em média por uma onda eletromagnética é denominada de intensidade
𝐼 ≡1𝑇
𝑆𝑑𝑡!
!
sendo 𝑆 o módulo do vetor de Poynting 𝐒 associado e 𝑇 o período da onda eletromagnética. Na situação de polarização perpendicular descrita no problema nº 6, em função da geometria do plano de incidência e das
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características eletromagnéticas dos meios, determine (a) a fração de intensidade refletida 𝑅! ≡ 𝐼!/𝐼! e (b) a fração de intensidade transmitida 𝑇! ≡ 𝐼!/𝐼!. (c) A intensidade refletida 𝑅! pode ser expressa em termo de 𝑇!? Demonstre. (d) O resultado obtido no item (c) imediatamente anterior satisfaz a o Princípio de Conservação de Energia?
20) Suponha que a onda eletromagnética então esteja paralelamente polarizada com relação ao plano de incidência tal como descreve o problema nº 10. Em função da geometria do plano de incidência e das características eletromagnéticas dos meios, determine (a) a fração de intensidade refletida 𝑅∥ e (b) a fração de intensidade transmitida 𝑇∥. (c) A intensidade refletida 𝑅∥ pode ser expressa em termo de 𝑇∥? Demonstre. (d) O resultado obtido no item (c) satisfaz a o Princípio de Conservação de Energia? Adote as definições enunciadas no problema nº 19.