DOSAGEM DE CONCRETOEQUAÇÕES DAS LEI FUNDAMENTAIS DOS CONCRETOS

Professora: Mayara Custódio

REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS

Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)

que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:

Como obter os coeficientes “a”

e “b” da equação da reta de

regressão representativa de um

fenômeno linear?

REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS

Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)

que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:

Como obter os coeficientes “a”

e “b” da equação da reta de

regressão representativa de um

fenômeno linear?

O Método de Regressão aos Mínimos Quadrados

é uma técnica de otimização matemática que

procura encontrar o melhor ajuste para um

conjunto de dados tentando minimizar a soma dos

quadrados das diferenças entre o valor estimado e

os dados observados. Assim, é possível determinar

um parâmetro desconhecido de uma equação.

REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS

Y = aX + b

𝑋 = Média dos valores de “X”

𝑌 = Média dos valores de “Y”

𝒂 =𝑺𝒙𝒚

𝑺𝒙𝒙

𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿

RESÍDUOS

EXEMPLO

Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo.

Dados:

a) Estimar a reta de regressão para representar essa relação

b) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo.

c) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.

EXEMPLO

EXEMPLO

235,6 58,0

EXEMPLO

EXEMPLO

149021,9

EXEMPLO

EXEMPLO

17590,0

EXEMPLO

Y = aX + b

EXEMPLO

𝒂 =𝑺𝒙𝒚

𝑺𝒙𝒙

𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿

𝑎 =17.590,0

149.021,9= 0,12

𝑏 = 58,0 − 0,12 ∙ 235,6

= 30,19

P = 0,12d – 30,19

a)

b) Distância = 420 km

𝑃 = 0,12 ∙ 420 −30,19 = 𝑹$ 𝟕𝟗, 𝟕𝟔

EXEMPLO

c) Erros de previsão:

LEI DE ABRAMS

𝑓𝑐 =𝐾1

𝐾2𝑎/𝑐

O principal parâmetro a

provocar variações na

resistência a compressão do

concreto é a relação “a/c”.

A resistência varia segundo a expressão:

K1 e K2: Constantes que

dependem das características

particulares dos materiais

utilizados em uma

determinada mistura.

LEI DE ABRAMS

Estudo de dosagem experimental:

Diferentes misturas;

Diferentes resultados.

Formação de uma curva:

No mínimo 3 pontos.

Cálculo da equação representativa de três misturas:

Linearização

Otimização pelo Método dos Mínimos Quadrados

LEI DE ABRAMS

X

𝑓𝑐 =𝐾1

𝐾2𝑎/𝑐

Y +a b=

Linearização através de logaritmos:

LEI DE ABRAMS

𝑎 𝑐 =𝑙𝑜𝑔𝐾1 − 𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐

𝑙𝑜𝑔𝐾2

𝑎 = −𝑙𝑜𝑔10𝐾2

𝑙𝑜𝑔𝐾2 = −𝑎

𝐾2 = 10−𝑎 =1

10𝑎

𝑏 = 𝑙𝑜𝑔10𝐾1

𝐾1 = 10𝑏

Método dos Mínimos Quadrados:

EXEMPLO

Em um estudo de dosagem do concreto, elaborou-

se, para um dado conjunto de materiais, concretos

com relações “a/c” de 0.41, 0.55 e 0.70. Foram

moldados corpos-de-prova para ensaio de

resistência a compressão aos 28 dias de idade, cujos

resultados obtidos foram, respectivamente, 38.0

MPa, 28.0 MPa e 20.0 MPa.

Obter a equação de Abrams desse concreto.

EXEMPLO

EXEMPLO

𝑆𝑥𝑥 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋)² = 0,042

𝑆𝑥𝑦 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋) ∙ (𝑌𝑖 − 𝑌) = −0,40

𝒂 =𝑺𝒙𝒚

𝑺𝒙𝒙=−𝟎, 𝟒𝟎

𝟎, 𝟎𝟒𝟐= −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒

𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿 = 𝟏, 𝟒 − −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒 . 𝟎, 𝟔= 𝟏, 𝟗𝟕𝟒𝟔

𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐 = −0,914 ∙ 𝑎 𝑐 + 1,9746

𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝐾1𝑎 = −𝑙𝑜𝑔𝐾2

𝐾1 = 10𝑏

= 101,9746 = 94,38

𝐾2 =1

10𝑎=

1

10−0,9614= 9,16

𝒇𝒄 =𝟗𝟒, 𝟑𝟖

𝟗, 𝟏𝟔𝒂/𝒄

LEI DE LYSE

A consistência do concreto é função da relação agregados secos

/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do

traço seco (1:a:b) do concreto.

Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a

consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente

proporcional à relação a/c.

Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos

materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água

por unidade de volume é constante, independente do traço”

LEI DE LYSE

A consistência do concreto é função da relação agregados secos

/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do

traço seco (1:a:b) do concreto.

Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a

consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente

proporcional à relação a/c.

Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos

materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água

por unidade de volume é constante, independente do traço”

O fator a/c relaciona-se com o consumo de agregados

de um determinado concreto de forma linear, de

acordo com a equação:

sendo: K3 e K4 coeficientes representativos de um

conjunto particular de materiais (cimento e agregados).

𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 +𝑲𝟒

LEI DE LYSE

Esquema de variação das propriedades reológicas do concreto de mesmo valor

de abatimento em função da variação do traço bruto 1:m

a/c

fc(-) pasta

(+) atrito

(-) coesão

(-) plasticidade

a/c

fc(+) pasta

(-) atrito

(+) coesão

(+) plasticidade

LEI DE LYSE

Denomina-se teor de água do concreto,

representado pela letra “H”, o valor da relação

“massa de água / massa de materiais secos”

presentes na mistura.

Alguns autores preferem expressar o “H” em

porcentagem da massa de materiais secos. Para isso

esse valor e multiplicado por 100%.

O “H” também e chamado por alguns autores de

umidade da mistura.

LEI DE LYSE

𝐻 =𝑀á𝑔𝑢𝑎

𝑀𝑐+𝑀𝑎+𝑀𝑏

𝑎 𝑐 =𝑀𝑎𝑔𝑢𝑎

𝑀𝑐, 𝑎 =

𝑀𝑎

𝑀𝑐, 𝑏 =

𝑀𝑏

𝑀𝑐, m = a + b

𝐻 =( 𝑎 𝑐)∙𝑀𝑐

(𝑀𝑐+𝑎∙𝑀𝑐+𝑏∙𝑀𝑐)=

𝑀𝑐∙( 𝑎 𝑐)

𝑀𝑐∙(1+𝑎+𝑏)=

𝑎 𝑐

1+𝑎+𝑏=

𝑎 𝑐

1+𝑚

𝑯 = 𝒂 𝒄

𝟏 +𝒎

LEI DE LYSE

Considerando “H” constante como afirma a Lei de

Lyse e fazendo “m” como função de “a/c”, temos:

1 +𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻

𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻

− 1𝑚 =1

𝐻 𝑎 𝑐 − 1

K3 K4

𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 + 𝑲𝟒

Assim, a partir de um conjunto de pontos de coordenadas (a/c, m) podemos, através do método dos mínimos quadrados, obter a equação que estabelece o valor do traço bruto em função da relação água cimento e, consequentemente, o valor de “H”.

a = K3 = 1/H b = - K4

y = (x) +

H = 1/a

LEI DE MOLINARI

Molinari obteve uma equação que correlaciona o consumo de

cimento por m³ de concreto “C” com o traço bruto “m”, desde que

as várias misturas de traços distintos possuam mesmo abatimento e

tenham sido dosados com os mesmos materiais.

A equação tem a seguinte forma:

𝐶 =1000

𝐾5 + 𝐾6 ∙ 𝑚

sendo: K5 e K6 coeficientes representativos de um

conjunto particular de materiais (cimento e agregados)

Rearranjando para o formato linear: 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑪= 𝑲𝟓 ∙ 𝒎 + 𝑲𝟔,

y a x b

RELAÇÃO ENTRE AS TRÊS EQUAÇÕES

m (Kg)

ABRAMS

LYSE

MOLINARI