Equações Diferenciais Ordinárias - EDO

Equacoes diferenciais .

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

Sumario

1 Equacoes diferenciais ordinarias 3

1.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Caso de matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Solucoes e conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Teoria geral de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Autovalores com autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica de Jordan . . . . . . . 25

1.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Solucoes maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Classificacao de sistemas planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1 Classificacao por conjugacao topologica . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 EDO e sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes iniciais e parametros . . 35

1.8.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . 41

1.9.1 Campos vetoriais e fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Capıtulo 1

Equacoes diferenciais ordinarias

Definicao 1 (Equacao diferencial ordinaria em Rn). Sejam f : U → Rn, U aberto de

R × Rn, (t, x) ∈ U onde t ∈ R, x ∈ Rn, x : I → Rn onde I e um intervalo aberto de R,

x = x(t) sendo tambem chamada de caminho. Uma equacao da forma

x′(t) = f(t, x)

e uma equacao diferencial ordinaria em Rn, definida por f , no caso queremos encontrar

x que satisfaca a equacao acima. t em f(t, x) e dita ser a variavel temporal. Tal equacao

x′ = f(t, x) e dita ser equacao vetorial, no caso de funcoes reais dizemos que a equacao e

escalar.

Podemos denotar x(t) = (xk(t))n1 e f(t, x) = (fk(t, x))

n1 onde cada xk : I → R,

fk(t, x) : U → R sao as funcoes coordenadas. A derivada x′(t) consiste em derivar

coordenada-a-coordenada

x′(t) = (x′k(t))n1

equiparando com o lado direito, temos o sistema

x′1(t) = f1(t, x1(t), · · · , xn(t))

x′2(t) = f2(t, x1(t), · · · , xn(t))...

x′n(t) = fn(t, x1(t), · · · , xn(t))

CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 4

Entao a equacao diferencial vetorial x′ = f(t, x) e equivalente a um sistema de equacoes

diferenciais escalares. x′ = f(t, x) e ainda chamada de equacao de primeira ordem por

envolver apenas a derivada primeira de x. Diremos tambem que x′ e uma velocidade.

Corolario 1. Segue da interpretacao da equacao diferencial por meio de sistema que a

existencia e unicidade de solucoes de sistema de equacoes diferenciais em R equivale a

existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais vetoriais em Rn.

Definicao 2 (Solucao de equacao diferencial). Uma solucao para equacao diferencial

x′(t) = f(t, x) e um caminho derivavel x : I → R que satisfaz a primeira equacao, x

tambem pode ser chamado de curva integral.

Em termos de sistemas, uma solucao consiste em n funcoes xj : I → R derivaveis, tais

x′j(t) = fj(t, x1(t), · · · , xn(t)).

Definicao 3 (Condicao inicial). Dada um solucao de uma equacao diferencial x′ = f(t, x)

dizemos que x(t0) = x0 e uma condicao inicial, um problema de valor inicial e achar

x : I → Rn com x′ = f(t, x) e x(t0) = x0.

Uma condicao inicial para o sistema e dada por

x1(t0) = x1, x2(t0) = x2, · · · , xn(t0) = xn.

Definicao 4 (Equacao diferencial autonoma e campo de vetores). E uma equacao do tipo

x′ = f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a funcao nao depende de t.

Nesse caso interpretamos f : E → Rn como um campo de vetores, E ⊂ Rn.

Definicao 5 (Equacao diferencial nao-autonoma). E uma equacao do tipo x′ = f(t, x)

onde f(t, x) depende de t.

Definicao 6 (Equacao diferenciais normais). Sao equacoes do tipo x′ = f(t, x) onde e

possıvel explicitar x′ em funcao de (t, x).

Definicao 7 (Equacao diferencial de ordemm). Uma equacao diferencial de ordem ordem

m em Rn, e uma equacao do tipo

y(m) = g(t, y, y(1), · · · , y(m−1))

onde g e definida em um aberto U ⊂ R×Rn × · · ·Rn︸︷︷︸n vezes

onde y(k) e a k-esima derivada em

relacao a t, y : I → Rn

Propriedade 1. Toda equacao de ordem m, pode ser escrita como uma equacao diferen-

cial de ordem 1.

Demonstracao.

Definimos o sistema

x′1(t) = x2(t)

x′2(t) = x3(t)...

x′m−1(t) = xm(t)

x′m(t) = g(t, x1(t), · · · , xm(t))

com isso temos x′m(t) = xm1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem m

recair em um sistema de ordem 1

x′(t) = f(t, x)

x(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xm(t))

f(t, x) = (x2(t), x3(t), · · · , xm(t), g(t, x1(t), · · · , xm(t)) )

as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).

Propriedade 2. Um sistema nao-autonomo pode ser reduzido a um sistema autonomo.

Demonstracao. Sendo uma equacao nao-autonoma x′ = f(t, x), f : U → Rn,

definimos y = (t, x) ∈ U ⊂ R×Rn, definimos g : U → Rn+1 com

g(y) = g(t, x) = (1, f(t, x))

e a equacao y′ = g(y) que resulta em (1, x′) = (1, f(t, x)).

Com isso temos que a existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais veto-

riais dependentes da variavel temporal e equivalente a existencia e unicidade de solucoes

de equacoes diferenciais vetoriais sem dependencia na variavel temporal t.

Como os casos citados recaem sobre o estudo da equacao autonoma x(t) = f(x), vamos

dar enfase ao estudo desse tipo de equacao.

1.1 Equacoes diferenciais lineares

Definicao 8 (Campos lineares). Campos lineares sao funcoes do tipo

f(x) = Ax

onde A = (ak,j)n×n e x e o vetor coluna n× 1.

Definicao 9 (Equacao diferencial linear). Uma equacao diferencial linear e uma equacao

do tipo x′ = A(x)

x′(t) = Ax(t),

que pode ser vista como

x′1(t)

x′2(t)

x′n(t)

a1,1 a1,2 · · · a1,n... · · · · · · ...

an,1 an,2 · · · an,n

efetuando a multiplicacao temos o sistema

x′1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + · · ·+ a1,nxn(t)

x′2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + · · ·+ a2,nxn(t)

x′n(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + · · ·+ an,nxn(t)

Nesta secao iremos em geral considerar matrizes com entradas reais.

Teorema 1. Se A = (ak,j)n×n e uma matriz real, entao para cada x0 ∈ Rn existe uma

unica solucao do problema de valor inicial

x′(t) = Ax, x(0) = x0.

Demonstracao.

Propriedade 3. O conjunto de todas solucoes de x′ = A(x) e um espaco vetorial, su-

bespaco de F (R,Rn).

Demonstracao.

• x(t) = 0v e solucao da equacao pois x′(t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a equacao

diferencial satisfeita.

• Se s1(t) e s2(t) sao solucoes de x′ = A(x) entao s1(t) + cs2(t) e solucao onde c ∈ R

qualquer. Temos s′1(t) = As1(t), s′2(t) = As2(t), c ∈ R entao cs′2(t) = cAs2(t) =

Acs2(t) portanto cs2(t) e solucao, juntando tais fatos temos

A(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s′1(t) + s′2(t)

logo s1(t) + cs2(t) e solucao, como querıamos demonstrar.

Corolario 2. Por unicidade de solucao se x(t′) = 0 para algum t′ ∈ R entao x(t) = 0 ∀t ∈

R por unicidade de solucao.

1.1.1 Caso de matriz diagonal

Propriedade 4. Se A e uma matriz diagonal, A = d(λ1, · · ·λn) entao a solucao de

x′(t) = Ax(t)

e da forma

x(t) = (x1eλ1t, x2e

λ2t, · · · , xneλnt)

onde x(0) = (t1, t2, · · · , tn) em outra notacao

x(t) = d(eλ1t, eλ2t, · · · , eλnt)x0.

Demonstracao. Pelo produto das matrizes Ax = x′(t) temosx′1(t)

x′2(t)...

x′n(t)

λ1 0 · · · 0... · · · · · · ...

0 0 · · · λn

x2(t)...

efetuando a multiplicacao temos o sistema

x′1(t) = λ1x1(t)

x′2(t) = λ2x2(t)...

x′n(t) = λnxn(t)

cada uma das equacoes diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) = ckeλkt ,

usando xk(0) = tk, temos ck = tk entao a solucao e da forma como querıamos

x(t) = (t1eλ1t, t2e

λ2t, · · · , tneλnt).

1.1.2 Solucoes e conjugacao

Propriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mn×n, isto e, A = QBQ−1,

entao sao equivalentes

1. y(t) e uma solucao de y′ = By

2. x(t) = Qy(t) e uma solucao de x′ = Ax.

Demonstracao.

1. 1) ⇒ 2). Vamos mostrar que se y(t) e uma solucao de y′ = By entao x(t) = Qy(t)

e uma solucao de x′ = Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)

x2(t)...

c1,1 c1,2 · · · c1,n... · · · · · · ...

cn,1 cn,2 · · · cn,n

y2(t)...

c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)

cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)

derivando temos

c1,1y′1(t) + · · · c1,ny′1(t)

c2,1y′2(t) + · · · c2,ny′2(t)

cn,1y′n(t) + · · · cn,ny′n(t)

c1,1 c1,2 · · · c1,n... · · · · · · ...

cn,1 cn,2 · · · cn,n

y′1(t)

y′2(t)...

y′n(t)

= Qy′(t)

lembrando que AQ = QB e y′(t) = By(t) temos

x′(t) = Qy′(t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)

como querıamos demonstrar.

2. 2) ⇒ 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) e uma solucao de x′(t) = Ax(t) entao

y(t) e uma solucao de y′(t) = By(t). Temos

Qy′(t) = AQy(t)

como AQ = QB tem-se

Qy′(t) = QBy(t) ⇒ y′(t) = QBy(t)

pois Q e invertıvel, logo provamos a equivalencia.

Propriedade 6. Seja A ∈Mn matriz diagonalizavel, isto e, A = QDQ−1 comD diagonal.

1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos entao x(t), solucao de x′(t) =

Ax(t) satisfaz

limt→∞

x(t) = 0.

2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A nao nulo e y(0) nao

possuir coordenada nula entao

limt→∞

|x(t)| = ∞.

3. Cada coordenada xk satisfaz equacao diferencial linear de ordem n .

Demonstracao.

1. Seja y(t) solucao de y′(t) = Dy(t), ela e da forma y(t) = (c1eλ1t, · · · , cneλnt), onde

λ1 · · · 0... · · · 0

0 · · · 0

A solucao de x′(t) = Ax(t) e x(t) = Qy(t),a1,1 · · · a1,n... · · · ...

an,1 · · · an,n

c1eλ1t

cneλnt

a1,1c1e

λ1t + · · ·+ a1,ncneλnt

an,1c1eλ1t + · · ·+ an,ncne

x1(t)...

logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, pois

xk(t) = ak,1c1eλ1t + · · ·+ ak,ncne

onde cada parcela tende a zero pois eλkt → 0 quando t → ∞, se os coeficientes sao

nulos nao se altera o resultado.

2. Tem-se que

tomando λs o maior valor entre os (λk)n1 que esteja associado a constante ak,s = 0 ,

colocamos em evidencia

|xk(t)| = |eλst||ak,1c1e(λ1−λs)t + · · ·+ ak,scs + · · ·+ ak,ncne(λn−λs)t|

onde |ak,1c1e(λ1−λs)t + · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t| e limitada pois possuem

termos que tendem a zero e o termo ak,ncn nao e nulo, por isso a expressao tambem

nao se anula, como |eλst| tende a infinito entao |xk(t)| tambem, sendo que isso vale

para qualquer coordenada de x(t).

3. Temos que

aplicando o operador (D−λ1) · · · (D−λk) anulamos xk(t), logo ele satisfaz equacao

diferencial de ordem n.

1.2 Teoria geral de sistemas lineares

1.2.1 Exponencial de matrizes

Definicao 10 (Exponencial de matriz). Dada A ∈ Mn(C), definimos a sua exponencial

como a matriz n× n simbolizada por eA, definida como

eA =∞∑k=0

que tambem pode ser denotada por exp(A).

Propriedade 7. Dada A ∈Mn(C) entao∞∑k=0

k!converge no espaco normado Mn(C).

Demonstracao. Temos que

∞∑k=0

k!|| ≤

∞∑k=0

||A||k

k!= e||A||

logo a serie∞∑k=0

k!converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).

Corolario 3. Sendo A = 0 a matriz nula, temos

e0 =∞∑k=0

∞∑k=1

k!︸︷︷︸0

pois 00 = I a matriz identidade.

Corolario 4. Se A e a matriz diagonal A =

λ1 · · · 0

0. . . 0

0 · · · λn

, temos que

eA =∞∑k=0

λk1k!

· · · 0

0. . . 0

0 · · · λknk!

∞∑k=0

λk1k!

· · · 0

0. . . 0

0 · · ·∞∑k=0

λknk!

eλ1 · · · 0

0. . . 0

0 · · · eλn

Em especial

e1 · · · 0

0. . . 0

0 · · · e1

e novamente tiramos que e0 = I.

Corolario 5. Seja a matriz n× n

Gc(n) =

0 0 · · · 0

c 0 · · · 0

... · · · · · · 0

0 · · · c 0

tal matriz e nilpotente e vale Gc(n)

n = 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo que

sua serie trunca

eGc(n) =n−1∑k=0

Gc(n)k

calculando as potencias de tal matriz e somando podemos simplificar como

eGc(n) =

1 0 · · · 0

c 1 · · · 0

2!)︸︷︷︸

· · · · · · 0

cn−1

(n− 1)!· · · c

Exemplo 1. Obter a exponencial de A =

−b 0

. Podemos provar por inducao que

−b 0

= (−1)k

−b 0

= (−1)k

0 b2k+1

−b2k+1 0

eA =∞∑k=0

(2k)!+

∞∑k=0

(2k + 1)!=

∞∑k=0

(−1)kb2k

∞∑k=0

(−1)kb2k+1

(2k + 1)!

−∞∑k=0

(−1)kb2k+1

(2k + 1)!

∞∑k=0

(−1)kb2k

cos(b) sen(b)

−sen(b) cos(b)

Propriedade 8. Se A,B,Q ∈Mn tais que AQ = QB entao eAQ = QeB. Em especial se

A e B sao conjugadas entao eA e eB tambem o sao.

Demonstracao. De AQ = QB temos por inducao que vale AsQ = QBs ∀s ∈ N , logo

eAQ = (limn∑k=0

k!)Q = lim

n∑k=0

k!= lim

n∑k=0

k!= QeB.

Corolario 6. Se Q ∈Mn invertıvel com A = QBQ−1 entao

eA = eQBQ−1

= QeBQ−1

AQ = QB ⇒ eAQ = QeB ⇒ eA = QeBQ−1.

Se as matrizes sao conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matrizes a da

outra e obtida por produto com Q e Q−1.

Propriedade 9. Sejam A,B ∈Mn entao et(A+B) = etAetB∀t ∈ R ⇔ AB = BA.

Demonstracao. ⇐).

Vale que (AB)k = AkBk = BkAk

etAetB = (∞∑k=0

∞∑k=0

ck =k∑s=0

Ak−sBs

(k − s)!s!=

k∑s=0

k!Ak−sBs

(k − s)!s!k!=

k∑s=0

)Ak−sBs

(A+B)k

o binomio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, entao

etAetB =∞∑k=0

(A+B)k

k!tk = et(A+B).

Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos

(A+B)et(A+B) = AetAetB + etABetB

derivando novamente

(A+B)(A+B)et(A+B) = A2etAetB + AetABetB + AetABetB + etAB2etB

tomando t = 0 tem-se

(A+B)(A+B) = A2 + AB + AB +B2 = A2 + AB +BA+B2 ⇒ AB = BA

Propriedade 10. Vale que

||eA −p∑

k!|| ≤ e||A|| −

p∑k=0

||A||k

k!≤ ||A||p+1e||A||,

p ∈ N e A ∈Mn.

Demonstracao.

||eA −p∑

k!|| = ||

∞∑k=p+1

k!|| ≤

∞∑k=p+1

||A||k

k!= e||A|| −

p∑k=0

||A||k

temos ainda que

∞∑k=p+1

||A||k

||A||p+1

(k + p+ 1) · · · (k + 1)

∞∑k=0

||A||k

k!≤ ||A||p+1e||A||.

Corolario 7. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos

||eA − I|| ≤ e||A|| − I ≤ ||A||e||A||,

caso p = 1

||eA − I − A|| ≤ e||A|| − 1− |A| ≤ ||A||2e||A||.

Propriedade 11. Seja x : R → Mn um caminho contınuo de matrizes que e derivavel

em 0 ∈ R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) ∀t, u ∈ R entao x e derivavel em R com

x′(t) = x′(0)x(t).

Demonstracao.

Consideramos a expressao, com t ∈ R arbitrario fixo

x(t+ h)− x(t)− x′(0)x(t)h

usamos que x(t+ h) = x(h+ t) = x(h)x(t), substituindo tem-se

=x(h)x(t)− x(t)− x′(0)x(t)h

[x(h)− I]x(t)− x′(0)x(t)h

=[x(h)− I − x′(0)(h)]

hx(t) +

x′(0)hx(t)

h− x′(0)x(t)(h)

=[x(h)− I − x′(0)(h)]

hx(t) → 0

quando h→ 0 pois x(s) e derivavel em s = 0, entao vale realmente x′(t) = x′(0)x(t).

Propriedade 12. Dada A ∈Mn, x(t) : R →Mn com x(t) = etA vale que

x(t+ u) = x(t)x(u) ∀t, u ∈ R.

Demonstracao. Temos que

n∑r=0

n∑s=0

2n∑k=0

ck =k∑s=0

tsuk−s

(s)!(k − s)!(k − s)!=

k∑s=0

)tsuk−s

(t+ u)k

onde essa expressao e dada pelo regra do produto de polinomios, entao

n∑r=0

n∑s=0

2n∑k=0

(t+ u)k

com n→ ∞ todos expressoes com somatorio convergem tomando o limite temos

∞∑r=0

∞∑s=0

∞∑k=0

(t+ u)k

k!Ak ⇒

e(t+u)A = etAeuA.

Corolario 8. Em especial vale que

e(t+u)A = etAeuA = euAetA

as expressoes comutam, pois t+ u = u+ t.

Propriedade 13. Sejam A ∈ Mn, x0 ∈ Rn, X : R → Mn com X(t) = etA, x : R → Rn

com x(t) = X(t)x0 = etAx0, entao x e X sao derivaveis e vale

d(etA)

dt= AetA ∈Mn

d(etAx0)

dt= AetAx0 ∈ Rn.

Demonstracao. Dados A ∈ Mn e t ∈ R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por desigual-

dade de exponencial que

|| etA︸︷︷︸X(t)

− I︸︷︷︸X(0)

− tA︸︷︷︸A(t)

|| ≤

|t|||tA||2e||tA|| = |t| ||A||2e|t| ||A|| ≤ |t|||A||2e||A||

com |t| < 1, onde usamos desigualdade que ja demonstramos para exponencial. Dessa

desigualdade tem-se que X ′(0) = A por definicao de derivada. Como temos

X(t+ u) = X(t)X(u)

tem-se que X(t) e derivavel valendo

X ′(t) = X ′(0)X(t) = AX(t)

por aplicacao em x0 segue que x(t) = X(t)x0 e derivavel em R e x′(t) = Ax(t).

Corolario 9. Se A ∈ Mn e x0 ∈ Rn entao o caminho x(t) = etAx0, t ∈ R define a unica

solucao de x′ = Ax com condicao inicial x(0) = x0.

Propriedade 14. Se A,B ∈ Mn tais que AB = BA entao eA+B = eAeB. Vejamos outra

demonstracao dessa propriedade usando unicidade de solucao de equacao diferencial.

Demonstracao. Como BA = AB entao B(tA) = (tA)B, daı por resultado que ja

mostramos tem-se BetA = etAB. Fixamos x0 ∈ Rn, definindo

x(t) = etAetBx0

a regra da derivada do produto garante que

x′(t) = AetAetBx0 + etABetBx0 = AetAetBx0 +BetAetBx0 = (A+B)x(t)

alem disso x(0) = x0, logo x(t) e solucao de x′ = (A+B)x com condicao inicial x(0) = x0,

porem et(A+B)x0 e a unica solucao desta equacao, disso segue

etAetBx0 = et(A+B)x0

tomando t = 1 segue eAeBx0 = e(A+B)x0, como x0 e arbitrario, os dois operadores devem

ser identicos, por isso

eA+B = eAeB.

Corolario 10.

eAe−A = eA−A = e0 = I

entao eA e sempre invertıvel com inversa e−A.

Exemplo 2. Mostre que se u nao e autovalor de A entao a equacao x′ = Ax+eutb, possui

uma solucao da forma ϕ(t) = veut. Onde b ∈ Rn, u, t reais, logo eut e a exponencial real.

Substituımos ϕ(t) = veut na equacao diferencial para encontrar v.

uveut = Aveut + eutb⇒ (u− A)veut = eutb⇒ (u− A)v = b

como u nao e autovalor de A det(u−A) = 0 logo u−A e invertıvel v = (u−A)−1b, entao

realmente existe ϕ(t) = veut solucao da equacao.

Propriedade 15. Seja V < Rn, A-invariante. Entao V e etA invariante para qualquer

t ∈ R fixo .

Demonstracao. Como V e A invariante e subespaco de Rn, entao e invariante portkAk

k!e soma de aplicacoes desse operador, por isso ∀n temos

n∑k=0

k!(v) ∈ V ∀v ∈ V

como subespacos vetoriais sao fechados a propriedade se mantem na passagem do limite

∞∑k=0

k!(v) ∈ V ∀v ∈ V.

Propriedade 16. Sejam A ∈Mn, S ⊂ F (R,Rn) espaco de todas as solucoes de x′ = Ax.

Definimos T : S → Rn com T (x) = x(0). Nessas condicoes T e linear, sobrejetora e

injetora, portanto e um isomorfismo e daı dimS = n.

Demonstracao.

T e linear, pois sendo x1, x2 ∈ S, c ∈ R tem-se

T (cx1 + x2) = (cx1 + x2)(0) = cx1(0) + x2(0) = cT (x1) + T (x2).

T e sobrejetora pois dado x0 ∈ Rn a equacao x′ = Ax com x(0) = x0 possui solucao,

por condicao de existencia, portanto existe x ∈ S tal que T (x) = x0 = x(0).

T e injetora, suponha que T (x) = T (y), x, y ∈ S entao x(0) = y(0) ambas sendo

solucao de z′ = Az, por unicidade de solucao segue que x = y, pois coincidem na condicao

inicial.

Disso concluımos que T e isomorfismo entao dimS = n.

Propriedade 17. Sejam A ∈ Mn, (vk)n1 base de Rn, (sk)

n1 : R → Rn as solucoes de

x′ = Ax com sk(0) = vk, k ∈ In. Entao (sk)n1 e LI em S ⊂ F (R,Rn) (espaco das solucoes

de x′ = Ax), qualquer solucao de x′ = Ax e combinacao linear de (sk)n1 .

Demonstracao. Temos que a transformacao T : S → Rn com T (s) = s(0) e um

isomorfismo entao ela leva base de S em base de Rn e sua inversa T−1 : Rn → S leva base

de Rn em base de S, como a imagem de (sk)n1 e (vk)

n1 base de Rn, entao (sk)

n1 e base de

S. Por isso tal conjunto gera S, espaco das solucoes sendo tambem LI.

Propriedade 18. Se A e idempotente, entao

eA = I + (e− 1)A.

Demonstracao. A e idempotente, isto e, A2 = A, Ak = A para k > 0 entao

eA = I + A∞∑k=1

k!= I + A(e− 1).

Exemplo 3. De exemplo de matrizes A e B tais que eA+B = eAeB. Tomamos matrizes

que nao comutam no produto.

portanto elas nao comutam. B e nilpotente com B2 = 0, entao

= I +B.

A e idempotente A2 = A, entao

eA = I + (e− 1)A =

A+B e idempotente logo

eA+B = I + (e− 1)(A+B) =

e− 1 1

porem temos

eAeB =

= eA+B.

Portanto nao vale eA+B = eAeB, neste caso.

Exemplo 4. Calcule a exponencial da matriz a b

Escrevemos a b

as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem 0 ab

satisfaz A2 = 0 entao

a outra matriz possui exponencial

usando que eA+B = eAeB quando A e B comutam, temos o resultado desejado multipli-

cando as matrizes, resultando em ea bea

Exemplo 5. Calcule a exponencial da matriz

−b a

Separamos a matriz como a soma a b

−b a

−b 0

sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B) 0 b

−b 0

−ab 0

−b 0

eA+B = eA.eB =

cos(b) sen(b)

−sen(b) cos(b)

cos(b) sen(b)

−sen(b) cos(b)

1.2.2 Autovalores com autovetores

Propriedade 19. Seja v ∈ Rn um autovetor de A ∈Mn com autovalor λ ∈ R entao

x(t) = eλtv, t ∈ R

e a solucao de x′ = Ax com x(0) = v.

Demonstracao.

Derivamos x(t) = eλtv, obtemos

x′(t) = λeλtv = eλtλv = eλtA = A(x(t))

alem disso x(0) = eλ0v = v que satisfaz a condicao inicial e a equacao diferencial entao

tal expressao fornece a solucao por unicidade.

Propriedade 20. Se v ∈ Rn e um autovetor de A ∈ Mn e x : R → Rn e solucao

de x′ = Ax tal que x(t′) ∈ av ∈ Rn |a ∈ R = s(v), para algum t′ ∈ R entao

x(t) ∈ S(v) ∀t ∈ R.

Demonstracao. Temos x(t′) = av para algum a real, x′ = Ax, a solucao de tal

equacao com condicao inicial e

x(t) = eλ(t−t′)av,

pois, derivando

x′(t) = λeλ(t−t′)av = eλ(t−t

′)aλv = eλ(t−t′)aAv = A(eλ(t−t

′)av) = Ax(t),

alem disso x(t′) = av, como a solucao e unica tem-se x(t) = eλ(t−t′)av ∈ S(v).

Exemplo 6. Em um sistema

x′1(t)

x′2(t)

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

x1(t) e x2(t) satisfazem equacoes diferenciais lineares de ordem 2. Por exemplo x1

satisfaz

x′′1 = (a1,1 + a2,2)x′1 + (a1,2a2,1 + a2,2a1,1)x1.

Propriedade 21. Suponha que A ∈Mn possui um autovalor real λ < 0 entao a equacao

x′ = Ax possui pelo menos uma solucao x(t) nao trivial tal que

limt→∞

x(t) = 0.

Demonstracao.

Seja v0 autovetor associado a λ entao x′ = Ax, A(0) = v0 possui solucao da forma

x(t) = eλtv0,

pois x(0) = v0 e derivando

x′(t) = λeλtv0 = eλtλv0 = eλtAv0 = A(eλtv0) = Ax(t)

portanto e realmente solucao, ainda temos que limt→∞

eλtv0 = 0 por dominacao da exponen-

cial em cada coordena do vetor solucao.

Propriedade 22. Todas as solucoes x(t) de x′ = Ax tendem a 0 ∈ Rn quando t→ ∞ se

A ∈Mn e diagonal e todas suas entradas sao negativas.

Demonstracao.

A equacao diferencial e da formax′1(t)...

x′n(t)

−λ1 · · · 0... · · · 0

0 · · · −λn

x1(t)...

entao em cada coordenada temos x′k(t) = −λkxk que possui solucao da forma xk(t) =

e−λktxk(0), com cada λk > 0, portanto cada coordenada tende a zero e daı x(t) → 0.

Propriedade 23. Seja A ∈ Mn. Se λ e um autovalor de A associado a v entao eλ e um

autovalor de eA associado a v.

Demonstracao. Sabemos que A(v) = λv, v = 0

eAv = (∞∑k=0

k!)v =

∞∑k=0

k!= eλv

Exemplo 7. De um exemplo de uma matriz A tal que eA tenha algum autovalor real

negativo.

Seja A =

−π 0

, sua exponencial e

cos(π) sen(π)

−sen(π) cos(π)

−1 0

0 −1

que possui autovalor −1, perceba que −1 = eiπ, iπ e autovalor de A sobre C.

Propriedade 24. Seja A ∈Mn tal que ||A− I|| < 1, entao A e invertıvel e

∞∑k=0

(I − A)k

converge absolutamente para A−1.

Demonstracao. Denotaremos b = ||A− I|| < 1

|x| = |I(x)| = |(I − A)x+ A(x)| ≤ |(A− I)(x)|+ |A(x)| ≤ ||A− I|||x|+ |A(x)| ⇒

(1− b)︸︷︷︸>0

|x| < |A(x)|

1− b > 0 pois b < 1. Portanto A(x) se anula ⇔ x = 0, A e injetora portanto sobrejetora

e bijetora (dimensao finita).

A serie converge absolutamente pois ||I−A|| < 1 a norma dos termos da serie converge

por serie geometrica.

[(I − A)− I]n−1∑k=0

(I − A)k =n−1∑k=0

[(I − A)k+1 − (I − A)k] = (I − A)n − I,

por soma telescopica, logo

An−1∑k=0

(I − A)k = I − (I − A)n ⇒ An−1∑k=0

(I − A)k − I = −(I − A)n ⇒

||An−1∑k=0

(I − A)k − I|| = ||(I − A)||n → 0

com n grande, entao

∞∑k=0

(I − A)k = I ⇒∞∑k=0

(I − A)k = A−1.

Propriedade 25. Se temos solucao y de y′ = By com y(0) = Q−1x0 onde x′ = Ax,

AQBQ−1 entao temos a solucao de x′ = Ax com x(0) = x0 dada por Qy(t).

Demonstracao. A solucao de x′ = Ax com x(0) = x0 e x(t) = eAtx0 como At =

QBtQ−1 entao eAt = QeBtQ−1 de y(t) = eBty0 = eBtQ−1x0 multiplicando por Q a

esquerda, tem-se

Qy(t) = (QeBtQ−1)︸︷︷︸eAt

x0 = eAtx0.

1.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica

de Jordan

Propriedade 26. Sejam

A1 · · · 0

... · · · ...

0 · · · Am

onde cada Ak e um bloco, B e matriz diagonal em bloco, entao temos

eA1 · · · 0

... · · · ...

0 · · · eAm

a exponencial de uma matriz em blocos e obtida tomando a exponencial de cada bloco

ao longo da diagonal.

Demonstracao.

1.4 Teorema de Picard

Teorema 2 (Teorema de Picard). Considere o problema

X ′(t) = f(t, x)

x(t0) = x0

onde f e limitada, contınua e Lipschitz na segunda variavel em Ia × Bb[x0] onde Ia =

[t0 − a, t0 + a],

Bb[x0] = x ∈ Rn | |x− x0| ≤ b.

Entao existe uma unica solucao do problema em Iα onde α = mina, bM

, M e tal

que |f | ≤M.

Demonstracao. Sabemos que o problema e equivalente a resolver a equacao integral

x(t) = x0 +

f(s, x(s))ds

logo podemos definir o operador L : C0(Iα, Bb) → C0(Iα, Bb)

L(φ) = x0 +

f(s, φ(s))ds.

Logo nosso problema se reduz a encontrar um ponto fixo de L. Dado φ ∈ C0(Iα, Bb),

L(φ) e contınua, verificaremos que L(φ) : Iα → Bb

|L(φ)(t)− x0| = |∫ t

f(s, φ(s))ds| ≤M |t− t0| ≤Mα ≤ b.

Como C0(Iα, Bb) e completo, basta ver que para algum m, Lm e contracao.

Vamos provar que para t ∈ Iα, temos

|Ln(φ1)(t)− Ln(φ2)(t)| ≤kn|t− t0|n

n!|φ1 − φ2|∞

lembrando que |φ1 − φ2|∞ = supt∈Iα

|φ1(t)− φ2(t)|. Provamos por inducao, para m = 0 vale

a desigualdade pois equivale a

|φ1(t)− φ2(t)| ≤ |φ1 − φ2|∞

suponha a validade para m entao, vamos provar para m+ 1

|Lm+1(φ1)(t)−m+1L (φ2)(t)| = |L(Lm(φ1))(t)− L(mL (φ2))(t)|

substituindo pela integral temos

|∫ t

f(s, Lm(φ1)(s))ds−∫ t

f(s, Lm(φ2)(s))ds| ≤

|f(s, Lm(φ1)(s))− f(s, Lm(φ2)(s))|ds ≤

usando a condicao de Lipschitz na segunda variavel

≤∫ t

k|Lm(φ1)(s)− Lm(φ2)(s)|ds ≤

usamos agora a hipotese da inducao

km|s− t0|m

m!|φ1 − φ2|∞ds =

m!|φ1 − φ2|∞

∫ t−t0

|s|mds ≤

≤ km+1

(m+ 1)!|φ1 − φ2|∞|t− t0|m+1

logo fica provado por inducao, alem disso temos que

|Ln(φ1)(t)− Ln(φ2)(t)| ≤knαn

n!|φ1 − φ2|∞

pois α e o comprimento do intervalo, Lm e contracao para m suficientemente grande, pois

para m grande temos 0 <knαn

n!|φ1 − φ2|∞ < 1, portanto L possui um unico ponto fixo e

o resultado esta provado.

Propriedade 27. Sejam Ω aberto em R×E, E ⊂ Rn, aberto . f : Ω → E contınua com

D2f contınua para todo ponto (t0, x0) ∈ Ω existe uma vizinhanca V = I(t0) × B[x0] tal

que x′ = f(t, x), x(t0) = x0 tem uma unica solucao em I(t0). Alem disso o grafico desta

solucao esta contido em V onde I(t0) e algum intervalo centrado em t0 e B(x0) alguma

bola de Rn centrada em x0.

Demonstracao. Seja U uma vizinhanca de (t0, x0) tal que f |U e lipschitziana na

segunda variavel e |f | ≤ M em U , pois a segunda derivada e contınua em um compacto

logo a funcao e lipschitz na segunda variavel. Seja α > 0 suficientemente pequeno tal que

V = Iα(t0) × Bb[x0] ⊂ U , onde b = αM , com isso estamos na condicao do teorema de

Picard, o que implica solucao unica.

Teorema 3 (Teorema de Peano). Dada f contınua e |f | < M em Ia[t0]×Bb[x0]. Nessas

condicoes existe pelo menos uma solucao de

x′ = f(t, x), x(t0) = x0

em Iα, onde α = mina, bM

(Notacoes como no teorema de Picard).

Demonstracao. Como f e contınua em Ia×Bb, existe uma sequencia (pn) de funcoes

de classe c∞ que converge uniformemente para f . (Basta aplicar o teorema de aproximacao

de Weierstrass em cada coordenada).

Agora considere o problema

x′ = pn(t, x)

x(t0) = x0

para n grande |pn| ≤M em Ia×Bb, (pn) e lipschitz, por ser C∞ em compacto. Assim

podemos aplicar o teorema de Picard, obtendo uma famılia (φn) de solucoes do problema

(1), temos que tal famılia e uniformemente limitada pois

|φn(t)− x0| ≤ b∀t ∈ Iα

e vale a equicontinuidade pois

|φn(t)− φn(t′)| = |x0 +

pn(s, φn(s))ds− x0 −∫ t′

pn(s, φn(s))ds| =

= |∫ t

t′pn(s, φn(s))ds| ≤

t′|pn(s, φn(s))|ds ≤M |t− t′|

para n maior que algum n0 ∈ N , perceba tambem que essa relacao nao depende de n, na

condicao de n > n0, portanto temos equicontinuidade. Denotaremos a subsequencia pela

mesma notacao (φn).

Como temos a sequencia uniformemente limitada ( logo simplesmente limitada) e

equicontınua, podemos aplicar o teorema de Arzela-Ascoli, garantindo a existencia de

uma subsequencia uniformemente convergente em C([a, b], Bb) para uma funcao φ.

Afirmamos que φ e uma solucao do problema original. De fato , para cada n ≥ n0

temos que

φn(t) = x0 +

pn(s, φn(s))ds

sabemos que φn →u φ, queremos mostrar que temos convergencia para

φ(t) = x0 +

f(s, φ(s))ds.

Para isso, iremos mostrar que pn(s, φn(s)) →u f(s, φ(s)).

|pn(s, φn(s))− f(s, φ(s))| ≤ |pn(s, φn(s))− f(s, φn(s))|+ |f(s, φn(s))− f(s, φ(s))| ≤

≤ |pn − f |∞︸︷︷︸norma do sup

+|f(s, φn(s))− f(s, φ(s))|

pela continuidade de f , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se |(s1, x1) − (s2, x2)| < δ ⇒|f(s1, x1)− f(s2, x2)| <

2, e dado tal δ > 0, existe n1 ∈ N tal que n ≥ n1

|φn(s)− φ(s)| ≤ δ ∀s ∈ Iα

por convergencia uniforme de φn. Assim n ≥ n1 temos que

|f(s, φn(s))− f(s, φ(s))| < ε

por outro lado temos que existe n2 ∈ N tal que n ≥ n2 implica |pn − f |∞ <ε

2, logo para

n ≥ maxn1, n2 tem-se

|pn(s, φn(s))− f(s, φ(s))| < ε

1.5 Solucoes maximas

Definicao 11 (Solucao maxima). Uma solucao φ de

x′ = f(t, x)

x(t0) = x0

e dita maxima, definida em I , intervalo, chamado de intervalo maximo , se toda solucao

de (1), θ, definida em J com I ⊂ J e θ|I = φ implica que J = I. φ e maxima se nao

admite extensao que tambem e solucao de (1).

Propriedade 28. Seja f contınua em Ω ⊂ R × Rn, tal que para todo (t0, x0) ∈ Ω

exista uma unica solucao de x′ = f(t, x), x(t0) = x0. Definida em um intervalo aberto

I = I(t0, x0) (por exemplo se f e localmente lipschitz na segunda variavel ), entao para

todo (t0, x0) ∈ Ω existe uma unica solucao φ = φ(t, t0, x0) de x′ = f(t, x), x(t0) = x0,

definida em um intervalo M(t0, x0) = (w−(t0, x0), w+(t0, x0)) tal que toda solucao ψ de

x′ = f(t, x), x(t0) = x0 em I, satisfaz I ⊂M(t0, x0) e ψ = φ|I , isto e, a equacao diferencial

possui uma solucao maxima.

Demonstracao. Tomamos M(t0, x0) =∪

Iψ onde Iψ e o intervalo de definicao de

alguma solucao ψ de x′ = f(t, x), x(t0) = x0. Perceba que isso implica que para qualquer

solucao φ temos φ(t0) = x0 logo elas sempre possuem algum ponto em comum no domınio.

Se t ∈ Iψ, definimos φ(t) = ψ(t), tal definicao nao depende da φ usada, pois se existem

ψ1 e ψ2 que assumem mesmo valor para o mesmo t consideramos o conjunto

B = t ∈ Iψ1 ∩ Iψ2 | ψ1(t) = ψ2(t)

que e fechado por ser (ψ1 − ψ2)−1(0), imagem inversa de fechado por funcao contınua e

fechado. B ainda e aberto, pois para todo ponto t′ nele contem I(t′, ψ1(t′)) ∩ B , pela

existencia e unicidade das solucoes pois dado t′ ∈ B por hipotese existe uma unica solucao

de x′ = f(t, x), x(t′) = φ1(t′) = φ2(t

′) logo existe um intervalo aberto I com t′ no centro

tal que φ1|I = φ2|I e I ⊂ B. Como Iψ1 ∩ Iψ2 e conexo, por ser intervalo B e um conjunto

fechado e aberto em Iψ1 ∩ Iψ2 , logo vale que

B = Iψ1 ∩ Iψ2 .

Portanto a funcao esta bem definida. A uniao∪

Iψ := M e um intervalo pois os

intervalos dos quais estamos tomando a uniao Iψ sao nao disjuntos.

Sejam x, y emM com x < y, vamos mostrar que z tal que x < z < y tambem pertence

a M . Caso x < y < t0 temos um intervalo Iψ1 com x ∈ Iψ1 mas t0 pertence a todos esses

intervalos, logo (x, t0) ∈ Iψ1 isso implica que z entre x e y tambem, neste caso. Se temos

t0 < x < y entao existe Iψ1 com (t0, y) ∈ Iψ2 logo z tambem.

O ultimo caso e x < t0 < y, temos x ∈ Iψ e y ∈ Iψ′ porem t0 pertence a ambos

intervalos, logo ao primeiro esta contido (x, t0] o segundo [t0, y) portanto (x, y) ⊂ M .

Disso segue que M e intervalo, por ser uniao de abertos e um aberto, portanto M e um

intervalo aberto.

Propriedade 29 (Solucao escapa de compacto). Seja f : U ⊂ R × Rn → Rn, contınua,

U aberto e φ uma solucao maximal unica de x′ = f(t, x) definida em (w−, w+) = M

definimos g : M → U com g(t) = (t, φ(t)), nessas condicoes g(t) → ∂U (se aproxima da

borda de U) quando t → w±. Dito de outro modo, para todo compacto K ⊂ U , existe

uma vizinhanca V de w± tal que ∀t ∈ V tem-se g(t) /∈ K. A funcao escapa de compacto .

Demonstracao.

Suponha que exista K ⊂ U compacto e (tn) ∈ R tal que tn → w+ e g(tn) ∈ K ∀n,com isso temos uma sequencia em um compacto, que possui subsequencia convergente,

passando a subsequencia convergente (mantendo a mesma notacao), temos que

g(tn) = (tn, f(tn)) → (w+, x0)

onde x0 = lim f(tn) por definicao. Considere o problema

x′ = f(t, x), x(w+) = x0

pelo teorema de Peano, existe uma solucao de tal problema em Iα[w+]×Bb[x0], considere

V ′ = Iα3[w+] × B b

3[x0] logo para qualquer (t′0, x

′0) ∈ V , existe uma solucao definida em

Iα2[t′0]×B b

2[x′0] e como g(tn) → (w+, x0) entao para n grande g(tn) ∈ V ′. Consideremos o

problema

x′ = f(t, x), x(tn) = φ(tn)

pela observacao anterior existe uma solucao em Iα2[tn] × B b

2[φ(tn)], logo φ e prolongada

tn +α

2≥ (w+ − α

pois tn ∈ [w+ − α

3, w+ +

3] o que gera contradicao pois (w−, w+) e intervalo maximal de

solucoes.

Propriedade 30. Dada f : U ⊂ R × Rn → Rn, contınua, U aberto , f limitada. Se

w+ <∞ e w− > −∞ temos que limt→w±

g(t) existe.

Demonstracao.

Propriedade 31. Se U = Rn e |f(x)| < c ∀x ∈ Rn entao Ix = R∀x ∈ Rn, nas condicoes

da propriedade de escapar de compacto . Isto e, as equacoes com campo limitado possuem

solucao maximal definida em toda reta.

Demonstracao. Suponha que w+(x) <∞ para algum x ∈ R, como

|x− φt(x)| = |∫ t

f(φt(s))|ds ≤ ct ≤ c+(x)

disso resulta que para todo t ∈ [0, w+(x)] φt(x) esta em Bcw+(x)[x]. O que contradiz a

propriedade de escapar de compacto, logo w+(x) = ∞ ∀x ∈ Rn do mesmo modo se prova

que w− = −∞ ∀x ∈ Rn.

Propriedade 32. Se φ e uma solucao de X ′ = f(x) definida no intervalo maximo I e

φ(t1) = φ(t2) para t1 = t2 entao I = R e φ(t + c) = φ(t) ∀t onde c = t2 − t1, isto e, φ e

periodica .

Demonstracao.

1.6 Classificacao de sistemas planares

Nesta secao trabalharemos em geral com equacoes da forma x′ = Ax onde x : R → R2,

caso contrario citaremos ao longo do texto.

Definicao 12 (Orbita). A orbita de x : R → Rn e o conjunto

(x1(t), x2(t), · · · , xn(t)), t ∈ R

com t variando de −∞ ate ∞, essa variacao e dita orientacao ou sentido do percurso.

Corolario 11. Pela unicidade de solucoes por cada ponto do espaco Rn passa uma unica

orbita de x′ = Ax,A ∈Mn.

Veremos a classificacao por casos.

Caso 1)

A possui dois autovalores reais distintos, λ1 < λ2, passamos a discussao para a matriz

diagonalizada, com equacao de solucao

x(t) = (l1eλ1t, l2e

λ2t).

Caso 1a)

Ambos autovalores negativos. Consideramos a condicao inicial positiva em cada coor-

denada. Temos que

limt→∞

x(t) = 0

limt→−∞

x(t) = ∞

pois cada coordenada apresenta tal comportamento.

Neste caso, um campo com esse comportamento e dito um atrator linear (as solucoes

se aproximam de zero), que a origem e um poco ou um no estavel.

As curvas definidas pelas solucoes vem desde o infinito ate a origem do plano.

Caso 1b)

Ambos autovalores positivos. Consideramos a condicao inicial positiva em cada coor-

denada. o retrato de fase e como no caso anterior, trocando t po −t.

limt→∞

x(t) = ∞

limt→−∞

x(t) = 0.

O campo linear com esse comportamento e um repulsor linear, que a origem e uma

fonte (as solucoes saem do ponto) ou no instavel .

1.6.1 Classificacao por conjugacao topologica

Definicao 13 (Matriz hiperbolica). A ∈Mn e hiperbolica se a parte real de seus autova-

lores e nao nula.

Definicao 14 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e Atrator se

os autovalores de A possuem parte real negativa.

Definicao 15 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e Atrator se

os autovalores de A possuem parte real negativa.

Definicao 16 (Repulsor). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e repulsor se

os autovalores de A possuem parte real positiva.

Definicao 17 (Sela). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax, A de ordem 2 e

sela se os autovalores de A possuem, um parte real positiva e outro negativa.

Definicao 18 (Fluxo contrativo). O fluxo etA de A e contrativo se existem constantes

positivas c e r tais que

|etA| ≤ ce−rt|x| ∀t ≥ 0, x ∈ Rn.

Propriedade 33. O fluxo de x′ = Ax e contrativo se todas as solucoes convergem para

a origem uniforme e exponencialmente.

Demonstracao.

Propriedade 34. Seja A ∈Mn um campo linear, sao equivalentes

• A origem e um poco para A.

• A e um atrator .

• O fluxo de A e contrativo .

Para verificar que o fluxo de um campo linear em Rn e contrativo, basta verificar se

todos os autovalores do campo possuem parte real negativa.

Demonstracao.

1.7 EDO e sistemas dinamicos

Definicao 19 (Difeomorfismos). F : U ⊂ Rn → Rn e um difeomorfismo de U aberto em

F (U) se F e derivavel e possui inversa derivavel.

Um C1 difeomorfismo e um difeomorfismo F : U ⊂ Rn → Rn, tais que F ′−1 e F ′ sao

contınuas, de maneira semelhante para Cn difeomorfismo .

Definicao 20. Denotaremos o conjunto dos difeormorfismo de Rn em Rn por Dif(n).

Propriedade 35. Dif(n) e um grupo com a composicao de aplicacoes.

Demonstracao.

Definicao 21 (Sistema dinamico). Um sistema dinamico agindo em Rn e um homomor-

fismo de grupos φ : R → Diff(n), isto e,

φ(t+ s) = φ(t) φ(s).

A cada real associamos um difeomorfismo.

Definicao 22. Nas condicoes da definicao anterior, dizemos que

φ(t)t∈R

e um grupo a um parametro de difeomorfismos.

Propriedade 36. Dada A ∈Mn, eAt e um difeomorfismo.

Demonstracao.

1.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes

iniciais e parametros

Para o primeiro teorema usaremos um lema

Lema 1. Seja (φn) equicontınua , pontualmente limitada, φn : X → R, X espaco metrico

compacto. Se toda subsequencia de (φn) uniformemente convergente possuir o mesmo

limite φ, entao φn →u φ

Demonstracao. Suponha que (φn) nao converge uniformemente para φ entao existem

ε > 0 , (tk) em X e (φnk) subsequencia de (φn) tal que

|φnk(tk)− φ(tk)| ≥ ε.

(φnk) e equicontınua e pontualente limitada, o teorema de Arzela-Ascoli implica que (φnk

possui subsequencia (φnp) uniformemente convergente para φ , mas isso e um absurdo pois

|φnp(tp)− φ(tp)| ≥ ε.

Propriedade 37. Sejam fn : Ω → Rm, (fn) contınua em Ω aberto de R×Rm, fn →u f0

em cada parte compacta de Ω, (tn, xn) sequencia em Ω com (tn, xn) → (t0, x0), supondo

x′ = fn(t0, x0), x(tn) = xn, n ∈ N,

possui uma unica solucao maxima φn em In = (w−(n), w+(n)), seja [a, b] ⊂ I0 =

(w−(0), w+(0)) entao existe n0 = n0(a, b) tal que para n > n0, In ⊃ [a, b] e φn|[a,b] →u

φ0|[a,b].

Demonstracao.

Propriedade 38 (Continuidade nas condicoes iniciais). Sejam f contınua em Ω aberto

em R × Rn × A ,A e um espaco euclidiano, para cada (t0, x0, λ) ∈ Ω o problema com

condicoes iniciais

x′ = f(t, x, λ), x(t0) = x0

λ fixo, possua uma unica solucao

φ = φ(t, t0, x0, λ)

definida no seu intervalo maximo (w,w+), w± = w±(t0, x0, λ), entao

D = (t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, t ∈ (w,w+)

e aberto em R× Ω

2. φ e contınua em D.

Demonstracao.

Lema 2 (Lema de Gronwall). Sejam u, v funcoes contınuas nao negativas em [a, b] tais

que para α ≥ 0

u(t) ≤ α +

v(s)u(s)ds, t ∈ [a, b]

u(t) ≤ αe∫ ta v(s)ds

em especial se α = 0 entao u = 0.

Demonstracao. Se α > 0, seja w(t) = α +

v(s)u(s)ds, temos w(a) = α, w(t) ≥α > 0 pois integral de nao negativas e nao negativa, de

w′(t) = v(t)u(t) ≤ v(t)w(t)

temosw′(t)

w(t)≤ v(t)

aplicando

obtemos

ln(w(t)

w(a)︸︷︷︸α

) ≤∫ t

v(s)ds⇒ w(t)

α≤ e

∫ ta v(s)ds ⇒

u(t) ≤ w(t) ≤ αe∫ ta v(s)ds

Propriedade 39. SejaK a constante de Lipschitz na segunda coordenada de f (contınua)

, para t ∈ I(t0,x0) ∩ I(t0,y0) temos

|φ(t, t0, x0)− φ(t, t0, y0)| ≤ ek|t−t0||x0 − y0|

sendo φ(t, t0, x0) solucao de x′(t) = f(t, x), x(t0) = x0.

Demonstracao. Sejam φ(t) = φ(t, t0, x0), ψ(t) = ψ(t) = φ(t, t0, y0), entao

φ(t)− ψ(t) = x0 − y0 +

[f(s, φ(s)− f(s, ψ(s))]ds,

de onde segue por condicao de Lipschtiz e desigualdade de integral que

|φ(t)− ψ(t)| ≤ |x0 − y0|+ |∫ t

K|φ(s)− ψ(s)|ds|

se t ≥ t0 o resultado decorre do Lema de Gronwall com α = |x0−y0|, u(t) = |φ(t)−ψ(t)|e v(t) = K.

Se t ≤ t0, a propriedade resulta do Lema de Gronwall aplicado a x′ = −f(−t, x), cujasolucao por (−t0, x0) e ψ(t,−t0, x0) (continuar depois nao entendi a outra parte)

1.8.1 Diferenciabilidade

Lema 3. Seja f contınua em (a, b)×K onde K e um aberto convexo de Rn. Se f admite

derivada parcial D2f contınua em (a, b)×K entao existe uma funcao h(a, b)×K ×K →

L(Rn) contınua tal que

1. h(t, x, x) = D2f(t, x), (t, x) ∈ (a, b)×K

2. f(t, x2)− f(t, x1) = h(t, x1, x2)(x2 − x1).

L(E) denota o espaco de aplicacoes lineares de E em E, isomorfo a Rn.

Demonstracao. Definimos

h(t, x1, x2) =

D2f(t, ux2 + (1− u)x1)du

que e integravel pois D2f e contınua, podemos tomar ux2 + (1− u)x1 com u variando em

[0, 1] poisK, conjunto onde f toma a segunda coordenada e convexo . A continuidade de h

resulta da continuidade de D2f .Basta tomar a diferenca das integrais e usar continuidade

′2+(1−u)x′1)| < ε

|h(t, x1, x2)− h(t, x′1, x′2)| ≤

|D2f(t, ux2 + (1− u)x1)−D2f(t, ux′2 + (1− u)x′1)|du ≤ ε

logo a funcao e contınua.

h(t, x, x) =

D2f(t, ux+ (1− u)x)du =

D2f(t, x)du = D2f(t, x)

2. Pelo teorema fundamental do calculo temos

f(t, x2)− f(t, x1) =

du[f(t, ux2 + (1− u)x1)]du =

(por regra da cadeias(?) segue que)

D2f(t, ux2 + (1− u)x1)(x2 − x1)du

como querıamos mostrar.

Teorema 4 (Dependencia diferenciavel com respeito as condicoes iniciais). Seja f : U ⊂

R×Rn contınua no aberto U , f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn, diferenciavel com relacao a variavel

x, sendo∂f

∂xcontınua em U .

Como consequencia do teorema de Picard, temos que ∀(t0, x0) ∈ U o problema de

Cauchy x′ = f(t, x), x(t0) = x0 admite uma unica solucao maximal φ = φ(t, t0, x0) com

t tomando valores em um intervalo maximal I(t0, x0). Seja D o aberto (ver), tal que

φ : D → U , entao existe e e contınua a derivada ∂x0φ(t, t0, x0), ∂x0φ : D → L(Rn). Alem

disso tal derivada e a solucao da seguinte equacao diferencial ordinaria matricial linear

Z ′ =∂f(t, φ(t, t0x0))

Z(t0) = I Identidade n× n.

Demonstracao.

Propriedade 40. Seja f contınua em Ω aberto de R × Rn × Rm, com D2f contınua

em Ω. Entao para λ fixo, a solucao φ = φ(t, t0, x0, λ) de x′ = f(t, x, λ), x(t0) = x0 e

unica e admite derivada parcial D3φ com relacao a x0, a aplicacao µ com x(t, t0, x0, λ) =

D3φ(t, t0, x0, λ) e contınua no seu domınio

D = (t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, w(t0, x0, λ) < t < w+(t0, x0, λ)

x(t) = D3φ(t, t0, x0, λ)ek =∂φ

∂xk0(t, t0, x0, x)

xk0 para simbolizar k-esima, para todo 1 ≤ k ≤ dimE sendo solucao de

x′ = J(t)x, x(t0) = ek

onde J(t) = J(t, t0, x0, λ) =2 f(t, φ(t, t0, x0, λ), λ).

Demonstracao.

Propriedade 41. Se alem das hipoteses do teorema anterior f e diferenciavel em relacao

a λ e D3f e contınua em Ω, entao φ e diferenciavel em relacao a λ e D4φ(ek) =∂φ

∂λke

contınua em D.

Alem disso, x(t) =∂φ

∂λk(t, t0, x0, λ) e solucao de x′ = j(t)X + b(t), x(t0) = 0 onde

b(t) = B(t)ek

B(t) = D3f(t, φ(t, t0, x0, λ), λ).

Demonstracao.

Propriedade 42. Seja f contınua em Ω aberto em R×Rn ×Rm ×Rp, se f(t, x, λ, µ) e

diferenciavel em relacao a x, λ e D2f , D3f sao contınuas em Ω entao para λ e µ fixos,

x′ = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0

possui solucao unica φ(t, t0, x0, λ, µ) diferenciavel em relacao a (t, x0, λ). As derivadas

D1φ,D3φ,D4φ, D1D3φ,D1D4φ sao contınuas em D.

Demonstracao.

Propriedade 43. Seja f(t, x, λ, µ) contınua em Ω ⊂ R × Rn × Rm × Rp aberto, com

derivadas parciais de ordem ≤ w relativas as coordenadas de (x, λ) contınuas, entao para

λ, µ fixo

x′ = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0

possui solucao unica φ = φ(t, t0, x0, λ, µ), φ definida no aberto

D = (t, t0, x0, λµ) | (t0, x0, λ, µ) ∈ Ω e w−(t, t0, x0, λ, µ) < t < w+(t0, x0, λ, µ)

de R× Ω na qual admite todas derivadas parciais da forma

m∑k=1

αk+l∑

∂tsm∏k=1

∂(xk0)αk

l∏k=1

∂(λk)Bk

contınuas, comm∑k=1

αk +l∑

Bk ≤ w, s ≤ 1.

Demonstracao.

Propriedade 44. Seja f = f(t, x) de classe Cm em Ω, entao φ = φ(t, t0, x0) possui todas

as derivadas parciais de ordem ≤ m com respeito as variaveis (t, x0) contınuas no aberto

D = (t, t0, x0) | (t0, x0) ∈ Ω, w−(t0, x0) < t < w+(t0, x0).

Demonstracao.

1.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes di-

ferenciais

1.9.1 Campos vetoriais e fluxos

Definicao 23 (Campo vetorial de classe Ck). Seja U ⊂ Rn aberto, um campo vetorial de

classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞ em U e uma aplicacao f : U → Rn de classe Ck ao qual associamos

a equacao diferencial

x′ = f(x).

Definicao 24 (Trajetorias-curvas integrais). As solucoes φ : I → U (I intervalo aberto

de R) de x′ = f(x), f campo vetorial de classe Ck como na definicao anterior, isto e,

dφ(t)

dt= f(φ(t)) ∀t ∈ I

sao chamadas de trajetorias ou curvas integrais de f .

Neste caso o vetor velocidade de φ, φ′(t) coincide com o valor do campo X em φ(t).

Definicao 25 (Ponto singular). x ∈ U e dito ponto singular de f se f(x) = 0.

Definicao 26 (Ponto regular). x ∈ U e dito ponto regular de f se f(x) = 0.

Propriedade 45. Se x e ponto singular de f entao φ(t) = x ∀t ∈ R e solucao de

x′ = f(x). Se φ(t) = x ∀t ∈ R e solucao de x′ = f(x) entao x e ponto singular de f .

Demonstracao. ⇒). Temos φ′(t) = 0 e f(φ(t)) = f(x) = 0 portanto

φ′(t) = f(φ(t))

e solucao da equacao diferencial.

φ′(t) = f(φ(t)) = f(x)

porem φ′(t) = 0 portanto x e ponto singular de f .

Definicao 27 (Curva integral maxima). Uma curva integral φ : I → U de f chama-se

maxima, se para toda curva integral ψ : J → U com I ⊂ J e φ|I entao I = J e daı φ = ψ.

Definicao 28 (Intervalo maximal). I na definicao anterior e chamado de intervalo maximo

ou maximal.

Propriedade 46. Valem as propriedades

1. Existencia e unicidade de solucoes maximais. Para cada x ∈ U existe um intervalo

aberto Ix onde esta definida a unica solucao maxima φx de x′ = f(x) tal que

φx(0) = x.

2. Propriedade de grupo . Se y = φx(t) e t ∈ Ix, entao

Iy = Ix − t = r − t | r ∈ Ix

e φy(s) = φx(t+ s) ∀s ∈ Iy.

3. Diferenciabilidade em relacao as condicoes iniciais. O conjunto

D = (t, x) | x ∈ U, t ∈ Ix

e aberto em Rn+1 e a aplicacao φ : D → Rn com φ(t, x) = φx(t) e de classe Cr e

D1D2φ(t, x) = Df(φ(t, x)) D2φ(t, x) ∀(t, x) ∈ D.

f sendo Cr.

Demonstracao.

Definicao 29 (Fluxo gerado). φ : D → U chama-se fluxo gerador por f . Tambem

e chamado de fluxo local ou grupo local a um parametro gerado por f .φ satisfaz as

relacoes da propriedade anterior

φ(0, x) = x

φ(t+ s, x) = φ(t, φ(s, x)).

1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial

Definicao 30 (Orbita). O conjunto γp = φ(t, p), t ∈ Ip imagem da curva integral de f

pelo ponto p chama-se orbita de f pelo ponto p.

Propriedade 47. q ∈ γp ⇔ γq = γp, duas orbitas de f coincidem ou sao disjuntas, U

domınio do campo f fica decomposto numa uniao disjunta de curvas diferenciaveis.

Demonstracao. (analisar) Usaremos que φ(t, φ(s, p)) = φ(t + s, p). ⇒). Se q ∈ yp

entao existe t1 ∈ Ip (intervalo de definicao de φ) tal que φ(t1, p) = q por outro lado

φ(t, q) = φ(t, φ(t1, p)) = φ(t+ t1, p)

logo todo ponto de yq que e da forma φ(t, q) e da forma φ(t + t1, p) que pertence a yp.

Agora um um elemento de yp pode ser escrito como φ(t + t1, p) para t escolhido que e

igual a φ(t1, q) portanto vale a outra inclusao e os conjuntos sao iguais.

⇐). A volta vale pois yp = yq os conjuntos sao iguais.

Usando o resultado provado acima. Se t ∈ yp ∩ yq entao yp = yt e yq = yt daı yp = yq,

portanto as orbitas ou sao disjuntas ou identicas.

Definicao 31 (Retrato de fase). O retrato de fase de f : U ⊂ Rn → Rn, U aberto , f de

classe Cr, r ≥ 1 e o conjunto U decomposto pelas orbitas de f , munido de orientacao da

curva integral.

Propriedade 48. Toda curva integral φ de f : U ⊂ Rn → Rn, U aberto , f de classe

Cr, r ≥ 1, φ solucao maxima de x′ = f(x) em I e de um dos seguintes tipos

1. φ e injetora, yp e homeomorfa a um intervalo de R.

2. I = R, φ e constante, nesse caso a orbita yp chama-se ponto singular ou singulari-

3. yp e difeomorfa a um cırculo ,φ e periodica, neste caso existe p1 > 0 tal que φ(t+p1) =

φ(t) ∀t ∈ R e φ(t1) = φ(t2) se |t1− t2| < p1, neste caso yp chama-se orbita periodica

ou fechada.

Quando as solucoes sao periodicas ou singulares entao (w−, w+) = R para as outras

solucoes isto pode nao acontecer.

Demonstracao.

1. Se φ e injetiva entao temos que a orbita e imagem pelo intervalo e temos o primeira

Suponhamos que existem t1 = t2 tal que φ(t1) = φ(t2) entao o intervalo maximo e

(w−, w+) = R e para c = t2 − t1 temos φ(t) = φ(t + c) ∀t ∈ R, definimos B = s ∈R | φ(t) = φ(t + s) ∀t ∈ R, B e subgrupo aditivo fechado de R. Sejam a, b ∈ B entao

a+ b ∈ B pois

φ(t+ a+ b) = φ((t+ a) + b) = φ(t+ a) = φ(t) ∀t ∈ R.

Se a ∈ B entao −a ∈ B pois

φ(t− a) = φ((t− a) + a) = φ(t) ∀t ∈ R.

E claro tambem pela definicao que 0 ∈ B e o grupo e associativo adicao . Temos tambem

propriedade de fechamento por limite pois se (an) ∈ B com an → a como an ∈ B∀n entao

φ(t+ a) = φ(t+ lim an) = limφ(t+ an) = limφ(t) = φ(t) ∀t ∈ R,

onde usamos continuidade da funcao φ para passar o limite para fora do argumento da

funcao . Um subgrupo aditivo de R e da forma kZ (multiplos inteiros de uma constante)

ou denso em R, se B for denso em R temos que a orbita e uma singularidade por φ ser

fechado, se B = kZ entao φ e periodica de perıodo k.

Exemplo 8. Seja f(x) = 1 + x2 com f(0) = 0, x′ = 1 + x2, f e C1 a solucao e dada por

φ(t) = tg(t), I0 = (−π2,π

2), φ e injetora, a orbita e homeomorfa a um intervalo . Neste

caso nao temos a reta toda como intervalo maximal da solucao .

Propriedade 49. Seja f um campo C1 em R com um numero finito de singularidades,

digamos a1 < a2 < · · · < an podemos tomar a0 = −∞, an+1 = ∞ consideramos os

intervalos da forma (ak, ak+1) com extremos nos pontos onde f se anula. f possui o

mesmo sinal em cada (ak, ak+1) pois se mudasse de sinal por continuidade possuiria raiz

no intervalo, mas por hipotese ja contamos todas as raızes. Agora suponha que f possui

sinal positivo em (ak, ak+1) a solucao de x′ = f(x) e estritamente crescente no seu intervalo

maximal I(x) = (w−, w+) nessas condicoes vale que

1. limt→W−(x)

φ(t, x) = ak.

2. limt→W+(x)

φ(t, x) = ak+1.

Demonstracao.

Definicao 32 (Campos Cr equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn → Rn e f2 : U2 ⊂ Rn →

Rn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2 sao Cr equivalentes se

existe h : U1 → U2 difeomorfismo de classe Cr preservando a orientacao, com

h(y1(p)) = y2(h(p))

onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2

passando por h(p). Neste caso h e chamado de equivalencia diferencial entre f1 e f2.

Definicao 33 (Campos topologicamente equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn → Rn e

f2 : U2 ⊂ Rn → Rn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2

sao topologicamente equivalentes se existe h : U1 → U2 homeomorfismo preservando a

orientacao, com

h(y1(p)) = y2(h(p))

onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2

passando por h(p). Nesse caso h e chamado de equivalencia topologica f1 e f2.

Definicao 34 (Topologicamente conjugado). Sejam φ1 : D1 → Rn, φ2 : D2 → Rn fluxos

gerados pelos campos f1 : U1 → Rn, f2 : U2 → Rn respectivamente. f1 e topologicamente

conjugado a f2 quando existe um homeomorfismo h : U1 → U2 tal que

h(φ1(t, x)) = φ2(t, h(x)) ∀(t, x) ∈ D1.

Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)). Nesse caso h chama-se conjugacao to-

pologica entre f1 e f2 .

Definicao 35 (Cr- conjugado). Sejam φ1 : D1 → Rn, φ2 : D2 → Rn fluxos gerados pelos

campos f1 : U1 → Rn, f2 : U2 → Rn respectivamente. f1 e Cr conjugado a f2 quando

existe um difeomorfismo Cr, h : U1 → U2 tal que

h(φ1(t, x)) = φ2(t, h(x)) ∀(t, x) ∈ D1.

Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)).Nesse caso h chama-se Cr conjugacao entre

f1 e f2 .

Propriedade 50. As relacoes de equivalencia Cr, topologica e de conjugacao Cr e to-

pologica sao relacoes de equivalencia. Campos Cr conjugados e topologicamente conju-

gados sao Cr equivalentes e topologicamente equivalentes respectivamente.

Demonstracao.

Propriedade 51. Uma relacao de equivalencia h entre f1 e f2 levam pontos singulares

em pontos singulares e orbitas periodicas em orbitas periodicas. Se h for uma conjugacao

o perıodo das orbitas periodicas tambem e preservado.

Demonstracao.

Propriedade 52. Sejam f1U1 → Rn e f2 : U2 → Rn campos Cr e h : U1 → U2 difeomor-

fismo de classe Cr, entao h e uma conjugacao entre f1 e f2 ⇔

Dh(p)f1(p) = f2(h(p)) ∀p ∈ U1.

Demonstracao.

Sejam φ1 : D1 → U1 e φ2 : D2 → U2 os fluxos de f1 e f2 respectivamente, dados

p ∈ U1 seja ψ(t) = h(φ1(t, p)) I ∈ I1(p) entao ψ e solucao de x′ = f2(x) com condicao

inicial ψ(0) = h(φ1(0, p)) = h(p), pois derivando a funcao temos

ψ′(t) = h′(φ1(t, p)) φ′1(t, p) = h′(φ1(t, p)) f1(φ1(t, p)) =

= f2(h(φ1(t, p))) = f2(ψ(t))

porem tal equacao x′ = f2(x) com ψ(0) = h(p) tambem e satisfeita por φ2(t, h(p)),

portanto vale

φ2(t, h(p)) = h(φ1(t, p))

e daı os campos sao conjugados , a igualdade vale por unicidade de solucoes.

⇒). Suponha que h seja uma conjugacao. Dado p ∈ U1 tem-se h(φ1(t, p)) = φ2(t, h(p)),

t ∈ Ip, derivando em relacao a t tem-se

h′(φ1(t, p))φ′1(t, p) = φ′

2(t, h(p)) =

= Dh(φ1(t, p))f(φ1(t, p)) = f(φ2(t, h(p)))

tomando t = 0 tem-se

Dh(p)f(p) = f(h(p))

Definicao 36 (Secao transversal). Sejam f : U → Rn campo de classe Cr, r ≥ 1, U ⊂ Rn

e A ⊂ Rn−1 abertos. Uma aplicacao g : A → U de classe Cr chama-se secao transversal

local de f quando ∀a ∈ A, Dg(a)(Rn−1) e f(g(a)) geram Rn. Seja Σ = g(A) ⊂ U ⊂ Rn

com topologia induzida. Se f : A→ Σ for um homeomorfismo , diz-se que Σ e uma secao

transversal de f .

Propriedade 53. Sejam p ∈ U nao singular e v1, · · · , vn−1, f(p) uma base de Rn, Bδ(0)

uma bola de Rn−1, para δ suficientemente pequeno, g : Bδ(0) → U com

g(x1, · · · , xn−1) = p+n−1∑k=1

e uma secao transversal de f em p.

Demonstracao.

Teorema 5 (Teorema do fluxo tubular). Seja p um ponto nao singular de f : U → Rn de

classe C2 e g : A→ Σ uma secao transversal local de f , g de classe Cr com g(0) = p, entao

existe uma vizinhanca V de p em U e um difeomorfismo h : V → (−ε, ε) × B de classe

Cr onde ε > 0 e B = B(0) e uma bola aberta em Rn−1 de centro na origem 0 = g−1(p)

tal que

1. h(Σ ∩ V ) = 0 ×B

2. h e uma Cr- conjugacao entre f |V e o campo constante Y : (−ε, ε) × B → Rn,

Y = (1, 0, · · · , 0) ∈ Rn.

Demonstracao. Sejam φ : D → U o fluxo de f , F : DA = (t, u) | (t, g(w)) ∈ D →U com F (t, u) = φ(t, g(u)). F aplica linhas paralelas em curvas integrais de f . Vamos

mostrar que F e um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) ∈ R × Rn−1, pelo teorema da

funcao inversa e suficiente provar que DF (0) e um isomorfismo. Temos que

D1F (0) =d

dtφ(t, f(0))|t=0 = f(φ(0, p)) = f(p) = 0

e DjF (0) = Dj−1g(0) para todo j = 2 ate j = n pois φ(0, g(u)) = φ(0, g(u)) = g(u) ∀u ∈A. Portanto os vetores DjF (u), j = 1 ate j = n geram Rn e DF (0) e um difeomorfismo

pelo teorema da funcao inversa, que ainda garante a existencia de ε > 0 e uma bola B

em Rn−1 com centro em 0 tal que F |(−ε,ε)×B e um difeomorfismo sobre o aberto V =

F ((−ε, ε)×B), seja h = (F |(−ε,ε)×B)−1 entao h(Σ ∩ V ) = 0 × B pois F (0, u) = g(u) ∈Σ ∀u ∈ B , isto prova 1). Por outro lado h−1 conjuga Y e f pois

Dh−1(t, u) Y (t, u) = DF (t, u) (1, 0, · · · , 0) =

= D1F (t, u) = X(φ(t, g(u))) = X(F (t, u)) = X(h−1(t, u)) ∀(t, u) ∈ (−ε, ε)×B,

logo Y e f |V sao conjugados pela condicao de conjugacao por derivada.

Propriedade 54. Seja Σ uma secao transversal de f , para todo p ∈ Σ existe εp > 0, V

vizinhanca de p em Rn e T : V → R de classe Ck tais que T (V ∩ Σ) = 0 e

1. ∀q ∈ V a curva integral φ(t, q) de f |V e definida e biunıvoca em Jq = (−ε,+T (q), ε+

T (q)).

2. n(q) = (φ(T (q), q)) ∈ Σ e o unico ponto onde φ(, q)|Jq intercepta a Σ em particular

q ∈ Σ ∩ V ⇔ T (q) = 0.

3. n : V → Σ e de classe Ck e Dn(q) e sobrejetora para todo q ∈ V mais ainda

Dn(q)v = 0 ⇔ v = αf(q) para algum α ∈ R.

Demonstracao.

Definicao 37 (Ponto singular hiperbolico). Um ponto p singular de um campo f : U ⊂

Rn → Rn de classe Cr, r ≥ 1 e dito singular hiperbolico se Dx(p) e hiperbolico, isto e,

possui todos autovalores com parte real nao nula.

Definicao 38 (Indice de estabilidade de um ponto singular hiperbolico). Como na de-

finicao anterior, p um ponto singular hiperbolico do campo Cr, f possui ındice de estabi-

lidade s se Dx(p) possui s autovalores com parte real negativa.

Propriedade 55. Se X e Y sao C2 conjugados por h entao se p e singular hiperbolico

de X, h(p) = q e singular hiperbolico de Y .

Demonstracao.

Usaremos que Y (h(p)) = Dh(p)X(p). Como P e singular de X entao

Y (q) = Y (h(p)) = Dh(p)X(p)X(p)︸︷︷︸0

portanto q e ponto singular de Y . Temos que

Y (z) = Dh(h−1(z))X(h−1(z))

daı aplicando D e tomando z = q tem-se

DY (q) = D[Dh(h−1(q))]X(h−1(q)) +Dh(h−1(q))D[X(h−1(q))] =

onde aplicamos a regra da derivada do produto e agora aplicando a derivada da composicao

= D2h(h−1(q))Dh−1(q)︸︷︷︸p

X(h−1(q)) +Dh(p)DX(h−1(q))Dh−1(q) =

= Dh(p)DX(h−1(q))[Dh(p)]−1

onde usamos na ultima linha expressao de derivada do inverso.

Teorema 6 (Teorema de Hartman). Seja X : U ⊂ Rn → Rn, U aberto, X campo vetorial

de classe C1, p um ponto singular hiperbolico de X, entao existe uma vizinhanca W de

P em Rn e uma vizinhanca V de 0 em Rn tal que X|W e topologicamente conjugado a

Dx(p)|V .

Definicao 39 (Aplicacao de Poincare). Sejam yp = φ(t, p), t ∈ (0, t0) orbita periodica

de perıodo t0 de um campoX de classe Cr, r ≥ 1, definido em U ⊂ Rn aberto, Σ uma secao

transversal de X em p. Em virtude da continuidade do fluxo φ de X , ∀q ∈ Σ proximo

de p a trajetoria φ(t, p) permanece proxima a yp com t em um intervalo compacto pre

fixado. Π(q) e o primeiro ponto em que a orbita intercepta Σ. Temos por exemplo p ∈ Σ

e Π(p) = p.

Dada uma vizinhanca V do ponto φ(t, p) obtida pelo teorema do fluxo tubular, pela

dependencia contınua de φ(t, p), temos que existe Σ0 vizinhanca de p em Σ tal que

φ(t,Σ) ⊂ V entao podemos definir ΠΣ0 → Σ com Π(q) = n(φ(t, q)) onde n : V → Σ

com n(z) = φ(T (z), z) e a funcao Ck dada na proposicao corolario do Teorema do fluxo

Tubular, entao

Π(q) = n(φ(t0, q)) = φ(T (φ(t0, q), φ(t0, q))) = φ(t0 + T (φ(t0, q), q))

a aplicacao Π e Cr por ser composicao de aplicacoes Cr e tambem um difeomorfismo Cr.

Π nessas condicoes e a aplicacao de Poincare. T : V → R e o tempo T (x) que leva a

orbita por X em V para interceptar Σ. Do teorema da funcao implıcita T e de classe Cr.

A secao Σ e uma hiper superfıcie ou uma subvariedade diferenciavel n−1- dimensional

de U ⊂ Rn. Pode-se supor que a variedade Σ e um disco de um subespaco vetorial ou

afim de Rn. Π : Σ0 → Σ e um difeomorfismo de classe Cr sobre sua imagem Σ1, como

φ(t0, p) = p existe uma vizinhanca Σ0 de p em Σ tal que φ(t0, q) ∈ V ∀q ∈ Σ0

Definicao 40 (Atrator periodico ou orbitalmente estavel). Uma orbita periodica yp e dita

orbitalmente estavel (ou atrator periodico)se

limt→∞

d(φ(t, q), yp) = 0 ∀q ∈ Vyp

, isto e a distancia tende a zero com o tempo para qualquer q numa vizinhanca de yp.

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