ESTATISTICA BASICADistribuicao amostral da media

Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

tiagodesantana@uel.br – sala 07

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Distribuicao amostral da media

1 Amostra Aleatoria

2 Distribuicao Amostral da Media

3 Exercıcios

Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 16

Amostra Aleatoria

Definicao

Uma amostra aleatoria simples (AAS) de tamanho n de uma variavelaleatoria X , com dada distribuicao, e o conjunto de n variaveis aleatoriasindependentes

X1, X2, . . . , Xn,

cada uma com a mesma distribuicao de X .

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Amostra Aleatoria

Exemplo 10.8

Retira-se uma AAS de 5 alturas (em cm) de uma populacao de mulherescujas alturas X seguem a distribuicao Normal(167, 25).

Pode-se obter essa amostra no R por meio da sequencia de codigos:

> set.seed(1)

> round(rnorm(n=5,mean=167,sd=5),0)

164 168 163 175 169

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Amostra Aleatoria

Exemplo 10.8

Retira-se uma AAS de 5 alturas (em cm) de uma populacao de mulherescujas alturas X seguem a distribuicao Normal(167, 25).

Pode-se obter essa amostra no R por meio da sequencia de codigos:

> set.seed(1)

> round(rnorm(n=5,mean=167,sd=5),0)

164 168 163 175 169

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Amostra Aleatoria

Algumas possıveis amostras

Amostras X1 X2 X3 X4 X5

Amostra1 164 168 163 175 169Amostra2 170 166 159 168 174Amostra3 163 171 171 172 164Amostra4 166 164 169 167 166Amostra5 168 182 172 164 162Amostra6 159 171 164 174 174

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Distribuicao Amostral da Media

Teorema

Seja X uma v.a. com media µ e variancia σ2, e seja (X1,X2, . . . ,Xn) umaAAS de X . Entao,

E (X ) = µ e Var(X ) =σ2

n

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Distribuicao Amostral da Media

Exemplo 10.8 Cont.

Alturas (em cm) de uma populacao de mulheres cujas alturas X seguem adistribuicao Normal(167, 25).

Amostras X1 X2 X3 X4 X5 X

Amostra1 164 168 163 175 169 168,4Amostra2 170 166 159 168 174 167,8Amostra3 163 171 171 172 164 167,4Amostra4 166 164 169 167 166 168,2Amostra5 168 182 172 164 162 166,4Amostra6 159 171 164 174 174 169,6

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Distribuicao Amostral da Media

Teorema do Limite Central (TLC)

Para amostras aleatorias simples (X1,X2, . . . ,Xn), retiradas de uma po-pulacao com media µ e variancia σ2 finita.

A distribuicao amostral da media X aproxima-se, para n grande, de umadistribuicao Normal, com media µ e variancia σ2/n.

XDist.−−−−→ Normal

(µ ,

σ2

n

)

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Distribuicao Amostral da Media

Observacao:

Para amostras aleatorias simples (X1,X2, . . . ,Xn), retiradas de uma po-pulacao Normal(µ, σ2).

A distribuicao amostral da media X e extamente a distribuicao normal, paran qualquer, com media µ e variancia σ2/n.

X ∼ Normal

(µ ,

σ2

n

)

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Distribuicao Amostral da Media

Exemplo 10.11

Voltando ao exemplo 10.4, em que uma maquina enche pacotes de cafecujos pesos segue uma distribuicao Normal(500, 100).

Retirando-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, a distribuicaopara X sera Normal(500, 1).

Logo, se a maquina estiver regulada, a probabilidade de encontrarmos amedia de 100 pacotes diferindo de 500g em menos de 2 gramas sera

P(|X − 500| < 2) =

P(498 < X < 502) = P(−2 < Z < 2) ≈ 0, 95

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Distribuicao Amostral da Media

Exemplo 10.11

Voltando ao exemplo 10.4, em que uma maquina enche pacotes de cafecujos pesos segue uma distribuicao Normal(500, 100).

Retirando-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, a distribuicaopara X sera Normal(500, 1).

Logo, se a maquina estiver regulada, a probabilidade de encontrarmos amedia de 100 pacotes diferindo de 500g em menos de 2 gramas sera

P(|X − 500| < 2) = P(498 < X < 502) = P(−2 < Z < 2) ≈ 0, 95

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Distribuicao Amostral da Media

Exemplo 10.11

Logo:

Dificilmente 100 pacotes terao uma media fora do intervalo (498g, 502g).

Caso 100 pacotes apresentem uma media fora desse intervalo, podemosconsiderar como um evento raro.

E sera razoavel supor que a maquina esteja desregulada.

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Distribuicao Amostral da Media

Corolario 10.1

Se (X1,X2, ...,Xn) for uma amostra aleatoria simples da populacao X , commedia µ e variancia σ2 entao

Z =X − µσ/√n∼ Normal(0, 1)

para n grande.

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Distribuicao Amostral da Media

Observacao

O Teorema do Limite Central afirma que a distribuicao de X aproxima-sede uma normal a medida que o tamanho amostral cresce.

E a rapidez dessa convergencia depende da distribuicao da populacao daqual a amostra e retirada.

Se a distribuicao populacional e proxima da normal a convergencia e rapida.

Se a distribuicao da populacao se afasta muito da normal a convergencia emais lenta, ou seja, necessita-se de uma amostra maior para que X tenhauma distribuicao aproximadamente normal.

Para amostras da ordem de 30 ou 50 observacoes, a aproximacao podeser considerada boa.

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Exercıcios

1) Uma v.a. X tem distribuicao normal, com media 100 e desvio padrao10.

a) Qual a P(90 < X < 110)?

b) Se X for a media de uma mostra de 16 elementos retirados dessa po-pulacao, calcule P(90 < X < 110)

c) Represente, num unico grafico, as distribuicoes de X e X .

d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 < X < 110) = 0, 95?

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Exercıcios

1) Uma v.a. X tem distribuicao normal, com media 100 e desvio padrao10.

a) Qual a P(90 < X < 110)?

b) Se X for a media de uma mostra de 16 elementos retirados dessa po-pulacao, calcule P(90 < X < 110)

c) Represente, num unico grafico, as distribuicoes de X e X .

d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 < X < 110) = 0, 95?

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Exercıcios

1) Uma v.a. X tem distribuicao normal, com media 100 e desvio padrao10.

a) Qual a P(90 < X < 110)?

b) Se X for a media de uma mostra de 16 elementos retirados dessa po-pulacao, calcule P(90 < X < 110)

c) Represente, num unico grafico, as distribuicoes de X e X .

d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 < X < 110) = 0, 95?

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Exercıcios

1) Uma v.a. X tem distribuicao normal, com media 100 e desvio padrao10.

a) Qual a P(90 < X < 110)?

b) Se X for a media de uma mostra de 16 elementos retirados dessa po-pulacao, calcule P(90 < X < 110)

c) Represente, num unico grafico, as distribuicoes de X e X .

d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 < X < 110) = 0, 95?

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Exercıcios

2) A capacidade maxima de um elevador e de 500 kg. Se a distribuicao Xdos pesos dos usuarios for suposta Normal(70,100):

a) Qual e a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?

b) E seis passageiros?

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Exercıcios

2) A capacidade maxima de um elevador e de 500 kg. Se a distribuicao Xdos pesos dos usuarios for suposta Normal(70,100):

a) Qual e a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?

b) E seis passageiros?

Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 15 / 16

Exercıcios

Para o Lar

8 e 9 – pag 285.

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